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广东省清远市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数，则（　　）
A． B． C．3 D．1
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，则.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算求解即可.
2．下列各组数的方差最小的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A 、数据相同，完全集中，方差为 0，故A符合；
B 、数据在 4 到 6 之间，有一定分散，故B不符合；
C 、数据在 3 到 4 之间，相对集中，但方差大于 A 组，故C不符合；
D、数据从 5 到 9，分散程度最大，方差大于 A 组，故D不符合.
故答案为：A.
【分析】根据方差的意义逐项分析判断即可.
3．设，且相互独立，则（　　）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.9
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：事件相互独立，则，
因为，所以，解得，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据独立事件概率乘法公式求得，再根据和事件概率公式求解即可.
4．在中，已知，用表示，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：在中，由，可得为中点，
则.
故答案为：B.
【分析】由题意可得为中点，利用中点向量式表示即可.
5．已知正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则下列结论不正确的是（　　）
A．正四棱锥的底面边长为16 B．正四棱锥的高为6
C．正四棱锥的体积为 D．正四棱锥的表面积为576
【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在正四棱锥中，为正方形的中心，，
则为的中点，连接，，，如图所示：
则平面，，
则为侧面与底面所成的锐二面角，则，
设底面边长为．则，
在中，，解得，故底面边长为，故A正确；
正四棱锥的高，故B正确
体积，故C不正确
表面积为，故D正确.
故答案为：C．
【分析】在正四棱锥中，记正方形的中心为，易知，则为的中点，连接，，，设底面边长为，根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角求底边的边长即可判断A；求正四棱锥的高即可判断B；根据椎体的体积公式求解即可判断C；根据表面积公式求解即可判断D.
6．已知某中学共有学生1000名，其中男生有600人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生身高的平均数和方差分别为160和4，女生身高的平均数和方差分别为155和3，则估计该校学生身高的总体方差是（　　）
A．9.6 B．9 C．8.6 D．8
【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：总学生1000，抽样100，男生有60人，女生有40人，样本平均身高，样本方差为
故答案为：A.
【分析】 本题通过分层随机抽样的性质，先计算样本的平均身高，再利用分层方差计算样本方差，进而估计总体方差（分层抽样中，样本方差可估计总体方差）。分层抽样通过按层分类，降低层内差异、提高层间差异，从而提升抽样效率，常用于总体异质性较高的情况，其均值与方差的计算是抽样推断的基础。
7．已知为四边形所在平面内一点，满足，若，且为的中点，是中点，则（　　）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可得，即，则四边形为平行四边形，
因为，，所以，
，
又因为分别为、的中点，
所以
.
故答案为：C.
【分析】根据向量的线性运算求得，四边形为平行四边形，再利用平面向量线性定理以为基向量表示，最后根据向量的数量积运算律求解即可.
8．已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
因为函数的图象关于直线对称，所以，
又因为，所以，即，
由的图象向右平移个单位后得到函数，
由，可得，
因为，所以，
根据在区间内恰有3个解，则，解得.
故答案为：D.
【分析】利用辅助角公式化简函数，根据函数的图象关于直线对称，求得的值，确定函数的解析式，再根据三角函数图象的平移变换求得，利用正弦值等于在区间内内恰有3个解，可得到动区间端点的取值范围.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在复平面内，为坐标原点，已知向量对应的复数分别为，则以下正确的是（　　）
A．点位于第二象限 B．
C．向量对应的复数为 D．
【答案】A,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：易知向量，
A、点位于第二象限，故A正确；
B、，故B错误；
C、，向量对应的复数为，故C错误；
D、，，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据复数在复平面内的表示求得点的坐标即可判断A；求向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求解即可判断B；根据复数在复平面内的表示求解即可判断C；根据向量模的坐标表示即可判断D.
