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2026年全国I卷高考数学模拟预测五
（详解附后）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，，则中整数的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．16
3．已知，，，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点到点的距离为，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距，点A，B在椭圆上且满足．若，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C．2 D．4
6．记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图1，在中，，，CD是AB边上的高，将沿直线CD折起，使点B到点P的位置，如图2，此时三棱锥恰好是一个“鳖臑”，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数是定义域为R的偶函数且，，且满足，则（ ）
A．是周期函数
B．直线是图象的一条对称轴
C．
D．
10．设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（ ）
A．
B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的离心率为
D．直线的斜率为
11．设函数，则（ ）
A．有三个零点
B．是的极小值点
C．当时，
D．曲线上存在无数多对互相平行的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．棱长为4的正方体中，点M是棱的中点，点在侧面内运动（含边界），且点P到点M的距离等于点P到点的距离，则三棱锥体积的最大值是______.
13．已知点在角的终边上，若，则__________.
14．一个袋中装有形状、大小完全相同的9个球，其中3个红球，6个白球，从袋中有放回地取球，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止.记为5次之内（含5次）取到红球的个数，则的数学期望______________.
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据：
参数量x（亿） 2 4 6 8 10 12
性能得分y（分） 1.8 2.8 3.4 3.6 3.8 4.0
(1)求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分；
(2)该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表：
训练数据质量等级 训练效率 总计
高效 低效
优质 42 18 60
普通 18 22 40
总计 60 40 100
请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关.
附：，，，.
.
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
16．（15分）设抛物线的焦点为，为坐标原点，点是抛物线上位于第一象限的一个动点，当时，的面积为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)斜率为负的直线交直线于点，判断是否存在点，使得平分，若存在，求；若不存在，说明理由．
17．（15分）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围．
18．（17分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．

(1)证明：平面平面；
(2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由；
(3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值．
19．（17分）已知数列的前项和为，且，数列为等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和．若恒成立，求的最小值；
(3)若从数列的前项中任取两项，记这两项之和能被4整除的概率为，证明：．
2026年全国I卷高考数学模拟预测五（详解版）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以．
2．设集合，，则中整数的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．16
【答案】B
【分析】先分别求解对数不等式和分式不等式得到集合、，计算二者的交集后统计交集中的整数个数即可.
【详解】对数函数的定义域为，不等式可变形为，
由于在上单调递增，因此，即.
分式不等式等价于，解得，即.
，其中的整数为，共4个.
3．已知，，，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因，，，
则，
又因，
则得.
4．已知点到点的距离为，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】分别求出点P和点A的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系，分析求解，即可得答案.
【详解】因为，所以点的轨迹方程为，
点的轨迹方程为.
因为圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，
所以d的最小值是.
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距，点A，B在椭圆上且满足．若，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】设，，根据，列式，联立即可求解.
【详解】根据，设，，
则，，
因为，所以，
在中，因为，所以，
即，①
在中，，
即，②
联立①②解得，，
所以椭圆的长轴长为.
6．记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦定理角化边得到，再由三角形面积公式、基本不等式即可求解.
【详解】根据正弦定理 （为外接圆半径），
得 ，
代入已知等式： ，
整理得： ，即 ，
又 的面积公式为 ，
将代入得： ，
因此： ， 当且仅当时，取等号，
即面积的最大值为.
7．我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图1，在中，，，CD是AB边上的高，将沿直线CD折起，使点B到点P的位置，如图2，此时三棱锥恰好是一个“鳖臑”，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，则，，，要使三棱锥恰好是一个“鳖臑”，
则有，，由，，可得二面角的平面角
为，在中，．
8．五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论甲、乙是否选择两个主题体验，求得，，结合条件概率公式即可得结果.
【详解】若甲体验儒家文化，则有：
当甲只选择一个主题体验，则不同的选法种数为；
当甲选择两个主题体验，则不同的选法种数为；
综上所述：不同的选法种数为，即；
若甲体验儒家文化且乙体验湖光山色，则有：
当甲、乙均只选择一个主题体验，则不同的选法种数为1；
当甲选择两个主题体验，乙只选择一个主题体验，则不同的选法种数为；
当甲只选择一个主题体验，乙选择两个主题体验，则不同的选法种数为；
综上所述：不同的选法种数为，即；
所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数是定义域为R的偶函数且，，且满足，则（ ）
A．是周期函数
B．直线是图象的一条对称轴
C．
D．
【答案】ABD
【分析】先根据函数递推关系推导周期，结合偶函数性质分析对称轴，再利用函数性质求解特殊点函数值，最后计算求和判断选项.
