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江苏省盐城市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．样本数据2，4，5，6，8的中位数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：数据2，4，5，6，8的中位数为5.
故答案为：B.
【分析】根据中位数的定义求解即可.
2．向量，，若，则实数m的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，若，则，解得.
故答案为：D.
【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解即可.
3．直线 的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】由直线 ，
则 ，
设直线的倾斜角为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解.
4．已知随机变量，若，则（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：随机变量，由，得，
则.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布曲线的对称性求解即可.
5．已知变量x，y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且线性回归方程为，则等于
x 2 4 5 6 8
y 20 40 60 70 80
A．0.5 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】B
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：易知，，
因为线性回归方程过样本中心点，所以将代入中得，.
故答案为：B.
【分析】先根据表格数据计算平均值，再根据线性回归方程必过样本中心点求解即可.
6．数列满足，，则（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：数列中，，由，得，，
，则数列是周期数列，周期为3，故.
故答案为：B.
【分析】根据数列的递推关系先求，确定数列为周期数列，利用周期性求解即可.
7．双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：双曲线的离心率为，则，
即，双曲线的渐近线方程为，即，
易知圆的圆心为，半径，
当时，即，圆心到渐近线的距离为，
此时直线与圆不相交，不符合题意；
当时，即，圆心到渐近线的距离为，
此时直线与圆相交，符合题意，
故.
故答案为：D.
【分析】根据双曲线的离心率求得双曲线的的渐近线方程，易知圆心和半径，分情况利用点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系，结合圆的弦长公式求解即可.
8．已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为，
直线方程为，
，，直线的方程为，
又，直线的方程化简为，
，，直线的方程为，
又，直线的方程化简为，
直线为曲线与的公共切线，
①，②，
由①得，两边取对数得，，，
代入②中得，，即，解得或，
当时，，，直线的方程为；
当时，，，直线的方程为；
根据选项可知直线的方程可以为.
故答案为：C.
【分析】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为，直线方程为，分别求导，利用导数的几何意义求切线方程，最后根据直线为两曲线的公共切线可解出切点，确定切线方程即可.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9．已知的展开式中常数项为32，则（　　）
A． B．二项式系数和为64
C．含的项的系数为80 D．所有项的系数和为243
【答案】A,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式的通项为，
A、展开式中常数项为32，令，即，解得，故A正确；
B、二项式系数和为，故B错误；
C、令，则，即含的项的系数为40，故C错误；
D、令，则所有项的系数和为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先写出展开式的通项，令，分别求的值和 含的项的系数即可判断AC；利用二项式系数公式求解即可判断B；令，求所有项的系数和即可判断D.
10．若点是抛物线上一点，F为抛物线C的焦点，连交抛物线C于另一点Q，则（　　）
A． B．
C．（O为坐标原点） D．
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，准线，
由点是抛物线上，可得，解得，
则，故A、B正确；
直线方程为，即，
联立，消去得，则，
则，即不垂直，，故C错误，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】易知抛物线的焦点和准线方程，根据点在抛物线上，求得m的值即可判断A；利用抛物线的定义求即可判断B；利用点斜式求得直线的方程，联立直线与抛物线方程，求得交点坐标，利用向量数量积的坐标表示，结合抛物线的定义求解即可判断CD.
11．若随机事件A，B满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为，可得，所以，
又因为，可得，所以，
由，代入可得，故B正确；
由，可得，故A错误；
由概率的加法公式，可得，故C正确；
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，利用条件概率公式，结合独立事件概率的乘法公式以及概率的加法公式求解即可判断AB；根据概率的加法公式求解即可判断C；根据对立事件的概率公式求解即可判断D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．甲、乙等6人排成一排照相，其中甲、乙两人不相邻的排法数为　 　．（用数字表示）
【答案】480
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，甲、乙两人不相邻的排法数为.
故答案为：480.
【分析】利用插空法，结合排列数公式求解即可.
13．已知函数，则的最大值为　 　
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值.
14．在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为　 　．
【答案】
【知识点】异面直线所成的角；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在平行六面体中，，
则是异面直线与所成角或其补角，
而，，，
，
，
，
，
在中，.
