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2026年广东省汕头市中考一模考试数学试题
1．早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各数中，最大的负数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵四个选项的数均为负数，且，
∴，
∴最大的负数是．
故答案为：A。
【分析】通过比较几个负数绝对值的大小，进而根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，即可得出最大的负数是．
2．2026年将实现省级低空安全监控平台全域覆盖，政策落地后三年内物流无人机市场规模有望破1800亿元．下列将“1800亿”用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1800亿，
故答案为：C．
【分析】根据绝对值大于10的科学记数法的表示形式为，（其中，为正整数，且比原整数位少1），即可得出答案。
3．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形，
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断解题即可．
4．绿色出行，健康你我．“美团”为了方便市民出行，提供了共享单车服务，图1是“美团”共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，与也平行，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵都与地面平行，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与平行，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】由题意可得，得到，再根据与平行得到，即可求解．
5．下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的加减法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．和不能合并，，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算正确，符合题意．
故答案为：D。
【分析】 根据二次根式的加减法则可得出A，B不正确；根据完全平方公式可得出C不正确。根据积得乘方和幂的乘方可得出D正确。
6．如图，在中，D是的中点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②以点D为圆心，长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④连接并延长交BC于点E．若，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：由作图可得，
∴
∴
∴
∵，D是的中点
∴
∴．
故答案为：B.
【分析】根据尺规作图可得出，进而得出，即可得出，根据相似三角形的性质可得出，进一步通过运算即可得出DE的长。
7． 《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两买羊，买得牛羊的数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设每头牛的价格为x两，
由题意可列方程：.
故答案为：B.
【分析】设每头牛的价格为x两，根据题中的相等关系“用20两买的牛的数量=用15两买的羊的数量”即可列方程求解.
8．如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：半径转过的面积．
故答案为：D
【分析】由题意可知滑轮转过的弧长为，进而根据扇形面积，即可得出答案。
9．某停车场实行计时收费，即规定时间内免费停车，超出规定时间后按时收费（24小时封顶50元）．已知费用y（元）与时间x（小时）满足一次函数，若停车5小时收费16元，停车8小时收费28元，则该停车场免费停车时间为（　　）
A．0.5小时 B．1小时 C．2小时 D．3小时
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，
由题意知，，
解得，
，
当时，，
即：该停车场免费停车时间为1小时．
故答案为：B。
【分析】首先根据题意，利用待定系数法可求得费用y（元）与时间x（小时）满足的一次函数，进而求出当y=0时的x的值即可。
10．观察一列数：，按你发现的规律计算这列数的第8个数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：序号为1时，分子，分母；序号为2时，分子，分母；
序号为3时，分子，分母；
序号为4时，分子，分母；
∴ 可得规律：第个数为，
将代入公式，得，
因此第8个数为.
故答案为：D。
【分析】首先根据已有的式子，可归纳总结出规律，按此规律即可得出答案。
11．分解因式：2x2﹣8=　 　
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
12．小明和爸爸搭乘高铁回老家过年，在小程序上购票时，系统自动将两人分配到同一排（如图是高铁座位示意图），则小明和爸爸分配的座位恰好是邻座（过道两侧视为邻座）的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有20种等可能性结果，符合条件的有8种，
所以小明与爸爸分配的座位是相邻的概率是．
故答案为：
【分析】根据树状图进行分析可得出 共有20种等可能性结果，符合条件的有8种， 进而根据概率计算公式即可得出答案。
13．某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损15元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利90元．这款风扇每台的标价为　 　元．
【答案】350
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：设这款风扇每台的标价为元，
根据题意得，
移项合并同类项得，
解得，
即这款风扇每台的标价为元．
故答案为：350.
