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河北沧州市第一中学2026届高三下学期第二次模拟考试数学试题
1．若复数的共轭复数为，并满足，其中为虚数单位，则（　　）
A． B． C． D．
2．若集合，集合，则的非空真子集个数为（　　）
A． B． C． D．
3．若函数，则（　　）
A． B．2 C．3 D．4
4．（　　）
A．1 B． C．-1 D．
5．已知向量，且，则（　　）
A．-2 B． C．-2或 D．2或
6．设函数，直线分别交函数和的图象于点P，Q，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
8．在正三棱柱中，，，点是平面上的动点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
9．在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，我们称从“几何分布”，经过计算，由此推广在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，，那么下列说法正确的是（　　）
A． B．，
C．的最大值为 D．
10．已知，则（　　）
A．，使得 B．，使得
C．，都有 D．有最小值
11．若正整数的公约数只有1，则称互质.设为正整数，则函数表示小于或等于且与互质的正整数的个数，例如，.函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数.下列关于欧拉函数的命题正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为　 　
13．已知幂函数满足，若函数，在区间上是减函数，则非负实数的取值范围是　 　．
14．为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为　 　km.
15．已知等比数列中，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
16．在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC
⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的正切值大小；
（3）求点B到平面CMN的距离．
17．在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：
方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为；
方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为；
方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为.
（1）物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；
（2）物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：
①第1次，随机选择一种方案；
②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，.
（i）求，，并证明：数列为等比数列；
（ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率.
18．已知函数，.
（1）若，求的单调区间；
（2）若，.
（ⅰ）求；
（ⅱ）函数图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的组数；若不存在，请说明理由.
19．已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知，P是C上的任意一点，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，可得，则
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算求得，再根据共轭复数的概念求解即可.
2．【答案】B
【知识点】子集与真子集；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合
，
集合，
则，
所以的非空真子集个数为：个．
故答案为：B.
【分析】先利用对数型函数的单调性和元素与集合的关系，从而确定集合，再利用一元二次不等式求解方法，从而得出集合，根据交集的运算法则得出集合，从而确定其非空真子集的个数.
3．【答案】D
【知识点】函数的值；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意得，则.
故答案为：D.
【分析】根据函数解析式，直接代值计算即可.
4．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
.
故答案为：D.
【分析】由已知条件和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及诱导公式，从而化简求值.
5．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积定义与物理意义；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：，，
因为，所以，所以且反向，
所以，所以或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意，所以.
故答案为：B.
【分析】根据平面向量数量积的定义求得，再根据向量平行的坐标公式列式求m的值，最后注意验证即可.
6．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设P点的横坐标为a，Q点的横坐标为b，则，
，
设，则，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时该函数取得极小值，为最小值，即，故求的最小值为1．
故答案为：A.
【分析】设点的横坐标为，点的横坐标为，用表示，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.
7．【答案】A
【知识点】直线的斜率
【解析】【解答】解：∵，∴可得为点与与直线的斜率取值范围，
如图所示：
∴与点连线斜率为，
与点连线斜率为，
∴可得斜率取值范围为．
故答案为：A．
【分析】本题的关键是将 理解为点 与定点 连线的斜率，再通过计算线段两端点与 点连线的斜率，得到取值范围。
8．【答案】B
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：
当D不在直线AC上时，过点作于H，连接AH，在正三棱柱中，平面ABC，则，所以平面，，
所以，所以当取最小值时，D在AC上，
如图所示，将在平面中绕点向下旋转得直线，作，
则，则的最小值等价于的最小值，
过作于，可知，
可知，，所以，，
则，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：B
【分析】本题考查空间几何中的最值问题，关键是通过几何变换将含系数的距离问题转化为点到直线的距离问题，再利用三角函数求解。
9．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；二项分布
【解析】【解答】解：A、因为，所以，故A错误；
B、表示进行了次，前次未发生，所以，故B正确；
C、，
令，，
所以，解得或（舍）
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
所以，即的最大值为，故C正确；
D、，
所以①
用代换得：②，
由①②得
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】 由题意可得事件发生的次数服从二项分布 ，利用二项分布求即可判断A；表示进行了次，前次未发生，根据“几何分布”，求即可判断B；服从“几何分布”，即，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值即可判断C；利用“几何分布”求数学期望，再根据公式计算数学期望即可判断D.