【详解】选项A：由，将替换为得 ，故是周期为4的周期函数，A正确；
选项B：因为是偶函数，故 ，又周期为4，所以，
即，故直线是的对称轴，B正确；
选项C：由偶函数得 ，又，且，故，
解得，故 ，C错误；
选项D：计算得，周期为4，
故.
10．设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（ ）
A．
B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的离心率为
D．直线的斜率为
【答案】ACD
【分析】对于A，联立与双曲线方程，求解后即可判断；对于B，设双曲线的右焦点为，连接,由题意可得为等腰直角三角形，从而得，整理可得，即可判断；对于C，结合B可求得，求出离心率即可判断；对于D，求得，即可判断.
【详解】对于A，由，得或，
所以，故A正确；
对于B，设双曲线的右焦点为，连接，
因为关于原点对称，也关于原点对称，
所以四边形为平行四边形，
且，
所以为等腰直角三角形，
所以，
即，，
所以，
整理得，
所以，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为，故B错误；
对于C，由B可知，
所以，
所以，
所以，
所以双曲线的离心率，故C正确；
对于D，因为，
即直线的斜率为，故D正确.
11．设函数，则（ ）
A．有三个零点
B．是的极小值点
C．当时，
D．曲线上存在无数多对互相平行的切线
【答案】BCD
【详解】对于A，令，解得或，所以有两个零点，A错误；
对于B， ，
所以当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，B正确；
对于C，
，
当时，，所以，
所以当时，，C正确；
对于D，，
所以对于任意的实数，都有两个解，
所以曲线上存在无数多对互相平行的切线，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．棱长为4的正方体中，点M是棱的中点，点在侧面内运动（含边界），且点P到点M的距离等于点P到点的距离，则三棱锥体积的最大值是______.
【答案】/
【分析】根据抛物线的定义可知点P的轨迹是抛物线的一部分，又最高点到底面的距离的最大值是4，据此求解即可．
【详解】在平面中，点P到点M的距离等于点P到点的距离，
则点P的轨迹是抛物线的一部分，
设抛物线与线段的交点到的距离为，
则，故，
所以最高点到底面的距离的最大值是4，
所以三棱锥体积的最大值是.
13．已知点在角的终边上，若，则__________.
【答案】/
【分析】先根据三角函数的定义解出，再求，最后利用两角差的正切公式即可求解.
【详解】由题意得：，所以，解得，
所以，所以，
所以，
故答案为：.
14．一个袋中装有形状、大小完全相同的9个球，其中3个红球，6个白球，从袋中有放回地取球，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止.记为5次之内（含5次）取到红球的个数，则的数学期望______________.
【答案】/
【分析】有放回抽取问题属于可以看作独立重复试验，求出随机变量的分布列求解即可.
【详解】由题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
由n次独立重复试验的概率公式，，
得，，
，，
所以的数学期望 .
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据：
参数量x（亿） 2 4 6 8 10 12
性能得分y（分） 1.8 2.8 3.4 3.6 3.8 4.0
(1)求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分；
(2)该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表：
训练数据质量等级 训练效率 总计
高效 低效
优质 42 18 60
普通 18 22 40
总计 60 40 100
请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关.
附：，，，.
.
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)线性回归方程为，预测性能得分约为分
(2)依据的独立性检验，训练效率与训练数据质量有关
【分析】（1）先根据数据算样本均值，再用公式求回归系数和得线性回归方程，最后代入值预测.
（2）提出零假设，根据列联表数据算卡方值，与临界值比较后判断是否拒绝零假设.
【详解】（1）由题意可得，n=6，，，
又因为，，所以根据公式计算回归系数可得：
，
，
所以，关于的线性回归方程为： ，
当参数量亿时，代入可得： ，
即预测参数量为14亿时，模型性能得分约为分（或分）.
