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陕西宝鸡市凤翔区2025—2026学年度第二学期阶段质量检测七年级数学试题（卷）
一、单选题
1．宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．明天的最高气温将达35℃
B．任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口
C．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上
D．对顶角相等
3．清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码．小郑帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，下列说法正确的是（ ）
A．和互为内错角 B．的同位角只有
C．和互补 D．和互补
7．若，，，则的值为（ ）
A． B．10 C．20 D．25
8．以长方形的四条边为边向外作四个正方形，如图所示，若四个正方形的周长之和为32，面积之和为18，则长方形的面积为（ ）
A． B． C．7 D．5
二、填空题
9．某商场的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖的比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_______．
10．计算：______．
11．已知，则的值为______．
12．若与互余，与互补，且，则__________．
13．综合实践课上，同学们设计摸球试验．在一个不透明的布袋中，装有除颜色外完全相网的个红球和个白球，小明想使摸到白球的概率是，则需要再向袋中加入__________个白球．
14．如图是一个风车，当风车的一片叶子AB旋转到与地面MN平行时，叶子CD与地面MN__________(填“平行”或“不平行”)，理由是________________________________________________________________________．
三、解答题
15．用乘法公式进行简便计算：
(1)；
(2)．
16．计算：
(1)
(2)
17．如图，直线分别交直线，于点M，N．已知，．求证：．
18．化简求值：；其中，．
19．中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，且．求证：．
20．已知：，（图1、图2）．在图2中，以为一边，在的内部作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
21．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（2）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（3）线段PH的长度是点P到______的距离，______是点C到直线OB的距离，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接）．
22．某校举行数学竞赛活动，晓晨和阿进两位同学得分相同，获并列第一名，于是每人可获得准备好的2件奖品中的一件，为了决定谁先选择奖品，并同时检验学生所学的数学知识，数学小组长设计了一个趣味性游戏，游戏规则：将如图1所示的四张扑克牌（方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，晓晨从中随机抽取一张，记下牌面数字；如图2所示的是一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6，阿进掷一次骰子，记下骰子朝上一面的点数．若晓晨记下的牌面数字大于4，则晓晨先挑取奖品，若阿进记下的点数大于4，则阿进先挑取奖品．（结果相同则再来一次）
(1)晓晨从四张扑克牌中随机抽取一张，牌面数字是5的概率是多少？
(2)请用所学知识说明这个游戏对双方是否公平．
23．为了调查某地区九年级学生的身体素质情况，随机抽查了部分九年级学生进行体能测试，并依据其中仰卧起坐测试（次数/分钟）的结果绘制统计图表如下（不完整）：
组别 次数段 频数 频率
1 5 0.1
2 12 0.24
3 a m
4 b n
5 4 0.08
(1)将统计表中的数据补充完整：____，____，_____，_____；
(2)若该地区九年级有12000名学生，请估算该地区九年级每分钟仰卧起坐次数多于45次的学生数；
(3)若测试结果大于60次（含60次）为优秀，需要抽取其中两名同学进行复核，已知优秀的学生中含有2个女生，求恰好抽到同性别学生的概率．
24．如图，已知，于点H，．
(1)请判断与的位置关系，并说明理由；
(2)连接，若，求的度数．
25．如图，点是的中点，点在上，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接和．设，．
(1)用，表示图中阴影部分的面积；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
26．直线，直线与，分别交于点，，（），小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点，分别在直线，上，，．
(1)猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)若的平分线交直线于点．
①如图②，当，时，求α的度数；
②小明将三角板沿直线左右移动，保持，请直接写出的度数．（用含的式子表示）