10．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，得或，即或，
又函数的图象恒在的图象上方，所以无解，故，即，
A、当时，成立，则，使得，故A正确；
B、易知函数的图象恒在的图象上方，则；
设，则，
令，
则函数在上单调递增，在上单调递减，得，即，
所以不存在，使得，故B错误；
C、设，由，得，
对于二次函数，其对称轴为，且，
则，都有不成立，故C错误；
D、，其几何意义为点到点的距离的平方减去1，
又点到直线，即的距离为，
所以的最小值为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】不等式转化为或，解不等式得，取特值即可判断A；易知函数的图象恒在的图象上方，则，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性证明即可判断B；设，由，得，利用二次函数的图象与性质求解即可判断C；，结合其几何意义和点到线的距离公式计算即可判断D.
11．【答案】A,C
【知识点】欧拉公式的应用
【解析】【解答】解：因为小于或等于5的正整数中与5互质的正整数为1，2，3，4，
小于或等于的正整数中与互质的正整数为1，3，7，9 ，所以，故A正确；
当时，，故B错误；
因为小于或等于32的正整数中与32互质的正整数为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，
21，23，25，27，29，31，共16个，所以，故C正确；
当时，，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】分别求小于或等于5、10的正整数中与5、10互质的正整数个数即可判断A；当时，，即可判断B；计算小于或等于32的正整数中与32互质的正整数个数即可判断C；当时，，即可判断D.
12．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：已知椭圆 ，经过右焦点 且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，，
由椭圆定义：，而 ，因此：
在 中，，，
由勾股定理：
即 ，因此椭圆的离心率：
故答案为：。
【分析】本题考查椭圆的定义与几何性质，关键是利用椭圆定义求出长半轴 ，再通过直角三角形 求出焦距 ，进而得到离心率。
13．【答案】．
【知识点】函数单调性的性质；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：依题意可知，，解得：，又，所以或1，则，所以：．，当时，在单调递减成立；当时，开口向下，对称轴右侧单调递减，所以，解得；综上所述，，
故答案为：．
【分析】根据幂函数的性质确定的表达式，再将其代入，然后分情况讨论的取值，结合二次函数（或一次函数）的单调性来确定的范围.
14．【答案】2
【知识点】解三角形；正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，， ，
在中，，
由正弦定理 ，可得，
在中，，
由 ，可得，
在中，，则 .
故答案为：2.
【分析】利用正弦定理，结合勾股定理求解即可.
15．【答案】（1）解：设等比数列的首项为，公比为，
由题意可得，化简得，
将代入，解得，
则数列的通项公式为；
（2）解：
．
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，由题意列关于，的方程组，求解即可得等比数列通项公式；
（2）分组求和，利用等差数列求和公式和等比数列求和公式求解即可.
（1）设等比数列的首项为，公比为，其通项公式为，
根据已知条件，可列出方程组，化简得：，
将代入，解得，
因此通项公式为；
（2）这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和．
．
16．【答案】解：⑴ 取中点，连结、，
因为，所以，且，
又因为平面平面，平面平面，所以平面， ，
建立空间直角坐标系O—xyz，如图所示：
则，，
，
因为，所以；
⑵ 由⑴得，
设为平面CMN的一个法向量，则，取，
则，可得，
又为平面ABC的一个法向量
，；
⑶ 由⑴⑵得，为平面CMN的一个法向量，则点B到平面CMN的距离.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中点，连结、，易证，且，根据面面垂直的性质可得，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可；
（2）利用空间向量法求解即可；
（3）利用空间向量法求距离即可.
17．【答案】（1）解：每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为，
设物流提前送达为事件D，则；
（2）解：（i）第一次随机选择，则，
若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为，
则，，
由题意得，
，，
则
，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（ii）由（i）得①，
同理
，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以②，
①②联立得，
设第n次提前送达事件为，
则
，
随着n增大，逐渐增大，且，
所以当时，，
因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的递推公式；数列与函数的综合；全概率公式
【解析】【分析】（1）易知三种方案被选中的概率均为，设物流提前送达为事件D，根据全概率公式求解即可；
（2）（i）由题意，求出第一次提前送达和第一次未提前送达的概率，代入数据，求出，；分别求出和的表达式，即可得的表达式，化简整理，结合等比数列的定义证明即可；
（ii）由（i）得的通项公式，同理可得的通项公式，联立求得和的通项，设第n次提前送达事件为，求出第n次提前送达的概率，利用单调性求解即可.
（1）每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为，
设物流提前送达为事件D，则.
（2）（i）第一次随机选择，则，
若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为，
则，，
由题意得，
，，
则
，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（ii）由（i）得①，
同理
，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以②，
①②联立得，
设第n次提前送达事件为
则
，
随着n增大，逐渐增大，且，
所以当时，，
因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率.
