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江苏省盐城市2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数，则（　　）
A． B． C．5 D．1
2．若集合，，则（　　）
A． B． C． D．
3．函数的奇偶性为（　　）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
4．样本数据5，5，6，7，9的80百分位数为（　　）
A． B．7 C．8 D．9
5．已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
6．设，，则（　　）
A． B． C． D．
7．在中，角，，的对边分别是，，，且满足，，则外接圆的半径为（　　）
A． B．3 C． D．6
8．已知定义在上的函数满足对任意的正数，，都有，若，则（　　）
A．12 B．6 C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9．下列选项中，正确的是（　　）
A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同
B．若向量，则
C．若向量，满足，则或
D．若非零向量与共线，则，，三点共线
10．已知为圆锥底面圆的直径，母线与圆锥底面所成角为，母线，互相垂直，，则（　　）
A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积为
C．二面角的大小为 D．圆锥的外接球体积为
11．在斜三角形中，，则（　　）
A．角B为钝角 B．
C．若，则 D．的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知数据的平均数为2，那么数据的平均数为　 　．
13．已知，则　 　.
14．已知非零向量，的夹角为，.对于任意的，恒成立，则　 　，的最小值为　 　.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下：
寿命
个数 20 30 80 40 30
（1）估计元件的寿命在（单位：h）内的概率；
（2）估计元件的寿命在以上的概率．
16．已知向量，设函数．
（1）求函数的对称中心；
（2）求函数在上的值域．
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是正三角形，E为线段的中点，F为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若平面平面，求异面直线与所成角的余弦值．
18．如图，在中，，点为外接圆上的一个动点（点在直线两侧）．
（1）若，求的值；
（2）若，求四边形周长的最大值；
（3）若，求．
19．设为函数的任一零点，为函数的任一零点，若，则称函数与是“零点近距函数”．
（1）已知函数，判断与是否为“零点近距函数”，并说明理由；
（2）设函数，求证：与是“零点近距函数”的充要条件为；
（3）若函数与是“零点近距函数”，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：A.
【分析】直接利用复数的模长公式计算.
2．【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：，，易知.
故答案为：C.
【分析】根据集合补集的定义求解即可.
3．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，则函数为奇函数.
故答案为：A.
【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可.
4．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：，则数据5，5，6，7，9的80百分位数应是第4个数与第5个数的平均数，即.
故答案为：C.
【分析】根据样本估计总体的百分位数定义求解即可.
5．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：若，，则或，故A错误；
若，，根据线面平行和面面平行的定义可知，故B正确；
若，，则或，故C错误；
若，，，则，可能平行也可能异面，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据空间中线线，线面位置关系判断即可.
6．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：，，则.
故答案为：D.
【分析】利用换底公式，结合对数运算法则化简即可.
7．【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：设外接圆的半径为，
在中，，由余弦定理可得，即，
即，
即，即，
由余弦定理可得，
因为，所以，所以由正弦定理可得，解得.
故答案为：A.
【分析】设外接圆的半径为，由，利用余弦定理化简整理可得，再利用余弦定理求得的值，最后根据同角三角函数基本关系，结合正弦定理求外接圆的半径即可.
8．【答案】D
【知识点】抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：对任意的正数，，都有，
令，可得，解得；
令，可得，则，，
即，令，可得，
则.
故答案为：D.
