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广西南宁市第四十七中学2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，所以选项A符合题意；
B、因为，所以不是最简二次根式，所以选项B不符合题意；
C、因为，所以不是最简二次根式，所以选项C不符合题意；
D、因为，所以不是最简二次根式，所以选项D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母．根据最简二次根式的定义，则是最简二次根式。
2．在平行四边形中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，，
∴．
故答案为：B．
【分析】平行四边形的性质，根据“平行四边形两组对角分别相等”，得．
3．下列各组数作为一个三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，2 B．3，3，3 C．3，4，5 D．6，8，9
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、三边都相等的三角形是等边三角形，故该选项不符合题意；
C、，满足最长边的平方等于另两边的平方和，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理：三角形三边长满足最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形，计算一组三个数的数的平方，满足a2+b2=c2，则三角形为直角三角形，符合条件的为3，4，5.
4．正比例函数的图象经过的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、当时，，故该选项不符合题意；
B、当时，，故该选项不符合题意；
C、当时，，故该选项不符合题意；
D、当时，，故该选项符合题意；
故答案为：D
【分析】判断点是否在正比例函数图象上，将点的横坐标代入解析式y=2x，结果等于纵坐标，则点在图象上，符合条件的是（1，2）。
5．公园工作人员要测算池塘两端，之间的距离，他们先在地面上取一点，然后通过测量找到和的中点，，并测得的长为8米，则池塘两端，之间的距离是（　　）
A．16米 B．20米 C．24米 D．28米
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意，可知米，且，为和的中点，
所以，米．
故答案为：A．
【分析】由三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，得DE=AB即AB=2DE，AB=16．
6．如图，在平行四边形中，与相交于点，，，，则的周长为（　　）
A．18 B．21 C．22 D．24
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，，，，
∴，，
∴的周长．
故答案为：B．
【分析】由平行四边形对角线相互平分，得，，则 的周长。
7．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A选项：，本选项不符合题意；
B选项：与不是同类二次根式，无法直接相加，本选项不符合题意；
C选项：，本选项不符合题意；
D选项：，本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】二次根式的运算性质，则；二次根式的乘法法则：，则，，计算正确的是D项。
8．某校男子足球队的年龄分布如条形图所示，则这些队员年龄的众数为（　　）
A．6 B．8 C．14 D．15
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由条形统计图可知14岁出现的次数最多，
所以这些队员年龄的众数为14岁．
故答案为：C．
【分析】一组数据中出现次数最多的数，为这组数据的众数，由条形统计图得众数为14．
9．如图是一次函数的图像，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图像可知，当时，，即，
∴的解集为．
故答案为：A．
【分析】由，，则一次函数的函数值，图象在x轴上方的函数值大于0，则x＜3．
10．“菱花窗镂映晴光，雪韵冰晶故事长”．我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形，测得，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如下图，设交于点，
∵四边形为菱形，，，
∴，，，
∴在中，，
∴．
故答案为：B．
【分析】如图，设交于点，
根据菱形的性质，得，，，在中，由勾股定理，得=6，=12．
11．小刚家、体育馆、文具店在同一条直线上．周六上午，小刚从家跑步去体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后散步走回家．已知小刚离家的距离与离开家的时间之间）的关系如图所示．则下列说法正确的是（　　）
A．小刚一共走了
B．小刚在体育馆锻炼了
C．体育馆距离文具店
D．小刚从文具店回家的平均速度是
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A. 小刚一共走了，原说法错误，不符合题意；
B. 小刚在体育馆锻炼了，原说法错误，不符合题意；
C. 体育馆距离文具店，原说法错误，不符合题意；
D. 小刚从文具店回家的平均速度是，该说法正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】由图象可知小刚家到体育馆的距离为；小刚到达体育馆和离开体育馆的时间，计算在体育馆锻炼时间为15；结合图像可知体育馆和文具店距离家分别为和，计算体育馆到文具店的距离为1000；由“速度距离时间”，小刚从文具店回家的平均速度50m/min.