18．【答案】（1）解：当时，，，
则为增函数，又，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
则的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）解：（ⅰ），即，
当时，若，则，，且，不等式不成立，则，
当时，令，，
令，则，在上为增函数，，
，，，
，又且，
则在上有且仅有一个零点，
当时，，，在上为增函数，
当时，，，在上为减函数，
则函数在处取得最小值，，
又，则此时必有，所以，解得；
（ⅱ）由（ⅰ）知，，假设存在关于原点对称的点，
设点为函数图象上的点，则关于原点对称的点为，
，
设函数，
，为偶函数，
当时，，
，
，则，所以函数为增函数，，
，
即方程在上有唯一解，
综上可知函数图象上存在唯一一对关于原点对称的点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）当时，，求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（2）（ⅰ），即，根据指对函数的性质确定不成立，则，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的零点，根据不等式求的值；
（ⅱ）由（ⅰ）知，，假设存在关于原点对称的点，设点为函数图象上的点，设函数，判断函数的奇偶性，并利用导数判断函数的单调性，得方程在上有唯一解，即可得函数图象上存在唯一一对关于原点对称的点.
（1）当时，，，
则为增函数，又，
当时，，在上为增函数，
当时，，在上为减函数，
的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）（ⅰ）即，
当时，若，则，，且，不等式不成立，
，
当时，令，，
令，则，在上为增函数，，
，，，
，又且，
则在上有且仅有一个零点，
当时，，，在上为增函数，
当时，，，在上为减函数，
则函数在处取得最小值，，
又，则此时必有，所以，解得；
（ⅱ）由（ⅰ）知，，假设存在关于原点对称的点，
设点为函数图象上的点，则关于原点对称的点为，
，
设函数，
，为偶函数，
当时，，
，
，则，所以函数为增函数，，
，
即方程在上有唯一解，
综上可知函数图象上存在唯一一对关于原点对称的点.
19．【答案】（1）解：易知双曲线的焦点为，
设双曲线C的方程为，则，解得，
故双曲线C的方程为；
（2）解：由，可得或，
设，或，则，
所以，
故当时，有最小值为.
【知识点】函数的最大（小）值；平面内两点间的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）易知双曲线的焦点，设双曲线C的方程为，根据双曲线的性质求解即可；
（2）设，根据点在双曲线上，利用两点间的距离公式，结合二次函数的性质求解即可.
（1）双曲线的焦点为，
所以设双曲线C的方程为，
所以，解得，
所以双曲线C的方程为.
（2）由可得，或，
设，或，则，
所以，
所以当时，有最小值为.
1 / 1河北沧州市第一中学2026届高三下学期第二次模拟考试数学试题
1．若复数的共轭复数为，并满足，其中为虚数单位，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，可得，则
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算求得，再根据共轭复数的概念求解即可.
2．若集合，集合，则的非空真子集个数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】子集与真子集；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合
，
集合，
则，
所以的非空真子集个数为：个．
故答案为：B.
【分析】先利用对数型函数的单调性和元素与集合的关系，从而确定集合，再利用一元二次不等式求解方法，从而得出集合，根据交集的运算法则得出集合，从而确定其非空真子集的个数.
3．若函数，则（　　）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】函数的值；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意得，则.
故答案为：D.
【分析】根据函数解析式，直接代值计算即可.
4．（　　）
A．1 B． C．-1 D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
.
故答案为：D.
【分析】由已知条件和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及诱导公式，从而化简求值.
5．已知向量，且，则（　　）
A．-2 B． C．-2或 D．2或
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积定义与物理意义；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：，，
因为，所以，所以且反向，
所以，所以或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意，所以.
故答案为：B.
【分析】根据平面向量数量积的定义求得，再根据向量平行的坐标公式列式求m的值，最后注意验证即可.
6．设函数，直线分别交函数和的图象于点P，Q，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设P点的横坐标为a，Q点的横坐标为b，则，
，
设，则，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时该函数取得极小值，为最小值，即，故求的最小值为1．
故答案为：A.
【分析】设点的横坐标为，点的横坐标为，用表示，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.
