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江苏省扬州市2024-2025学年高二下学期期末调研数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，，则.
故答案为：B.
【分析】根据集合的特征先求集合，再根据集合的补集运算求解即可.
2．已知随机变量X的概率分布如下
X 0
P a
则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率分布列
【解析】【解答】解：由分布列可知，解得.
故答案为：C.
【分析】根据概率的性质列式求解即可.
3．函数，的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数的定义域关于原点对称，
，即函数为奇函数，排除BD；
当时，，则，，可得，排除C.
故答案为：A.
【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊区间上正弦函数值的正负判断即可.
4．从4名男生、3名女生中选择3人组成一支志愿者小分队，要求男、女生都有，不同的组队方案共有（　　）
A．30种 B．34种 C．48种 D．60种
【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：①、选出的3人为2男1女，有种选法；
②、选出的3人为1男2女，有种选法，则不同的组队方法一共有种选法.
故答案为：A.
【分析】利用分类加法计数原理求解即可.
5．函数在处的瞬时变化率是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算；瞬时变化率
【解析】【解答】解：函数定义域为，
求导可得，
则函数在处的瞬时变化率是.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，再求导，将代入求瞬时变化率即可.
6．已知变量x，y线性相关，其一组样本数据（，2，3，4，5），满足，用最小二乘法得到的线性回归方程是．现增加一个数据，重新计算得到的回归直线斜率是，时，y的估计值是（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：易知，，
增加数据后，，且回归直线为，
则，得，即，
当时，.
故答案为：B.
【分析】由题意，易知，，再求增加数据后的平均值，根据回归方程必过样本点中心，求修正后的回归直线方程，根据归回方程估计的对应值即可.
7．在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示：
，，，，
由空间向量数量积的定义可得，，
同理可得，
由题意可知，四边形是平行四边形，
，
，
，
故，则线段的长度为．
故答案为：C．
【分析】由题意，利用空间向量的数量积求得，，，易知四边形是平行四边形，根据向量的线性运算以、、为基向量表示，再根据空间向量数量积的运算律求的模长，即可得线段的长度．
8．某所高中高一、高二、高三学生人数占全校总人数的比分别为，和．在某次期中考试中，各年级数学成绩均近似服从正态分布：高一成绩，高二成绩，高三成绩，现从全校学生中随机抽取一名学生，记其成绩为X，则最接近的值是（　　）
参考数据：若，则，．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【解答】解：由随机变量服从正态分布，，
所以，
同理；
由随机变量服从正态分布，，所以
.
故答案为：A.
【分析】根据正态分布的性质，结合原则求解即可.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列选项中正确的有（　　）
A．若随机变量分布，则X的数学期望
B．若随机变量，则X的方差
C．在线性回归分析中，相关系数r满足
D．在线性回归分析中，若相关系数r的绝对值越大，则两变量相关程度越强
【答案】A,C,D
【知识点】极差、方差与标准差；样本相关系数r及其数字特征；二项分布
【解析】【解答】解：A、，则，即，故A正确；
B、若随机变量，则X的方差，故B错误；
C、在线性回归分析中，相关系数r满足，故C正确；
D、在线性回归分析中，若相关系数r的绝对值越大，则两变量相关程度越强，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据分布，求即可判断A；根据二项分布求方差即可判断B；根据线性回归分析中相关系数的意义即可判断CD.
10．已知，下列选项中正确的有（　　）
A．
B．，，，…，中，最大
C．
D．
【答案】B,C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：A、展开式的通项为，当时，，则，故A错误；
B、所有项的系数，易知所有系数正负交替出现，可知在中，最大的是，其中，则最值为，故B正确；
C、令，则，故C正确；
D、令，则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】写出展开式的通项，令的指数为1，求解即可判断A；根据通项，易知所有系数正负交替出现，在中，最大的是，求和系数最大的项的系数即可判断B；利用赋值法，令和，分别求出所有系数之和以及所有系数绝对值的和即可判断CD.
