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广西钦州市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数中含有能开得尽方的因数4，故选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故选项符合题意；
C、被开方数是分数，故选项不符合题意；
D、被开方数中含有能开得尽方的因数，故选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．如图，四边形是菱形，已知，则菱形的周长为（　　）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长为，
故选：A．
【分析】根据菱形的性质即可求出答案.
3．下列关系中，y不是x的函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、，符合函数的定义，本选项不符合题意；
B、，符合函数的定义，本选项不符合题意；
C、，符合函数的定义，本选项不符合题意；
D、，当时，对于一个确定的x的值，y都有两个值与之对应，不符合函数的定义，本选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（　　）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】B
【知识点】等式的基本性质；逆命题
【解析】【解答】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，
故选：B．
【分析】将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题．
5．如图，要测量A，B两点间的距离，在O点设桩，取的中点C和的中点D，测得，则A，B的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵C，D是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：A
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
6．以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．，，2 C．6，8，14 D．，2，
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、，不能构成直角三角形，选项错误；
B、，能构成直角三角形，选项正确；
C、，不能构成直角三角形，选项错误；
D、，不能构成直角三角形，选项错误；
故选：B．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
7．某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语，听力，笔试得分按的比例计入总分来确定学生的英语成绩，小李的口语、听力、笔试得分分别为分，分，分，则小李的英语成绩是（　　）
A．分 B．分 C．分 D．分
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：（分）
∴小李的英语成绩是分．
故选：C．
【分析】根据加权平均数即可求出答案.
8．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：当时，，
即从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为，
故选：A．
【分析】将h=90代入公式，结合二次根式性质化简即可求出答案.
9．如图，已知正方形ABCD的面积为3，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以AC的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（　　）
A．1.5 B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为，且，
∴，
∴，
∵点A表示的数是，
且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为．
故选：D．
【分析】根据正方形面积可得AB，根据勾股定理可得AC，再根据数轴上两点间距离，结合点的位置即可求出答案.
10．已知，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，
故选：C．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
11．如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列添加的条件错误的是（　　）
A．①有一个角是直角 B．②有一组邻边相等
C．③对角线相等 D．④有一个角是直角
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：解：A、有一个角为直角的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；不符合题意；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法不正确，符合题意；
D、有一个角为直角的菱形是正方形，正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据矩形，菱形，正方形判定定理即可求出答案.
12．如图，正方形中，动点P从点B出发沿折线做匀速运动，到A点停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间函数图象如右图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．正方形的边长为8
B．当时，
C．当时，
D．点P运动的路程越大，的面积越大
【答案】C
【知识点】正方形的性质；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：结合函数图象的两个拐点位置可知正方形的边长为4，故A选项错误；
如图，当时，图象经过和，
设直线的解析式为，
把代入，得，解得，
所以当时，，故B选项错误；
当时，图象经过和，
设直线的解析式为，
把和代入，得解得
所以直线的解析式为，故C选项正确；
根据函数图象可知，点P运动的路程越大，的面积是先增大，后不变，最后变小，故D选项错误．
故选：C．
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．如图，在中，已知，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴；
故答案为：．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
14．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意可得：a-5≥0，
解得：a≥5，
故答案为：a≥5.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
15．数据3，3，4，1，9的方差等于　 　．
【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：数据3，3，4，1，9的平均数为：
，
则数据3，3，4，1，9的方差为：
．
故答案为：．
【分析】根据平均数，方差的定义即可求出答案.
16．如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入，得：，
由图象可知，的解集为；
故答案为：
【分析】将点A坐标代入解析式可得m=2，当函数的图象在函数的图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，共72分．请将答案写在答题卡上．）
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的混合运算即可求出答案.