故答案为：.
【分析】易知是异面直线与所成角或其补角，利用余弦定理，结合空间向量数量积的运算求解即可.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．设等差数列的前n项和为，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由，即①
由②，联立①②，解得，
则的通项公式为；
（2）解：设，
则
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意，列关于等差数列通项的基本量运算列方程组，求出，即可得数列通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求即可.
（1）设等差数列的公差为，
由，即，①
由，②，联立①②，解得，
则的通项公式为；
（2）设，
则
.
16．如图，已知正三棱柱的体积为，且，点E，F，G分别为棱，，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：在正三棱柱中，分别为中点，
则，四边形为平行四边形，于是，
而平面，平面，则平面，同理平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：由，得正三角形面积，由正三棱柱的体积为，
得，解得，取中点，连接，则，
由平面，平面，得，而平面，
因此平面，又平面，则，为二面角的平面角，
在中，，，，
则锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角；柱体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用中位线性质，结合线面平行、面面平行的判定定理证明即可；
（2）由，求得正三角形的面积，再根据正三棱柱的体积求出，取中点，连接，推出为二面角的平面角，利用几何法求出余弦值.
（1）在正三棱柱中，分别为中点，
则，四边形为平行四边形，于是，
而平面，平面，则平面，同理平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由，得正三角形面积，由正三棱柱的体积为，
得，解得，取中点，连接，则，
由平面，平面，得，而平面，
因此平面，又平面，则，为二面角的平面角，
在中，，，，
所以锐二面角的余弦值为.
17．某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为；外层包装为B型的概率为，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立）
（1）求每个盲盒含限量版商品的概率；
（2）设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布；
（3）若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率．
【答案】（1）解：设事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒含限量版商品，
则，，
故每个盲盒含限量版商品的概率；
（2）解：由（1）知，1个盲盒含限量版商品的概率为，随机变量的可能值为，，
，，，
，，，
所以的分布列为：
0 1 2 3 4 5
（3）解：抽中的某个盲盒含限量版商品，该盲盒外层包装为A型的概率为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；二项分布；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）先记事件，利用全概率公式求解即可；
（2）由（1）知，1个盲盒含限量版商品的概率为，随机变量的可能值为，随机变量服从二项分布，利用二项分布求出概率，列分布列即可；
（3）由（1）的信息，利用条件概率公式求解即可.
（1）设事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒含限量版商品，
则，，
所以每个盲盒含限量版商品的概率.
（2）由（1）知，1个盲盒含限量版商品的概率为，随机变量的可能值为，，
，，，
，，，
所以的分布列为：
0 1 2 3 4 5
（3）抽中的某个盲盒含限量版商品，该盲盒外层包装为A型的概率为.
18．已知椭圆的离心率为，且经过点，点F为椭圆E的右焦点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点作直线l交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点．
①若，求直线l的斜率；
②若过点A作直线的垂线，垂足为Q，点N为线段的中点，求证：B，Q，N三点共线．
【答案】（1）解：由，可得①，
因为椭圆经过点，所以②，联立①，②，解得，
则椭圆E的标准方程为；
（2）解：①、当直线的斜率为0时，可取，因，显然不满足，
设直线，联立，消去可得，
由，解得或，
设，则，则（*），
由可得，即得，
将其代入①，可得，
代入②，可得，解得，
故直线的斜率为；
②、如图，因，点N为线段的中点，则，
依题意，，则直线的斜率为，直线的斜率为，
则，
将（*）代入，可得，
即，因点不重合，故B，Q，N三点共线．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列关于的方程组，求解即可得椭圆方程；
（2）①、易知直线的斜率不为0，设直线，，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理，推得，由，得到，将其与韦达定理联立，解得，即得直线斜率；
②、依题意，利用中点坐标公式求得，，根据斜率公式计算，消元后将（*）代入化简可得，即可证明结论.
