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广西壮族自治区梧州市藤县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（请将所选答案的字母代号用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，每小题3分，共36分）
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．在中，，，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（　　）
A． B．
C． D．
3．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
4．下列不能够单独进行平面镶嵌的多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形
5．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（　 　）
A．140米 B．150米 C．160米 D．240米
6．2024年元旦开始，梧州市体育训练基地吹响冬季足球训练“集结号”，该基地组织了一次单循环的足球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛，设有x支队伍参加了比赛，依题意可列方程为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，为了求出湖两岸、两点之间的距离，观测者在湖边找到一点，并分别测得，，又量得，则、两点之间的距离为（　　）
A． B．50 C． D．25
8．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
9．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，交于点E，连接，若，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
10．甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均成绩都相同，方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则射箭成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是（　　）
A．5 B．5或 C．5或3 D．3或0
12．如图，的对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．比较大小：2　 　3．（填“＞”“＜”或“＝”）
14．如果，是方程的两根，那么的值为　 　．
15．已知一组数据，，，，的平均数是6，那么另一组数据，，，，的平均数是　 　．
16．如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当　 　时，是以为腰的等腰三角形．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小格的顶点叫做格点，已知格点的三边，，的长分别为，，．请解答：
（1）在网格中画出一个；
（2）求边上的高．
18．（1）计算：．
（2）用配方法解方程：．
19．观察下列各式的规律：
①； ②； ③ …
（1）针对上述①②③三个式子的规律，写出第④个等式：__________________________；
（2）请用含（为任意自然数，且）的式子表示，写出满足上述规律的等式，并证明所写等式的正确性．
20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，连接AE、CF．求证：四边形AECF是菱形．
21．年月日是第九个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．为迎接中国航天日，某校举行了七、八年级航天知识竞赛，校务处在七、八年级中各随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分分．单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：．，．，．，．．E．）．
【收集、整理数据】
七年级学生竞赛成绩分别为：
．
八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：．
绘制了不完整的统计图．
【分析数据】
两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级
【问题解决】
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，上述表中________，________，八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为___________度；
（2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？写出一条理由；
（3）如果该校七年级有名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数．
22．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．
（1）填表（不需化简）
　 入住的房间数量 房间价格 总维护费用
提价前 60 200 60×20
提价后 　　 　　 　　
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）
23．【方法回顾】（1）如图1，过正方形的顶点作一条直线交边于点，于点，于点．我们运用全等和正方形等知识进行推理可以知道，线段，，之间的数量关系是____________________；
【问题解决】（2）如图2，菱形的边长为，过点且垂直于的直线交边于点，过作，与直线交于点，点是上一点，且，求的长；
【思维拓展】（3）如图3，在正方形中，点在所在直线的上方，，连接，，若的面积与的面积之差为，则_____．（用含的式子表示）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：选项A：，结果为整数，不是二次根式，排除；
选项B：，被开方数为5，与同类；
选项C：已是最简形式，被开方数为10，与5不同，排除；
选项D：已是最简形式，被开方数为15，与5不同，排除；
故选B．
【分析】根据同类二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，，∴，能判定是直角三角形，故不符合题意；
B、∵，∴，即，根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故不符合题意；
C、由可设，则有，根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故不符合题意；
D、由可设，所以，解得，则，所以不能判定是直角三角形，故符合题意；
故选D．
【分析】根据三角形内角和定理，勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形与平行四边形都具有对边相等的性质，故此选项不符合题意；
B、菱形与平行四边形都不具有对角线相等的性质，故此选项不符合题意；
C、菱形与平行四边形都具有对角线互相平分的性质，故此选项不符合题意；
D、菱形具有对角线互相垂直的性质，而平行四边形不具有对角线互相垂直的性质，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】菱形边、角、对角线方面的性质为：菱形四条边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；平行四边形边、角、对角线方面的性质为：平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分，据此一一判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺，故本选项不符合题意；
B、任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺，故本选项不符合题意；
C、正五边形的每一个内角是，不能整除360°，所以不能密铺，故本选项符合题意；
D、正六边形每个内角是120度，能整除360°，可以密铺，故本选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据密铺的性质，当围绕一点拼在一起的几个内角加起来恰好组成周角时，逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】正多边形的性质；有理数乘法的实际应用；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：已知多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，
所以多边形的边数为360°÷24°=15，
所以小明一共走了：15×10=150米．
故选B．
【分析】根据正多边形外角性质即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设应邀请个球队参加比赛，
由题可知，，
故答案为：D．
【分析】设应邀请个球队参加比赛，根据“共进行了36场比赛”列出方程即可.