（2）根据平方差公式，二次根式性质化简，再计算加减即可求出答案.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18． “粮食安全是国之大者”，某校组织八年级各班派出选手参加“粮食安全与农作物”知识测试（满分100分），八（1）班和八（2）班各自选出的5名选手的成绩如图表所示：
班级 平均数/分 中位数/分 众数/分
八（1）班 85 a 85
八（2）班 85 80 b
（1）根据图示直接写出a，b的值；
（2）哪个班的成绩比较好？请进行分析；
（3）已知八（1）班和八（2）班的复赛成绩的方差分别是70，160，哪个班的成绩比较稳定？
（4）根据上面10个选手的成绩，估计八年级共90名选手成绩在80分以上（含80分）的人数．
【答案】（1）；
（2）解：两个班的平均成绩相同，而八（1）班成绩中位数较大，
所以八（1）班成绩较好．（答案不唯一）
（3）解：因为八（1）班和八（2）班的成绩的方差分别是70，160，且，
所以八（1）班的成绩更稳定．
（4）解：（人）．
答：选手成绩在80分以上的人数估计有63人．
【知识点】中位数；方差；众数；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：把八（1）班的5名选手的成绩按照从低到高的顺序排列为：75分，80分，85分，85分，100分，
∴八（1）班的5名选手的成绩的中位数为85分，即；
∵八（2）班的5名选手的成绩中得分为100分的人数最多，
∴八（2）班的5名选手的成绩的众数为100分，即；
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（2）根据各统计量的意义即可求出答案.
（3）方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.
（4）根据90乘以80分以上的人数占比即可求出答案.
（1）解：把八（1）班的5名选手的成绩按照从低到高的顺序排列为：75分，80分，85分，85分，100分，
∴八（1）班的5名选手的成绩的中位数为85分，即；
∵八（2）班的5名选手的成绩中得分为100分的人数最多，
∴八（2）班的5名选手的成绩的众数为100分，即；
（2）解：两个班的平均成绩相同，而八（1）班成绩中位数较大，
所以八（1）班成绩较好．（答案不唯一）
（3）解：因为八（1）班和八（2）班的成绩的方差分别是70，160，且，
所以八（1）班的成绩更稳定．
（4）解：（人）．
答：选手成绩在80分以上的人数估计有63人．
19．如图，在一条东西走向的省级干线公路l的一侧有一村庄P，由P原有两条笔直小路与l相连接，其中，由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该村的乡村产业振兴小组为方便村民运输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路（A，C，B在同一条直线上），测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明：
（2）求原来的路线的长．
【答案】（1）解：是；
理由是：在中，
，，
，
是直角三角形，
，
是从村庄P到l的最近路；
（2）解：设，则，
在中，，
，
解得：，
答：原来的路线PA的长为8.45千米．
【知识点】垂线段最短及其应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理，结合垂线段最短即可求出答案.
（2）设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：是；
理由是：在中，
，，
，
是直角三角形，
，
是从村庄P到l的最近路；
（2）解：设，则，
在中，，
，
解得：，
答：原来的路线PA的长为8.45千米．
20．学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
下面是小萍同学的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是________；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … 0 1 2 3 …
y … 1 0 m n 1 2 …
表中________，________；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：
记所画函数的图象与x轴的交点分别为A，B（A在B的左边），经过点A的直线与所画函数的图象的另一个交点为C，若的面积为5，求k，b的值．
【答案】（1）全体实数
（2），0
（3）解：描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下：
（4）解：由表格可知，．
结合图象可知，点C在第一象限，设点C的纵坐标为h，
则，．
在函数中，当时，，
当时，得，
直线经过点A、C，有，解得，
即，．
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【解答】（1）解：由于函数解析式为整式，故自变量取值为全体实数；
故答案为：全体实数；
（2）解：当时，；当时，；
故答案为：，0；
【分析】（1）根据整式的自变量即可求出答案.
（2）将x=-1，x=1代入解析式即可求出答案.
（3）根据描点法作出函数图象即可.
（4）由表格可知，，设点C的纵坐标为h，根据三角形面积可得h，根据点的坐标可得，再根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式即可求出答案.
