资源简介

高一数学素养训练
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.+-=
A. B. C. D.
2.已知复数z=(i为虚数单位),则在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A=60°,C=75°,b=2,则a=
A.4 B.3 C.3 D.2
4.如图1,这是水平放置的△ABC的直观图,其中A'O'=B'O'=C'O'=1,则在△ABC中,下列结论正确的是
图1
A.BC=4 B.AB>BC C.AB⊥AC D.△ABC的面积为4
5.已知向量a=(1,2),b=(-1,-2),c=(1,λ),若c∥(2a+b),则λ=
A.2 B.1 C. D.
6.如图2,在正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中,A,B1,C,D1四个顶点恰好是正三棱锥A-B1CD1的顶点,则正三棱锥A-B1CD1的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的体积之比为
图2
A.1∶ B.1∶ C.1∶2 D.1∶3
7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若向量m=(c-acos B,cos A),n=(1,b-2a),且m⊥n,则△ABC的形状一定是
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
8.在△ABC中,=a,=b,=(+),=2,若·=0,则∠ACB的取值范围是
A.(0,] B.(0,] C.(,] D.(,]
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列说法不正确的是
A.共线向量一定是在同一条直线上的向量
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小
C.若a·b<0,则a与b的夹角为钝角
D.若|a|=|b|,则“a=b”是“=0”的充要条件
10.下列命题正确的是
A.正三棱锥的侧面是全等的等腰三角形
B.经过圆台侧面一点,有无数条母线
C.侧面是全等矩形的三棱柱一定是正三棱柱
D.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆锥
11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=4,A=,则下列结论正确的是
A.若b=6,则△ABC有两解
B.△ABC的面积有最大值8+4
C.△ABC的周长有最大值12
D.若△ABC是钝角三角形,则BC边上的高AD的取值范围为(0,4)
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知复数z=1-3i,则|z|=　　▲　　.
13.在三棱锥P-ABC中,∠PAB=∠PAC=∠BAC=90°,AB=1,AC=2,AP=,若A,B,C,P都在球O的球面上,则球O的表面积为　　▲　　.
14.在△ABC中,D在边AB上,CD平分∠ACB,若AC=3,BC=2,CD=,则AB=　　▲　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)
如图3,在平行四边形ABCD中,=3.设=a,=b.
(1)用a,b表示,;
(2)若=3a+4b,证明:A,E,F三点共线.
图3
16.(本小题满分15分)
如图4,一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体,下面部分是一个正四棱锥,该几何体所有棱长均为2米.
(1)求该漏斗的表面积和体积;
(2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点A'爬到点P,求它爬过的最短路径的长.
图4
17.(本小题满分15分)
如图5,为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅锤平面内,在点A测得∠MAB=60°,∠NAB=30°,在点B测得∠ABM=75°,∠MBN=45°,AB=12 km.
图5
(1)求BM的长;
(2)求MN2的值.
18.(本小题满分17分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+c)(sin C-sin A)=b(sin C-sin B).
(1)求角A;
(2)若=3,b=3,c=2,求AM的长;
(3)若△ABC为锐角三角形,且a=2,求的取值范围.
19.(本小题满分17分)
如图6,设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫作向量在坐标系中的坐标.已知点A(2,0),B(0,2),P(1,2),E为线段BP的中点,F是直线OP与直线AE的交点.
(1)求cos<,>的值.
(2)求向量的坐标.
(3)设=xe1+ye2,点M在线段AE上,是否存在实数λ,使得不等式x2+y2-λ(x+y)≤4恒成立 若存在,求出λ的取值范围;若不存在,说明理由.
图6
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C B A D D A
【解析】
1.+-=(-)+=+=.故选C.
2.z===2-3i,=2+3i在复平面内对应的点(2,3)位于第一象限.故选A.
3.因为A=60°,C=75°,所以B=180°-60°-75°=45°.
由正弦定理=,得a===3.故选C.
