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高一数学素养训练
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x2≤1},B={x|y=},则A∩B=
A.[0,1] B.[-1,1] C.[-1,0] D.(0,1]
2.若点P(-1,)为角α终边上一点,则sin α=
A. B.- C. D.-
3.“α为第一象限角”是“α为锐角”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量a=(1,2),b=(m,-1),若a⊥b,则m=
A.1 B.2 C.-1 D.-2
5.已知a=sin,b=e0.1,c=lg,则
A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a
6.已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是
A.若a>b,c>d,则> B.若a2>b2,则>
C.若c>a>b,则< D.若a>b>0且m>0,则>
7.已知向量a,b,c满足|a|=|c|=2,a·c=2,=120°,则|b|的最大值为
A. B. C. D.2
8.已知函数f(x)=若关于x的方程2[f(x)]2-5f(x)+2=0恰有6个不同的实数解,则正实数ω的取值范围为
A.[,4) B.[,4) C.(,4) D.(,4)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列命题正确的是
A.数据1,2,3,4,5,6的75%分位数是5
B.数据x1,x2,…,xn的方差是1,则3x1+1,3x2+1,…,3xn+1的标准差是9
C.若事件A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)
D.若事件A与B互斥,且P(A)=0.2,P(B)=0.3,则P(A∪B)=0.5
10.在△ABC中,AC=2,BC=3,O是△ABC所在平面内一点且满足=x+y,则下列说法正确的是
A.若x+y=1,则点O在直线AB上
B.若点O是△ABC的重心,则x+y=
C.若C=,且x=,y=,则S△AOB=1
D.若点O在△ABC内(含边界),则x+y∈[0,1]
11.已知定义在R上的函数f(x)满足以下条件:对任意x∈R,y∈R,均有f(x)·f(y)=,f(x+)=f(x+)-f(x),且f(x)不恒为0.以下说法正确的是
A.f(0)=1 B.f(x)是奇函数 C.f(x+π)=f(x) D.f()+f()=1
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.某同学使用一架两臂不等长的天平称质量为20 g的铁屑,他先将10 g的砝码放在天平左盘中,取出一些铁屑放在天平右盘中使天平平衡;再将10 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些铁屑放在天平左盘中使天平平衡.最终该同学称得的铁屑　　▲　　20 g.(从“小于”“等于”“大于”中选择一个填入)
13.已知a=(1,3),b=(m,5),若a与b的夹角为锐角,则实数m的取值范围是　　▲　　.
14.已知O是△ABC所在平面内的一点,满足(+)·=(+)·=(+)·=0,则O是△ABC的　　▲　　(从“重心”“外心”“垂心”“内心”中选择一个填入);若AB=6,AC=4,=2,则·=　　▲　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
(1)计算:tan 225°+cos 540°-cos(-330°).
(2)已知tan α=3.
①求的值;
②求sin a·cos α的值.
16.(15分)
已知函数f(x)=log2(x+a)(a>0),函数g(x)=f(2x).
(1)当a=2时,解关于x的不等式f(x)<-2;
(2)若对任意的x∈(0,2),函数f(x)的图象总在函数g(x)的图象的上方,求正数a的取值范围.
17.(15分)
为优化假期安排,调整学生学习节奏,提升综合素养,贵州省九个市州于2026年4月1号至3号首次实施春假制度.某中学为了解春假期间学生外出体验的情况,随机选取了该校高一及高二共100名同学并对其进行了问卷调查,将外出时间(单位:小时)数据按照[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]分成5组,绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图算出a的值并估计该校学生春假外出时间的平均数(每组数据取区间的中点值作代表)、众数与中位数;
(2)若外出时间在[9,11)内的男女比例为3∶2,现利用分层随机抽样的方法选取5名同学进行访谈,然后再从这5名同学中随机选取2人在访谈会中发言,求发言的同学为一男一女的概率.
18.(17分)
已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<)的图象关于直线x=对称.
(1)求f(x)的最大值,并求取得最大值时所有x的值;
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,当x∈[0,]时,关于x的方程g(x)+m+2=0有实数解,求实数m的取值范围;
(3)设函数h(x)=cos2x+2asin x,若 x1∈[-,], x2∈[0,],h(x1)19.(17分)
(1)如图所示,P,Q在以原点O为圆心的单位圆上,其中A(1,0).射线OP,OQ分别为角α,β的终边且α,β∈(0,π).过Q作x轴的垂线,垂足为M,再过P作QM的垂线,垂足为N,计算线段QN和劣弧的长度,并比较二者的大小.