（1）解：由于函数解析式为整式，故自变量取值为全体实数；
故答案为：全体实数；
（2）解：当时，；当时，；
故答案为：，0；
（3）解：描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下：
（4）解：由表格可知，．
结合图象可知，点C在第一象限，设点C的纵坐标为h，
则，．
在函数中，当时，，
当时，得，
直线经过点A、C，有，解得，
即，．
21．如图，四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点M，交于点N（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，
垂直平分，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得，则，根据垂直平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（1）解：如图，直线即为所求；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，
垂直平分，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
22．海鸭蛋是钦州特产之一，具有较高营养价值．某农产品销售公司现进货了4000千克海鸭蛋，进货成本为40000元．经市场调查，决定采用批发、零售、腌制加工后销售这三种方式出售，其中以零售方式出售需包装成本0.1元/千克；腌制加工后销售需加工费0.2元/千克（加工前后重量变化忽略不计），计划每千克的平均售价如下表：
销售方式 批发 零售 腌制加工后销售
售价 12元/千克（批发量超过200千克则按11.5元/千克出售） 15元/千克 18元/千克
若经过一段时间，按计划全部售出获得的总利润为w（元），其中零售x（千克），且批发量是零售量的2倍．
（1）请用含x的式子表示：批发的量为________千克；腌制加工的量为________千克．
（2）当批发量超过200千克时，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）由于受条件限制，最多对1000千克海鸭蛋进行腌制加工，求该公司按计划全部售完这批海鸭蛋获得的最大利润．
【答案】（1）；
（2）解：当批发量超过200千克时，w与x之间的函数关系式为
由解得
自变量x的取值范围是；
（3）解：最多对1000千克海鸭蛋进行加工，
，
，
，
，
，
w随x的增大而减小，
当时，w最大，
且最大值为：（元），
即该公司按计划全部售完这批鸭蛋获得的最大利润为15700元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：由题意，批发的量为千克，腌制加工的量为（千克）；
故答案为：；
【分析】（1）根据批发量是零售量的2倍，以及共进货了4000千克，建立代数式即可求出答案.
（2）根据题意建立函数关系式即可求出答案.
（3）根据题意建立不等式，解不等式可得x的取值范围，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：由题意，批发的量为千克，腌制加工的量为（千克）；
（2）解：当批发量超过200千克时，w与x之间的函数关系式为
由解得
自变量x的取值范围是；
（3）解：最多对1000千克海鸭蛋进行加工，
，
，
，
，
，
w随x的增大而减小，
当时，w最大，
且最大值为：（元），
即该公司按计划全部售完这批鸭蛋获得的最大利润为15700元．
23．活动探究：矩形的折叠．
（1）如图1，在矩形中，E，F分别是的中点，M，N分别是上的点，且，将沿着折叠，点D的对应点为G；将沿折叠，点B的对应点为H，点G，H都在矩形内部．
①求证：；
②判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图2，在矩形中，E是边上的一个动点，将沿着折叠，点D的对应点为F，已知，若以F，C，B为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长．
【答案】（1）解：①证明：在矩形中，
E、F分别是的中点，
，
又，
，
，
由折叠的性质可知，，，
．
②四边形是平行四边形
理由：连接，
四边形是矩形
，
，
由①知．
，
即，
，
由折叠性质可知，
，
四边形是平行四边形；
（2）或2
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（2）解：或2，
理由如下：
①如图，当时，是等腰三角形，根据题意可知，
即，
又，
点F在上，且为中点，
又，
，
，
，
，
；
②如图，当时，是等腰三角形．过点F作，垂足为M，交于N，
四边形是矩形，
，，
，
，
又，
，
同理易知，四边形是矩形，
设，
，，
，解得，
；
③如图，若，则，，
这样，，
所以不成立．
综上所述，或2．
【分析】（1）①根据矩形性质可得，，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据折叠性质，结合角之间的关系即可求出答案.
②连接，根据矩形性质可得，则，再根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，由折叠性质可知，则，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当时，是等腰三角形，根据题意可知，即，再根据直线平行判定定理及性质即可求出答案；②当时，是等腰三角形．过点F作，垂足为M，交于N，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，根据全等三角形判定定理可得，则，根据勾股定理可得AM，同理易知，四边形是矩形，设，则，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；③如图，若，则，根据勾股定理可得AC，再根据三角形三边关系即可求出答案.