10．某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生 政史地 物化地 物化政 生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（　　）
A．该校高一学生总人数为800
B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90
C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多
D．按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人
【答案】A,C,D
【知识点】分层抽样方法；收集数据的方法
【解析】【解答】解：A、由扇形图可知选科是政史地这种组合的学生所占比例为，由条形图可知选科是政史地这种组合的学生人数为200，则该校高一学生总人数为，故A正确；
B、由条形图可知选科是生史地这种组合的学生人数为160，
则选科是生史地这种组合的学生所占比例为，
依题意，选择物化地和物化政组合的人数相等，
因此选科是物化政这种组合的学生所占比例为，
则选科是物化政这种组合的学生人数为，故B错误；
C、该校高一学生中选择物理的学生所占比例为：，
该校高一学生中选择历史的学生所占比例为：，，
则该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多，故C正确；
D、选科是生史地这种组合的学生所占比例为，则生史地组合应抽取人，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由选科为政史地这种组合的学生人数和所占比例求总人数即可判断A；由选科为物化政这种组合的学生所占比例和高一学生总人数求选科为物化政这种组合的学生人数即可判断B；比较选择物理的学生所占比例与选择历史的学生所占比例即可判断C；根据选科是生史地这种组合的学生所占比例进行分层随机抽样即可判断D.
11．已知正方体，点满足，则下列说法正确的是（　　）
A．的最小值为1
B．当时，平面截得正方体的截面面积为
C．当时，平面
D．当时，平面
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的基本定理；棱柱的结构特征；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：由知，点在四边形区域内（包括边界），
A、因为平面，所以当点在点时，取最小值，故A正确；
B、当时，所以是的中点.
取的中点，的中点，连接，，，，，，
又∥且，∥且，
所以∥且，所以四边形为平行四边形，
所以∥，
同理可知，∥，所以∥，显然，
所以平面截得正方体的截面为菱形，
因为
所以，故B正确；
C、取的中点，的中点，连接，则，
所以，
因为，所以，则点在线段上，
连接，，，，，，则∥，∥，
平面，平面平面，所以∥平面，
同理可得∥平面，
又，平面，所以平面∥平面，
显然平面与平面有公共点，且点平面，
所以与平面相交，则与平面相交，故C错误；
D、当时点在线段上（点除外），连接，则，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
所以平面，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意可得点在四边形区域内（包括边界），根据平面可知，当点在点时，取最小值，即可判断A；当时，确定点位置，从而确定截面的形状，通过相关计算即可判断B；取的中点，的中点，连接，从而确定点的位置，再证明平面∥平面，即可判断C；当时点在线段上（点除外），连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，若，则　 　.
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，若，则，解得.
故答案为：.
【分析】直接根据平面向量平行的坐标表示列式求解即可.
13．在中，角的对边分别为，已知，则　 　.
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，由，可得，
由正弦定理，解得.
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合正弦定理求解即可.
14．如图，底面半径为2的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则该圆锥的外接球表面积为　 　.
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设圆锥母线长，底面半径为，
由题意可得，即，
圆锥轴截面等腰三角形底角，，，
三角形外接圆半径即为圆锥的外接球半径，
则该圆锥的外接球表面积为.
故答案为：.
【分析】设圆锥母线长，底面半径为，以母线长为半径绕一圈可带动底面圆走三圈，求得母线长，圆锥轴截面等腰三角形底角，易知，利用同角三角函数基本关系，结合正弦定理、球的表面积公式求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
15．已知.
（1）求实数；
（2）若，求.
【答案】（1）解：由，得，
则，解得；
（2）解：由（1）得，则，
所以.
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】（1）利用复数代数形式的乘法运算，结合复数相等列式求即可；
（2）由（1）得，利用复数代数形式的乘除运算求出，再根据复数模长公式求解即可.
（1）由，得，则，
所以.
（2）由（1）得，则，
所以.
16．在中，角的对边分别为，若.
（1）求；
（2）若的面积为，求的周长.
【答案】（1）解：在中，，由正弦定理得，
则，
即，因为，所以，
又因为，所以；
（2）解：由的面积为，得，解得，
由余弦定理得：，
即，解得，故的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和定义以及两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）利用三角形面积公式，结合余弦定理求解即可.
（1）在中，由及正弦定理，得，
则，
即，而，则，
又，所以.
（2）由的面积为，得，解得，
由余弦定理得：
，即，
解得，所以的周长为.
17．某校组织高一年级800名学生数学竞赛，从中随机抽取了100名学生竞赛成绩进行适当分组，得到如下频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计这100名学生的平均分（样本的平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似估计）；
（3）若要从这800人中淘汰728人进入下一轮复赛，根据样本频率分布直方图估计进入复赛最低分数线.