4.
将水平放置的△ABC的直观图还原,可知AO=2A'O'=2,OB=OC=B'O'=C'O'=1,AO⊥BC,BC=2,故A错误;由勾股定理得AB=AC==,则AB>BC,故B正确;因为AB2+AC2≠BC2,所以C错误;△ABC的面积为BC·AO=2,故D错误.故选B.
5.2a+b=(2,4)+(-1,-2)=(1,2),因为c∥(2a+b),所以λ=2.故选A.
6.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则该正方体的体积是a3,正三棱锥A-B1CD1的体积为a3-4××a3=a3,因此正三棱锥A-B1CD1的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的体积之比为1∶3.故选D.
7.因为m⊥n,所以c-acos B=(2a-b)cos A,由正弦定理得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,代入上式,化简得sin Bcos A=sin Acos A,即(sin B-sin A)cos A=0,故cos A=0或sin B-sin A=0.当cos A=0时,08.因为=(+),所以D是AC的中点.又=2,所以B是CE上靠近E的三等分点,所以=+=-a+b.又=-=b-a,·=0,
所以(-a+b)·(b-a)=0,化简得3b2+a2=4a·b.
又cos∠ACB==≥=,当且仅当|a|=|b|时,等号成立,
所以∠ACB∈(0,].故选A.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
题号 9 10 11
答案 ABC AC ABD
【解析】
9.对于A,共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故A错误;
对于B,向量不能比较大小,故B错误;
对于C,当a·b<0时,a与b的夹角为π或钝角,故C错误;
对于D,因为|a|=|b|,所以a,b是相等向量能推出a,b的方向相同,且a,b的方向相同能推出a,b是相等向量,故D正确.故选ABC.
10.对于A,由正三棱锥的定义与性质知,正三棱锥的侧面是全等的等腰三角形,故A正确;
对于B,经过圆台侧面一点,有且仅有一条母线,故B错误;
对于C,三棱柱的侧面是矩形,说明它是直棱柱,这些矩形又全等,底面就是正三角形,所以此三棱柱为正三棱柱,故C正确;
对于D,如果以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥的组合体,故D错误.故选AC.
11.对于A,由正弦定理得bsin A=6sin=3,所以bsin A对于B,由正弦定理==,得b=8sin B,c=8sin C,
所以bc=64sin Bsin C=64sin Bsin(-B)=32sin Bcos B+32sin2B
=16sin 2B-16cos 2B+16=32sin(2B-)+16.
又B∈(0,),所以2B-∈(-,),所以sin(2B-)∈(-,1],
所以bc=32sin(2B-)+16∈(0,32+16],所以S△ABC=bcsin A=bc∈(0,8+4],所以△ABC的面积有最大值8+4,故B正确.
对于C,由选项B得△ABC的周长为a+b+c=4+8sin B+8sin C=4+4(+)sin(B+),又B∈(0,),所以B+∈(,),所以sin(B+)∈(,1],
故△ABC的周长有最大值4+4(+).故C错误.
对于D,因为a=4,A=,所以对于BC边上的高AD,角B或角C为钝角的情况是等价的,不妨令角C为钝角.
因为S△ABC=a·AD=bcsin A,所以由选项B有AD=bcsin A=bc=4sin(2B-)+2,由△ABC为钝角三角形,C=-B>,得0三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
题号 12 13 14
答案 8π
【解析】
12.|z|==.
13.在三棱锥P-ABC中,∠PAB=∠PAC=∠BAC=90°,则AB,AC,AP两两垂直,三棱锥P-ABC与以AB,AC,AP为棱的长方体有相同的外接球,因此球O的半径R==,所以球O的表面积为4πR2=8π.
14.
因为CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠BCD.
