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苏科版数学八年级下学期期末仿真模拟试卷一
一、选择题：每小题2分，共6小题，共12分。
1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各式正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．为推进垃圾分类，推动绿色发展，宜宾天原化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用万元购买甲型机器人比用万元购买乙型机器人的台数少一台，两种型号机器人的单价和为万元．若设乙型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．若 则 的值是(　　)
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
二、填空题：每小题2分，共20分。
7．某校开展“保护视力，预防近视”活动，为了解八年级600名学生的视力状况，从中随机抽取了80名学生进行问卷调查，此次调查中，样本容量是　 　．
8．小丽掷一枚质地均匀的硬币 次，有 次正面朝上，当她掷第 次时，正面朝上的概率为　 　.
9．因式分解：=　 　。
10．如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都等于2，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都不变，则这两个正方形重叠部分的面积为　 　．
11．如图，已知△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，CD的中点，连结DE，EF，BF，若四边形BDEF的面积为6，则△ABC的面积为　 　。
12．若关于 x 的分式方程 的解为非负数，且整数a≤5，则 的值为　 　.
13．若关于x的方程=2的解为正数，则m的取值范围是　 　 ．
14． 若数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 　 　 .
15．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，BE∥AD， 梯形ABCD的周长为26，DE=4，则△DEC的周长为　 　．
16．若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为　 　．
三、解答题：共11小题，共88分。
17．因式分解：
（1）
（2）
18．解方程：
（1）
（2）
19．计算：
（1）
（2）
20．如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，，E是CD的中点，连结 AE.
（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形.
（2）若AC=4，AD=4，求四边形 ABCE 的面积.
21．在对进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧。下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务。
小深： 原式第一步 第二步 =5（a+b）（a-b）。 第三步 小圳： 原式=（3a+2b+2a+3b）（3a+2b-2a+3b）第一步 =（5a+5b）（a+5b） 第二步 =5（a+b）（a+5b）。 第三步
任务：
（1）　 　（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第　 　步开始出现错误。
（2）按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程。
22．某班级组织学生参加研学活动，计划租用一辆客车，租金为1000元，乘车费用进行均摊.出发前部分学生因有事不能参加，实际参加的人数是原计划的，结果每名学生比原计划多付5元车费，实际有多少名学生参加了研学活动？
23．如图，从一个大正方形中截去面积分别为x2和y2的两个小正方形（空白部分）．已知x=2-，y=2+，求留下阴影部分面积．
24．如图，菱形的对角线与相交于点O，若，，求的长．
25． 2026年清明假期，长沙岳麓山、橘子洲等各大景区游客量大幅攀升，文旅氛围浓厚。某商家抢抓文旅机遇，购进岳麓山纪念徽章和橘子洲纪念钥匙扣两款特色文创，深受游客及本地学生喜爱。已知每个橘子洲纪念钥匙扣的进价比每枚岳麓山纪念徽章贵5元，且用300元购进岳麓山纪念徽章的数量，与用450元购进橘子洲纪念钥匙扣的数量相等。
（1）求每枚岳麓山纪念徽章和每个橘子洲纪念钥匙扣的进价各是多少元
（2）该商家计划购进两种文创产品共50件，要求橘子洲纪念钥匙扣的件数不低于25件，且总进货费用不超过635元，则有哪几种购买方案 请将购买方案列举出来。
26．如图，某农家乐有一块矩形空地 ABCD，矩形空地的长 BC为 宽 AB为 现要在空地中划出一块矩形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分)，其余部分种植蔬菜，矩形小鱼塘的长为（ 宽为
（1）矩形 ABCD的周长是多少 （结果化为最简二次根式)
（2）若市场上某种蔬菜 9元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产 10千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元
27．如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点B作BG⊥AE于点G，延长BG至点F，使∠CFB=45°。
（1）求证：AG═FG。
（2）如图2，延长FC，AE交于点M，连结DF，BM，若C为FM的中点，BM=10，求FD的长。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A： 中，式子5-不是整式，所以A不是因式分解；
B：（b-1）2=b2-2b+1，所以左右两边不相等，所以B不是因式分解；C：右边不是积的形式，所以C不是因式分解；
D ：符合因式分解的定义，所以D是因式分解。
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，逐项进行分析，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：A、根据分式的基本性质应该分子和分母都除以b，故本选项错误；
故本选项错误；
故本选项错误；
正确.