(2)若定义在集合D上的函数f(x)满足存在常数λ∈(0,1),使得对任意x1,x2∈D,都有|f(x1)-f(x2)|≤λ|x1-x2|,则称f(x)是定义在集合D上的压缩函数.
①若函数y=a(x+)是定义在(2,3)上的压缩函数,求a的取值范围.
②f(x)是定义在集合D上的压缩函数,证明方程f(x)=x在D上至多只有一个根;由此判断函数f(x)=(x+-3)sin x-2x+5在(2,3)内的零点个数,并说明理由.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C B B D D C A ACD AD ACD
题号 12 13 14
答案 大于 (-15,)∪(,+∞) 外心;
7.C　a与c的夹角为60°,设=a,=b,=c,则点O,A,B,C共圆,当OB为直径时,|b|最大.
8.A　由2[f(x)]2-5f(x)+2=0,解得f(x)=2或f(x)=,
当x<0时,f(x)=2或f(x)=各对应1个实数解,
因此,当x∈[0,π]时,f(x)=2无解,f(x)=对应4个实数解,
令t=ωx+∈[,ωπ+],
要有4个实数解,则π≤ωπ+<π,
解得≤ω<4.
11.ACD　∵ x,y∈R,f(x)·f(y)=,
令x=y=0,得[f(0)]2=,∴f(0)=0或f(0)=1,
若f(0)=0,令y=0,得f(x)f(0)=,则f(x)=0,这与已知矛盾,
∴f(0)=1,A选项正确.
令x=0,得f(0)f(y)= f(y)+f(-y)=2f(y),
∴f(y)=f(-y),即f(x)是偶函数,B选项错误.
又∵f(x+)=f(x+)-f(x),
∴f((x+)+)=f((x+)+)-f(x+),
即f(x+)=f(x+)-f(x+)=f(x+)-f(x)-f(x+)=-f(x),
∴f(x)为周期函数,周期为π,C选项正确.
由f(x)·f(y)=,得f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),
∴f(x+)+f(x)=2f(x+)f(),
∴f(x+)=2f(x+)f(),则f()= f(-)= f()=,
F()+f()=1,D选项正确.
12.设天平左臂长为a,右臂长为b,第一次放的铁屑质量为m g,第二次放的铁屑质量为n g,则10a=mb,na=10b,
所以m=,n=,由于a≠b,所以m+n=+>2=20.故称得的铁屑大于20 g.
13.由题意可得解得-15.
14.分别取边AB,BC,AC的中点M,N,Q(图略),所以+=2,所以·=0,同理得·=0,·=0,则O是△ABC的外心.因为=2,所以=+,所以·=·+·,因为·=||·||·cos∠OAB,由数量积几何意义得·=||·||=||2=18,同理可得·=||·||cos∠OAC=||·||=||2=8,则·=×18+×8=.
15.解:(1)原式=tan(180°+45°)+cos(360°+180°)-cos(-330°+360°)
=tan 45°+cos 180°-cos 30°
=1-1-=-. 5分
(2)①原式===. 8分
②原式====. 13分
16.解:(1)由题知log2(x+2)<-2,解得0∴解集为(-2,-). 4分
(2)由题知g(x)=log2(2x+a), 5分
且 x∈(0,2),f(x)>g(x),即2log2(x+a)-log2(2x+a)>0,
即log2>0,即(x+a)2>2x+a,即x2+(2a-2)x+a2-a>0恒成立. 7分
令h(x)=x2+(2a-2)x+a2-a,则h(x)min>0. 8分
h(x)图象的对称轴为直线x=1-a,有以下3种情况:
①解得a≥1; 10分
②∴此时a不存在; 12分
③1-a≥2时,a≤-1,与已知条件a>0矛盾. 14分
∴综上,a∈[1,+∞). 15分
17.解:(1)由(0.025+0.04+0.15+0.18+a)×2=1,得a=0.105. 2分
平均数约为0.08×6+0.36×8+0.3×10+0.21×12+0.05×14=9.58. 4分
众数约为8. 5分
假设中位数为x,由频率分布直方图可知,中位数位于[9,11)内,
由0.08+0.36+(x-9)×0.15=0.5,可得x=9.4,所以中位数约为9.4. 7分
(2)外出时间在[9,11)内的人数为100×0.3=30,男女比例为3∶2,所以其中男生人数为18,女生人数为12,利用分层随机抽样法选取5名同学,则男生选取3人,女生选取2人.