【答案】（1）解：由题意得，解得；
（2）解：平均分为： ；
（3）解：由直方图可知，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，，
设复赛最低分数线为，则位于区间内，.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图各矩形面积和为1，列式求解即可；
(2)根据频率分布直方图每组的组中值乘以对应的频率，再求和求平均分即可；
(3)根据频率分布直方图进行总体百分位数的估计即可.
（1）由题意得
，解得.
（2）平均分为：.
（3）由直方图可知，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，
因为
设复赛最低分数线为，则位于区间内，
故.
18．某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对类每个问题的答对的概率均为0.5.在类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
（1）求小明在第一轮得40分的概率；
（2）求小红两轮总分得60分的概率；
（3）试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？
【答案】（1）解：从5个问题中选择2个问题，有种不同的选法；
答对2题，有种不同的选法，
则小明在第一轮得40分的概率为：；
（2）解：设事件“小红两轮总分得60分”，事件“小红第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分”；
“小红当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分”，
；
，
；
（3）解：由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，
则小明在第一轮得0分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分
则当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；
；
当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，
小红晋级复赛的概率分别为：
；
则小红晋级复赛的概率为：；
小明晋级复赛的概率为：；
，则小明更有机会进入面试环节.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）先计算从5个问题中选择2个问题以及答对2题分别有多少种不同的法，再利用古典概型概率公式求解即可；
（2）设事件“小红两轮总分得60分”，事件“小红第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分”，小红第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分或当小红第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分，求对应事件的概率再求和即可；
（3）由题意可知：能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小红和小明晋级复赛的概率，比较判断即可.
（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，
则有共种，
设小明只能答对4个问题的编号为：，
则小明在第一轮得40分，有共种，
则小明在第一轮得40分的概率为：；
（2）设“小红两轮总分得60分”为事件，“小红第一轮答错一题得分，
第二轮答对两题得分”为事件；“小红当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分”.
则，
；
.
（3）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，
则小明在第一轮得0分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分
当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；
；
当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，
小红晋级复赛的概率分别为：
；
小红晋级复赛的概率为：；
小明晋级复赛的概率为：；
，
小明更有机会进入面试环节.
19．三余弦定理是空间角的重要结论之一，如图1：设点为平面外一点，过点的斜线在平面上的射影为为平面上的任意直线，则.
（1）证明以上三余弦定理；
（2）如图2，在平行六面体中，，.
①证明：平面平面；
②若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：在射线上任取不同于点的点，设点在平面上的射影点为，
则平面，，在平面内过点作于点，连接，如图所示：
因为平面，平面，则，
因为，，平面，
则平面，又平面，因此，
，
所以；
（2）解：①、在平行六面体中，连接，连接，
由，得是菱形，则，为中点，
又，则≌，，因此，
而平面，则平面，
又因为平面，所以平面平面；
②、由①得，在平面内射影为，令在平面内射影为，
则平面，是直线与平面所成角，
即，，由①得平分，即，
由（1）得，，
，
由平面平面，得点到平面的距离等于点到平面的距离，
由，得，又，
因此，解得，
故点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）在射线上任取不同于点的点，设点在平面上的射影点为，则平面，，在平面内过点作于点，连接，将分别置于直角三角形内，再利用直角三角形边角关系推理证明即可；
（2）①、连接，连接，根据菱形的性质，结合三角形全等，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定定理证明即可；
②、利用线面角的正弦，结合①求出，利用（1）的结论求出，再利用等体积法求距离即可.
（1）在射线上任取不同于点的点，设点在平面上的射影点为，
则平面，，在平面内过点作于点，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，平面，
则平面，又平面，因此，
，
所以.
（2）①在平行六面体中，连接，连接，
由，得是菱形，则，为中点，
又，则≌，，因此，
而平面，则平面，又平面，
所以平面平面.
②由①得，在平面内射影为，令在平面内射影为，
则平面，是直线与平面所成角，
即，，由①得平分，即，
由（1）得，，
，
由平面平面，得点到平面的距离等于点到平面的距离，
由，得，又，
因此，解得，
所以点到平面的距离为.