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，正确，符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，不能合并，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵矩形中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，对边相等可得，进而可得，利用全等三角形的面积相等得出，从而进一步求解即可.
5．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设乙型机器人每台万元，则甲型机器人每台万元，根据题意，可得．
故答案为：B.
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据题意得 得甲型机器人每台万元， 根据用460万元购买甲型机器人比用580万元购买乙型机器人的台数少一台，列出分式方程即可．
6．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：二次根式有意义的条件可得：
两边平方，得
故答案为：C.
【分析】先根据二次根式有意义的条件可得： 即可得出： ，由此可得|202 进而可得： 整理得：两边平方进而得出答案.
7．【答案】80
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：∵抽取了80名学生进行问卷调查，
∴样本容量为80，
故答案为：80．
【分析】样本容量是指一个样本中所包含的个体数目，一般用n表示。本题中抽取了80名学生进行问卷调查，因此样本容量为80。
8．【答案】
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】小丽掷一枚质地均匀的硬币10次，有8次正面朝上，当她掷第11次时，正面朝上的概率为 .
故答案为： .
【分析】根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），可得答案.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：=2a(x2-2y2)=2a(x+2y)(x-2y).
故答案为：2a(x+2y)(x-2y)
【分析】首先提取公因式2a，进而再根据平方差公式即可得出因式分解的结果。
10．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OA，OA⊥OB，∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠EOB+∠EOA=90°，
∵∠C1OA1=90°，
∴∠C1OB+∠BOA1=90°，
∴∠FOB=∠EOA，
∴△FOB≌△EOA，
∴，
∴这两个正方形重叠部分的面积为，
故答案为：1
【分析】先根据正方形的性质得到OB=OA，OA⊥OB，∠OAB=∠OBA=45°，进而结合题意即可得到∠FOB=∠EOA，再运用三角形全等的判定与性质证明△FOB≌△EOA即可得到，然后结合题意进行运算即可求解。
11．【答案】16
【知识点】三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点F是CD的中点，
设
∵D、E分别是AB、AC的中点，
x，
故答案为：16.
【分析】设 由三角形的面积关系得 ， 则 求出x=2，即可解决问题.
12．【答案】
【知识点】已知分式方程的解求参数；分式的化简求值-择值代入
【解析】【解答】解：
2(2x-a)=x-2
4x-2a=x-2
3x=2a-2
∵分式方程 的解为非负数
且a整数
化简
故答案为：.
【分析】根据分式方程的解为非负数得到a可以取的整数值，然后根据分式有意义的条件得到a=5，然后化简代入计算即可.
13．【答案】m＜6且m≠0
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵关于x的方程=2有解，
∴x﹣2≠0，
∴x≠2，
去分母得：2﹣x﹣m=2（x﹣﹣2），
即x=2﹣，
根据题意得：2﹣＞0且2﹣≠2，
解得：m＜6且m≠0．
故答案是：m＜6且m≠0．
【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
14．【答案】-b
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据数轴可知：，
所以，，
所以，
．
故答案为：-b.
【分析】根据数轴上点的位置可得a15．【答案】18
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥DC，BE∥AD，
∴四边形ADEB是平行四边形，
∴AD=BE，AB=DE，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BC=AD，
∵梯形ABCD的周长为26，
∴AD+CD+BC+AB=AD+DE+EC+BC+AB=BE+2DE+EC+BC=26，
∵DE=4，
∴BE+EC+BC=18．
故答案为：18.
【分析】先证出四边形ADEB是平行四边形，利用平行四边形的性质可得AD=BE，AB=DE，再利用等腰梯形的性质和等量代换可得BC=AD，再利用梯形的周长公式及等量代换可得AD+CD+BC+AB=AD+DE+EC+BC+AB=BE+2DE+EC+BC=26，最后求出BE+EC+BC=18即可．
16．【答案】5
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解方程得
依题得且为整数，，
且为3的倍数，，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
，
解得，
，且，
为3的倍数，
∴当时，，
当时，，
当时，（舍去），
当时，（舍去），
的值为1或4，
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：5．
【分析】根据题意先求出且为3的倍数，，再求出，且，最后计算求解即可.