11．如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（　　）
A．线段长度的最大值是
B．点P到平面的距离是定值
C．直线与BD所成角的最小值是
D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则
设，且，
A、，当时，，故A正确；
B、正方体中，∥，平面，平面，
所以∥平面，因为，所以点P到平面的距离是等于点到平面的距离，
设到平面的距离为，由得，，得，故B不正确；
C、，，
设直线与BD的所成角为，
则
令，则，
函数，在上单调递减，在上单调递增，所以，
，所以，故C正确；
D、设平面的法向量，则，
取，得，，
所以直线与平面所成角的正弦值为：，
因为在上单调递增，
，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，且，利用空间两点间的距离通过求函数最大值即可判断A；由∥平面得到点P到平面的距离即为点到平面的距离，设到平面的距离为，利用等体积法，结合棱锥的体积公式求得距离即可判断B；设直线与BD的所成角为，利用空间向量表示线线角，利用函数单调性求得最值即可判断C；求平面的法向量，利用空间向量法求直线与平面所成角，结合函数的单调性求正弦值的范围即可判断D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在空间直角坐标系中，，，若，则实数　 　．
【答案】6
【知识点】空间中两点间的距离公式；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：点，，易知，
则，解得.
故答案为：.
【分析】易知的坐标，根据向量模长的坐标表示，结合列式求解即可.
13．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：定义域为，
，
由题意可得在上恒成立，
令，当时，，
则在上恒成立可转化为：
在上恒成立，即在上恒成立，即，
，当且仅当时等号成立，
则在上的最小值是4，即.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，问题转化为在上恒成立，令，换元，分离参数，即在上恒成立，利用基本不等式求最值，确定实数的取值范围即可.
14．类比排列数公式，定义（其中，），将右边展开并用符号表示（，）的系数，得，则：
（1）　 　；（结果用数字表示）
（2）若，（，），则　 　．
【答案】24；
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：由题意可知：，则时一次项系数，
，即；
由题意得，
展开得，可得，
因为，，所以，
故答案为：24；.
【分析】根据新定义写出对应的函数，求即可；由题意得，将其展开，根据展开式，列出其中相等的项，写出方程，化简求解即可.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：不等式，等价于，解得，即集合，
当时，集合，则；
（2）解：因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，
因为，所以，所以，解得，
所以实数a的取值范围是．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；必要条件；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）解分式不等式求得集合，将代入，求得集合B，再根据集合的并集运算求解即可；
（2）由题意可得B是A的真子集，根据集合的包含关系，列出关于不等式组求解即可．
（1）由不等式得，解得，故．
当时，，所以；
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，
因为，所以，所以，解得，
所以实数a的取值范围是．
16．为了解某小区居民的周末休闲方式是否与性别有关，随机抽取了该小区居民100 人进行了调查，其中女性60人，男性40人，女性中有40人休闲方式是看电视，另外20人休闲方式是运动；男性中有10人休闲方式是看电视，另外30人休闲方式是运动．
（1）根据以上数据将如下2×2列联表补充完整；
　 　 　 合计
　 　 　 40
　 　 　 　
合计 　 　 　
（2）请根据小概率值的独立性检验，判断休闲方式与性别是否有关．
附：，
【答案】（1）解：列联表如下：
看电视 运动 合计
男性 10 30 40
女性 40 20 60
合计 50 50 100
（2）解：零假设：该小区居民的周末休闲方式和性别无关，
根据列联表中的数据，可得：，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该小区居民的周末休闲方式和性别有关，此推断犯错误的概率不大于．
【知识点】独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由题意，完善列联表即可；
（2）先进项零假设，再计算卡方值，与临界值比较判断即可.