7．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得AC，再根据勾股定理即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，
且，
∴整数a的最大值为0．
故选：B．
【分析】根据二次方程有实数根，则判别式，解不等式，结合二次方程的定义即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】根据菱形性质可得，根据勾股定理可得BO，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵射箭成绩的平均成绩都相同，方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，
∴S甲2＞S乙2＞S丙2＞S丁2，
∴射箭成绩最稳定的是丁；
故选D．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
即，
∴，
解得．
故选B．
【分析】根据新定义建立方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：①平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
②，，
，，
，
中，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
中，，
，故②正确；
③由②知：，
，故③正确；
④由②知：是的中位线，
，
，
，
故④正确；
故选：D．
【分析】根据角平分线定义可得，根据平行四边形性质可得，，则，再根据等角对等边可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据边之间的关系可得，再根据等角对等边可得，再根据三角形外角性质可得∠ACE，再根据直线平行性质可判断①；根据三角形中位线定理可得，，根据勾股定理可得OC，再根据平行四边形性质可得，则，再根据勾股定理可判断②；根据平行四边形面积可判断③；根据三角形中位线定理及边之间的关系可判断④.
13．【答案】＞
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：
，
，
，
．
故答案为：＞．
【分析】根据
，
，再由20>18可得
。
14．【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，是方程的两根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
15．【答案】5
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意知，，
则另一组数据，，，，的平均数是：
，
故答案为：5．
【分析】根据平均数定义即可求出答案.
16．【答案】或
【知识点】矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵△AEC 是以AE为腰的等腰三角形，
∴可分两种情况：
①当时，设，则，
∵沿翻折得，
∴，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：，
即，
解得：；
②当时，如图，过A作AH垂直于于点H，
∵AH⊥，，
∴，
∵，
∴，
∵沿翻折得，
∴，
∴，
在△ABE和△AHE中
，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
综上可得，，
故答案为：.
【分析】根据是以为腰的等腰三角形可分两种情况讨论，①当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可；②当时，过A作AH垂直于于点H，然后根据折叠可得到，在结合，由等角的余角相等可得，然后用角角边可证△ABE≌△AHE，则可得，然后由等腰三角形三线合一性质得到，然后根据数量关系即可求解．
17．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
根据勾股定理可得：；
（2）解：∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴；
【知识点】二次根式的乘除混合运算；勾股定理的逆定理；尺规作图-作三角形；等积变换；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据三角形定义，结合勾股定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：如图所示，即为所求；
根据勾股定理可得：；
（2）解：∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴；
18．【答案】解：（1）；
（2）∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，．
【知识点】二次根式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据二次根式的混合运算即可求出答案.
（2）根据配方法解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）
（2）解：由题意可得：，
右边左边，
故等式成立．
【知识点】二次根式的实际应用；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：第④个等式：；
故答案为：
【分析】（1）根据前三个等式的变换，总结规律即可求出答案.
（2）根据前三个等式的变换，总结规律即可求出答案.
（1）解：由题意可得：第④个等式：；
（2）解：由题意可得：，
右边左边，
故等式成立．
20．【答案】证明：∵EF垂直平分AC，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO＝∠CEO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AECF是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据垂直平分线性质可得AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，根据矩形性质可得AD∥BC，则∠AFO＝∠CEO，根据全等三角形判定定理可得△AOF≌△COE（AAS），则AF＝CE，再根据菱形判定定理即可求出答案.
