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四川南充高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题
一、单选题
1．下列各角中，与角终边相同的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．化简表达式，结果为（ ）
A． B． C． D．
4．已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图象相同（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．设，则有（ ）
A． B． C． D．
8．已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知均为非零向量．则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知函数的部分图象如图所示，点在的图象上．下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的一个对称中心是
C．在区间单调递增
D．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到
11．在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为的重心，，则
C．若为的外心，，则
D．若为的内心，，，（），则
三、填空题
12．已知，，则__________.
13．已知向量，若在上的投影向量相等，则_____．
14．已知锐角三角形的内角的对边分别为，且，则的值域为_____．
四、解答题
15．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．已知向量满足，且与的夹角为．
(1)求；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
17．已知函数．
(1)求的单调递减区间及对称轴；
(2)当时，求函数的值域．
18．记直线与的边交于两点，且．
(1)若与交于点，
（i）请用向量表示；
（ii）若，求的值；
(2)若直线恒过的重心，试求的最小值．
19．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点．当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：在中，角的对边分别为．
(1)若是边长为的正三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
(2)若，且是的费马点．
（i）若，求；
（ii）在（i）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．C
【详解】因为，所以与角终边相同的角为.
当时，，所以与角终边相同.
而，，所以与角的终边关于轴对称，
与角的终边关于轴对称，与角的终边关于原点对称.
2．D
【详解】因为向量，且，
所以，解得.
3．A
【详解】由诱导公式，
所以原式.
4．C
【详解】已知，两边平方可得.
则，所以.
因为均为单位向量，所以.
根据，，.
将其代入可得：. 则.
设与的夹角为，，且，，可得，即.
因为，所以.
则与夹角的大小是.
故选：C.
5．B
【详解】将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍得到，
再向右平移个单位得到.
6．B
【详解】
由题意可知.
7．B
【详解】，
，
，因为在上单调递增，
所以，又因为，所以
即，综上.
8．D
【详解】设，因为正方形的边长，
所以，
四边形周长为，
其中，当时周长最大．
此时，则，
故点的坐标为.
9．AB
【详解】选项A：若，则，所以，A正确；
选项B：若，则，所以，B正确；
选项C：由可得，无法得到，
比如取，有但，C错误；
选项D：是与共线的向量，是与共线的向量，
当与不共线且时两向量不相等，D错误.
10．ABD
【详解】选项A：由题意可得，因为，所以，
所以 ，又因为 ，
所以，解得，
由图象可知函数的最小正周期满足 即，
所以，又，结合可得，
所以函数的最小正周期，A正确；
选项B：由A选项的分析可知 ，令 ，
解得，取即得，
所以是的一个对称中心，B正确；
选项C：当 时， ，因为 ，
而无定义，所以在区间不单调，C错误；
选项D：将由的图象向左平移个单位长度得到
，
所以的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，D正确.
11．ACD
【详解】对于A选项，因为为的垂心，所以，又因为，
所以 ，A正确；
对于B选项，因为为的重心，，
可得，B错误；
对于C选项，因为为的外心，设的中点为，则垂直平分，
所以，同理，所以
，C正确；
对于D选项，如图所示，为的内心，连接，延长交于，
因为，则点为的中点，且，因为，
可得，由内心性质得，
即，得，所以
，
因为且不共线，所以，D正确．
12．
【详解】因为，所以，
即.
故答案为：
13．2
【详解】由题意可得，由于为非零向量，
从而有，整理得，
所以，解得.
14．
【详解】因为为锐角三角形，所以,
又，得代入上式，所以，
，得且，所以，
由余弦定理有，
令，则，
在上单调递减，在上单调递增，或时，，
又，当且仅当时取等号.
所以，因为，所以
故
，
由得，所以，
因此的值域为．
15．(1)，
(2)
【详解】（1）由题意角的终边过点，则，
根据任意角三角函数的定义可得，．
（2）由诱导公式得．
16．(1)1
(2)
【详解】（1）由题意得，故；
（2）因为与的夹角为锐角，所以，
即，解得，
若与共线，则，得，此时两向量夹角为0，
综上，的取值范围是．
17．(1)单调递减区间为，对称轴为
(2)
【详解】（1），
正弦函数的单调递减区间为，
令，则，
解得，
所以的单调递减区间为；
正弦函数的对称轴为，
令，解得，
所以的对称轴为．
（2）令，因为，所以，
所以，即，
所以，
即函数的值域为．
18．(1)（i）；（ii）
(2)
【详解】（1）（i）因为，所以，
则．
（ii）因为，所以，由（i）知，
所以，
因为三点共线，所以，所以．
（2）因直线恒过的重心，连接并延长交于点，
则为的中点，所以，
因为，所以，
又因为三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为3．
19．(1)
(2)（i）；（ii）．
【详解】（1）因为是边长为的正三角形，所以三个内角均小于，
故费马点在三角形内且与正三角形的中心重合，
所以，且，
如图：过作于，则，故
所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为
（2）因为，由正弦定理，
得，即，
由余弦定理得，因为，所以．
所以的三个内角都小于
（i）由费马点定义知费马点在三角形内，且，
设，
所以
即，由
得：，整理得，
因此．
（ii）由（i）知①
在中，，，由余弦定理，，
即②
分别在中，由余弦定理，，
将三个等式左右分别相加可得：，
将①②代入整理得，
于是，
即，
从而，
依题意，当时，不等式恒成立，
即在上恒成立，因为，
当且仅当时等号成立，
故有，即实数的取值范围为．

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