（1）
看电视 运动 合计
男性 10 30 40
女性 40 20 60
合计 50 50 100
（2）提出零假设：该小区居民的周末休闲方式和性别无关，
根据列联表中的数据，可得：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该小区居民的周末休闲方式和性别有关，此推断犯错误的概率不大于．
17．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：在中，过点作，因为平面，所以，，
以点为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
则，，，
设平面的法向量，则，
令得，此时，又平面，所以平面；
（2）解：由（1）知平面的法向量，
设平面的法向量为，则，
令得，，
设二面角的大小为，则，即二面角的正弦值为．
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）在中，过点作，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面平行即可；
（2）由（1）的空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）方法一：如图，连接交与点，连接，
因为，所以，
又，所以，所以，
又平面，平面，所以平面．
方法二：（1）在中，过点作，因为平面，
所以，，
如图，以点为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，．
则，，．
设平面的法向量，则，
令得
此时，又平面，所以平面．
（2）方法一：由（1）知平面的法向量
设平面的法向量为，则，
令得
设二面角的大小为，则
所以二面角的正弦值为．
方法二：因为平面，平面，所以平面平面，
所以二面角大小与二面角大小互余，
所以二面角的正弦值就等于二面角的余弦值，
如图，在中，过点作，过点作，连接，
则，所以即为二面角的平面角
，在中，，
所以，所以，
所以二面角的正弦值为．
18．甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y．
（1）若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望；
（2）规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”．
（i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率；
（ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：．
【答案】（1）解：甲可能通过项目数，服从超几何分布，
则X的概率分布：
，
，
，
X的数学期望，
乙通过项目数符合二项分布，即，，
则Y的概率分布：
，，
，，
Y的数学期望；
（2）解：（i）因为，所以运动员甲考核“达标”时，运动员甲考核“优秀”的概率是；
（ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为，
则，
可知，
当时，，在上单调递增，
又，所以，
甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为，
则在上单调递增，
又因为，所以，
综上，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）分别根据超几何分布和二项分布求甲、乙的分布列，再计算期望即可；
（2）（i）由（1）中各事件概率，根据条件概率公式求解即可；
（ii）根据甲乙通过项目数的分布列，分别求出甲乙两人合格和优秀时的概率，利用导数判断其单调性，利用单调性列出不等式，证明即可.
（1）甲可能通过项目数，服从超几何分布，
则X的概率分布：
，
，
X的数学期望．
乙通过项目数符合二项分布，即，，
则Y的概率分布：
，，
，，
Y的数学期望．
（2）（i）因为，
所以运动员甲考核“达标”时，运动员甲考核“优秀”的概率是．
（ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为，
则，
可知，
当时，，在上单调递增，
又，所以．
甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为，
则在上单调递增，
又，所以．
综上，．
19．已知函数．
（1）若在处取极值，求实数a的值；
（2）若，求曲线过原点的切线方程；
（3）记，已知存在最小值，求的最大值．
【答案】（1）解：定义域为，，
因为在处取极值，所以，解得，
而当时，在上单调递增，又，
所以时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以在处取极小值，综上，；
（2）解：当时，函数，，
设切点为，则切线斜率，
切线方程为：，
将代入：，
整理得，时，方程成立；
且当时，，而；
当时，，，均不满足，故方程有唯一解，
所以切线方程：，整理得：；
（3）解：记，
一方面，注意到，
所以①，
另一方面，由（1）知，时，，
又，所以，
所以，
结合①可知，时，②，
综合①②，的最大值是．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，由题意可得，解得，再代入检验即可；
（2）当时，函数，求导，设切点为，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程，将代入整理可得，分类讨论该方程的解，即可确定，回代入切线方程化简整理即可；
（3）记，可得，则，由（1）可得当时，，根据题意可得，故得当时，，即可得的最大值.