（1）①证明：在矩形中，
E、F分别是的中点，
，
又，
，
，
由折叠的性质可知，，，
．
②四边形是平行四边形
理由：连接，
四边形是矩形
，
，
由①知．
，
即，
，
由折叠性质可知，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：或2，
理由如下：
①如图，当时，是等腰三角形，根据题意可知，
即，
又，
点F在上，且为中点，
又，
，
，
，
，
；
②如图，当时，是等腰三角形．过点F作，垂足为M，交于N，
四边形是矩形，
，，
，
，
又，
，
同理易知，四边形是矩形，
设，
，，
，解得，
；
③如图，若，则，，
这样，，
所以不成立．
综上所述，或2．
1 / 1广西钦州市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，四边形是菱形，已知，则菱形的周长为（　　）
A．12 B．9 C．6 D．3
3．下列关系中，y不是x的函数的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（　　）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
5．如图，要测量A，B两点间的距离，在O点设桩，取的中点C和的中点D，测得，则A，B的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．，，2 C．6，8，14 D．，2，
7．某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语，听力，笔试得分按的比例计入总分来确定学生的英语成绩，小李的口语、听力、笔试得分分别为分，分，分，则小李的英语成绩是（　　）
A．分 B．分 C．分 D．分
8．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知正方形ABCD的面积为3，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以AC的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（　　）
A．1.5 B． C． D．
10．已知，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列添加的条件错误的是（　　）
A．①有一个角是直角 B．②有一组邻边相等
C．③对角线相等 D．④有一个角是直角
12．如图，正方形中，动点P从点B出发沿折线做匀速运动，到A点停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间函数图象如右图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．正方形的边长为8
B．当时，
C．当时，
D．点P运动的路程越大，的面积越大
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．如图，在中，已知，则的度数为　 　．
14．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　.
15．数据3，3，4，1，9的方差等于　 　．
16．如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．请将答案写在答题卡上．）
17．计算：
（1）
（2）
18． “粮食安全是国之大者”，某校组织八年级各班派出选手参加“粮食安全与农作物”知识测试（满分100分），八（1）班和八（2）班各自选出的5名选手的成绩如图表所示：
班级 平均数/分 中位数/分 众数/分
八（1）班 85 a 85
八（2）班 85 80 b
（1）根据图示直接写出a，b的值；
（2）哪个班的成绩比较好？请进行分析；
（3）已知八（1）班和八（2）班的复赛成绩的方差分别是70，160，哪个班的成绩比较稳定？
（4）根据上面10个选手的成绩，估计八年级共90名选手成绩在80分以上（含80分）的人数．
19．如图，在一条东西走向的省级干线公路l的一侧有一村庄P，由P原有两条笔直小路与l相连接，其中，由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该村的乡村产业振兴小组为方便村民运输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路（A，C，B在同一条直线上），测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明：
（2）求原来的路线的长．
20．学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
下面是小萍同学的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是________；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … 0 1 2 3 …
y … 1 0 m n 1 2 …
表中________，________；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：
记所画函数的图象与x轴的交点分别为A，B（A在B的左边），经过点A的直线与所画函数的图象的另一个交点为C，若的面积为5，求k，b的值．
21．如图，四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点M，交于点N（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，，求证：四边形是菱形．
22．海鸭蛋是钦州特产之一，具有较高营养价值．某农产品销售公司现进货了4000千克海鸭蛋，进货成本为40000元．经市场调查，决定采用批发、零售、腌制加工后销售这三种方式出售，其中以零售方式出售需包装成本0.1元/千克；腌制加工后销售需加工费0.2元/千克（加工前后重量变化忽略不计），计划每千克的平均售价如下表：
销售方式 批发 零售 腌制加工后销售
售价 12元/千克（批发量超过200千克则按11.5元/千克出售） 15元/千克 18元/千克
若经过一段时间，按计划全部售出获得的总利润为w（元），其中零售x（千克），且批发量是零售量的2倍．
（1）请用含x的式子表示：批发的量为________千克；腌制加工的量为________千克．
（2）当批发量超过200千克时，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）由于受条件限制，最多对1000千克海鸭蛋进行腌制加工，求该公司按计划全部售完这批海鸭蛋获得的最大利润．
23．活动探究：矩形的折叠．
（1）如图1，在矩形中，E，F分别是的中点，M，N分别是上的点，且，将沿着折叠，点D的对应点为G；将沿折叠，点B的对应点为H，点G，H都在矩形内部．
①求证：；
②判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图2，在矩形中，E是边上的一个动点，将沿着折叠，点D的对应点为F，已知，若以F，C，B为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数中含有能开得尽方的因数4，故选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故选项符合题意；