21．【答案】（1）解：七年级抽取的名学生的竞赛成绩在组的人数为：名，
∴补全频数分布直方图如图：
，，；
（2）解：七年级学生成绩好．
理由：七年级学生成绩平均数、中位数、众数均高于八年级学生成绩，所以七年级学生成绩好．
（3）解：，
答：估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数为名．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）八年级在组的学生有名，
∵八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：，
∴第名和第名学生的竞赛成绩为，
∴，
∵七年级中抽取的名学生的竞赛成绩中分的最多，
∴，
∵八年级学生成绩在组的学生数为名，
∴八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为，
故答案为：，，；
【解答】解：（1）求出D组人数，再补全图形即可；根据众数，中位数的定义可得a，b值，再根据360°乘以D组的占比即可求出答案.
（2）根据各统计量的意义即可求出答案.
（3）根据500乘以不低于分的学生人数占比即可求出答案.
22．【答案】（1）60﹣；200+x；（60﹣）×20
解：（2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，
整理，得
x2﹣420x+32000=0，
解得x1=320，x2=100．
当x=320时，有游客居住的客房数量是：60﹣=28（间）．
当x=100时，有游客居住的客房数量是：60﹣=50（间）．
所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）．
答：每间客房的定价应为300元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20．
故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20；
【分析】（1）根据题意定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，即可得出， 入住的房间数量 ：60﹣； 房间价格 ：200+x； 总维护费用 ：（60﹣）×20；
（2）根据 天纯收入 每间房实际定价×入住量- 总维护费用 ，即可得出方程：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，解方程求解，并取较小值即可。
23．【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，，
∵，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，（舍去），
∴；
（3）
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）如图，作，交的延长线于E，作，交的延长线于F，
由（1）得，，，
设，
∵的面积与的面积之差为m，
∴，
∵，
∴，即
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】（1）根据正方形性质可得，，根据补角可得，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得，再根据菱形性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）作，交的延长线于E，作，交的延长线于F，由（1）得，，，设，根据三角形面积，即，根据边之间的关系可得AE，PF，PE，再根据勾股定理即可求出答案.
1 / 1广西壮族自治区梧州市藤县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（请将所选答案的字母代号用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，每小题3分，共36分）
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：选项A：，结果为整数，不是二次根式，排除；
选项B：，被开方数为5，与同类；
选项C：已是最简形式，被开方数为10，与5不同，排除；
选项D：已是最简形式，被开方数为15，与5不同，排除；
故选B．
【分析】根据同类二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．在中，，，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，，∴，能判定是直角三角形，故不符合题意；
B、∵，∴，即，根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故不符合题意；
C、由可设，则有，根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故不符合题意；
D、由可设，所以，解得，则，所以不能判定是直角三角形，故符合题意；
故选D．
【分析】根据三角形内角和定理，勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
3．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形与平行四边形都具有对边相等的性质，故此选项不符合题意；
B、菱形与平行四边形都不具有对角线相等的性质，故此选项不符合题意；
C、菱形与平行四边形都具有对角线互相平分的性质，故此选项不符合题意；
D、菱形具有对角线互相垂直的性质，而平行四边形不具有对角线互相垂直的性质，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】菱形边、角、对角线方面的性质为：菱形四条边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；平行四边形边、角、对角线方面的性质为：平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分，据此一一判断得出答案.
4．下列不能够单独进行平面镶嵌的多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺，故本选项不符合题意；
B、任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺，故本选项不符合题意；
C、正五边形的每一个内角是，不能整除360°，所以不能密铺，故本选项符合题意；
D、正六边形每个内角是120度，能整除360°，可以密铺，故本选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据密铺的性质，当围绕一点拼在一起的几个内角加起来恰好组成周角时，逐项进行判断即可求出答案.
5．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（　 　）
A．140米 B．150米 C．160米 D．240米
【答案】B
【知识点】正多边形的性质；有理数乘法的实际应用；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：已知多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，
所以多边形的边数为360°÷24°=15，
所以小明一共走了：15×10=150米．
故选B．
【分析】根据正多边形外角性质即可求出答案.