（1）定义域为，，
因为在处取极值，所以，解得．
而当时，在上单调递增，又，
所以时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以在处取极小值．综上，．
（2）时，，，
设切点为，则切线斜率，
所以切线方程为：，
将代入：，
整理得，时，方程成立；
且当时，，而；
当时，，，均不满足；
故方程有唯一解，
所以切线方程：，整理得：
（3）记，
一方面，注意到，
所以，①
另一方面，由（1）知，时，，
又，所以，
所以，
结合①可知，时，．②
综合①②，的最大值是．
1 / 1江苏省扬州市2024-2025学年高二下学期期末调研数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知随机变量X的概率分布如下
X 0
P a
则（　　）
A． B． C． D．
3．函数，的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
4．从4名男生、3名女生中选择3人组成一支志愿者小分队，要求男、女生都有，不同的组队方案共有（　　）
A．30种 B．34种 C．48种 D．60种
5．函数在处的瞬时变化率是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．
6．已知变量x，y线性相关，其一组样本数据（，2，3，4，5），满足，用最小二乘法得到的线性回归方程是．现增加一个数据，重新计算得到的回归直线斜率是，时，y的估计值是（　　）
A．3 B． C． D．
7．在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（　　）
A． B． C． D．
8．某所高中高一、高二、高三学生人数占全校总人数的比分别为，和．在某次期中考试中，各年级数学成绩均近似服从正态分布：高一成绩，高二成绩，高三成绩，现从全校学生中随机抽取一名学生，记其成绩为X，则最接近的值是（　　）
参考数据：若，则，．
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列选项中正确的有（　　）
A．若随机变量分布，则X的数学期望
B．若随机变量，则X的方差
C．在线性回归分析中，相关系数r满足
D．在线性回归分析中，若相关系数r的绝对值越大，则两变量相关程度越强
10．已知，下列选项中正确的有（　　）
A．
B．，，，…，中，最大
C．
D．
11．如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（　　）
A．线段长度的最大值是
B．点P到平面的距离是定值
C．直线与BD所成角的最小值是
D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在空间直角坐标系中，，，若，则实数　 　．
13．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是　 　．
14．类比排列数公式，定义（其中，），将右边展开并用符号表示（，）的系数，得，则：
（1）　 　；（结果用数字表示）
（2）若，（，），则　 　．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
16．为了解某小区居民的周末休闲方式是否与性别有关，随机抽取了该小区居民100 人进行了调查，其中女性60人，男性40人，女性中有40人休闲方式是看电视，另外20人休闲方式是运动；男性中有10人休闲方式是看电视，另外30人休闲方式是运动．
（1）根据以上数据将如下2×2列联表补充完整；
　 　 　 合计
　 　 　 40
　 　 　 　
合计 　 　 　
（2）请根据小概率值的独立性检验，判断休闲方式与性别是否有关．
附：，
17．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
18．甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y．
（1）若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望；
（2）规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”．
（i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率；
（ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：．
19．已知函数．
（1）若在处取极值，求实数a的值；
（2）若，求曲线过原点的切线方程；
（3）记，已知存在最小值，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，，则.
故答案为：B.
【分析】根据集合的特征先求集合，再根据集合的补集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】概率分布列
【解析】【解答】解：由分布列可知，解得.
故答案为：C.
【分析】根据概率的性质列式求解即可.
3．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数的定义域关于原点对称，
，即函数为奇函数，排除BD；
当时，，则，，可得，排除C.
故答案为：A.
【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊区间上正弦函数值的正负判断即可.
4．【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：①、选出的3人为2男1女，有种选法；
②、选出的3人为1男2女，有种选法，则不同的组队方法一共有种选法.
故答案为：A.
【分析】利用分类加法计数原理求解即可.
5．【答案】D
【知识点】导数的四则运算；瞬时变化率
【解析】【解答】解：函数定义域为，
求导可得，
则函数在处的瞬时变化率是.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，再求导，将代入求瞬时变化率即可.
6．【答案】B
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：易知，，
增加数据后，，且回归直线为，
则，得，即，
当时，.
故答案为：B.
【分析】由题意，易知，，再求增加数据后的平均值，根据回归方程必过样本点中心，求修正后的回归直线方程，根据归回方程估计的对应值即可.
7．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示：
，，，，
由空间向量数量积的定义可得，，
同理可得，
由题意可知，四边形是平行四边形，
，
，
，
故，则线段的长度为．
故答案为：C．
【分析】由题意，利用空间向量的数量积求得，，，易知四边形是平行四边形，根据向量的线性运算以、、为基向量表示，再根据空间向量数量积的运算律求的模长，即可得线段的长度．
8．【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【解答】解：由随机变量服从正态分布，，
所以，
同理；
由随机变量服从正态分布，，所以
.