（1）由可得①，
椭圆经过点，则②，
联立①，②，可得，
则椭圆E的标准方程为；
（2）①当直线的斜率为0时，可取因，显然不满足，
故可设直线，代入椭圆方程，消去，
可得，由，解得或，
设，则，则（*）
由可得，即得，
将其代入①，可得，
代入②，可得，解得，
故直线的斜率为；
②如图，因，点N为线段的中点，则，
依题意，，则直线的斜率为，直线的斜率为，
则，
将（*）代入，可得，
即，因点不重合，故B，Q，N三点共线．
19．已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，求证：；
（3）若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值．
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，且，
由，可得，由，可得，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）证明：设定义域为，且，
，由，可得，由，可得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
设，则，
由，可得，由，可得，
则在上单调递减，在上单调递增，故，
即当时，，则，故有；
（3）解：不等式恒成立等价于恒成立，
则，即，又因是整数，则，
当时，设，则，
由可得，由可得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，故，
即在上恒成立，
下证当时，，
证明：设，则，故函数在上单调递增，
则，即，
故当时，在上恒成立，即不等式恒成立，符合题意，
故整数a的最小值为1.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）当时，函数求定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（2）设函数，求定义域，再求导，利用求导判断函数的单调性，求最小值，再构造函数，求导，利用导数判断函数单调性，求得，故可得，从而得证；
（3）问题转化为恒成立，取，结合条件推出，在时，设，求导，利用导数判断函数的单调性，求得，即得在上恒成立，再证当时，，可得不等式恒成立，从而确定整数a的最小值.
（1）当时，，其定义域为，且，
由可得，由可得，
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）设，函数的定义域为，
且，
因，由可得，由可得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
设，则，
由可得，由可得，
则在上单调递减，在上单调递增，故，
即当时，，则，故有.
（3）不等式恒成立等价于恒成立，
则，即，又因是整数，则.
当时，设，则，
由可得，由可得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，故，
即在上恒成立，
下证当时，.
证明：设，则，故函数在上单调递增，
则，即.
故当时，在上恒成立，即不等式恒成立，符合题意.
故整数a的最小值为1.
1 / 1江苏省盐城市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．样本数据2，4，5，6，8的中位数为（　　）
A． B． C． D．
2．向量，，若，则实数m的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．
3．直线 的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
4．已知随机变量，若，则（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
5．已知变量x，y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且线性回归方程为，则等于
x 2 4 5 6 8
y 20 40 60 70 80
A．0.5 B．1.5 C．2 D．2.5
6．数列满足，，则（　　）
A． B． C． D．3
7．双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9．已知的展开式中常数项为32，则（　　）
A． B．二项式系数和为64
C．含的项的系数为80 D．所有项的系数和为243
10．若点是抛物线上一点，F为抛物线C的焦点，连交抛物线C于另一点Q，则（　　）
A． B．
C．（O为坐标原点） D．
11．若随机事件A，B满足，则（　　）
A． B． C． D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．甲、乙等6人排成一排照相，其中甲、乙两人不相邻的排法数为　 　．（用数字表示）
13．已知函数，则的最大值为　 　
14．在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为　 　．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．设等差数列的前n项和为，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
16．如图，已知正三棱柱的体积为，且，点E，F，G分别为棱，，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求锐二面角的余弦值．
17．某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为；外层包装为B型的概率为，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立）
（1）求每个盲盒含限量版商品的概率；
（2）设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布；
（3）若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率．
18．已知椭圆的离心率为，且经过点，点F为椭圆E的右焦点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点作直线l交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点．
①若，求直线l的斜率；
②若过点A作直线的垂线，垂足为Q，点N为线段的中点，求证：B，Q，N三点共线．
19．已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，求证：；
（3）若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：数据2，4，5，6，8的中位数为5.
故答案为：B.
【分析】根据中位数的定义求解即可.
2．【答案】D
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，若，则，解得.
故答案为：D.
【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解即可.
3．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】由直线 ，
则 ，
设直线的倾斜角为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解.
4．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：随机变量，由，得，
则.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布曲线的对称性求解即可.
5．【答案】B
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：易知，，
因为线性回归方程过样本中心点，所以将代入中得，.
故答案为：B.
【分析】先根据表格数据计算平均值，再根据线性回归方程必过样本中心点求解即可.