【分析】根据抽象函数的解析式，利用赋值法，求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】向量的物理背景与基本概念；共线（平行）向量；平面向量的数量积运算；相等向量
【解析】【解答】解：由相等向量定义可得：若两个相等的非零向量的起点相同，其终点一定相同，故A错误；
若向量，则，即，故B正确；
由向量的定义可得向量，满足时，向量，可能共线也可能不共线，故C错误；
若非零向量与共线，则，，三点共线，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据相等向量的定义、向量的运算法则以及向量的定义、共线向量的定义逐项分析判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、如图所示：
易知，，，
在中，，，
则圆锥的侧面积为，故A正确；
B、因为母线，互相垂直，，所以，
取的中点，连接，如图所示：
根据圆的性质可知，，
，，
，
则，故B错误；
C、连接，如图所示：
由，为线段的中点，，
又因为，所以即为二面角的平面角，
在中，，则，故C正确；
D、易知圆锥的外接球球心必在射线上，设圆锥的外接球半径为，
当圆锥的外接球球心在线段上时，如图所示：
则，，，由，解得；
当圆锥的外接球球心在的延长线上时，如图所示：
则，，，由，解得，
综上，圆锥的外接球半径为，
∴圆锥的外接球体积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题作出图形，解在求得，，根据圆锥的侧面积公式求解即可判断A；利用勾股定理求得，取的中点，连接，根据圆的性质可求的值，再利用三角形面积公式求的值，最后根据锥体的体积公式求解即可判断B；连接，根据，为线段的中点，推得二面角的平面角为，在中，求即可判断C；易知圆锥的外接球球心必在射线上，设圆锥的外接球半径为，对圆锥的外接球球心所在位置讨论，利用勾股定理求的值，即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六；解三角形
【解析】【解答】解：A、由，可得，
因，则，则，或，
即或，因为斜三角形，故，即角B为钝角，故A正确；
B、由A项已得角B为钝角，则，因，故，即B错误；
C、由正弦定理，将，代入解得，故C正确；
D、由上分析可得：，，
故
，设，
又，则，则，
则，且，
则，
故当时，的最大值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】 在斜三角形中 ，利用诱导公式结合正弦函数性质求解即可判断A；由A项已得角B为钝角，根据两函数值的符号即可判断B；由，结合正弦定理求解即可判断C；易知，，将待求式中的角都用角的三角函数式表示，再利用三角恒等变换、结合换元法，以及二次函数的图象性质求解即可判断D.
12．【答案】7
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：因为的平均数为2，所以，
则的平均数为：
.
故答案为：7.
【分析】易知数据的和为20 ，再根据平均数公式求解数据的平均数即可.
13．【答案】3
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：3.
【分析】将齐次式弦化切即可求解.
14．【答案】；
【知识点】函数恒成立问题；平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】解：两边平方可得，
即，即对于任意的恒成立，
，
，即，
因为，所以，所以，
设，，，，
则，，
∴，
作点关于的对称点，连接，如图所示：
则，
当，，三点共线时，取得最小值，
此时，，，，
在中，由余弦定理可得，，
则的最小值为.
故答案为：；.
【分析】将两边平方，问题转化为对于任意的恒成立，利用求解空1；设，，作点关于的对称点，连接，结合图形，利用几何意义及对称性求解空2.
15．【答案】（1）解：因表中200个电子元件的寿命在（单位：h）内的频率为，
故由此估计元件的寿命在（单位：h）内的概率为；
（2）解：因表中200个电子元件的寿命在以上的频率为，
故由此估计元件的寿命在以上的概率为.
【知识点】用频率估计概率
【解析】【分析】（1）利用频率估计概率即可；
（2）先求出200个电子元件的寿命在以上的频率，利用频率估计概率即可.
（1）因表中200个电子元件的寿命在（单位：h）内的频率为，
故由此估计元件的寿命在（单位：h）内的概率为；
（2）因表中200个电子元件的寿命在以上的频率为，
故由此估计元件的寿命在以上的概率为.
16．【答案】（1）解：，
由，可得，
故函数的对称中心为；
（2）解：由，可得，
由正弦函数的图象可得，故函数在上的值域为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合正弦的二倍角公式、辅助角公式化简函数，再根据正弦型函数的形式求其对称中心即可；
（2）根据条件求出整体角的范围，结合正弦函数的图象和性质求函数的值域即可.
（1），
由，可得，
故函数的对称中心为.
（2）由，可得，
由正弦函数的图象可得，
故函数在上的值域为.