参考答案
1．C
【详解】解：宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是垂线段最短，
故选：C．
2．D
【详解】解：“对顶角相等”是真命题，发生的可能性为100%，
故选：D．
3．C
【详解】解：数据0.0000084用科学记数法表示为．
4．D
【详解】解：A、，故此选项不符合题意，
B、，故此选项不符合题意，
C、，故此选项不符合题意，
D、，故此选项符合题意，
故选：D．
5．C
【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，
点落在黑色区域的频率稳定在左右，
估计此二维码中黑色区域的面积为．
故选：C．
6．D
【详解】解：和不是内错角，选项A错误；
的同位角有和，选项B错误；
和不平行，故和不互补，选项C错误；
和互为邻补角，互补，选项D正确．
7．D
【详解】解：∵，
又∵，，
已知，，，
代入得，，
∴．
8．A
【详解】解：设长方形长为，宽为，
四个正方形的周长之和为32，
，
化简得，
面积之和为18，
，
化简得，
，
，
故长方形的面积为．
9．三等奖
【详解】解：∵某商场的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖的比为，
∴获一等奖的概率为，
获二等奖的概率为，
获三等奖的概率为．
故获奖可能性最大的奖项是三等奖．
故答案为：三等奖．
10．
【详解】解：
．
11．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．/121度
【详解】解：∵与互余，，
∴，
∵与互补，
∴．
故答案为：．
13．5
【详解】解：设需要再加入个白球，
∴，
解得，，
检验，当时，原方程有意义，
∴需要再加入个白球，
故答案为：5 ．
14． 不平行 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【详解】AB与CD有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得AB不能同时与地面EF平行．
故答案是：不平行, 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
15．(1)
(2)
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．见解析
【详解】解：∵，
∴，
又，
∴，
∴．
18．，
【详解】解：原式
，
将，代入得：
原式
．
19．见解析
【详解】证明：如图，延长交于点，
∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴，
又∵，
∴,
∴．
20．见解析
【详解】解：如图所示，即为所求：
21．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）OA，PC的长度，PH＜PC＜OC．
【详解】(1)如图所示；
(2)如图所示；
(3) 线段PH的长度是点P到OA的距离，PC的长度是点C到直线OB的距离，根据垂线段最短可知PH＜PC＜OC；
故答案为：OA，PC，PH＜PC＜OC．
22．(1)
(2)不公平，见解析
【详解】（1）解：因为四张扑克牌为方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5，
所以晓晨从四张扑克牌中随机抽取一张，牌面数字是5的概率是；
（2）解：这个游戏对双方不公平．理由如下：
因为晓晨先挑取奖品的概率，阿进先挑取奖品的概率，
所以晓晨先挑取奖品的概率阿进先挑取奖品的概率，所以这个游戏对双方不公平．
23．(1)17；13；0.32；0.26
(2)4080人
(3)
【详解】（1）解：由题意得：，总人数人
∴，，
∴；
（2）解：由题意得：人，
∴该地区九年级每分钟仰卧起坐次数多于45次的学生数4080人；
（3）解：∵优秀的人数总共有4人，其中女生有两人，则男生也有两人，
∴一共有（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）四种等可能的结果数，
∴抽取两个学生是同性别的概率 ．
24．(1)，理由见解析
(2)
【详解】（1）解：，理由如下：
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以．
所以；
（2）解：因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以．
25．(1)阴影部分的面积为：
(2)
【详解】（1）∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵阴影部分的面积为：正方形和正方形的面积和，减去的面积，再减去的面积，
∴阴影部分的面积为：，
∵，，
∴阴影部分的面积为：．
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：．
26．(1)，理由见解析
(2)①；②或
【详解】（1）解：，理由如下：
过点作，如图①所示：
，
，
，，
；
（2）①，，，
，
，，
平分，
，
，
，
；
②将三角板沿直线左右移动，
有以下两种情况：
（ⅰ）当点在点的右侧时，如图②所示：
，，，
，
，
，
平分，
，
，
；
（ⅱ）当点在点的左侧时，如图③所示：
，，，
，
，
，
，，
，
平分，
，
．
综上所述：的度数为或．

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