6．2024年元旦开始，梧州市体育训练基地吹响冬季足球训练“集结号”，该基地组织了一次单循环的足球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛，设有x支队伍参加了比赛，依题意可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设应邀请个球队参加比赛，
由题可知，，
故答案为：D．
【分析】设应邀请个球队参加比赛，根据“共进行了36场比赛”列出方程即可.
7．如图，为了求出湖两岸、两点之间的距离，观测者在湖边找到一点，并分别测得，，又量得，则、两点之间的距离为（　　）
A． B．50 C． D．25
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得AC，再根据勾股定理即可求出答案.
8．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，
且，
∴整数a的最大值为0．
故选：B．
【分析】根据二次方程有实数根，则判别式，解不等式，结合二次方程的定义即可求出答案.
9．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，交于点E，连接，若，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】根据菱形性质可得，根据勾股定理可得BO，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
10．甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均成绩都相同，方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则射箭成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵射箭成绩的平均成绩都相同，方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，
∴S甲2＞S乙2＞S丙2＞S丁2，
∴射箭成绩最稳定的是丁；
故选D．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11．定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是（　　）
A．5 B．5或 C．5或3 D．3或0
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
即，
∴，
解得．
故选B．
【分析】根据新定义建立方程，解方程即可求出答案.
12．如图，的对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：①平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
②，，
，，
，
中，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
中，，
，故②正确；
③由②知：，
，故③正确；
④由②知：是的中位线，
，
，
，
故④正确；
故选：D．
【分析】根据角平分线定义可得，根据平行四边形性质可得，，则，再根据等角对等边可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据边之间的关系可得，再根据等角对等边可得，再根据三角形外角性质可得∠ACE，再根据直线平行性质可判断①；根据三角形中位线定理可得，，根据勾股定理可得OC，再根据平行四边形性质可得，则，再根据勾股定理可判断②；根据平行四边形面积可判断③；根据三角形中位线定理及边之间的关系可判断④.
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．比较大小：2　 　3．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＞
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：
，
，
，
．
故答案为：＞．
【分析】根据
，
，再由20>18可得
。
14．如果，是方程的两根，那么的值为　 　．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，是方程的两根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
15．已知一组数据，，，，的平均数是6，那么另一组数据，，，，的平均数是　 　．
【答案】5
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意知，，
则另一组数据，，，，的平均数是：
，
故答案为：5．
【分析】根据平均数定义即可求出答案.
16．如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当　 　时，是以为腰的等腰三角形．
【答案】或
【知识点】矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵△AEC 是以AE为腰的等腰三角形，
∴可分两种情况：
①当时，设，则，
∵沿翻折得，
∴，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：，
即，
解得：；
②当时，如图，过A作AH垂直于于点H，
∵AH⊥，，
∴，
∵，
∴，
∵沿翻折得，
∴，
∴，
在△ABE和△AHE中
，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
综上可得，，
故答案为：.
【分析】根据是以为腰的等腰三角形可分两种情况讨论，①当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可；②当时，过A作AH垂直于于点H，然后根据折叠可得到，在结合，由等角的余角相等可得，然后用角角边可证△ABE≌△AHE，则可得，然后由等腰三角形三线合一性质得到，然后根据数量关系即可求解．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小格的顶点叫做格点，已知格点的三边，，的长分别为，，．请解答：
（1）在网格中画出一个；
（2）求边上的高．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
根据勾股定理可得：；
（2）解：∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴；
【知识点】二次根式的乘除混合运算；勾股定理的逆定理；尺规作图-作三角形；等积变换；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据三角形定义，结合勾股定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：如图所示，即为所求；
根据勾股定理可得：；
（2）解：∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴；
18．（1）计算：．
（2）用配方法解方程：．
【答案】解：（1）；
（2）∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，．
【知识点】二次根式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据二次根式的混合运算即可求出答案.
（2）根据配方法解方程即可求出答案.