【分析】设这款风扇每台的标价为元，根据成本不变，可得出方程，解方程即可。
14．如图，线段是一个正多边形的三条边，分别延长交于点M，若，则这个正多边形是　 　．
【答案】正八边形
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解： 线段，，是一个正多边形的三条边，
该正多边形的每个外角都相等，
，
，
在中，，
该正多边形的边数为，
这个正多边形是正八边形．
故答案为：正八边形。
【分析】首先根据三角形的内角和及等腰三角形的性质可得出正多边形的外角，进而根据正多边形的性质及多边形外角和定理即可得出正多边形的边数。
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，设正方形的边长为，与轴相交于，
则四边形是矩形，
， ，．
由折叠的性质，得，．
点的坐标为，点的坐标为，
， ，
．
在中，，
，
解得，
，．
在中，，
，
解得，
，
点的坐标为．
故答案为：．
【分析】设与轴相交于，根据题意可得四边形为矩形，设正方形的边长为，则，，．由折叠的性质可得，．根据题意可得，，从而得到．在 中，由勾股定理可得，解得，从而，．在中，，解得，所以，即可得出点的坐标．
16．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【分析】我们先分别利用负整数指数幂的运算规则、零指数幂的运算规则、二次根式的化简性质以及绝对值的化简性质，求出每一项的结果，再对所得结果进行加减运算，就能得到最终答案。
17．解不等式组：，并写出它的整数解．
【答案】解：，解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解为：，，0，1．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】要解决这个问题，我们可以先分别求解不等式组里的两个不等式，之后找到两个解集的公共部分，以此确定不等式组的整体解集，最后再在得到的解集里找出对应的整数解即可。
18．为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计：
八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12；
九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6．
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 8 8 b
九年级 8 a 9
根据以上信息，回答下列问题：
（1） ， ；
（2）A同学说：“我平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生；
（3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由．
【答案】（1），
（2）八
（3）解：我认为九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好．
理由：因为八、九年级的平均数相等，九年级每周锻炼时间的方差小于八年级每周锻炼时间的方差，所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好
【知识点】中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：把九年级10名学生的测试成绩排好顺序为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为；
八年级10名学生每周锻炼8小时的最多有3人，所以众数，
故答案为：，；
（2）解：A同学平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平，而八年级学生的平均每周锻炼时长的中位数是8，由此可判断他是八年级的学生；
故答案为：八；
【分析】（1）结合题中数据，根据中位数和众数的求解方法，求出答案即可；
（2）结合题意可得，通过中位数的意义，来求解判断即可；
（3）比较两组数据中的平均数，方差等含义，来判断即可．
（1）解：把九年级10名学生的测试成绩排好顺序为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为；
八年级10名学生每周锻炼8小时的最多有3人，所以众数，
故答案为：，；
（2）解：A同学平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平，而八年级学生的平均每周锻炼时长的中位数是8，由此可判断他是八年级的学生；
故答案为：八；
（3）解：我认为九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好．
理由：因为八、九年级的平均数相等，九年级每周锻炼时间的方差小于八年级每周锻炼时间的方差，所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好
19．随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、更加均匀、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有A，B两款无人机为茶农提供农药喷洒服务，据了解，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可喷洒560亩茶园；2架A款无人机和3架B款无人机每小时可喷洒540亩茶园．
（1）求A，B两款无人机每小时各可喷洒茶园多少亩？
（2）当地某茶农有茶园1700亩，计划使用A，B两款无人机共16架同时进行1小时的农药喷洒，为了在一个小时内（含一个小时）将这些茶园喷洒上农药，那么最少使用多少架A款无人机？
【答案】（1）解：设A款无人机每小时可喷洒茶园亩，B款无人机每小时可喷洒茶园亩，根据题意得，
解得：
答：A款无人机每小时可喷洒茶园120亩，B款无人机每小时可喷洒茶园100亩；
（2）解：设使用 架A款无人机，则使用架B款无人机，根据题意得，
解得：，
∴最小整数解为5，
答：最少需使用5架A 款无人机．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）我们设A款无人机每小时能够喷洒a亩茶园，B款无人机每小时能够喷洒b亩茶园，结合题目给出的条件列出二元一次方程组，求解该方程组后即可得到答案；