记3名男生为A1,A2,A3,2名女生为B1,B2. 9分
任取2名同学的结果可以记为(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10种. 13分
其中一男一女的结果有6种,所以其概率为. 15分
18.解:(1)由2×+φ=+kπ,k∈Z,得φ=+kπ,k∈Z,所以φ=, 2分
因此,当2x+=+2kπ,k∈Z,即x=+kπ,k∈Z时,
f(x)取最大值1. 4分
(2)g(x)=sin(2x-), 5分
方程g(x)+m+2=0等价于m=-g(x)-2,即求-g(x)-2的值域,
当x∈[0,]时,2x-∈[-,],sin（2x-）∈[-,1],
因此,m=-g(x)-2∈[-3,-2]. 9分
(3) x1∈[-,], x2∈[0,],h(x1)等价于h(x)max<[f(x)+3]min. 11分
当x∈[0,]时,2x+∈[,],sin(2x+)∈[-,1],
因此,[f(x)+3]min=. 13分
h(x)=-sin2x+2asin x+1,x∈[-,],令t=sin x∈[-1,1],
则y=-t2+2at+1,t∈[-1,1],其图象的对称轴方程为t=a.
当a≤-1时,
t=-1,ymax=-2a<,解得-当-1t=a,ymax=a2+1<,解得-1当a≥1时,
t=1,ymax=2a<,解得1≤a<.
因此,-19.解:(1)||=|α-β|,|QN|=|sin α-sin β|,由图可知,当P,Q不重合时,劣弧的长度总是长于线段QN的长度,故有不等式|sin α-sin β|≤|α-β|. 4分
(2)①依题意,存在常数λ∈(0,1),对任意x1,x2∈(2,3),都有a(x1+)-a(x2+)=|a|(x1-x2)+=|a||x1-x2|·1-≤λ|x1-x2|,
当x1=x2时,不等式显然成立;
当x1≠x2时,有|a|1-≤λ,而|a|1-的取值范围为(|a|,|a|),故|a|<1,故a的取值范围为-②若函数方程f(x)=x在D上存在两个及以上实根,设其中两个实根为x1,x2(x1≠x2),由于f(x)是定义在集合D上的压缩函数,因此存在常数λ∈(0,1),使得|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2|≤λ|x1-x2|,
即λ≥1,矛盾,故方程f(x)=x至多只有一个实根. 10分
f(2)=-sin 2+1>0,f(3)=sin 3-1<0,且函数f(x)的图象连续不断,故f(x)在(2,3)内至少存在一个零点. 12分
显然,若f(x)是定义在D上的压缩函数,那么对任意常数k,f(x)+k也是定义在D上的压缩函数,故由(1)知t(x)=x+-3是定义在(2,3)上的压缩函数,且在(2,3)上的值域为(-,),故|t(x)|≤.
另一方面,由(1)可知, x1,x2∈(2,3),sin x1-sin x2≤,故l(x)=sin x也是(2,3)上的压缩函数,且|l(x)|≤. 14分
令F(x)=(x+-3)sin x=t(x)·l(x),则存在常数λ1,λ2∈(0,1),使得对任意x1,x2∈(2,3),有|F(x1)-F(x2)|=|t(x1)l(x1)-t(x2)l(x2)|
=|t(x1)l(x1)-t(x1)l(x2)+t(x1)l(x2)-t(x2)l(x2)|
=|t(x1)[l(x1)-l(x2)]+l(x2)[t(x1)-t(x2)]|
≤|t(x1)||l(x1)-l(x2)|+|l(x2)||t(x1)-t(x2)|
≤λ1|t(x1)||x1-x2|+λ2|l(x2)||x1-x2|
≤(λ1+λ2)|x1-x2|,
因为(λ1+λ2)∈(0,1),所以F(x)=t(x)·l(x)=(x+-3)sin x是(2,3)上的压缩函数,则G(x)=(x+-3)sin x+也是(2,3)上的压缩函数. 16分
故方程(x+-3)sin x+=x至多只有一个实根,即函数f(x)=(x+-3)sin x-2x+5在(2,3)上至多只有一个零点,又因为f(x)在(2,3)内至少存在一个零点,故f(x)在(2,3)上恰有一个零点. 17分

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