7．已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】直线的斜率
【解析】【解答】解：∵，∴可得为点与与直线的斜率取值范围，
如图所示：
∴与点连线斜率为，
与点连线斜率为，
∴可得斜率取值范围为．
故答案为：A．
【分析】本题的关键是将 理解为点 与定点 连线的斜率，再通过计算线段两端点与 点连线的斜率，得到取值范围。
8．在正三棱柱中，，，点是平面上的动点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：
当D不在直线AC上时，过点作于H，连接AH，在正三棱柱中，平面ABC，则，所以平面，，
所以，所以当取最小值时，D在AC上，
如图所示，将在平面中绕点向下旋转得直线，作，
则，则的最小值等价于的最小值，
过作于，可知，
可知，，所以，，
则，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：B
【分析】本题考查空间几何中的最值问题，关键是通过几何变换将含系数的距离问题转化为点到直线的距离问题，再利用三角函数求解。
9．在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，我们称从“几何分布”，经过计算，由此推广在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，，那么下列说法正确的是（　　）
A． B．，
C．的最大值为 D．
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；二项分布
【解析】【解答】解：A、因为，所以，故A错误；
B、表示进行了次，前次未发生，所以，故B正确；
C、，
令，，
所以，解得或（舍）
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
所以，即的最大值为，故C正确；
D、，
所以①
用代换得：②，
由①②得
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】 由题意可得事件发生的次数服从二项分布 ，利用二项分布求即可判断A；表示进行了次，前次未发生，根据“几何分布”，求即可判断B；服从“几何分布”，即，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值即可判断C；利用“几何分布”求数学期望，再根据公式计算数学期望即可判断D.
10．已知，则（　　）
A．，使得 B．，使得
C．，都有 D．有最小值
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，得或，即或，
又函数的图象恒在的图象上方，所以无解，故，即，
A、当时，成立，则，使得，故A正确；
B、易知函数的图象恒在的图象上方，则；
设，则，
令，
则函数在上单调递增，在上单调递减，得，即，
所以不存在，使得，故B错误；
C、设，由，得，
对于二次函数，其对称轴为，且，
则，都有不成立，故C错误；
D、，其几何意义为点到点的距离的平方减去1，
又点到直线，即的距离为，
所以的最小值为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】不等式转化为或，解不等式得，取特值即可判断A；易知函数的图象恒在的图象上方，则，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性证明即可判断B；设，由，得，利用二次函数的图象与性质求解即可判断C；，结合其几何意义和点到线的距离公式计算即可判断D.
11．若正整数的公约数只有1，则称互质.设为正整数，则函数表示小于或等于且与互质的正整数的个数，例如，.函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数.下列关于欧拉函数的命题正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】欧拉公式的应用
【解析】【解答】解：因为小于或等于5的正整数中与5互质的正整数为1，2，3，4，
小于或等于的正整数中与互质的正整数为1，3，7，9 ，所以，故A正确；
当时，，故B错误；
因为小于或等于32的正整数中与32互质的正整数为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，
21，23，25，27，29，31，共16个，所以，故C正确；
当时，，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】分别求小于或等于5、10的正整数中与5、10互质的正整数个数即可判断A；当时，，即可判断B；计算小于或等于32的正整数中与32互质的正整数个数即可判断C；当时，，即可判断D.
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为　 　
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：已知椭圆 ，经过右焦点 且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，，
由椭圆定义：，而 ，因此：
在 中，，，
由勾股定理：
即 ，因此椭圆的离心率：
故答案为：。
【分析】本题考查椭圆的定义与几何性质，关键是利用椭圆定义求出长半轴 ，再通过直角三角形 求出焦距 ，进而得到离心率。
13．已知幂函数满足，若函数，在区间上是减函数，则非负实数的取值范围是　 　．
【答案】．
【知识点】函数单调性的性质；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：依题意可知，，解得：，又，所以或1，则，所以：．，当时，在单调递减成立；当时，开口向下，对称轴右侧单调递减，所以，解得；综上所述，，
故答案为：．
【分析】根据幂函数的性质确定的表达式，再将其代入，然后分情况讨论的取值，结合二次函数（或一次函数）的单调性来确定的范围.
14．为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为　 　km.
【答案】2
【知识点】解三角形；正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，， ，
在中，，
由正弦定理 ，可得，
在中，，
由 ，可得，
在中，，则 .
故答案为：2.
【分析】利用正弦定理，结合勾股定理求解即可.
15．已知等比数列中，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）解：设等比数列的首项为，公比为，
由题意可得，化简得，
将代入，解得，
则数列的通项公式为；
（2）解：
．
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，由题意列关于，的方程组，求解即可得等比数列通项公式；
（2）分组求和，利用等差数列求和公式和等比数列求和公式求解即可.
（1）设等比数列的首项为，公比为，其通项公式为，
根据已知条件，可列出方程组，化简得：，
将代入，解得，
因此通项公式为；
（2）这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和．
．
16．在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC
⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的正切值大小；
（3）求点B到平面CMN的距离．
【答案】解：⑴ 取中点，连结、，
因为，所以，且，
又因为平面平面，平面平面，所以平面， ，
建立空间直角坐标系O—xyz，如图所示：
则，，
，
因为，所以；
⑵ 由⑴得，
设为平面CMN的一个法向量，则，取，
则，可得，
又为平面ABC的一个法向量
，；
⑶ 由⑴⑵得，为平面CMN的一个法向量，则点B到平面CMN的距离.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中点，连结、，易证，且，根据面面垂直的性质可得，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可；
（2）利用空间向量法求解即可；
（3）利用空间向量法求距离即可.