17．【答案】（1）解：原式：
（2）解：原式：
=(a+b)(a-b)(m-n)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）根据提公因式，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
（2）根据提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
18．【答案】（1）解：去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴原方程的根为：
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
经检验：是增根，
∴原方程无解；
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）方程两边同乘以去掉分母，化为整式方程为，再解整式方程并检验即可；
（2）方程两边同乘以去掉分母，化为整式方程为，再解整式方程并检验即可；
（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴原方程的根为：
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
解得：，
经检验：是增根，
∴原方程无解；
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）本小题主要考查二次根式的混合运算.先算除法：；再化简，最后计算减法（合并同类项）；
（2）本题主要考查平方差公式在二次根式乘法中的应用.平方差公式为，可将写成（方便计算），利用公式直接计算即可得出结果.
20．【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠ACD=90°
∴AB∥CE
∵AB=CD，点E是CD的中点
∴AB=CE
∴四边形ABCE是平行四边形
（2）解：∵∠ACD=90°，AC=4，AD=
∴CD==4
∴S△ACD=×4×4=8
∵点E是CD的中点
∴S△ACE=S△AED
∵四边形ABCE是平行四边形，AC是其对角线
∴S△ABC=S△ACE
∴S四边形ABCE=2S△ACE=S△ACD=8
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行，可得AB∥CE；根据线段中点性质和等量代换原则，可得AB=CE；根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得ABCE是平行四边形；
（2）根据勾股定理，可得CD的值；根据三角形的面积公式，可得三角形ACD的面积；根据直角三角形直角边的中点将三角形分为面积相等的两部分，可得S△ACE=S△AED；根据平行四边形的对角线将其分为面积相等的两部分，可得S△ABC=S△ACE；进而可得四边形ABCE的面积.
21．【答案】（1）小圳；一
（2）原式
。
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： 小圳 的解答错误，
原式=（3a+2b+2a+3b）[(3a+2b)-(2a+3b）]=（3a+2b+2a+3b）( 3a+2b-2a-3b)
所以从第一步开始出现错误。
故第1空答案为：小圳；第1空答案为：一；
【分析】（1）通过检查可以发现小圳在应用平方差公式的时候，第一步出现了符号错误，即可得出答案；
（2）根据（1）检查的结果，把符号错误改过来，然后合并同类项，并进一步通过提取公因式，得出最后结果。
22．【答案】解：设计划有名学生参加研学活动，由题意得
.
解得，.
经检验，是原方程的解.
所以，.
答：实际有40名学生参加了研学活动.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题考察分式方程在实际问题中的应用. 先设原计划参加人数为，分别表示出原计划人均车费与实际人均车费；根据“实际人均车费-原计划人均车费=5元”这一等量关系列分式方程，求解后需检验解是否符合实际意义，最后计算实际参加人数.
23．【答案】解：∵截去的两个小正方形的面积是x2和y2，
∴小正方形的两个边长分别是x和y，
∴大正方形的面积是，
∴阴影部分面积是：，
，
∴阴影部分面积是：．
【知识点】二次根式的实际应用；正方形的性质
【解析】【分析】根据正方形面积可得小正方形的两个边长分别是x和y，大正方形的面积是，再根据阴影部分面积=大正方形面积-两个小正方形面积建立代数式，再将x，y值代入即可求出答案.
24．【答案】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
在中，根据勾股定理，
得：，
∴，
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的性质得，，，再根据勾股定理即可求出答案.