12．如图，在中，，，，分别以A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为，，过，两点作直线交于点，则的长是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设，
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：C．
【分析】由线段垂直平分线段性质，得，设，由，得，则．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
14．已知，在一次函数的图象上，当时，与的大小关系为　 　（填“”，“”或“”）．
【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵中，k=3>0，
∴随的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】k为3大于0，则随的增大而增大 ，时，＜ ．
15．某中学规定学生的学期体育成绩满分为，其中平时成绩占，期末成绩占．小桐的两项成绩（百分制）分别为，，则小桐这学期的体育成绩是　 　．
【答案】93
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：（分）；
答：小桐这学期的体育成绩是分．
故答案为：．
【分析】加权平均数为： （分） ．
16．如图，在矩形中，，，点，分别为边，上的动点，且，为的中点，连接，则的最小值是　 　．
【答案】8
【知识点】两点之间线段最短；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，，
∵矩形中，，，
∴，
∵，为的中点，
∴
∵
∴，即的最小值为
故答案为：．
【分析】在Rt△ADC中，由勾股定理得AC=12，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，在Rt△ANM中，得，根据，两点直线线段最短，PC 的最小值为 8.
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，
【答案】解：（1）
；
（2）
，
当，时，原式
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】（1）分别化简，计算再合并同类二次根式，结果为；
（2）根据平方差公式计算（x+y）(x-y)=x2-y2，单项式乘多项式的法则化简，合并同类项为，再代入已知的x，y，则结果为．
18．如图，在中平分且交于点且交于点F．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求的大小．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
，
，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵平分，
，
∵四边形是平行四边形，
，
∵四边形是平行四边形，
，
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质得出，再根据由两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形即可得出结论；
（2）依据BE平分∠ABC，得出，由（1）可知，，即可得出答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
，
∵四边形是平行四边形，
，
∵四边形是平行四边形，
，
．
19．某校从甲、乙两名同学中选拔一人参加城区中学生汉字听写大赛，这两名同学在选拔测试中的6次成绩（百分制）如下：
学生 平均数 中位数 方差
甲 ________
乙 ________
甲：
乙：
对以上数据做统计整理如右表：
（1）这6次测试中，成绩更稳定的同学是________（填“甲”或“乙”）；甲同学成绩的中位数为________分；
（2）求乙同学成绩的平均数；
（3）根据以上数据分析，你认为选谁参加比赛更合适？请说明理由．
【答案】（1）甲；
（2）解：乙同学成绩的平均数为
答：乙同学成绩的平均数为95.
（3）解：选甲参加比赛更合适，
理由：因为甲乙成绩平均数相等，甲的成绩方差较小，成绩较稳定，
∴选甲参加比赛更合适．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】（1）解：根据表格中，甲的方差较小，
∴这6次测试中，成绩更稳定的同学是甲，
甲同学成绩的中位数为
故答案为：甲；．
【分析】（1）根据方差越小，数据越稳定，则甲的成绩更稳定；6个数据的中位数为第3个和第4个数和的平均数是中位数为95.5；
（2）根据平均数的计算公式，得；
（3）根据甲乙成绩平均数相等，甲的成绩方差较小，则甲的成绩更稳定．
（1）解：根据表格中，甲的方差较小，
∴这6次测试中，成绩更稳定的同学是甲，
甲同学成绩的中位数为
故答案为：甲；．
（2）解：乙同学成绩的平均数为；
（3）解：选甲参加比赛更合适，
因为甲乙成绩平均数相等，甲的成绩方差较小，成绩较稳定，
∴选甲参加比赛更合适．