C、被开方数是分数，故选项不符合题意；
D、被开方数中含有能开得尽方的因数，故选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长为，
故选：A．
【分析】根据菱形的性质即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、，符合函数的定义，本选项不符合题意；
B、，符合函数的定义，本选项不符合题意；
C、，符合函数的定义，本选项不符合题意；
D、，当时，对于一个确定的x的值，y都有两个值与之对应，不符合函数的定义，本选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】等式的基本性质；逆命题
【解析】【解答】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，
故选：B．
【分析】将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题．
5．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵C，D是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：A
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、，不能构成直角三角形，选项错误；
B、，能构成直角三角形，选项正确；
C、，不能构成直角三角形，选项错误；
D、，不能构成直角三角形，选项错误；
故选：B．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：（分）
∴小李的英语成绩是分．
故选：C．
【分析】根据加权平均数即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：当时，，
即从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为，
故选：A．
【分析】将h=90代入公式，结合二次根式性质化简即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为，且，
∴，
∴，
∵点A表示的数是，
且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为．
故选：D．
【分析】根据正方形面积可得AB，根据勾股定理可得AC，再根据数轴上两点间距离，结合点的位置即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，
故选：C．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：解：A、有一个角为直角的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；不符合题意；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法不正确，符合题意；
D、有一个角为直角的菱形是正方形，正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据矩形，菱形，正方形判定定理即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】正方形的性质；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：结合函数图象的两个拐点位置可知正方形的边长为4，故A选项错误；
如图，当时，图象经过和，
设直线的解析式为，
把代入，得，解得，
所以当时，，故B选项错误；
当时，图象经过和，
设直线的解析式为，
把和代入，得解得
所以直线的解析式为，故C选项正确；
根据函数图象可知，点P运动的路程越大，的面积是先增大，后不变，最后变小，故D选项错误．
故选：C．
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴；
故答案为：．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意可得：a-5≥0，
解得：a≥5，
故答案为：a≥5.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
15．【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：数据3，3，4，1，9的平均数为：
，
则数据3，3，4，1，9的方差为：
．
故答案为：．
【分析】根据平均数，方差的定义即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入，得：，
由图象可知，的解集为；
故答案为：
【分析】将点A坐标代入解析式可得m=2，当函数的图象在函数的图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的混合运算即可求出答案.
（2）根据平方差公式，二次根式性质化简，再计算加减即可求出答案.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【答案】（1）；
（2）解：两个班的平均成绩相同，而八（1）班成绩中位数较大，
所以八（1）班成绩较好．（答案不唯一）
（3）解：因为八（1）班和八（2）班的成绩的方差分别是70，160，且，
所以八（1）班的成绩更稳定．
（4）解：（人）．
答：选手成绩在80分以上的人数估计有63人．
【知识点】中位数；方差；众数；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：把八（1）班的5名选手的成绩按照从低到高的顺序排列为：75分，80分，85分，85分，100分，
∴八（1）班的5名选手的成绩的中位数为85分，即；
∵八（2）班的5名选手的成绩中得分为100分的人数最多，
∴八（2）班的5名选手的成绩的众数为100分，即；
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（2）根据各统计量的意义即可求出答案.
（3）方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.
（4）根据90乘以80分以上的人数占比即可求出答案.
（1）解：把八（1）班的5名选手的成绩按照从低到高的顺序排列为：75分，80分，85分，85分，100分，
∴八（1）班的5名选手的成绩的中位数为85分，即；
∵八（2）班的5名选手的成绩中得分为100分的人数最多，
∴八（2）班的5名选手的成绩的众数为100分，即；
（2）解：两个班的平均成绩相同，而八（1）班成绩中位数较大，
所以八（1）班成绩较好．（答案不唯一）
（3）解：因为八（1）班和八（2）班的成绩的方差分别是70，160，且，
所以八（1）班的成绩更稳定．
（4）解：（人）．
答：选手成绩在80分以上的人数估计有63人．
19．【答案】（1）解：是；
理由是：在中，
，，
，
是直角三角形，
，
是从村庄P到l的最近路；
（2）解：设，则，
在中，，
，
解得：，
答：原来的路线PA的长为8.45千米．
【知识点】垂线段最短及其应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理，结合垂线段最短即可求出答案.