17．【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示：
因底面是边长为2的菱形，则点是的中点，
又因F为线段的中点，则有，
平面，平面，可得平面；
（2）证明：因是正三角形，E为线段的中点，则有，
又，，即为正三角形，且，
因平面，则平面，
又因，所以平面；
（3）解：取的中点，连接，如图所示：
则，且，
故即与所成角或其补角，
因，由余弦定理，，
又因平面平面，平面平面，，平面，
故平面，又平面，则，又，故，
由（2）已得平面，因平面，故，则，
又，则在中，由余弦定理，，
即异面直线与所成角的余弦值为.
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，利用菱形的性质，结合中位线的性质，线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用等腰三角形的三线合一可证，，再根据线面垂直的判定定理证明即可；
（3）取的中点，连接，易知，得到即与所成角或其补角，利用余弦定理求，咯用线面垂直的判定证明平面得到，利用勾股定理求，在中，结合，，利用余弦定理求解即可.
（1）连接，交于点，连接，
因底面是边长为2的菱形，则点是的中点，
又因F为线段的中点，则有，
平面，平面，可得平面.
（2）因是正三角形，E为线段的中点，则有，
又，，即为正三角形，且，
因平面，则平面，
又因，故得平面.
（3）如图，取的中点，连接，则，且，
故即与所成角或其补角.
因，由余弦定理，，
又因平面平面，平面平面，，平面，
故平面，又平面，则，又，故，
由（2）已得平面，因平面，故，则，
又，则在中，由余弦定理，，
即异面直线与所成角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：根据向量数量积公式可得：
.
（2）解：因为，所以，
所以，所以.
根据余弦定理，
所以.
因为四点共圆，，所以.
设，在中，根据余弦定理，
即，当且仅当时等号成立.
所以解得.
所以四边形的周长为.
（3）解：由得，
所以且，
即，，
所以，得到四边形为等腰梯形，.
设，在中，，
在中，，
所以.
所以.
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理
【解析】【分析】(1) 本题考查向量数量积的直接计算，关键是利用公式 ；
(2) 本题结合四点共圆性质、余弦定理和均值不等式求周长最大值，核心是将 的最大值问题转化为利用均值不等式求解；
(3) 本题考查向量模长的计算，通过向量平方展开式，结合余弦定理求出夹角的余弦值，进而得到模长。
（1）根据向量数量积公式可得：
.
（2）因为，所以，
所以，所以.
根据余弦定理，
所以.
因为四点共圆，，所以.
设，在中，根据余弦定理，
即，当且仅当时等号成立.
所以解得.
所以四边形的周长为.
（3）由得，
所以且，
即，，
所以，得到四边形为等腰梯形，.
设，在中，，
在中，，
所以.
所以.
19．【答案】（1）解：当时，，则，解得，即，
函数的零点，因此，
所以与是“零点近距函数”；
（2）证明：函数，令，解得或，
函数都是R上的增函数，则函数在R上单调递增，
依题意，函数有唯一零点，则，
函数与是“零点近距函数”等价于，
则与是“零点近距函数”的充要条件为；
（3）解：函数，，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数在上都单调递增，
函数在上单调递增，而，因此；
函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增，
而，因此，由与是“零点近距函数”，得，
于是，解得，
故实数a的取值范围是.
【知识点】充要条件；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）分裂求函数与的零点，利用“零点近距函数”的定义验证判断即可；
（2）令，求函数的零点，再判断函数的单调性，由题意设出的唯一零点，根据“零点近距函数”的定义，结合充要条件的定义证明即可；
（3）根据复合函数单调性确定函数与的单调性，求出零点，再由定义列出不等式求解即可.
（1）当时，，则，解得，即，
函数的零点，因此，
所以与是“零点近距函数”.
（2）函数，由，得或，
函数都是R上的增函数，则函数在R上单调递增，
依题意，函数有唯一零点，则，
函数与是“零点近距函数”等价于，
所以与是“零点近距函数”的充要条件为.