故答案为：A.
【分析】根据正态分布的性质，结合原则求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】极差、方差与标准差；样本相关系数r及其数字特征；二项分布
【解析】【解答】解：A、，则，即，故A正确；
B、若随机变量，则X的方差，故B错误；
C、在线性回归分析中，相关系数r满足，故C正确；
D、在线性回归分析中，若相关系数r的绝对值越大，则两变量相关程度越强，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据分布，求即可判断A；根据二项分布求方差即可判断B；根据线性回归分析中相关系数的意义即可判断CD.
10．【答案】B,C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：A、展开式的通项为，当时，，则，故A错误；
B、所有项的系数，易知所有系数正负交替出现，可知在中，最大的是，其中，则最值为，故B正确；
C、令，则，故C正确；
D、令，则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】写出展开式的通项，令的指数为1，求解即可判断A；根据通项，易知所有系数正负交替出现，在中，最大的是，求和系数最大的项的系数即可判断B；利用赋值法，令和，分别求出所有系数之和以及所有系数绝对值的和即可判断CD.
11．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则
设，且，
A、，当时，，故A正确；
B、正方体中，∥，平面，平面，
所以∥平面，因为，所以点P到平面的距离是等于点到平面的距离，
设到平面的距离为，由得，，得，故B不正确；
C、，，
设直线与BD的所成角为，
则
令，则，
函数，在上单调递减，在上单调递增，所以，
，所以，故C正确；
D、设平面的法向量，则，
取，得，，
所以直线与平面所成角的正弦值为：，
因为在上单调递增，
，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，且，利用空间两点间的距离通过求函数最大值即可判断A；由∥平面得到点P到平面的距离即为点到平面的距离，设到平面的距离为，利用等体积法，结合棱锥的体积公式求得距离即可判断B；设直线与BD的所成角为，利用空间向量表示线线角，利用函数单调性求得最值即可判断C；求平面的法向量，利用空间向量法求直线与平面所成角，结合函数的单调性求正弦值的范围即可判断D.
12．【答案】6
【知识点】空间中两点间的距离公式；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：点，，易知，
则，解得.
故答案为：.
【分析】易知的坐标，根据向量模长的坐标表示，结合列式求解即可.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：定义域为，
，
由题意可得在上恒成立，
令，当时，，
则在上恒成立可转化为：
在上恒成立，即在上恒成立，即，
，当且仅当时等号成立，
则在上的最小值是4，即.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，问题转化为在上恒成立，令，换元，分离参数，即在上恒成立，利用基本不等式求最值，确定实数的取值范围即可.
14．【答案】24；
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：由题意可知：，则时一次项系数，
，即；
由题意得，
展开得，可得，
因为，，所以，
故答案为：24；.
【分析】根据新定义写出对应的函数，求即可；由题意得，将其展开，根据展开式，列出其中相等的项，写出方程，化简求解即可.
15．【答案】（1）解：不等式，等价于，解得，即集合，
当时，集合，则；
（2）解：因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，
因为，所以，所以，解得，
所以实数a的取值范围是．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；必要条件；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）解分式不等式求得集合，将代入，求得集合B，再根据集合的并集运算求解即可；
（2）由题意可得B是A的真子集，根据集合的包含关系，列出关于不等式组求解即可．
（1）由不等式得，解得，故．
当时，，所以；
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，
因为，所以，所以，解得，
所以实数a的取值范围是．
16．【答案】（1）解：列联表如下：
看电视 运动 合计
男性 10 30 40
女性 40 20 60
合计 50 50 100
（2）解：零假设：该小区居民的周末休闲方式和性别无关，
根据列联表中的数据，可得：，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该小区居民的周末休闲方式和性别有关，此推断犯错误的概率不大于．
【知识点】独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由题意，完善列联表即可；
（2）先进项零假设，再计算卡方值，与临界值比较判断即可.