6．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：数列中，，由，得，，
，则数列是周期数列，周期为3，故.
故答案为：B.
【分析】根据数列的递推关系先求，确定数列为周期数列，利用周期性求解即可.
7．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：双曲线的离心率为，则，
即，双曲线的渐近线方程为，即，
易知圆的圆心为，半径，
当时，即，圆心到渐近线的距离为，
此时直线与圆不相交，不符合题意；
当时，即，圆心到渐近线的距离为，
此时直线与圆相交，符合题意，
故.
故答案为：D.
【分析】根据双曲线的离心率求得双曲线的的渐近线方程，易知圆心和半径，分情况利用点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系，结合圆的弦长公式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为，
直线方程为，
，，直线的方程为，
又，直线的方程化简为，
，，直线的方程为，
又，直线的方程化简为，
直线为曲线与的公共切线，
①，②，
由①得，两边取对数得，，，
代入②中得，，即，解得或，
当时，，，直线的方程为；
当时，，，直线的方程为；
根据选项可知直线的方程可以为.
故答案为：C.
【分析】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为，直线方程为，分别求导，利用导数的几何意义求切线方程，最后根据直线为两曲线的公共切线可解出切点，确定切线方程即可.
9．【答案】A,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式的通项为，
A、展开式中常数项为32，令，即，解得，故A正确；
B、二项式系数和为，故B错误；
C、令，则，即含的项的系数为40，故C错误；
D、令，则所有项的系数和为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先写出展开式的通项，令，分别求的值和 含的项的系数即可判断AC；利用二项式系数公式求解即可判断B；令，求所有项的系数和即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，准线，
由点是抛物线上，可得，解得，
则，故A、B正确；
直线方程为，即，
联立，消去得，则，
则，即不垂直，，故C错误，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】易知抛物线的焦点和准线方程，根据点在抛物线上，求得m的值即可判断A；利用抛物线的定义求即可判断B；利用点斜式求得直线的方程，联立直线与抛物线方程，求得交点坐标，利用向量数量积的坐标表示，结合抛物线的定义求解即可判断CD.
11．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为，可得，所以，
又因为，可得，所以，
由，代入可得，故B正确；
由，可得，故A错误；
由概率的加法公式，可得，故C正确；
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，利用条件概率公式，结合独立事件概率的乘法公式以及概率的加法公式求解即可判断AB；根据概率的加法公式求解即可判断C；根据对立事件的概率公式求解即可判断D.
12．【答案】480
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，甲、乙两人不相邻的排法数为.
故答案为：480.
【分析】利用插空法，结合排列数公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值.
14．【答案】
【知识点】异面直线所成的角；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在平行六面体中，，
则是异面直线与所成角或其补角，
而，，，
，
，
，
，
在中，.
故答案为：.
【分析】易知是异面直线与所成角或其补角，利用余弦定理，结合空间向量数量积的运算求解即可.
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由，即①
由②，联立①②，解得，
则的通项公式为；
（2）解：设，
则
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意，列关于等差数列通项的基本量运算列方程组，求出，即可得数列通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求即可.
（1）设等差数列的公差为，
由，即，①
由，②，联立①②，解得，
则的通项公式为；
（2）设，
则
.
16．【答案】（1）证明：在正三棱柱中，分别为中点，
则，四边形为平行四边形，于是，
而平面，平面，则平面，同理平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：由，得正三角形面积，由正三棱柱的体积为，
得，解得，取中点，连接，则，
由平面，平面，得，而平面，
因此平面，又平面，则，为二面角的平面角，
在中，，，，
则锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角；柱体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用中位线性质，结合线面平行、面面平行的判定定理证明即可；
（2）由，求得正三角形的面积，再根据正三棱柱的体积求出，取中点，连接，推出为二面角的平面角，利用几何法求出余弦值.
（1）在正三棱柱中，分别为中点，
则，四边形为平行四边形，于是，
而平面，平面，则平面，同理平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由，得正三角形面积，由正三棱柱的体积为，
得，解得，取中点，连接，则，
由平面，平面，得，而平面，
因此平面，又平面，则，为二面角的平面角，
在中，，，，
所以锐二面角的余弦值为.