（3）函数，，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数在上都单调递增，
函数在上单调递增，而，因此；
函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增，
而，因此，由与是“零点近距函数”，得，
于是，解得，
所以实数a的取值范围是.
1 / 1江苏省盐城市2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数，则（　　）
A． B． C．5 D．1
【答案】A
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：A.
【分析】直接利用复数的模长公式计算.
2．若集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：，，易知.
故答案为：C.
【分析】根据集合补集的定义求解即可.
3．函数的奇偶性为（　　）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，则函数为奇函数.
故答案为：A.
【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可.
4．样本数据5，5，6，7，9的80百分位数为（　　）
A． B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：，则数据5，5，6，7，9的80百分位数应是第4个数与第5个数的平均数，即.
故答案为：C.
【分析】根据样本估计总体的百分位数定义求解即可.
5．已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：若，，则或，故A错误；
若，，根据线面平行和面面平行的定义可知，故B正确；
若，，则或，故C错误；
若，，，则，可能平行也可能异面，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据空间中线线，线面位置关系判断即可.
6．设，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：，，则.
故答案为：D.
【分析】利用换底公式，结合对数运算法则化简即可.
7．在中，角，，的对边分别是，，，且满足，，则外接圆的半径为（　　）
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：设外接圆的半径为，
在中，，由余弦定理可得，即，
即，
即，即，
由余弦定理可得，
因为，所以，所以由正弦定理可得，解得.
故答案为：A.
【分析】设外接圆的半径为，由，利用余弦定理化简整理可得，再利用余弦定理求得的值，最后根据同角三角函数基本关系，结合正弦定理求外接圆的半径即可.
8．已知定义在上的函数满足对任意的正数，，都有，若，则（　　）
A．12 B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：对任意的正数，，都有，
令，可得，解得；
令，可得，则，，
即，令，可得，
则.
故答案为：D.
【分析】根据抽象函数的解析式，利用赋值法，求解即可.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9．下列选项中，正确的是（　　）
A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同
B．若向量，则
C．若向量，满足，则或
D．若非零向量与共线，则，，三点共线
【答案】B,D
【知识点】向量的物理背景与基本概念；共线（平行）向量；平面向量的数量积运算；相等向量
【解析】【解答】解：由相等向量定义可得：若两个相等的非零向量的起点相同，其终点一定相同，故A错误；
若向量，则，即，故B正确；
由向量的定义可得向量，满足时，向量，可能共线也可能不共线，故C错误；
若非零向量与共线，则，，三点共线，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据相等向量的定义、向量的运算法则以及向量的定义、共线向量的定义逐项分析判断即可.
10．已知为圆锥底面圆的直径，母线与圆锥底面所成角为，母线，互相垂直，，则（　　）
A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积为
C．二面角的大小为 D．圆锥的外接球体积为
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、如图所示：
易知，，，
在中，，，
则圆锥的侧面积为，故A正确；
B、因为母线，互相垂直，，所以，
取的中点，连接，如图所示：
根据圆的性质可知，，
，，
，
则，故B错误；
C、连接，如图所示：
由，为线段的中点，，
又因为，所以即为二面角的平面角，
在中，，则，故C正确；
D、易知圆锥的外接球球心必在射线上，设圆锥的外接球半径为，
当圆锥的外接球球心在线段上时，如图所示：
则，，，由，解得；
当圆锥的外接球球心在的延长线上时，如图所示：
则，，，由，解得，
综上，圆锥的外接球半径为，
∴圆锥的外接球体积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题作出图形，解在求得，，根据圆锥的侧面积公式求解即可判断A；利用勾股定理求得，取的中点，连接，根据圆的性质可求的值，再利用三角形面积公式求的值，最后根据锥体的体积公式求解即可判断B；连接，根据，为线段的中点，推得二面角的平面角为，在中，求即可判断C；易知圆锥的外接球球心必在射线上，设圆锥的外接球半径为，对圆锥的外接球球心所在位置讨论，利用勾股定理求的值，即可判断D.