（1）
看电视 运动 合计
男性 10 30 40
女性 40 20 60
合计 50 50 100
（2）提出零假设：该小区居民的周末休闲方式和性别无关，
根据列联表中的数据，可得：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该小区居民的周末休闲方式和性别有关，此推断犯错误的概率不大于．
17．【答案】（1）证明：在中，过点作，因为平面，所以，，
以点为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
则，，，
设平面的法向量，则，
令得，此时，又平面，所以平面；
（2）解：由（1）知平面的法向量，
设平面的法向量为，则，
令得，，
设二面角的大小为，则，即二面角的正弦值为．
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）在中，过点作，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面平行即可；
（2）由（1）的空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）方法一：如图，连接交与点，连接，
因为，所以，
又，所以，所以，
又平面，平面，所以平面．
方法二：（1）在中，过点作，因为平面，
所以，，
如图，以点为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，．
则，，．
设平面的法向量，则，
令得
此时，又平面，所以平面．
（2）方法一：由（1）知平面的法向量
设平面的法向量为，则，
令得
设二面角的大小为，则
所以二面角的正弦值为．
方法二：因为平面，平面，所以平面平面，
所以二面角大小与二面角大小互余，
所以二面角的正弦值就等于二面角的余弦值，
如图，在中，过点作，过点作，连接，
则，所以即为二面角的平面角
，在中，，
所以，所以，
所以二面角的正弦值为．
18．【答案】（1）解：甲可能通过项目数，服从超几何分布，
则X的概率分布：
，
，
，
X的数学期望，
乙通过项目数符合二项分布，即，，
则Y的概率分布：
，，
，，
Y的数学期望；
（2）解：（i）因为，所以运动员甲考核“达标”时，运动员甲考核“优秀”的概率是；
（ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为，
则，
可知，
当时，，在上单调递增，
又，所以，
甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为，
则在上单调递增，
又因为，所以，
综上，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）分别根据超几何分布和二项分布求甲、乙的分布列，再计算期望即可；
（2）（i）由（1）中各事件概率，根据条件概率公式求解即可；
（ii）根据甲乙通过项目数的分布列，分别求出甲乙两人合格和优秀时的概率，利用导数判断其单调性，利用单调性列出不等式，证明即可.
（1）甲可能通过项目数，服从超几何分布，
则X的概率分布：
，
，
X的数学期望．
乙通过项目数符合二项分布，即，，
则Y的概率分布：
，，
，，
Y的数学期望．
（2）（i）因为，
所以运动员甲考核“达标”时，运动员甲考核“优秀”的概率是．
（ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为，
则，
可知，
当时，，在上单调递增，
又，所以．
甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为，
则在上单调递增，
又，所以．
综上，．
19．【答案】（1）解：定义域为，，
因为在处取极值，所以，解得，
而当时，在上单调递增，又，
所以时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以在处取极小值，综上，；
（2）解：当时，函数，，
设切点为，则切线斜率，
切线方程为：，
将代入：，
整理得，时，方程成立；
且当时，，而；
当时，，，均不满足，故方程有唯一解，
所以切线方程：，整理得：；
（3）解：记，
一方面，注意到，
所以①，
另一方面，由（1）知，时，，
又，所以，
所以，
结合①可知，时，②，
综合①②，的最大值是．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，由题意可得，解得，再代入检验即可；
（2）当时，函数，求导，设切点为，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程，将代入整理可得，分类讨论该方程的解，即可确定，回代入切线方程化简整理即可；
（3）记，可得，则，由（1）可得当时，，根据题意可得，故得当时，，即可得的最大值.
（1）定义域为，，
因为在处取极值，所以，解得．
而当时，在上单调递增，又，
所以时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以在处取极小值．综上，．
（2）时，，，
设切点为，则切线斜率，
所以切线方程为：，
将代入：，
整理得，时，方程成立；
且当时，，而；
当时，，，均不满足；
故方程有唯一解，
所以切线方程：，整理得：
（3）记，
一方面，注意到，
所以，①
另一方面，由（1）知，时，，
又，所以，
所以，
结合①可知，时，．②
综合①②，的最大值是．
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