（2）我们设投入作业的A款无人机数量为x 架，则投入作业的B款无人机数量为 16 x 架，根据题目要求列出一元一次不等式，求出不等式解集后取最小整数解，即可得到结果。
（1）解：设A款无人机每小时可喷洒茶园亩，B款无人机每小时可喷洒茶园亩，根据题意得，
解得：
答：A款无人机每小时可喷洒茶园120亩，B款无人机每小时可喷洒茶园100亩；
（2）解：设使用 架A款无人机，则使用架B款无人机，根据题意得，
解得：，
∴最小整数解为5，
答：最少需使用5架A 款无人机．
20．如图1，公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，；若喷水口上升到处，水线落地点为，．
（1）求水线最高点与点之间的水平距离；
（2）当喷水口在处时，
①求水线的最大高度；
②身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明理由．
【答案】（1）解：如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，为原点，建立平面直角坐标系．
，
抛物线的对称轴是直线，
又，
水线最高点与点之间的水平距离为：；
（2）解：①由题意，结合（1），又因为抛物线形水线也随之上下平移，
可设过点的抛物线为，
又，，
，
，，
所求解析式为．
水线的最大高度为；
②令，
．
或，
为了不被水喷到，
．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）根据题意，求得抛物线的对称轴为直线，再根据求解即可；
（2）①根据题意，设过点的抛物线解析式为，将，代入解析式，求解即可；②将代入解析式，可得，求解即可．
21．我们在物理学科中学过：光线从空气射入玻璃会发生折射现象（如图1），现将一块长方体玻璃砖水平放置（如图2），激光笔从A处射出一束光线，经玻璃上表面B处折射后沿方向传播，再经下表面折射后沿方向射出，可知，与竖直墙面交于点D．经查阅，记玻璃的折射率为n，在空气中玻璃的折射率n的值等于入射角与折射角正弦值的商．例如在图2中，．
（1）在图2中，已知，求该玻璃的折射率n；
（2）在（1）的条件下，如果图2中该玻璃砖厚度，现撤去玻璃砖，光线与墙面的交点为G，求D、G两点之间的距离．
【答案】（1）解：由题意得，∴
∴；
（2）解：延长交于点T，
∵，，
∴，∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴D、G两点之间的距离为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）首先计算得出，再根据折射率公式计算即可得到结果；
（2）延长，与相交于点T，分别求解直角三角形和，得到边长和的长度，进一步计算可得，又可证明四边形为平行四边形，由此即可得到最终结果。
（1）解：由题意得，
∴
∴；
（2）解：延长交于点T，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴D、G两点之间的距离为
22．在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段DC顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，连接、，与交于点O，当为锐角时，求证：的大小为定值；
（3）如图3，点M在上，且，以点C为中心，将线段逆时针转得到线段，连接、，若，求线段的取值范围．
【答案】（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
由旋转的性质得．
∴；
（2）证明：由旋转的性质得，，∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：过点作于．
，，
．
，
．
由旋转的性质得：，；，．
设，
，
．
过点作于，
，，
．
，
，．
在中，由勾股定理得：
，
．
，，
．
在中，由勾股定理得：
，
（舍去负根）．
点不与A，B重合，
，即，
解得，
．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出．又可得出，再根据旋转的性质得．即可得出；
(2)根据AA可证得得，再根据SAS证得，进一步即可得出；
（3）我们先过点C作于H，计算可得，根据直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，可得；根据旋转的性质可以得到：，，，这里我们设，那么对应；接下来如图所示，过点D作于G，同样根据30°直角三角形的性质可得，且等腰三角形三线合一可得，再由勾股定理计算得；之后我们可以证明，在中，再次利用勾股定理就能得到EN的长度为；最后确定x的取值范围为，代入就能得到最终结果。
（1）解：由旋转的性质得．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由旋转的性质得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：过点作于．
，，
．
，
．
由旋转的性质得：，；，．
设，
，
．
过点作于，
，，
．
，
，．
在中，由勾股定理得：
，
．
，，
．
在中，由勾股定理得：
，
（舍去负根）．
点不与A，B重合，
，即，
解得，
．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且在直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，以和．为邻边作矩形，记该矩形的面积为S，求S的最大值；
（3）若半径为3，圆心在y轴上的与直线相切，求圆心R的坐标；
（4）若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
【答案】（1）解：过点作轴于，
对于一次函数，
当时，，
，
的面积为1．
，
，
当时，，
，
将点代入反比例函数得：
，
反比例函数解析式为；
（2）解：设，则，
，，
，
点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且在直线下方，
，
当时，；
（3）解：当点R在点C的上方时，过点R作于点F，则，设一次函数的图象与x轴交于点G，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即
当点R在点C的下方时，同理可得，，
∴；