11．在斜三角形中，，则（　　）
A．角B为钝角 B．
C．若，则 D．的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六；解三角形
【解析】【解答】解：A、由，可得，
因，则，则，或，
即或，因为斜三角形，故，即角B为钝角，故A正确；
B、由A项已得角B为钝角，则，因，故，即B错误；
C、由正弦定理，将，代入解得，故C正确；
D、由上分析可得：，，
故
，设，
又，则，则，
则，且，
则，
故当时，的最大值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】 在斜三角形中 ，利用诱导公式结合正弦函数性质求解即可判断A；由A项已得角B为钝角，根据两函数值的符号即可判断B；由，结合正弦定理求解即可判断C；易知，，将待求式中的角都用角的三角函数式表示，再利用三角恒等变换、结合换元法，以及二次函数的图象性质求解即可判断D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知数据的平均数为2，那么数据的平均数为　 　．
【答案】7
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：因为的平均数为2，所以，
则的平均数为：
.
故答案为：7.
【分析】易知数据的和为20 ，再根据平均数公式求解数据的平均数即可.
13．已知，则　 　.
【答案】3
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：3.
【分析】将齐次式弦化切即可求解.
14．已知非零向量，的夹角为，.对于任意的，恒成立，则　 　，的最小值为　 　.
【答案】；
【知识点】函数恒成立问题；平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】解：两边平方可得，
即，即对于任意的恒成立，
，
，即，
因为，所以，所以，
设，，，，
则，，
∴，
作点关于的对称点，连接，如图所示：
则，
当，，三点共线时，取得最小值，
此时，，，，
在中，由余弦定理可得，，
则的最小值为.
故答案为：；.
【分析】将两边平方，问题转化为对于任意的恒成立，利用求解空1；设，，作点关于的对称点，连接，结合图形，利用几何意义及对称性求解空2.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下：
寿命
个数 20 30 80 40 30
（1）估计元件的寿命在（单位：h）内的概率；
（2）估计元件的寿命在以上的概率．
【答案】（1）解：因表中200个电子元件的寿命在（单位：h）内的频率为，
故由此估计元件的寿命在（单位：h）内的概率为；
（2）解：因表中200个电子元件的寿命在以上的频率为，
故由此估计元件的寿命在以上的概率为.
【知识点】用频率估计概率
【解析】【分析】（1）利用频率估计概率即可；
（2）先求出200个电子元件的寿命在以上的频率，利用频率估计概率即可.
（1）因表中200个电子元件的寿命在（单位：h）内的频率为，
故由此估计元件的寿命在（单位：h）内的概率为；
（2）因表中200个电子元件的寿命在以上的频率为，
故由此估计元件的寿命在以上的概率为.
16．已知向量，设函数．
（1）求函数的对称中心；
（2）求函数在上的值域．
【答案】（1）解：，
由，可得，
故函数的对称中心为；
（2）解：由，可得，
由正弦函数的图象可得，故函数在上的值域为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合正弦的二倍角公式、辅助角公式化简函数，再根据正弦型函数的形式求其对称中心即可；
（2）根据条件求出整体角的范围，结合正弦函数的图象和性质求函数的值域即可.
（1），
由，可得，
故函数的对称中心为.
（2）由，可得，
由正弦函数的图象可得，
故函数在上的值域为.
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是正三角形，E为线段的中点，F为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若平面平面，求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示：
因底面是边长为2的菱形，则点是的中点，
又因F为线段的中点，则有，
平面，平面，可得平面；
（2）证明：因是正三角形，E为线段的中点，则有，
又，，即为正三角形，且，
因平面，则平面，
又因，所以平面；
（3）解：取的中点，连接，如图所示：
则，且，
故即与所成角或其补角，
因，由余弦定理，，
又因平面平面，平面平面，，平面，
故平面，又平面，则，又，故，
由（2）已得平面，因平面，故，则，
又，则在中，由余弦定理，，
即异面直线与所成角的余弦值为.