1 / 1广东省清远市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数，则（　　）
A． B． C．3 D．1
2．下列各组数的方差最小的是（　　）
A． B． C． D．
3．设，且相互独立，则（　　）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.9
4．在中，已知，用表示，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则下列结论不正确的是（　　）
A．正四棱锥的底面边长为16 B．正四棱锥的高为6
C．正四棱锥的体积为 D．正四棱锥的表面积为576
6．已知某中学共有学生1000名，其中男生有600人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生身高的平均数和方差分别为160和4，女生身高的平均数和方差分别为155和3，则估计该校学生身高的总体方差是（　　）
A．9.6 B．9 C．8.6 D．8
7．已知为四边形所在平面内一点，满足，若，且为的中点，是中点，则（　　）
A．1 B． C． D．3
8．已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在复平面内，为坐标原点，已知向量对应的复数分别为，则以下正确的是（　　）
A．点位于第二象限 B．
C．向量对应的复数为 D．
10．某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生 政史地 物化地 物化政 生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（　　）
A．该校高一学生总人数为800
B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90
C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多
D．按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人
11．已知正方体，点满足，则下列说法正确的是（　　）
A．的最小值为1
B．当时，平面截得正方体的截面面积为
C．当时，平面
D．当时，平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，若，则　 　.
13．在中，角的对边分别为，已知，则　 　.
14．如图，底面半径为2的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则该圆锥的外接球表面积为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
15．已知.
（1）求实数；
（2）若，求.
16．在中，角的对边分别为，若.
（1）求；
（2）若的面积为，求的周长.
17．某校组织高一年级800名学生数学竞赛，从中随机抽取了100名学生竞赛成绩进行适当分组，得到如下频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计这100名学生的平均分（样本的平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似估计）；
（3）若要从这800人中淘汰728人进入下一轮复赛，根据样本频率分布直方图估计进入复赛最低分数线.
18．某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对类每个问题的答对的概率均为0.5.在类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
（1）求小明在第一轮得40分的概率；
（2）求小红两轮总分得60分的概率；
（3）试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？
19．三余弦定理是空间角的重要结论之一，如图1：设点为平面外一点，过点的斜线在平面上的射影为为平面上的任意直线，则.
（1）证明以上三余弦定理；
（2）如图2，在平行六面体中，，.
①证明：平面平面；
②若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，则.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A 、数据相同，完全集中，方差为 0，故A符合；
B 、数据在 4 到 6 之间，有一定分散，故B不符合；
C 、数据在 3 到 4 之间，相对集中，但方差大于 A 组，故C不符合；
D、数据从 5 到 9，分散程度最大，方差大于 A 组，故D不符合.
故答案为：A.
【分析】根据方差的意义逐项分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：事件相互独立，则，
因为，所以，解得，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据独立事件概率乘法公式求得，再根据和事件概率公式求解即可.
4．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：在中，由，可得为中点，
则.
故答案为：B.
【分析】由题意可得为中点，利用中点向量式表示即可.
5．【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在正四棱锥中，为正方形的中心，，
则为的中点，连接，，，如图所示：
则平面，，
则为侧面与底面所成的锐二面角，则，
设底面边长为．则，
在中，，解得，故底面边长为，故A正确；
正四棱锥的高，故B正确
体积，故C不正确
表面积为，故D正确.
故答案为：C．
【分析】在正四棱锥中，记正方形的中心为，易知，则为的中点，连接，，，设底面边长为，根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角求底边的边长即可判断A；求正四棱锥的高即可判断B；根据椎体的体积公式求解即可判断C；根据表面积公式求解即可判断D.
6．【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：总学生1000，抽样100，男生有60人，女生有40人，样本平均身高，样本方差为
故答案为：A.
【分析】 本题通过分层随机抽样的性质，先计算样本的平均身高，再利用分层方差计算样本方差，进而估计总体方差（分层抽样中，样本方差可估计总体方差）。分层抽样通过按层分类，降低层内差异、提高层间差异，从而提升抽样效率，常用于总体异质性较高的情况，其均值与方差的计算是抽样推断的基础。
7．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可得，即，则四边形为平行四边形，
因为，，所以，
，
又因为分别为、的中点，
所以
.
故答案为：C.