20．2025年1月上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发了国风手办收藏热潮．李老板从某网店购买，两款风火轮手办并进行销售．两款风火轮的进货价和销售价如下表：
（1）第一次李老板用元购进了，两款风火轮共个，求两款风火轮各购进多少个．
（2）第二次李老板进货时，网店规定款风火轮进货数量不得超过款风火轮进货数量的一半，他计划购进两款风火轮共个，其中款风火轮个，设第二次购进的风火轮全部卖完所获得的利润为元．
类别价格 款 款
进价（元/个）
售价（元/个）
①请用含的代数式表示；
②应如何设计第二次进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设款风火轮购进个，款风火轮购进个，
由题意可得，
解得，
款风火轮购进：（个）
答：款风火轮购进个，款风火轮购进个．
（2）解：①设款风火轮购进个，款风火轮购进个，获利元，
由题意可得，
即
②款风火轮进货数量不得超过款风火轮进货数量的一半
随的增大而增大
时，
款风火轮有（个）
答：按照款风火轮购进个，款风火轮购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用以及一次函数的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
（1）根据第一次购进个，设款风火轮购进个，则款风火轮购进个，再由用元购进了，两款风火轮，解得，则B款为10个；
（2）①根据第二次购进两款风火轮个，设款风火轮购进个，则款风火轮购进个，获利元，根据题意得，；
②根据款风火轮进货数量不得超过款风火轮进货数量的一半，列式：款取值范围，再根据一次函数的性质，如何设计进货方案才能获得最大利润，按照A款风火轮购进个，款风火轮购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元．
（1）解：设款风火轮购进个，款风火轮购进个，
由题意可得，
解得，
款风火轮购进：（个）
答：款风火轮购进个，款风火轮购进个．
（2）解：①设款风火轮购进个，款风火轮购进个，获利元，
由题意可得，
即
②款风火轮进货数量不得超过款风火轮进货数量的一半
随的增大而增大
时，
款风火轮有（个）
答：按照款风火轮购进个，款风火轮购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元．
21．问题背景：如图1，如何把两个边长为1的小正方形分割后，拼接成一个大的正方形（各部分图形之间无重叠无缝隙）呢 我们可以设大正方形的边长为．拼接后所得大正方形的面积与原来两个小正方形的面积之和相等，则有，解得．由此可得大正方形的边长等于原来小正方形的对角线的长．
（1）类比探究：现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图2，要求把它们分割后拼接成一个大正方形（各部分图形之间无重叠无缝隙）．
①设大正方形的边长为，根据拼接后所得大正方形的面积与原来5个小正方形的面积之和相等，则有________，解得________．
②用直尺在图2中画出符合要求的分割线，并在图3中画出拼成的大正方形．
（2）拓展延伸：图4所示是由边长相等的等边三角形排列组成的图形，要求把它们分割后拼接成一个大的等边三角形（各部分图形之间无重叠无缝隙），请在图4中画出分割线，并在图5中画出拼成的大等边三角形．
【答案】（1）解：①，；
②如图所示：
（2）解：如图所示：
【知识点】算术平方根的实际应用；等边三角形的概念；利用轴对称、旋转、平移设计图案；数形结合；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：①设新正方形的边长为．∴，解得：；
故答案为：，；
【分析】（1）①长方形的面积为5．则正方形面积为5，解得；
②根据题意拼接图形，如图
．
(2)如图， 拼成的大等边三角形

（1）解：①设新正方形的边长为．
∴，解得：；
故答案为：，；
②如图所示：
（2）如图所示：
22．学习一次函数后，小宁知道：若已知直线上两个点的坐标，就能用待定系数法求出该直线的解析式．例如：已知直线的解析式为，分别与轴，轴交于点，点．求直线关于轴的对称直线的解析式．解题思路为：
第一步：求出，两点的坐标；
第二步：求出点关于轴的对称点的坐标；
第三步：由，两点的坐标，用待定系数法，即可求出直线的解析式．
阅读以上材料，完成下列任务．
（1）直接写出点的坐标；
（2）若直线与直线关于轴对称；
①求出直线的解析式；
②在①的条件下，若点为直线上的一个动点，当点的横、纵坐标之和为3时，求点的坐标；
③在②的条件下，将直线向下平移个单位长度后得到直线，若直线与轴的交点为，且满足时，求的值．
【答案】（1）
（2）①解：由得，当时，当时，，∴与轴交点坐标为，，
∴与轴对称的点坐标为，，
设直线关于轴对称的直线的表达式为，
∴，解得，
∴直线关于轴对称的直线的解析式；，
②设，
∵点的横、纵坐标之和为3
∴
解得：
∴
③设直线的解析式
当时，
∴
∵
∴
解得：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（1）解：直线的解析式为，
当时，
∴
【分析】（1）点B在y轴上，令，代入，得，；