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，利用菱形的性质，结合中位线的性质，线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用等腰三角形的三线合一可证，，再根据线面垂直的判定定理证明即可；
（3）取的中点，连接，易知，得到即与所成角或其补角，利用余弦定理求，咯用线面垂直的判定证明平面得到，利用勾股定理求，在中，结合，，利用余弦定理求解即可.
（1）连接，交于点，连接，
因底面是边长为2的菱形，则点是的中点，
又因F为线段的中点，则有，
平面，平面，可得平面.
（2）因是正三角形，E为线段的中点，则有，
又，，即为正三角形，且，
因平面，则平面，
又因，故得平面.
（3）如图，取的中点，连接，则，且，
故即与所成角或其补角.
因，由余弦定理，，
又因平面平面，平面平面，，平面，
故平面，又平面，则，又，故，
由（2）已得平面，因平面，故，则，
又，则在中，由余弦定理，，
即异面直线与所成角的余弦值为.
18．如图，在中，，点为外接圆上的一个动点（点在直线两侧）．
（1）若，求的值；
（2）若，求四边形周长的最大值；
（3）若，求．
【答案】（1）解：根据向量数量积公式可得：
.
（2）解：因为，所以，
所以，所以.
根据余弦定理，
所以.
因为四点共圆，，所以.
设，在中，根据余弦定理，
即，当且仅当时等号成立.
所以解得.
所以四边形的周长为.
（3）解：由得，
所以且，
即，，
所以，得到四边形为等腰梯形，.
设，在中，，
在中，，
所以.
所以.
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理
【解析】【分析】(1) 本题考查向量数量积的直接计算，关键是利用公式 ；
(2) 本题结合四点共圆性质、余弦定理和均值不等式求周长最大值，核心是将 的最大值问题转化为利用均值不等式求解；
(3) 本题考查向量模长的计算，通过向量平方展开式，结合余弦定理求出夹角的余弦值，进而得到模长。
（1）根据向量数量积公式可得：
.
（2）因为，所以，
所以，所以.
根据余弦定理，
所以.
因为四点共圆，，所以.
设，在中，根据余弦定理，
即，当且仅当时等号成立.
所以解得.
所以四边形的周长为.
（3）由得，
所以且，
即，，
所以，得到四边形为等腰梯形，.
设，在中，，
在中，，
所以.
所以.
19．设为函数的任一零点，为函数的任一零点，若，则称函数与是“零点近距函数”．
（1）已知函数，判断与是否为“零点近距函数”，并说明理由；
（2）设函数，求证：与是“零点近距函数”的充要条件为；
（3）若函数与是“零点近距函数”，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，则，解得，即，
函数的零点，因此，
所以与是“零点近距函数”；
（2）证明：函数，令，解得或，
函数都是R上的增函数，则函数在R上单调递增，
依题意，函数有唯一零点，则，
函数与是“零点近距函数”等价于，
则与是“零点近距函数”的充要条件为；
（3）解：函数，，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数在上都单调递增，
函数在上单调递增，而，因此；
函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增，
而，因此，由与是“零点近距函数”，得，
于是，解得，
故实数a的取值范围是.
【知识点】充要条件；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）分裂求函数与的零点，利用“零点近距函数”的定义验证判断即可；
（2）令，求函数的零点，再判断函数的单调性，由题意设出的唯一零点，根据“零点近距函数”的定义，结合充要条件的定义证明即可；
（3）根据复合函数单调性确定函数与的单调性，求出零点，再由定义列出不等式求解即可.
（1）当时，，则，解得，即，
函数的零点，因此，
所以与是“零点近距函数”.
（2）函数，由，得或，
函数都是R上的增函数，则函数在R上单调递增，
依题意，函数有唯一零点，则，
函数与是“零点近距函数”等价于，
所以与是“零点近距函数”的充要条件为.
（3）函数，，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数在上都单调递增，
函数在上单调递增，而，因此；
函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增，
而，因此，由与是“零点近距函数”，得，
于是，解得，
所以实数a的取值范围是.
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