（4）或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；三角形的面积；切线的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：（4）所有符合条件的点的坐标为或；理由如下：
当时，
解得或，
经检验，或都是方程的根，
，
设，，其中，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，，
当、为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：（舍去）；
综上所述，点的坐标为或．
【分析】（1）我们先过点作轴，垂足为。已知的面积为1，我们可以利用三角形面积公式求出垂线段的长度，进而得到点的坐标，最后就可以求出反比例函数的参数，得到对应的解析式。
（2）我们设点，因为PD垂直x轴，PD和一次函数图象交于点D，因此可以得到点D的坐标为，我们可以用PD的长度和点P的横坐标，推导出△PCD的面积S关于s的函数表达式，还能分析出S的最大值。
（3）过点R作，垂足为点F，根据两平行线之间的距离为3，可得。先找出一次函数和x轴的交点G，可以得到G点坐标为，结合一次函数和y轴的交点可得，不难证明，利用相似三角形的性质可以求出线段的长度，最后就能求出正方形PRQB的面积。
（4）我们先联立一次函数和反比例函数的解析式，解方程组求出点的坐标，然后设出点M、N的坐标：，，分情况以AB为正方形的边或对角线，结合平行四边形的性质和中点坐标公式，就能推导出点N的横坐标，得到最终结果。
（1）解：过点作轴于，
对于一次函数，
当时，，
，
的面积为1．
，
，
当时，，
，
将点代入反比例函数得：
，
反比例函数解析式为；
（2）解：设，则，
，，
，
点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且在直线下方，
，
当时，；
（3）解：当点R在点C的上方时，
过点R作于点F，则，设一次函数的图象与x轴交于点G，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即
当点R在点C的下方时，同理可得，，
∴；
（4）解：所有符合条件的点的坐标为或；理由如下：
当时，
解得或，
经检验，或都是方程的根，
，
设，，其中，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，，
当、为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：（舍去）；
综上所述，点的坐标为或．
1 / 12026年广东省汕头市中考一模考试数学试题
1．早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各数中，最大的负数是（　　）
A． B． C． D．
2．2026年将实现省级低空安全监控平台全域覆盖，政策落地后三年内物流无人机市场规模有望破1800亿元．下列将“1800亿”用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．绿色出行，健康你我．“美团”为了方便市民出行，提供了共享单车服务，图1是“美团”共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，与也平行，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，D是的中点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②以点D为圆心，长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④连接并延长交BC于点E．若，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
7． 《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两买羊，买得牛羊的数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是（　　）
A． B． C． D．
9．某停车场实行计时收费，即规定时间内免费停车，超出规定时间后按时收费（24小时封顶50元）．已知费用y（元）与时间x（小时）满足一次函数，若停车5小时收费16元，停车8小时收费28元，则该停车场免费停车时间为（　　）
A．0.5小时 B．1小时 C．2小时 D．3小时
10．观察一列数：，按你发现的规律计算这列数的第8个数为（　　）
A． B． C． D．
11．分解因式：2x2﹣8=　 　
12．小明和爸爸搭乘高铁回老家过年，在小程序上购票时，系统自动将两人分配到同一排（如图是高铁座位示意图），则小明和爸爸分配的座位恰好是邻座（过道两侧视为邻座）的概率是　 　．
13．某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损15元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利90元．这款风扇每台的标价为　 　元．
14．如图，线段是一个正多边形的三条边，分别延长交于点M，若，则这个正多边形是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为　 　．
16．计算：．
17．解不等式组：，并写出它的整数解．
18．为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计：
八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12；
九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6．
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 8 8 b
九年级 8 a 9
根据以上信息，回答下列问题：
（1） ， ；
（2）A同学说：“我平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生；
（3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由．
19．随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、更加均匀、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有A，B两款无人机为茶农提供农药喷洒服务，据了解，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可喷洒560亩茶园；2架A款无人机和3架B款无人机每小时可喷洒540亩茶园．