25．【答案】（1）解：设每枚岳麓山纪念徽章的进价为x元，则每个橘子洲纪念钥匙扣的进价(x+5)元，由题意可得，
解得x=10，
检验，当x=10 时， x(x+5)≠0，所以，原分式方程的解是x=10，
每个橘子洲纪念钥匙扣的进价是：10+5=15 (元)
答：每枚岳麓山纪念徽章的进价10元，每个橘子洲纪念钥匙扣的进价是15元
（2）解：设购买了a枚岳麓山纪念徽章，则购买了(50-a)个橘子洲纪念钥匙扣，由题意可得，
解得23≤a≤25，
∵a为整数，
∴a=23，24，25，
∴有三种购买方案：
方案一：购买23枚岳麓山纪念徽章，27个橘子洲纪念钥匙扣；
方案二：购买24枚岳麓山纪念徽章，26个橘子洲纪念钥匙扣；
方案三：购买25枚岳麓山纪念徽章，25个橘子洲纪念钥匙扣.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每枚岳麓山纪念徽章的进价为元，则每个橘子洲纪念钥匙扣的进价为元，根据“ 用300元购进岳麓山纪念徽章的数量，与用450元购进橘子洲纪念钥匙扣的数量相等 ”，列分式方程求出x的值并检验解答即可；
（2）设购进橘子洲纪念钥匙扣件，则购进岳麓山纪念徽章件，根据“ 橘子洲纪念钥匙扣的件数不低于25件，且总进货费用不超过635元 ”列不等式组，求出m的正整数解得到方案即可．
26．【答案】（1）解：由题意得，长方形ABCD的周长＝2×(＋)＝2×(6＋4)＝（m）；
答：长方形ABCD的周长是m；
（2）解：由题意得，蔬菜地的面积＝× （)()
＝48 （10 1）＝39（m2），
∴销售收入＝39×9×10＝3510（元）．
答：如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为3510元．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解；
（2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解．
27．【答案】（1）证明：如图1，过点C作CH⊥BF于点H。
∵∠CFB=45°，
∴CH=HF。
∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°，
∴∠BAG=∠FBE。
∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB=∠BHC=90°。
又∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC。
∴△AGB≌△BHC(AAS)。
∴AG=BH，BG=CH。
∵BH=BG+GH，
∴BH=CH+GH=HF+GH=FG。
∴AG=FG
（2）解：如图2，过点C作CH⊥BF于点 H，过点B作BK⊥CM于点K，过点D作DQ⊥MF交MF延长线于点Q。
∵CH⊥GF，BG⊥AE，
∴CH∥GM。
∵C为FM的中点，
在 Rt△BGM 中 ，
解得. (负值已舍)。
∵∠CFB=45°，BG⊥AE，
∴GF=GM=4
∵C为FM的中点，
∵AG=FG，
∴AG=CM。
∴BM=AB=BC。
∵BK⊥CM，DQ⊥MF，
∵∠BCK+∠DCQ=∠BCK+∠CBK=90°，
∴∠CBK=∠DCQ。
∵BC=CD，
∴△BCK≌△CDQ(AAS)。
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)过C点作CH⊥BF于H点，根据已知条件可证明△AGB≌△BHC， 所以AG=BH，BG=CH， 又因为BH=BG+GH， 所以可得BH=HF+GH=FG， 进而证明AG=FG；
(2) 过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，根据勾股定理求出BG和FM的长，然后推理得到BM=AB=BC，再根据勾股定理求出BK长，利用AAS得到△BCK≌△CDQ，即可得到，根据勾股定理求出DF长即可.
1 / 1苏科版数学八年级下学期期末仿真模拟试卷一
一、选择题：每小题2分，共6小题，共12分。
1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A： 中，式子5-不是整式，所以A不是因式分解；
B：（b-1）2=b2-2b+1，所以左右两边不相等，所以B不是因式分解；C：右边不是积的形式，所以C不是因式分解；
D ：符合因式分解的定义，所以D是因式分解。
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，逐项进行分析，即可得出答案。
2．下列各式正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：A、根据分式的基本性质应该分子和分母都除以b，故本选项错误；
故本选项错误；
故本选项错误；
正确.
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，正确，符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，不能合并，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
4．如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵矩形中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，对边相等可得，进而可得，利用全等三角形的面积相等得出，从而进一步求解即可.
5．为推进垃圾分类，推动绿色发展，宜宾天原化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用万元购买甲型机器人比用万元购买乙型机器人的台数少一台，两种型号机器人的单价和为万元．若设乙型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设乙型机器人每台万元，则甲型机器人每台万元，根据题意，可得．
故答案为：B.
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据题意得 得甲型机器人每台万元， 根据用460万元购买甲型机器人比用580万元购买乙型机器人的台数少一台，列出分式方程即可．
6．若 则 的值是(　　)
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：二次根式有意义的条件可得：
两边平方，得
故答案为：C.
【分析】先根据二次根式有意义的条件可得： 即可得出： ，由此可得|202 进而可得： 整理得：两边平方进而得出答案.
二、填空题：每小题2分，共20分。
7．某校开展“保护视力，预防近视”活动，为了解八年级600名学生的视力状况，从中随机抽取了80名学生进行问卷调查，此次调查中，样本容量是　 　．
【答案】80
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：∵抽取了80名学生进行问卷调查，
∴样本容量为80，
故答案为：80．
【分析】样本容量是指一个样本中所包含的个体数目，一般用n表示。本题中抽取了80名学生进行问卷调查，因此样本容量为80。
8．小丽掷一枚质地均匀的硬币 次，有 次正面朝上，当她掷第 次时，正面朝上的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】小丽掷一枚质地均匀的硬币10次，有8次正面朝上，当她掷第11次时，正面朝上的概率为 .