17．在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：
方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为；
方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为；
方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为.
（1）物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；
（2）物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：
①第1次，随机选择一种方案；
②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，.
（i）求，，并证明：数列为等比数列；
（ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率.
【答案】（1）解：每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为，
设物流提前送达为事件D，则；
（2）解：（i）第一次随机选择，则，
若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为，
则，，
由题意得，
，，
则
，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（ii）由（i）得①，
同理
，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以②，
①②联立得，
设第n次提前送达事件为，
则
，
随着n增大，逐渐增大，且，
所以当时，，
因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的递推公式；数列与函数的综合；全概率公式
【解析】【分析】（1）易知三种方案被选中的概率均为，设物流提前送达为事件D，根据全概率公式求解即可；
（2）（i）由题意，求出第一次提前送达和第一次未提前送达的概率，代入数据，求出，；分别求出和的表达式，即可得的表达式，化简整理，结合等比数列的定义证明即可；
（ii）由（i）得的通项公式，同理可得的通项公式，联立求得和的通项，设第n次提前送达事件为，求出第n次提前送达的概率，利用单调性求解即可.
（1）每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为，
设物流提前送达为事件D，则.
（2）（i）第一次随机选择，则，
若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为，
则，，
由题意得，
，，
则
，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（ii）由（i）得①，
同理
，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以②，
①②联立得，
设第n次提前送达事件为
则
，
随着n增大，逐渐增大，且，
所以当时，，
因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率.
18．已知函数，.
（1）若，求的单调区间；
（2）若，.
（ⅰ）求；
（ⅱ）函数图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的组数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当时，，，
则为增函数，又，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
则的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）解：（ⅰ），即，
当时，若，则，，且，不等式不成立，则，
当时，令，，
令，则，在上为增函数，，
，，，
，又且，
则在上有且仅有一个零点，
当时，，，在上为增函数，
当时，，，在上为减函数，
则函数在处取得最小值，，
又，则此时必有，所以，解得；
（ⅱ）由（ⅰ）知，，假设存在关于原点对称的点，
设点为函数图象上的点，则关于原点对称的点为，
，
设函数，
，为偶函数，
当时，，
，
，则，所以函数为增函数，，
，
即方程在上有唯一解，
综上可知函数图象上存在唯一一对关于原点对称的点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）当时，，求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（2）（ⅰ），即，根据指对函数的性质确定不成立，则，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的零点，根据不等式求的值；
（ⅱ）由（ⅰ）知，，假设存在关于原点对称的点，设点为函数图象上的点，设函数，判断函数的奇偶性，并利用导数判断函数的单调性，得方程在上有唯一解，即可得函数图象上存在唯一一对关于原点对称的点.
（1）当时，，，
则为增函数，又，
当时，，在上为增函数，
当时，，在上为减函数，
的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）（ⅰ）即，
当时，若，则，，且，不等式不成立，
，
当时，令，，
令，则，在上为增函数，，
，，，
，又且，
则在上有且仅有一个零点，
当时，，，在上为增函数，
当时，，，在上为减函数，
则函数在处取得最小值，，
又，则此时必有，所以，解得；
（ⅱ）由（ⅰ）知，，假设存在关于原点对称的点，
设点为函数图象上的点，则关于原点对称的点为，
，
设函数，
，为偶函数，
当时，，
，
，则，所以函数为增函数，，
，
即方程在上有唯一解，
综上可知函数图象上存在唯一一对关于原点对称的点.
19．已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知，P是C上的任意一点，求的最小值．
【答案】（1）解：易知双曲线的焦点为，
设双曲线C的方程为，则，解得，
故双曲线C的方程为；
（2）解：由，可得或，
设，或，则，
所以，
故当时，有最小值为.
【知识点】函数的最大（小）值；平面内两点间的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）易知双曲线的焦点，设双曲线C的方程为，根据双曲线的性质求解即可；
（2）设，根据点在双曲线上，利用两点间的距离公式，结合二次函数的性质求解即可.
（1）双曲线的焦点为，
所以设双曲线C的方程为，
所以，解得，
所以双曲线C的方程为.
（2）由可得，或，
设，或，则，
所以，
所以当时，有最小值为.
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