（1）求A，B两款无人机每小时各可喷洒茶园多少亩？
（2）当地某茶农有茶园1700亩，计划使用A，B两款无人机共16架同时进行1小时的农药喷洒，为了在一个小时内（含一个小时）将这些茶园喷洒上农药，那么最少使用多少架A款无人机？
20．如图1，公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，；若喷水口上升到处，水线落地点为，．
（1）求水线最高点与点之间的水平距离；
（2）当喷水口在处时，
①求水线的最大高度；
②身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明理由．
21．我们在物理学科中学过：光线从空气射入玻璃会发生折射现象（如图1），现将一块长方体玻璃砖水平放置（如图2），激光笔从A处射出一束光线，经玻璃上表面B处折射后沿方向传播，再经下表面折射后沿方向射出，可知，与竖直墙面交于点D．经查阅，记玻璃的折射率为n，在空气中玻璃的折射率n的值等于入射角与折射角正弦值的商．例如在图2中，．
（1）在图2中，已知，求该玻璃的折射率n；
（2）在（1）的条件下，如果图2中该玻璃砖厚度，现撤去玻璃砖，光线与墙面的交点为G，求D、G两点之间的距离．
22．在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段DC顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，连接、，与交于点O，当为锐角时，求证：的大小为定值；
（3）如图3，点M在上，且，以点C为中心，将线段逆时针转得到线段，连接、，若，求线段的取值范围．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且在直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，以和．为邻边作矩形，记该矩形的面积为S，求S的最大值；
（3）若半径为3，圆心在y轴上的与直线相切，求圆心R的坐标；
（4）若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵四个选项的数均为负数，且，
∴，
∴最大的负数是．
故答案为：A。
【分析】通过比较几个负数绝对值的大小，进而根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，即可得出最大的负数是．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1800亿，
故答案为：C．
【分析】根据绝对值大于10的科学记数法的表示形式为，（其中，为正整数，且比原整数位少1），即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形，
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断解题即可．
4．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵都与地面平行，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与平行，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】由题意可得，得到，再根据与平行得到，即可求解．
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的加减法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．和不能合并，，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算正确，符合题意．
故答案为：D。
【分析】 根据二次根式的加减法则可得出A，B不正确；根据完全平方公式可得出C不正确。根据积得乘方和幂的乘方可得出D正确。
6．【答案】B
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：由作图可得，
∴
∴
∴
∵，D是的中点
∴
∴．
故答案为：B.
【分析】根据尺规作图可得出，进而得出，即可得出，根据相似三角形的性质可得出，进一步通过运算即可得出DE的长。
7．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设每头牛的价格为x两，
由题意可列方程：.
故答案为：B.
【分析】设每头牛的价格为x两，根据题中的相等关系“用20两买的牛的数量=用15两买的羊的数量”即可列方程求解.
8．【答案】D
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：半径转过的面积．
故答案为：D
【分析】由题意可知滑轮转过的弧长为，进而根据扇形面积，即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，
由题意知，，
解得，
，
当时，，
即：该停车场免费停车时间为1小时．
故答案为：B。
【分析】首先根据题意，利用待定系数法可求得费用y（元）与时间x（小时）满足的一次函数，进而求出当y=0时的x的值即可。
10．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：序号为1时，分子，分母；序号为2时，分子，分母；
序号为3时，分子，分母；
序号为4时，分子，分母；
∴ 可得规律：第个数为，
将代入公式，得，
因此第8个数为.
故答案为：D。
【分析】首先根据已有的式子，可归纳总结出规律，按此规律即可得出答案。
11．【答案】2（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有20种等可能性结果，符合条件的有8种，
所以小明与爸爸分配的座位是相邻的概率是．
故答案为：
【分析】根据树状图进行分析可得出 共有20种等可能性结果，符合条件的有8种， 进而根据概率计算公式即可得出答案。
13．【答案】350
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：设这款风扇每台的标价为元，
根据题意得，
移项合并同类项得，
解得，
即这款风扇每台的标价为元．
故答案为：350.