故答案为： .
【分析】根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），可得答案.
9．因式分解：=　 　。
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：=2a(x2-2y2)=2a(x+2y)(x-2y).
故答案为：2a(x+2y)(x-2y)
【分析】首先提取公因式2a，进而再根据平方差公式即可得出因式分解的结果。
10．如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都等于2，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都不变，则这两个正方形重叠部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OA，OA⊥OB，∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠EOB+∠EOA=90°，
∵∠C1OA1=90°，
∴∠C1OB+∠BOA1=90°，
∴∠FOB=∠EOA，
∴△FOB≌△EOA，
∴，
∴这两个正方形重叠部分的面积为，
故答案为：1
【分析】先根据正方形的性质得到OB=OA，OA⊥OB，∠OAB=∠OBA=45°，进而结合题意即可得到∠FOB=∠EOA，再运用三角形全等的判定与性质证明△FOB≌△EOA即可得到，然后结合题意进行运算即可求解。
11．如图，已知△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，CD的中点，连结DE，EF，BF，若四边形BDEF的面积为6，则△ABC的面积为　 　。
【答案】16
【知识点】三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点F是CD的中点，
设
∵D、E分别是AB、AC的中点，
x，
故答案为：16.
【分析】设 由三角形的面积关系得 ， 则 求出x=2，即可解决问题.
12．若关于 x 的分式方程 的解为非负数，且整数a≤5，则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】已知分式方程的解求参数；分式的化简求值-择值代入
【解析】【解答】解：
2(2x-a)=x-2
4x-2a=x-2
3x=2a-2
∵分式方程 的解为非负数
且a整数
化简
故答案为：.
【分析】根据分式方程的解为非负数得到a可以取的整数值，然后根据分式有意义的条件得到a=5，然后化简代入计算即可.
13．若关于x的方程=2的解为正数，则m的取值范围是　 　 ．
【答案】m＜6且m≠0
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵关于x的方程=2有解，
∴x﹣2≠0，
∴x≠2，
去分母得：2﹣x﹣m=2（x﹣﹣2），
即x=2﹣，
根据题意得：2﹣＞0且2﹣≠2，
解得：m＜6且m≠0．
故答案是：m＜6且m≠0．
【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
14． 若数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 　 　 .
【答案】-b
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据数轴可知：，
所以，，
所以，
．
故答案为：-b.
【分析】根据数轴上点的位置可得a15．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，BE∥AD， 梯形ABCD的周长为26，DE=4，则△DEC的周长为　 　．
【答案】18
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥DC，BE∥AD，
∴四边形ADEB是平行四边形，
∴AD=BE，AB=DE，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BC=AD，
∵梯形ABCD的周长为26，
∴AD+CD+BC+AB=AD+DE+EC+BC+AB=BE+2DE+EC+BC=26，
∵DE=4，
∴BE+EC+BC=18．
故答案为：18.
【分析】先证出四边形ADEB是平行四边形，利用平行四边形的性质可得AD=BE，AB=DE，再利用等腰梯形的性质和等量代换可得BC=AD，再利用梯形的周长公式及等量代换可得AD+CD+BC+AB=AD+DE+EC+BC+AB=BE+2DE+EC+BC=26，最后求出BE+EC+BC=18即可．
16．若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为　 　．
【答案】5
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解方程得
依题得且为整数，，
且为3的倍数，，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
，
解得，
，且，
为3的倍数，
∴当时，，
当时，，
当时，（舍去），
当时，（舍去），
的值为1或4，
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：5．
【分析】根据题意先求出且为3的倍数，，再求出，且，最后计算求解即可.
三、解答题：共11小题，共88分。
17．因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式：
（2）解：原式：
=(a+b)(a-b)(m-n)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）根据提公因式，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
（2）根据提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
18．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴原方程的根为：
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
经检验：是增根，
∴原方程无解；
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）方程两边同乘以去掉分母，化为整式方程为，再解整式方程并检验即可；
（2）方程两边同乘以去掉分母，化为整式方程为，再解整式方程并检验即可；
（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴原方程的根为：
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
解得：，
经检验：是增根，
∴原方程无解；
19．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）本小题主要考查二次根式的混合运算.先算除法：；再化简，最后计算减法（合并同类项）；
（2）本题主要考查平方差公式在二次根式乘法中的应用.平方差公式为，可将写成（方便计算），利用公式直接计算即可得出结果.