（2）零假设：训练效率与训练数据质量无关，根据列联表可得：
，，，，，
所以卡方统计量为，
因为对应的临界值为，，所以拒绝，
依据的独立性检验，认为训练效率与训练数据质量有关.
16．（15分）设抛物线的焦点为，为坐标原点，点是抛物线上位于第一象限的一个动点，当时，的面积为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)斜率为负的直线交直线于点，判断是否存在点，使得平分，若存在，求；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在：
【分析】（1）设，根据抛物线的定义，结合已知条件确定，再利用三角形面积确定关于的方程，解出即可；
（2）设，利用点斜式设出直线方程，确定，根据，结合，求解方程即可.
【详解】（1）因为抛物线，所以，
设 ，由抛物线的定义可知，
已知，，则，解得，
将代入抛物线方程，得，因为，所以，
所以，已知的面积为，因为，
又因为，解得，所以抛物线方程为：.
（2）

设，，，设直线斜率为 ，
又因为直线过点，所以直线方程为：，
因为为直线交直线的交点，
令，则，所以，
因为平分，所以有：，
，，，代入上式有：，
因为在抛物线上，所以，又因为，
将，代入，有：，
整理有：，解得：.
17．（15分）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围．
【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）直接求导，根据导函数的形式对进行和讨论，即可求出函数的单调区间；
（2）易判断是的一个零点，结合（1）中函数的单调区间，及两个零点满足，对进行讨论，利用单调性即可求出的取值范围.
【详解】（1）解：由题意知函数定义域为，则，
当时，，则，所以在单调递增，即单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令，则，
当时，，则在上单调递减，所以单调递减区间为，
当，，则在上单调递增，所以单调递增区间为，
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由，所以是的一个零点，
若有两个不同的零点，结合（1）的单调性可知，
当时，在单调递增，最多仅有一个零点，不合题意；
当时，，令，解得，则在处取极小值，
即最小值，为，此时只有一个零点，不合题意；
当且时，由（1）知的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以在处取极小值，即最小值，为，
则当时，函数才会有两个不同的零点，又是一个零点，
设另一个零点为 ，由可得，即，
当时，最小值点，两个零点分别为1和，要满足，
只需，即，解得，
结合，则；
当时，最小值点，两个零点分别为和1，要满足，
只需，，解得，
结合，则，
综上，的取值范围为
18．（17分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．

(1)证明：平面平面；
(2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由；
(3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处).
(3)
【分析】（1）由线面垂直的性质定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系后，将用两种不同的方式表示，列方程组求解；
（3）先求平面的一个法向量，再表示平面的一个法向量，接着表示出夹角的余弦值，从而求出最大值.
【详解】（1）因为底面为正方形，所以，
又底面，底面，所以，
因为，平面，所以平面，
又平面，所以，
在中，，为的中点，所以，
平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）

以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为，则，则得，
则，，，，
设，
若A，E，G，F四点共面，则存在实数使得
即，得方程组：
，解得
即存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处).
（3）由（2）可知
设平面的一个法向量为，
则，故可取，
设平面的一个法向量为，
则故可取，
设平面与平面夹角为，则
，
当时，取得最大值，
所以平面与平面夹角的余弦值的最大值是 .
19．（17分）已知数列的前项和为，且，数列为等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和．若恒成立，求的最小值；
(3)若从数列的前项中任取两项，记这两项之和能被4整除的概率为，证明：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意得到，结合，两式相减即可求解；
（2）由（1）得的表达式，裂项相消即可求出，从而求出的最小值；
（3）根据数列的奇数项和偶数项的特点，即可求出，由于即可求解.
【详解】（1）当时，，所以，
当时，，所以，
设等差数列的公差为，则，
因此数列的通项为：，所以，
当时，，符合题意；
当时，，则，
整理得，得，所以，
即数列是常数列，首项为，即，解得，
经检验，当时也满足，
因此数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，所以：
，
即，又因为恒成立，则，所以的最小值为．
（3）显然数列各项均为奇数，奇数项，即被除余．
偶数项，即被除余．
在数列的前项中，奇数项和偶数项各有个．若从这项中任取两项，要求“和能被整除”，则两项必一个余、另一个余．
总取法数：种，满足条件的取法数：种．
所以，
所以．即成立．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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