19．观察下列各式的规律：
①； ②； ③ …
（1）针对上述①②③三个式子的规律，写出第④个等式：__________________________；
（2）请用含（为任意自然数，且）的式子表示，写出满足上述规律的等式，并证明所写等式的正确性．
【答案】（1）
（2）解：由题意可得：，
右边左边，
故等式成立．
【知识点】二次根式的实际应用；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：第④个等式：；
故答案为：
【分析】（1）根据前三个等式的变换，总结规律即可求出答案.
（2）根据前三个等式的变换，总结规律即可求出答案.
（1）解：由题意可得：第④个等式：；
（2）解：由题意可得：，
右边左边，
故等式成立．
20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，连接AE、CF．求证：四边形AECF是菱形．
【答案】证明：∵EF垂直平分AC，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO＝∠CEO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AECF是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据垂直平分线性质可得AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，根据矩形性质可得AD∥BC，则∠AFO＝∠CEO，根据全等三角形判定定理可得△AOF≌△COE（AAS），则AF＝CE，再根据菱形判定定理即可求出答案.
21．年月日是第九个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．为迎接中国航天日，某校举行了七、八年级航天知识竞赛，校务处在七、八年级中各随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分分．单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：．，．，．，．．E．）．
【收集、整理数据】
七年级学生竞赛成绩分别为：
．
八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：．
绘制了不完整的统计图．
【分析数据】
两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级
【问题解决】
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，上述表中________，________，八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为___________度；
（2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？写出一条理由；
（3）如果该校七年级有名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数．
【答案】（1）解：七年级抽取的名学生的竞赛成绩在组的人数为：名，
∴补全频数分布直方图如图：
，，；
（2）解：七年级学生成绩好．
理由：七年级学生成绩平均数、中位数、众数均高于八年级学生成绩，所以七年级学生成绩好．
（3）解：，
答：估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数为名．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）八年级在组的学生有名，
∵八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：，
∴第名和第名学生的竞赛成绩为，
∴，
∵七年级中抽取的名学生的竞赛成绩中分的最多，
∴，
∵八年级学生成绩在组的学生数为名，
∴八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为，
故答案为：，，；
【解答】解：（1）求出D组人数，再补全图形即可；根据众数，中位数的定义可得a，b值，再根据360°乘以D组的占比即可求出答案.
（2）根据各统计量的意义即可求出答案.
（3）根据500乘以不低于分的学生人数占比即可求出答案.
22．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．
（1）填表（不需化简）
　 入住的房间数量 房间价格 总维护费用
提价前 60 200 60×20
提价后 　　 　　 　　
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）
【答案】（1）60﹣；200+x；（60﹣）×20
解：（2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，
整理，得
x2﹣420x+32000=0，
解得x1=320，x2=100．
当x=320时，有游客居住的客房数量是：60﹣=28（间）．
当x=100时，有游客居住的客房数量是：60﹣=50（间）．
所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）．
答：每间客房的定价应为300元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20．
故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20；
【分析】（1）根据题意定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，即可得出， 入住的房间数量 ：60﹣； 房间价格 ：200+x； 总维护费用 ：（60﹣）×20；
（2）根据 天纯收入 每间房实际定价×入住量- 总维护费用 ，即可得出方程：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，解方程求解，并取较小值即可。
23．【方法回顾】（1）如图1，过正方形的顶点作一条直线交边于点，于点，于点．我们运用全等和正方形等知识进行推理可以知道，线段，，之间的数量关系是____________________；
【问题解决】（2）如图2，菱形的边长为，过点且垂直于的直线交边于点，过作，与直线交于点，点是上一点，且，求的长；
【思维拓展】（3）如图3，在正方形中，点在所在直线的上方，，连接，，若的面积与的面积之差为，则_____．（用含的式子表示）
【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，，
∵，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，（舍去），
∴；
（3）
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）如图，作，交的延长线于E，作，交的延长线于F，
由（1）得，，，
设，
∵的面积与的面积之差为m，
∴，
∵，
∴，即
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】（1）根据正方形性质可得，，根据补角可得，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得，再根据菱形性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）作，交的延长线于E，作，交的延长线于F，由（1）得，，，设，根据三角形面积，即，根据边之间的关系可得AE，PF，PE，再根据勾股定理即可求出答案.
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