（2）①先求出与轴交点坐标为，，则与轴对称的点坐标为，，由待定系数法确定解析式为；
②设，根据点的横、纵坐标之和为3，求得，；
③一次函数的平移，设直线的解析式，当时，，得，由，解得。
（1）解：直线的解析式为，
当时，
∴
（2）①解：由得，当时，当时，，
∴与轴交点坐标为，，
∴与轴对称的点坐标为，，
设直线关于轴对称的直线的表达式为，
∴，解得，
∴直线关于轴对称的直线的解析式；，
②设，
∵点的横、纵坐标之和为3
∴
解得：
∴
③设直线的解析式
当时，
∴
∵
∴
解得：
23．【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．已知中，，点，，，分别在的边，，，上．
【操作判断】（1）如图1，若点，分别是，边的中点，分别沿和折叠，使点与点重合，点与点重合．
①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）；
②若四边形是矩形，求的度数．
【迁移思考】（2）如图2，沿折叠，点恰好与点重合，求证：四边形是菱形．
【拓展探索】（3）如图3，若点为边的中点，沿折叠，点的对应点为点，延长与射线交于点．若，，请直接写出线段的长．
【答案】解：（1）①是；
②∵四边形是矩形，
∴
根据折叠可得
∴；
（2）∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵折叠，
∴，，，
∵点为边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
当点在线段的延长线上时，连接，如图：
同理可得
∴，
综上所述，或．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】(1)解：①∵，
∴，，
根据折叠可得，
∴，
∴即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【分析】（1）① 平行四边形的性质：对角相等，对边平行，得，，折叠的性质，得，在△ABF，Rt△CDH，由三角形内角和得，由，等角代换得，则，四边形是平行四边形；
②由矩形四个角是直角，得，根据折叠，得，得；
（2）由折叠得，平行线的性质，得，等角代换得，等角对等边得，根据四边相等的四边形是菱形，得四边形是菱形；
（3）连接，分两种情况，如图，当点在线段上以及线段的延长线上，
根据折叠的性质，等边对等角证明，
如图，当点在线段的延长线上时，连接，
根据折叠的性质，等边对等角证明，，
则或．
1 / 1广西南宁市第四十七中学2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．在平行四边形中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各组数作为一个三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，2 B．3，3，3 C．3，4，5 D．6，8，9
4．正比例函数的图象经过的点是（　　）
A． B． C． D．
5．公园工作人员要测算池塘两端，之间的距离，他们先在地面上取一点，然后通过测量找到和的中点，，并测得的长为8米，则池塘两端，之间的距离是（　　）
A．16米 B．20米 C．24米 D．28米
6．如图，在平行四边形中，与相交于点，，，，则的周长为（　　）
A．18 B．21 C．22 D．24
7．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．某校男子足球队的年龄分布如条形图所示，则这些队员年龄的众数为（　　）
A．6 B．8 C．14 D．15
9．如图是一次函数的图像，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
10．“菱花窗镂映晴光，雪韵冰晶故事长”．我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形，测得，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
11．小刚家、体育馆、文具店在同一条直线上．周六上午，小刚从家跑步去体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后散步走回家．已知小刚离家的距离与离开家的时间之间）的关系如图所示．则下列说法正确的是（　　）
A．小刚一共走了
B．小刚在体育馆锻炼了
C．体育馆距离文具店
D．小刚从文具店回家的平均速度是
12．如图，在中，，，，分别以A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为，，过，两点作直线交于点，则的长是（　　）
A．1 B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　
14．已知，在一次函数的图象上，当时，与的大小关系为　 　（填“”，“”或“”）．
15．某中学规定学生的学期体育成绩满分为，其中平时成绩占，期末成绩占．小桐的两项成绩（百分制）分别为，，则小桐这学期的体育成绩是　 　．