【分析】根据向量的线性运算求得，四边形为平行四边形，再利用平面向量线性定理以为基向量表示，最后根据向量的数量积运算律求解即可.
8．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
因为函数的图象关于直线对称，所以，
又因为，所以，即，
由的图象向右平移个单位后得到函数，
由，可得，
因为，所以，
根据在区间内恰有3个解，则，解得.
故答案为：D.
【分析】利用辅助角公式化简函数，根据函数的图象关于直线对称，求得的值，确定函数的解析式，再根据三角函数图象的平移变换求得，利用正弦值等于在区间内内恰有3个解，可得到动区间端点的取值范围.
9．【答案】A,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：易知向量，
A、点位于第二象限，故A正确；
B、，故B错误；
C、，向量对应的复数为，故C错误；
D、，，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据复数在复平面内的表示求得点的坐标即可判断A；求向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求解即可判断B；根据复数在复平面内的表示求解即可判断C；根据向量模的坐标表示即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】分层抽样方法；收集数据的方法
【解析】【解答】解：A、由扇形图可知选科是政史地这种组合的学生所占比例为，由条形图可知选科是政史地这种组合的学生人数为200，则该校高一学生总人数为，故A正确；
B、由条形图可知选科是生史地这种组合的学生人数为160，
则选科是生史地这种组合的学生所占比例为，
依题意，选择物化地和物化政组合的人数相等，
因此选科是物化政这种组合的学生所占比例为，
则选科是物化政这种组合的学生人数为，故B错误；
C、该校高一学生中选择物理的学生所占比例为：，
该校高一学生中选择历史的学生所占比例为：，，
则该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多，故C正确；
D、选科是生史地这种组合的学生所占比例为，则生史地组合应抽取人，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由选科为政史地这种组合的学生人数和所占比例求总人数即可判断A；由选科为物化政这种组合的学生所占比例和高一学生总人数求选科为物化政这种组合的学生人数即可判断B；比较选择物理的学生所占比例与选择历史的学生所占比例即可判断C；根据选科是生史地这种组合的学生所占比例进行分层随机抽样即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的基本定理；棱柱的结构特征；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：由知，点在四边形区域内（包括边界），
A、因为平面，所以当点在点时，取最小值，故A正确；
B、当时，所以是的中点.
取的中点，的中点，连接，，，，，，
又∥且，∥且，
所以∥且，所以四边形为平行四边形，
所以∥，
同理可知，∥，所以∥，显然，
所以平面截得正方体的截面为菱形，
因为
所以，故B正确；
C、取的中点，的中点，连接，则，
所以，
因为，所以，则点在线段上，
连接，，，，，，则∥，∥，
平面，平面平面，所以∥平面，
同理可得∥平面，
又，平面，所以平面∥平面，
显然平面与平面有公共点，且点平面，
所以与平面相交，则与平面相交，故C错误；
D、当时点在线段上（点除外），连接，则，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
所以平面，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意可得点在四边形区域内（包括边界），根据平面可知，当点在点时，取最小值，即可判断A；当时，确定点位置，从而确定截面的形状，通过相关计算即可判断B；取的中点，的中点，连接，从而确定点的位置，再证明平面∥平面，即可判断C；当时点在线段上（点除外），连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，即可判断D.
12．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，若，则，解得.
故答案为：.
【分析】直接根据平面向量平行的坐标表示列式求解即可.
13．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，由，可得，
由正弦定理，解得.
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合正弦定理求解即可.
14．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设圆锥母线长，底面半径为，
由题意可得，即，
圆锥轴截面等腰三角形底角，，，
三角形外接圆半径即为圆锥的外接球半径，
则该圆锥的外接球表面积为.
故答案为：.
【分析】设圆锥母线长，底面半径为，以母线长为半径绕一圈可带动底面圆走三圈，求得母线长，圆锥轴截面等腰三角形底角，易知，利用同角三角函数基本关系，结合正弦定理、球的表面积公式求解即可.
15．【答案】（1）解：由，得，
则，解得；
（2）解：由（1）得，则，
所以.
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】（1）利用复数代数形式的乘法运算，结合复数相等列式求即可；
（2）由（1）得，利用复数代数形式的乘除运算求出，再根据复数模长公式求解即可.