20．如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，，E是CD的中点，连结 AE.
（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形.
（2）若AC=4，AD=4，求四边形 ABCE 的面积.
【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠ACD=90°
∴AB∥CE
∵AB=CD，点E是CD的中点
∴AB=CE
∴四边形ABCE是平行四边形
（2）解：∵∠ACD=90°，AC=4，AD=
∴CD==4
∴S△ACD=×4×4=8
∵点E是CD的中点
∴S△ACE=S△AED
∵四边形ABCE是平行四边形，AC是其对角线
∴S△ABC=S△ACE
∴S四边形ABCE=2S△ACE=S△ACD=8
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行，可得AB∥CE；根据线段中点性质和等量代换原则，可得AB=CE；根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得ABCE是平行四边形；
（2）根据勾股定理，可得CD的值；根据三角形的面积公式，可得三角形ACD的面积；根据直角三角形直角边的中点将三角形分为面积相等的两部分，可得S△ACE=S△AED；根据平行四边形的对角线将其分为面积相等的两部分，可得S△ABC=S△ACE；进而可得四边形ABCE的面积.
21．在对进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧。下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务。
小深： 原式第一步 第二步 =5（a+b）（a-b）。 第三步 小圳： 原式=（3a+2b+2a+3b）（3a+2b-2a+3b）第一步 =（5a+5b）（a+5b） 第二步 =5（a+b）（a+5b）。 第三步
任务：
（1）　 　（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第　 　步开始出现错误。
（2）按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程。
【答案】（1）小圳；一
（2）原式
。
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： 小圳 的解答错误，
原式=（3a+2b+2a+3b）[(3a+2b)-(2a+3b）]=（3a+2b+2a+3b）( 3a+2b-2a-3b)
所以从第一步开始出现错误。
故第1空答案为：小圳；第1空答案为：一；
【分析】（1）通过检查可以发现小圳在应用平方差公式的时候，第一步出现了符号错误，即可得出答案；
（2）根据（1）检查的结果，把符号错误改过来，然后合并同类项，并进一步通过提取公因式，得出最后结果。
22．某班级组织学生参加研学活动，计划租用一辆客车，租金为1000元，乘车费用进行均摊.出发前部分学生因有事不能参加，实际参加的人数是原计划的，结果每名学生比原计划多付5元车费，实际有多少名学生参加了研学活动？
【答案】解：设计划有名学生参加研学活动，由题意得
.
解得，.
经检验，是原方程的解.
所以，.
答：实际有40名学生参加了研学活动.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题考察分式方程在实际问题中的应用. 先设原计划参加人数为，分别表示出原计划人均车费与实际人均车费；根据“实际人均车费-原计划人均车费=5元”这一等量关系列分式方程，求解后需检验解是否符合实际意义，最后计算实际参加人数.
23．如图，从一个大正方形中截去面积分别为x2和y2的两个小正方形（空白部分）．已知x=2-，y=2+，求留下阴影部分面积．
【答案】解：∵截去的两个小正方形的面积是x2和y2，
∴小正方形的两个边长分别是x和y，
∴大正方形的面积是，
∴阴影部分面积是：，
，
∴阴影部分面积是：．
【知识点】二次根式的实际应用；正方形的性质
【解析】【分析】根据正方形面积可得小正方形的两个边长分别是x和y，大正方形的面积是，再根据阴影部分面积=大正方形面积-两个小正方形面积建立代数式，再将x，y值代入即可求出答案.
24．如图，菱形的对角线与相交于点O，若，，求的长．
【答案】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
在中，根据勾股定理，
得：，
∴，
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的性质得，，，再根据勾股定理即可求出答案.