16．如图，在矩形中，，，点，分别为边，上的动点，且，为的中点，连接，则的最小值是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，
18．如图，在中平分且交于点且交于点F．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求的大小．
19．某校从甲、乙两名同学中选拔一人参加城区中学生汉字听写大赛，这两名同学在选拔测试中的6次成绩（百分制）如下：
学生 平均数 中位数 方差
甲 ________
乙 ________
甲：
乙：
对以上数据做统计整理如右表：
（1）这6次测试中，成绩更稳定的同学是________（填“甲”或“乙”）；甲同学成绩的中位数为________分；
（2）求乙同学成绩的平均数；
（3）根据以上数据分析，你认为选谁参加比赛更合适？请说明理由．
20．2025年1月上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发了国风手办收藏热潮．李老板从某网店购买，两款风火轮手办并进行销售．两款风火轮的进货价和销售价如下表：
（1）第一次李老板用元购进了，两款风火轮共个，求两款风火轮各购进多少个．
（2）第二次李老板进货时，网店规定款风火轮进货数量不得超过款风火轮进货数量的一半，他计划购进两款风火轮共个，其中款风火轮个，设第二次购进的风火轮全部卖完所获得的利润为元．
类别价格 款 款
进价（元/个）
售价（元/个）
①请用含的代数式表示；
②应如何设计第二次进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
21．问题背景：如图1，如何把两个边长为1的小正方形分割后，拼接成一个大的正方形（各部分图形之间无重叠无缝隙）呢 我们可以设大正方形的边长为．拼接后所得大正方形的面积与原来两个小正方形的面积之和相等，则有，解得．由此可得大正方形的边长等于原来小正方形的对角线的长．
（1）类比探究：现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图2，要求把它们分割后拼接成一个大正方形（各部分图形之间无重叠无缝隙）．
①设大正方形的边长为，根据拼接后所得大正方形的面积与原来5个小正方形的面积之和相等，则有________，解得________．
②用直尺在图2中画出符合要求的分割线，并在图3中画出拼成的大正方形．
（2）拓展延伸：图4所示是由边长相等的等边三角形排列组成的图形，要求把它们分割后拼接成一个大的等边三角形（各部分图形之间无重叠无缝隙），请在图4中画出分割线，并在图5中画出拼成的大等边三角形．
22．学习一次函数后，小宁知道：若已知直线上两个点的坐标，就能用待定系数法求出该直线的解析式．例如：已知直线的解析式为，分别与轴，轴交于点，点．求直线关于轴的对称直线的解析式．解题思路为：
第一步：求出，两点的坐标；
第二步：求出点关于轴的对称点的坐标；
第三步：由，两点的坐标，用待定系数法，即可求出直线的解析式．
阅读以上材料，完成下列任务．
（1）直接写出点的坐标；
（2）若直线与直线关于轴对称；
①求出直线的解析式；
②在①的条件下，若点为直线上的一个动点，当点的横、纵坐标之和为3时，求点的坐标；
③在②的条件下，将直线向下平移个单位长度后得到直线，若直线与轴的交点为，且满足时，求的值．
23．【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．已知中，，点，，，分别在的边，，，上．
【操作判断】（1）如图1，若点，分别是，边的中点，分别沿和折叠，使点与点重合，点与点重合．
①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）；
②若四边形是矩形，求的度数．
【迁移思考】（2）如图2，沿折叠，点恰好与点重合，求证：四边形是菱形．
【拓展探索】（3）如图3，若点为边的中点，沿折叠，点的对应点为点，延长与射线交于点．若，，请直接写出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，所以选项A符合题意；
B、因为，所以不是最简二次根式，所以选项B不符合题意；
C、因为，所以不是最简二次根式，所以选项C不符合题意；
D、因为，所以不是最简二次根式，所以选项D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母．根据最简二次根式的定义，则是最简二次根式。
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，，
∴．
故答案为：B．
【分析】平行四边形的性质，根据“平行四边形两组对角分别相等”，得．
3．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、三边都相等的三角形是等边三角形，故该选项不符合题意；
C、，满足最长边的平方等于另两边的平方和，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理：三角形三边长满足最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形，计算一组三个数的数的平方，满足a2+b2=c2，则三角形为直角三角形，符合条件的为3，4，5.