令∠ACD=∠BCD=α,则∠BCA=2α,AC·CD·sin α+CB·CD·sin α=CA·CB·sin 2α,则cos α=,α=,即∠ACB=90°,故AB==.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.解:(1)由平行四边形ABCD,得=-=-a+b. 2分
又=3,所以=, 4分
所以=+=+=a+b. 6分
(2)由(1)得=a+b.又=3a+4b=4(a+b), 10分
所以=4. 12分
又,有公共点A,所以A,E,F三点共线. 13分
16.解:(1)由题意,该漏斗的表面积S=5×22+4××22=20+4(平方米). 3分
易知漏斗锥体部分的高h=米, 5分
所以该漏斗的体积V=2×2×2+×2×2×=8+(立方米). 7分
(2)将漏斗表面展开,如图所示,由两点间距离最短可得线段A'P为蚂蚁爬行最短路径. 9分
过点P作PQ⊥A'A,交A'A的延长线于点Q,连接A'P,
则AQ=AP·cos 30°=米,PQ=AP·sin 30°=1米. 12分
在Rt△A'PQ中,A'P=====+(米),
所以蚂蚁爬过的最短路径的长为+(米). 15分
17.解:(1)由题意,在△ABM中,AB=12 km,∠MAB=60°,∠ABM=75°,则∠AMB=180°-∠MAB-∠ABM=180°-60°-75°=45°. 2分
在△ABM中,由正弦定理得=, 4分
所以=,则BM=6 km. 7分
(2)在△ABN中,∠BNA=180°-∠NAB-∠ABN=180°-30°-(75°+45°)=30°, 8分
所以△ABN为等腰三角形,所以BN=AB=12 km.
在△MBN中,由余弦定理得MN2=BM2+BN2-2BM·BN·cos∠MBN, 13分
即MN2=(6)2+122-2×6×12×cos 45°=360-144,
所以MN2=360-144. 15分
18.解:(1)由已知及正弦定理得(a+c)(c-a)=b(c-b),
整理得b2+c2-a2=bc. 2分
由余弦定理得cos A===, 3分
因为0(2)由=3,得-=3(-),
即=+, 7分
则=(+)2=+·+ 8分
=c2+bccos+b2=++=, 9分
故||=,即AM的长为. 10分
(3)由△ABC为锐角三角形,得0解得因为=+,设t=,所以=t+.
由正弦定理知,t=====+, 14分
由,故t∈(,2).
设f(t)=t+,t∈(,2), 15分
易知函数f(t)在(,]上单调递减,在(,2)上单调递增,f(t)min=f()=2,f(t)max=max{f(),f(2)}=max{,}=,
故f(t)∈[2,),所以的取值范围是[2,). 17分
19.解:(1)由B(0,2),P(1,2),E为线段BP的中点,知E(,2),
于是=e1+2e2,=e1+2e2. 1分
依题意得|e1|=|e2|=1,=60°,e1·e2=|e1||e2|cos 60°=, 2分
则||==,||==, 3分
·=(e1+2e2)·(e1+2e2)=+3e1·e2+4=6, 4分
故cos<,>===. 5分
(2)由A(2,0),E(,2),得=(-,2).
因为点F在直线OP上,
所以=t=t(e1+2e2)=te1+2te2=(t,2t),t∈R. 7分
又点F在直线AE上,
所以=s,所以=+=+s=(2-s,2s),s∈R, 9分
则2-s=t,且2s=2t,解得t=,因此F(,),即=(,). 10分
(3)因为点M在线段AE上,所以由(2)知M(2-k,2k),k∈[0,1].
又=xe1+ye2,所以M(x,y),即x=2-k,y=2k, 12分
代入x2+y2-λ(x+y)≤4,得(2-k)2+(2k)2-λ(2-k+2k)≤4,
整理得25k2-(24+2λ)k-8λ≤0,k∈[0,1]. 15分
设f(k)=25k2-(24+2λ)k-8λ,则对任意k∈[0,1],f(k)≤0恒成立,
只需即得λ≥.
故λ的取值范围为[,+∞). 17分

展开更多......

收起↑