25． 2026年清明假期，长沙岳麓山、橘子洲等各大景区游客量大幅攀升，文旅氛围浓厚。某商家抢抓文旅机遇，购进岳麓山纪念徽章和橘子洲纪念钥匙扣两款特色文创，深受游客及本地学生喜爱。已知每个橘子洲纪念钥匙扣的进价比每枚岳麓山纪念徽章贵5元，且用300元购进岳麓山纪念徽章的数量，与用450元购进橘子洲纪念钥匙扣的数量相等。
（1）求每枚岳麓山纪念徽章和每个橘子洲纪念钥匙扣的进价各是多少元
（2）该商家计划购进两种文创产品共50件，要求橘子洲纪念钥匙扣的件数不低于25件，且总进货费用不超过635元，则有哪几种购买方案 请将购买方案列举出来。
【答案】（1）解：设每枚岳麓山纪念徽章的进价为x元，则每个橘子洲纪念钥匙扣的进价(x+5)元，由题意可得，
解得x=10，
检验，当x=10 时， x(x+5)≠0，所以，原分式方程的解是x=10，
每个橘子洲纪念钥匙扣的进价是：10+5=15 (元)
答：每枚岳麓山纪念徽章的进价10元，每个橘子洲纪念钥匙扣的进价是15元
（2）解：设购买了a枚岳麓山纪念徽章，则购买了(50-a)个橘子洲纪念钥匙扣，由题意可得，
解得23≤a≤25，
∵a为整数，
∴a=23，24，25，
∴有三种购买方案：
方案一：购买23枚岳麓山纪念徽章，27个橘子洲纪念钥匙扣；
方案二：购买24枚岳麓山纪念徽章，26个橘子洲纪念钥匙扣；
方案三：购买25枚岳麓山纪念徽章，25个橘子洲纪念钥匙扣.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每枚岳麓山纪念徽章的进价为元，则每个橘子洲纪念钥匙扣的进价为元，根据“ 用300元购进岳麓山纪念徽章的数量，与用450元购进橘子洲纪念钥匙扣的数量相等 ”，列分式方程求出x的值并检验解答即可；
（2）设购进橘子洲纪念钥匙扣件，则购进岳麓山纪念徽章件，根据“ 橘子洲纪念钥匙扣的件数不低于25件，且总进货费用不超过635元 ”列不等式组，求出m的正整数解得到方案即可．
26．如图，某农家乐有一块矩形空地 ABCD，矩形空地的长 BC为 宽 AB为 现要在空地中划出一块矩形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分)，其余部分种植蔬菜，矩形小鱼塘的长为（ 宽为
（1）矩形 ABCD的周长是多少 （结果化为最简二次根式)
（2）若市场上某种蔬菜 9元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产 10千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元
【答案】（1）解：由题意得，长方形ABCD的周长＝2×(＋)＝2×(6＋4)＝（m）；
答：长方形ABCD的周长是m；
（2）解：由题意得，蔬菜地的面积＝× （)()
＝48 （10 1）＝39（m2），
∴销售收入＝39×9×10＝3510（元）．
答：如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为3510元．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解；
（2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解．
27．如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点B作BG⊥AE于点G，延长BG至点F，使∠CFB=45°。
（1）求证：AG═FG。
（2）如图2，延长FC，AE交于点M，连结DF，BM，若C为FM的中点，BM=10，求FD的长。
【答案】（1）证明：如图1，过点C作CH⊥BF于点H。
∵∠CFB=45°，
∴CH=HF。
∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°，
∴∠BAG=∠FBE。
∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB=∠BHC=90°。
又∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC。
∴△AGB≌△BHC(AAS)。
∴AG=BH，BG=CH。
∵BH=BG+GH，
∴BH=CH+GH=HF+GH=FG。
∴AG=FG
（2）解：如图2，过点C作CH⊥BF于点 H，过点B作BK⊥CM于点K，过点D作DQ⊥MF交MF延长线于点Q。
∵CH⊥GF，BG⊥AE，
∴CH∥GM。
∵C为FM的中点，
在 Rt△BGM 中 ，
解得. (负值已舍)。
∵∠CFB=45°，BG⊥AE，
∴GF=GM=4
∵C为FM的中点，
∵AG=FG，
∴AG=CM。
∴BM=AB=BC。
∵BK⊥CM，DQ⊥MF，
∵∠BCK+∠DCQ=∠BCK+∠CBK=90°，
∴∠CBK=∠DCQ。
∵BC=CD，
∴△BCK≌△CDQ(AAS)。
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)过C点作CH⊥BF于H点，根据已知条件可证明△AGB≌△BHC， 所以AG=BH，BG=CH， 又因为BH=BG+GH， 所以可得BH=HF+GH=FG， 进而证明AG=FG；
(2) 过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，根据勾股定理求出BG和FM的长，然后推理得到BM=AB=BC，再根据勾股定理求出BK长，利用AAS得到△BCK≌△CDQ，即可得到，根据勾股定理求出DF长即可.
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