4．【答案】D
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、当时，，故该选项不符合题意；
B、当时，，故该选项不符合题意；
C、当时，，故该选项不符合题意；
D、当时，，故该选项符合题意；
故答案为：D
【分析】判断点是否在正比例函数图象上，将点的横坐标代入解析式y=2x，结果等于纵坐标，则点在图象上，符合条件的是（1，2）。
5．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意，可知米，且，为和的中点，
所以，米．
故答案为：A．
【分析】由三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，得DE=AB即AB=2DE，AB=16．
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，，，，
∴，，
∴的周长．
故答案为：B．
【分析】由平行四边形对角线相互平分，得，，则 的周长。
7．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A选项：，本选项不符合题意；
B选项：与不是同类二次根式，无法直接相加，本选项不符合题意；
C选项：，本选项不符合题意；
D选项：，本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】二次根式的运算性质，则；二次根式的乘法法则：，则，，计算正确的是D项。
8．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由条形统计图可知14岁出现的次数最多，
所以这些队员年龄的众数为14岁．
故答案为：C．
【分析】一组数据中出现次数最多的数，为这组数据的众数，由条形统计图得众数为14．
9．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图像可知，当时，，即，
∴的解集为．
故答案为：A．
【分析】由，，则一次函数的函数值，图象在x轴上方的函数值大于0，则x＜3．
10．【答案】B
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如下图，设交于点，
∵四边形为菱形，，，
∴，，，
∴在中，，
∴．
故答案为：B．
【分析】如图，设交于点，
根据菱形的性质，得，，，在中，由勾股定理，得=6，=12．
11．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A. 小刚一共走了，原说法错误，不符合题意；
B. 小刚在体育馆锻炼了，原说法错误，不符合题意；
C. 体育馆距离文具店，原说法错误，不符合题意；
D. 小刚从文具店回家的平均速度是，该说法正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】由图象可知小刚家到体育馆的距离为；小刚到达体育馆和离开体育馆的时间，计算在体育馆锻炼时间为15；结合图像可知体育馆和文具店距离家分别为和，计算体育馆到文具店的距离为1000；由“速度距离时间”，小刚从文具店回家的平均速度50m/min.
12．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设，
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：C．
【分析】由线段垂直平分线段性质，得，设，由，得，则．
13．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
14．【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵中，k=3>0，
∴随的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】k为3大于0，则随的增大而增大 ，时，＜ ．
15．【答案】93
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：（分）；
答：小桐这学期的体育成绩是分．
故答案为：．
【分析】加权平均数为： （分） ．
16．【答案】8
【知识点】两点之间线段最短；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，，
∵矩形中，，，
∴，
∵，为的中点，
∴
∵
∴，即的最小值为
故答案为：．
【分析】在Rt△ADC中，由勾股定理得AC=12，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，在Rt△ANM中，得，根据，两点直线线段最短，PC 的最小值为 8.
17．【答案】解：（1）
；
（2）
，
当，时，原式
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】（1）分别化简，计算再合并同类二次根式，结果为；
（2）根据平方差公式计算（x+y）(x-y)=x2-y2，单项式乘多项式的法则化简，合并同类项为，再代入已知的x，y，则结果为．
18．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
，
，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵平分，
，
∵四边形是平行四边形，
，
∵四边形是平行四边形，
，
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质得出，再根据由两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形即可得出结论；
（2）依据BE平分∠ABC，得出，由（1）可知，，即可得出答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
，
∵四边形是平行四边形，
，
∵四边形是平行四边形，
，
．
19．【答案】（1）甲；
（2）解：乙同学成绩的平均数为
答：乙同学成绩的平均数为95.