【分析】设这款风扇每台的标价为元，根据成本不变，可得出方程，解方程即可。
14．【答案】正八边形
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解： 线段，，是一个正多边形的三条边，
该正多边形的每个外角都相等，
，
，
在中，，
该正多边形的边数为，
这个正多边形是正八边形．
故答案为：正八边形。
【分析】首先根据三角形的内角和及等腰三角形的性质可得出正多边形的外角，进而根据正多边形的性质及多边形外角和定理即可得出正多边形的边数。
15．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，设正方形的边长为，与轴相交于，
则四边形是矩形，
， ，．
由折叠的性质，得，．
点的坐标为，点的坐标为，
， ，
．
在中，，
，
解得，
，．
在中，，
，
解得，
，
点的坐标为．
故答案为：．
【分析】设与轴相交于，根据题意可得四边形为矩形，设正方形的边长为，则，，．由折叠的性质可得，．根据题意可得，，从而得到．在 中，由勾股定理可得，解得，从而，．在中，，解得，所以，即可得出点的坐标．
16．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【分析】我们先分别利用负整数指数幂的运算规则、零指数幂的运算规则、二次根式的化简性质以及绝对值的化简性质，求出每一项的结果，再对所得结果进行加减运算，就能得到最终答案。
17．【答案】解：，解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解为：，，0，1．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】要解决这个问题，我们可以先分别求解不等式组里的两个不等式，之后找到两个解集的公共部分，以此确定不等式组的整体解集，最后再在得到的解集里找出对应的整数解即可。
18．【答案】（1），
（2）八
（3）解：我认为九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好．
理由：因为八、九年级的平均数相等，九年级每周锻炼时间的方差小于八年级每周锻炼时间的方差，所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好
【知识点】中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：把九年级10名学生的测试成绩排好顺序为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为；
八年级10名学生每周锻炼8小时的最多有3人，所以众数，
故答案为：，；
（2）解：A同学平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平，而八年级学生的平均每周锻炼时长的中位数是8，由此可判断他是八年级的学生；
故答案为：八；
【分析】（1）结合题中数据，根据中位数和众数的求解方法，求出答案即可；
（2）结合题意可得，通过中位数的意义，来求解判断即可；
（3）比较两组数据中的平均数，方差等含义，来判断即可．
（1）解：把九年级10名学生的测试成绩排好顺序为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为；
八年级10名学生每周锻炼8小时的最多有3人，所以众数，
故答案为：，；
（2）解：A同学平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平，而八年级学生的平均每周锻炼时长的中位数是8，由此可判断他是八年级的学生；
故答案为：八；
（3）解：我认为九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好．
理由：因为八、九年级的平均数相等，九年级每周锻炼时间的方差小于八年级每周锻炼时间的方差，所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好
19．【答案】（1）解：设A款无人机每小时可喷洒茶园亩，B款无人机每小时可喷洒茶园亩，根据题意得，
解得：
答：A款无人机每小时可喷洒茶园120亩，B款无人机每小时可喷洒茶园100亩；
（2）解：设使用 架A款无人机，则使用架B款无人机，根据题意得，
解得：，
∴最小整数解为5，
答：最少需使用5架A 款无人机．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）我们设A款无人机每小时能够喷洒a亩茶园，B款无人机每小时能够喷洒b亩茶园，结合题目给出的条件列出二元一次方程组，求解该方程组后即可得到答案；
（2）我们设投入作业的A款无人机数量为x 架，则投入作业的B款无人机数量为 16 x 架，根据题目要求列出一元一次不等式，求出不等式解集后取最小整数解，即可得到结果。
（1）解：设A款无人机每小时可喷洒茶园亩，B款无人机每小时可喷洒茶园亩，根据题意得，
解得：
答：A款无人机每小时可喷洒茶园120亩，B款无人机每小时可喷洒茶园100亩；
（2）解：设使用 架A款无人机，则使用架B款无人机，根据题意得，
解得：，
∴最小整数解为5，
答：最少需使用5架A 款无人机．
20．【答案】（1）解：如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，为原点，建立平面直角坐标系．
，
抛物线的对称轴是直线，
又，
水线最高点与点之间的水平距离为：；
（2）解：①由题意，结合（1），又因为抛物线形水线也随之上下平移，
可设过点的抛物线为，
又，，
，
，，
所求解析式为．
水线的最大高度为；
②令，
．
或，
为了不被水喷到，
．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）根据题意，求得抛物线的对称轴为直线，再根据求解即可；
（2）①根据题意，设过点的抛物线解析式为，将，代入解析式，求解即可；②将代入解析式，可得，求解即可．