（2）设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：是；
理由是：在中，
，，
，
是直角三角形，
，
是从村庄P到l的最近路；
（2）解：设，则，
在中，，
，
解得：，
答：原来的路线PA的长为8.45千米．
20．【答案】（1）全体实数
（2），0
（3）解：描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下：
（4）解：由表格可知，．
结合图象可知，点C在第一象限，设点C的纵坐标为h，
则，．
在函数中，当时，，
当时，得，
直线经过点A、C，有，解得，
即，．
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【解答】（1）解：由于函数解析式为整式，故自变量取值为全体实数；
故答案为：全体实数；
（2）解：当时，；当时，；
故答案为：，0；
【分析】（1）根据整式的自变量即可求出答案.
（2）将x=-1，x=1代入解析式即可求出答案.
（3）根据描点法作出函数图象即可.
（4）由表格可知，，设点C的纵坐标为h，根据三角形面积可得h，根据点的坐标可得，再根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式即可求出答案.
（1）解：由于函数解析式为整式，故自变量取值为全体实数；
故答案为：全体实数；
（2）解：当时，；当时，；
故答案为：，0；
（3）解：描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下：
（4）解：由表格可知，．
结合图象可知，点C在第一象限，设点C的纵坐标为h，
则，．
在函数中，当时，，
当时，得，
直线经过点A、C，有，解得，
即，．
21．【答案】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，
垂直平分，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得，则，根据垂直平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（1）解：如图，直线即为所求；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，
垂直平分，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
22．【答案】（1）；
（2）解：当批发量超过200千克时，w与x之间的函数关系式为
由解得
自变量x的取值范围是；
（3）解：最多对1000千克海鸭蛋进行加工，
，
，
，
，
，
w随x的增大而减小，
当时，w最大，
且最大值为：（元），
即该公司按计划全部售完这批鸭蛋获得的最大利润为15700元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：由题意，批发的量为千克，腌制加工的量为（千克）；
故答案为：；
【分析】（1）根据批发量是零售量的2倍，以及共进货了4000千克，建立代数式即可求出答案.
（2）根据题意建立函数关系式即可求出答案.
（3）根据题意建立不等式，解不等式可得x的取值范围，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：由题意，批发的量为千克，腌制加工的量为（千克）；
（2）解：当批发量超过200千克时，w与x之间的函数关系式为
由解得
自变量x的取值范围是；
（3）解：最多对1000千克海鸭蛋进行加工，
，
，
，
，
，
w随x的增大而减小，
当时，w最大，
且最大值为：（元），
即该公司按计划全部售完这批鸭蛋获得的最大利润为15700元．
23．【答案】（1）解：①证明：在矩形中，
E、F分别是的中点，
，
又，
，
，
由折叠的性质可知，，，
．
②四边形是平行四边形
理由：连接，
四边形是矩形
，
，
由①知．
，
即，
，
由折叠性质可知，
，
四边形是平行四边形；
（2）或2
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（2）解：或2，
理由如下：
①如图，当时，是等腰三角形，根据题意可知，
即，
又，
点F在上，且为中点，
又，
，
，
，
，
；
②如图，当时，是等腰三角形．过点F作，垂足为M，交于N，
四边形是矩形，
，，
，
，
又，
，
同理易知，四边形是矩形，
设，
，，
，解得，
；
③如图，若，则，，
这样，，
所以不成立．
综上所述，或2．
【分析】（1）①根据矩形性质可得，，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据折叠性质，结合角之间的关系即可求出答案.
②连接，根据矩形性质可得，则，再根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，由折叠性质可知，则，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当时，是等腰三角形，根据题意可知，即，再根据直线平行判定定理及性质即可求出答案；②当时，是等腰三角形．过点F作，垂足为M，交于N，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，根据全等三角形判定定理可得，则，根据勾股定理可得AM，同理易知，四边形是矩形，设，则，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；③如图，若，则，根据勾股定理可得AC，再根据三角形三边关系即可求出答案.
（1）①证明：在矩形中，
E、F分别是的中点，
，
又，
，
，
由折叠的性质可知，，，
．
②四边形是平行四边形
理由：连接，
四边形是矩形
，
，
由①知．
，
即，
，
由折叠性质可知，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：或2，
理由如下：
①如图，当时，是等腰三角形，根据题意可知，
即，
又，
点F在上，且为中点，
又，
，
，
，
，
；
②如图，当时，是等腰三角形．过点F作，垂足为M，交于N，
四边形是矩形，
，，
，
，
又，
，
同理易知，四边形是矩形，
设，
，，
，解得，
；
③如图，若，则，，
这样，，
所以不成立．
综上所述，或2．
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