（3）解：选甲参加比赛更合适，
理由：因为甲乙成绩平均数相等，甲的成绩方差较小，成绩较稳定，
∴选甲参加比赛更合适．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】（1）解：根据表格中，甲的方差较小，
∴这6次测试中，成绩更稳定的同学是甲，
甲同学成绩的中位数为
故答案为：甲；．
【分析】（1）根据方差越小，数据越稳定，则甲的成绩更稳定；6个数据的中位数为第3个和第4个数和的平均数是中位数为95.5；
（2）根据平均数的计算公式，得；
（3）根据甲乙成绩平均数相等，甲的成绩方差较小，则甲的成绩更稳定．
（1）解：根据表格中，甲的方差较小，
∴这6次测试中，成绩更稳定的同学是甲，
甲同学成绩的中位数为
故答案为：甲；．
（2）解：乙同学成绩的平均数为；
（3）解：选甲参加比赛更合适，
因为甲乙成绩平均数相等，甲的成绩方差较小，成绩较稳定，
∴选甲参加比赛更合适．
20．【答案】（1）解：设款风火轮购进个，款风火轮购进个，
由题意可得，
解得，
款风火轮购进：（个）
答：款风火轮购进个，款风火轮购进个．
（2）解：①设款风火轮购进个，款风火轮购进个，获利元，
由题意可得，
即
②款风火轮进货数量不得超过款风火轮进货数量的一半
随的增大而增大
时，
款风火轮有（个）
答：按照款风火轮购进个，款风火轮购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用以及一次函数的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
（1）根据第一次购进个，设款风火轮购进个，则款风火轮购进个，再由用元购进了，两款风火轮，解得，则B款为10个；
（2）①根据第二次购进两款风火轮个，设款风火轮购进个，则款风火轮购进个，获利元，根据题意得，；
②根据款风火轮进货数量不得超过款风火轮进货数量的一半，列式：款取值范围，再根据一次函数的性质，如何设计进货方案才能获得最大利润，按照A款风火轮购进个，款风火轮购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元．
（1）解：设款风火轮购进个，款风火轮购进个，
由题意可得，
解得，
款风火轮购进：（个）
答：款风火轮购进个，款风火轮购进个．
（2）解：①设款风火轮购进个，款风火轮购进个，获利元，
由题意可得，
即
②款风火轮进货数量不得超过款风火轮进货数量的一半
随的增大而增大
时，
款风火轮有（个）
答：按照款风火轮购进个，款风火轮购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元．
21．【答案】（1）解：①，；
②如图所示：
（2）解：如图所示：
【知识点】算术平方根的实际应用；等边三角形的概念；利用轴对称、旋转、平移设计图案；数形结合；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：①设新正方形的边长为．∴，解得：；
故答案为：，；
【分析】（1）①长方形的面积为5．则正方形面积为5，解得；
②根据题意拼接图形，如图
．
(2)如图， 拼成的大等边三角形

（1）解：①设新正方形的边长为．
∴，解得：；
故答案为：，；
②如图所示：
（2）如图所示：
22．【答案】（1）
（2）①解：由得，当时，当时，，∴与轴交点坐标为，，
∴与轴对称的点坐标为，，
设直线关于轴对称的直线的表达式为，
∴，解得，
∴直线关于轴对称的直线的解析式；，
②设，
∵点的横、纵坐标之和为3
∴
解得：
∴
③设直线的解析式
当时，
∴
∵
∴
解得：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（1）解：直线的解析式为，
当时，
∴
【分析】（1）点B在y轴上，令，代入，得，；
（2）①先求出与轴交点坐标为，，则与轴对称的点坐标为，，由待定系数法确定解析式为；
②设，根据点的横、纵坐标之和为3，求得，；
③一次函数的平移，设直线的解析式，当时，，得，由，解得。
（1）解：直线的解析式为，
当时，
∴
（2）①解：由得，当时，当时，，
∴与轴交点坐标为，，
∴与轴对称的点坐标为，，
设直线关于轴对称的直线的表达式为，
∴，解得，
∴直线关于轴对称的直线的解析式；，
②设，
∵点的横、纵坐标之和为3
∴
解得：
∴
③设直线的解析式
当时，
∴
∵
∴
解得：
23．【答案】解：（1）①是；
②∵四边形是矩形，
∴
根据折叠可得
∴；
（2）∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵折叠，
∴，，，
∵点为边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
当点在线段的延长线上时，连接，如图：
同理可得
∴，
综上所述，或．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】(1)解：①∵，
∴，，
根据折叠可得，
∴，
∴即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【分析】（1）① 平行四边形的性质：对角相等，对边平行，得，，折叠的性质，得，在△ABF，Rt△CDH，由三角形内角和得，由，等角代换得，则，四边形是平行四边形；
②由矩形四个角是直角，得，根据折叠，得，得；
（2）由折叠得，平行线的性质，得，等角代换得，等角对等边得，根据四边相等的四边形是菱形，得四边形是菱形；
（3）连接，分两种情况，如图，当点在线段上以及线段的延长线上，
根据折叠的性质，等边对等角证明，
如图，当点在线段的延长线上时，连接，
根据折叠的性质，等边对等角证明，，
则或．
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