（1）由，得，则，
所以.
（2）由（1）得，则，
所以.
16．【答案】（1）解：在中，，由正弦定理得，
则，
即，因为，所以，
又因为，所以；
（2）解：由的面积为，得，解得，
由余弦定理得：，
即，解得，故的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和定义以及两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）利用三角形面积公式，结合余弦定理求解即可.
（1）在中，由及正弦定理，得，
则，
即，而，则，
又，所以.
（2）由的面积为，得，解得，
由余弦定理得：
，即，
解得，所以的周长为.
17．【答案】（1）解：由题意得，解得；
（2）解：平均分为： ；
（3）解：由直方图可知，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，，
设复赛最低分数线为，则位于区间内，.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图各矩形面积和为1，列式求解即可；
(2)根据频率分布直方图每组的组中值乘以对应的频率，再求和求平均分即可；
(3)根据频率分布直方图进行总体百分位数的估计即可.
（1）由题意得
，解得.
（2）平均分为：.
（3）由直方图可知，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，
因为
设复赛最低分数线为，则位于区间内，
故.
18．【答案】（1）解：从5个问题中选择2个问题，有种不同的选法；
答对2题，有种不同的选法，
则小明在第一轮得40分的概率为：；
（2）解：设事件“小红两轮总分得60分”，事件“小红第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分”；
“小红当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分”，
；
，
；
（3）解：由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，
则小明在第一轮得0分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分
则当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；
；
当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，
小红晋级复赛的概率分别为：
；
则小红晋级复赛的概率为：；
小明晋级复赛的概率为：；
，则小明更有机会进入面试环节.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）先计算从5个问题中选择2个问题以及答对2题分别有多少种不同的法，再利用古典概型概率公式求解即可；
（2）设事件“小红两轮总分得60分”，事件“小红第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分”，小红第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分或当小红第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分，求对应事件的概率再求和即可；
（3）由题意可知：能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小红和小明晋级复赛的概率，比较判断即可.
（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，
则有共种，
设小明只能答对4个问题的编号为：，
则小明在第一轮得40分，有共种，
则小明在第一轮得40分的概率为：；
（2）设“小红两轮总分得60分”为事件，“小红第一轮答错一题得分，
第二轮答对两题得分”为事件；“小红当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分”.
则，
；
.
（3）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，
则小明在第一轮得0分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分
当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；
；
当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，
小红晋级复赛的概率分别为：
；
小红晋级复赛的概率为：；
小明晋级复赛的概率为：；
，
小明更有机会进入面试环节.
19．【答案】（1）证明：在射线上任取不同于点的点，设点在平面上的射影点为，
则平面，，在平面内过点作于点，连接，如图所示：
因为平面，平面，则，
因为，，平面，
则平面，又平面，因此，
，
所以；
（2）解：①、在平行六面体中，连接，连接，
由，得是菱形，则，为中点，
又，则≌，，因此，
而平面，则平面，
又因为平面，所以平面平面；
②、由①得，在平面内射影为，令在平面内射影为，
则平面，是直线与平面所成角，
即，，由①得平分，即，
由（1）得，，
，
由平面平面，得点到平面的距离等于点到平面的距离，
由，得，又，
因此，解得，
故点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）在射线上任取不同于点的点，设点在平面上的射影点为，则平面，，在平面内过点作于点，连接，将分别置于直角三角形内，再利用直角三角形边角关系推理证明即可；
（2）①、连接，连接，根据菱形的性质，结合三角形全等，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定定理证明即可；
②、利用线面角的正弦，结合①求出，利用（1）的结论求出，再利用等体积法求距离即可.
（1）在射线上任取不同于点的点，设点在平面上的射影点为，
则平面，，在平面内过点作于点，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，平面，
则平面，又平面，因此，
，
所以.
（2）①在平行六面体中，连接，连接，
由，得是菱形，则，为中点，
又，则≌，，因此，
而平面，则平面，又平面，
所以平面平面.
②由①得，在平面内射影为，令在平面内射影为，
则平面，是直线与平面所成角，
即，，由①得平分，即，
由（1）得，，
，
由平面平面，得点到平面的距离等于点到平面的距离，
由，得，又，
因此，解得，
所以点到平面的距离为.
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