21．【答案】（1）解：由题意得，∴
∴；
（2）解：延长交于点T，
∵，，
∴，∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴D、G两点之间的距离为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）首先计算得出，再根据折射率公式计算即可得到结果；
（2）延长，与相交于点T，分别求解直角三角形和，得到边长和的长度，进一步计算可得，又可证明四边形为平行四边形，由此即可得到最终结果。
（1）解：由题意得，
∴
∴；
（2）解：延长交于点T，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴D、G两点之间的距离为
22．【答案】（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
由旋转的性质得．
∴；
（2）证明：由旋转的性质得，，∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：过点作于．
，，
．
，
．
由旋转的性质得：，；，．
设，
，
．
过点作于，
，，
．
，
，．
在中，由勾股定理得：
，
．
，，
．
在中，由勾股定理得：
，
（舍去负根）．
点不与A，B重合，
，即，
解得，
．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出．又可得出，再根据旋转的性质得．即可得出；
(2)根据AA可证得得，再根据SAS证得，进一步即可得出；
（3）我们先过点C作于H，计算可得，根据直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，可得；根据旋转的性质可以得到：，，，这里我们设，那么对应；接下来如图所示，过点D作于G，同样根据30°直角三角形的性质可得，且等腰三角形三线合一可得，再由勾股定理计算得；之后我们可以证明，在中，再次利用勾股定理就能得到EN的长度为；最后确定x的取值范围为，代入就能得到最终结果。
（1）解：由旋转的性质得．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由旋转的性质得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：过点作于．
，，
．
，
．
由旋转的性质得：，；，．
设，
，
．
过点作于，
，，
．
，
，．
在中，由勾股定理得：
，
．
，，
．
在中，由勾股定理得：
，
（舍去负根）．
点不与A，B重合，
，即，
解得，
．
23．【答案】（1）解：过点作轴于，
对于一次函数，
当时，，
，
的面积为1．
，
，
当时，，
，
将点代入反比例函数得：
，
反比例函数解析式为；
（2）解：设，则，
，，
，
点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且在直线下方，
，
当时，；
（3）解：当点R在点C的上方时，过点R作于点F，则，设一次函数的图象与x轴交于点G，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即
当点R在点C的下方时，同理可得，，
∴；
（4）或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；三角形的面积；切线的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：（4）所有符合条件的点的坐标为或；理由如下：
当时，
解得或，
经检验，或都是方程的根，
，
设，，其中，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，，
当、为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：（舍去）；
综上所述，点的坐标为或．
【分析】（1）我们先过点作轴，垂足为。已知的面积为1，我们可以利用三角形面积公式求出垂线段的长度，进而得到点的坐标，最后就可以求出反比例函数的参数，得到对应的解析式。
（2）我们设点，因为PD垂直x轴，PD和一次函数图象交于点D，因此可以得到点D的坐标为，我们可以用PD的长度和点P的横坐标，推导出△PCD的面积S关于s的函数表达式，还能分析出S的最大值。
（3）过点R作，垂足为点F，根据两平行线之间的距离为3，可得。先找出一次函数和x轴的交点G，可以得到G点坐标为，结合一次函数和y轴的交点可得，不难证明，利用相似三角形的性质可以求出线段的长度，最后就能求出正方形PRQB的面积。
（4）我们先联立一次函数和反比例函数的解析式，解方程组求出点的坐标，然后设出点M、N的坐标：，，分情况以AB为正方形的边或对角线，结合平行四边形的性质和中点坐标公式，就能推导出点N的横坐标，得到最终结果。
（1）解：过点作轴于，
对于一次函数，
当时，，
，
的面积为1．
，
，
当时，，
，
将点代入反比例函数得：
，
反比例函数解析式为；
（2）解：设，则，
，，
，
点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且在直线下方，
，
当时，；
（3）解：当点R在点C的上方时，
过点R作于点F，则，设一次函数的图象与x轴交于点G，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即
当点R在点C的下方时，同理可得，，
∴；
（4）解：所有符合条件的点的坐标为或；理由如下：
当时，
解得或，
经检验，或都是方程的根，
，
设，，其中，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，，
当、为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：（舍去）；
综上所述，点的坐标为或．
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