17．【答案】（1）解：设事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒含限量版商品，
则，，
故每个盲盒含限量版商品的概率；
（2）解：由（1）知，1个盲盒含限量版商品的概率为，随机变量的可能值为，，
，，，
，，，
所以的分布列为：
0 1 2 3 4 5
（3）解：抽中的某个盲盒含限量版商品，该盲盒外层包装为A型的概率为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；二项分布；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）先记事件，利用全概率公式求解即可；
（2）由（1）知，1个盲盒含限量版商品的概率为，随机变量的可能值为，随机变量服从二项分布，利用二项分布求出概率，列分布列即可；
（3）由（1）的信息，利用条件概率公式求解即可.
（1）设事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒含限量版商品，
则，，
所以每个盲盒含限量版商品的概率.
（2）由（1）知，1个盲盒含限量版商品的概率为，随机变量的可能值为，，
，，，
，，，
所以的分布列为：
0 1 2 3 4 5
（3）抽中的某个盲盒含限量版商品，该盲盒外层包装为A型的概率为.
18．【答案】（1）解：由，可得①，
因为椭圆经过点，所以②，联立①，②，解得，
则椭圆E的标准方程为；
（2）解：①、当直线的斜率为0时，可取，因，显然不满足，
设直线，联立，消去可得，
由，解得或，
设，则，则（*），
由可得，即得，
将其代入①，可得，
代入②，可得，解得，
故直线的斜率为；
②、如图，因，点N为线段的中点，则，
依题意，，则直线的斜率为，直线的斜率为，
则，
将（*）代入，可得，
即，因点不重合，故B，Q，N三点共线．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列关于的方程组，求解即可得椭圆方程；
（2）①、易知直线的斜率不为0，设直线，，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理，推得，由，得到，将其与韦达定理联立，解得，即得直线斜率；
②、依题意，利用中点坐标公式求得，，根据斜率公式计算，消元后将（*）代入化简可得，即可证明结论.
（1）由可得①，
椭圆经过点，则②，
联立①，②，可得，
则椭圆E的标准方程为；
（2）①当直线的斜率为0时，可取因，显然不满足，
故可设直线，代入椭圆方程，消去，
可得，由，解得或，
设，则，则（*）
由可得，即得，
将其代入①，可得，
代入②，可得，解得，
故直线的斜率为；
②如图，因，点N为线段的中点，则，
依题意，，则直线的斜率为，直线的斜率为，
则，
将（*）代入，可得，
即，因点不重合，故B，Q，N三点共线．
19．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，且，
由，可得，由，可得，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）证明：设定义域为，且，
，由，可得，由，可得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
设，则，
由，可得，由，可得，
则在上单调递减，在上单调递增，故，
即当时，，则，故有；
（3）解：不等式恒成立等价于恒成立，
则，即，又因是整数，则，
当时，设，则，
由可得，由可得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，故，
即在上恒成立，
下证当时，，
证明：设，则，故函数在上单调递增，
则，即，
故当时，在上恒成立，即不等式恒成立，符合题意，
故整数a的最小值为1.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）当时，函数求定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（2）设函数，求定义域，再求导，利用求导判断函数的单调性，求最小值，再构造函数，求导，利用导数判断函数单调性，求得，故可得，从而得证；
（3）问题转化为恒成立，取，结合条件推出，在时，设，求导，利用导数判断函数的单调性，求得，即得在上恒成立，再证当时，，可得不等式恒成立，从而确定整数a的最小值.
（1）当时，，其定义域为，且，
由可得，由可得，
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）设，函数的定义域为，
且，
因，由可得，由可得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
设，则，
由可得，由可得，
则在上单调递减，在上单调递增，故，
即当时，，则，故有.
（3）不等式恒成立等价于恒成立，
则，即，又因是整数，则.
当时，设，则，
由可得，由可得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，故，
即在上恒成立，
下证当时，.
证明：设，则，故函数在上单调递增，
则，即.
故当时，在上恒成立，即不等式恒成立，符合题意.
故整数a的最小值为1.
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