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广东省汕头市澄海区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，点是的中点，若，则的长为（　　）
A．5 B．10 C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．若，则（　　）
A． B． C． D．
5． 某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表：
鞋码 36 37 38 39 40
平均每天销售量/双 10 12 20 12 12
如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（　　）.
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，、、、分别为边、、、的中点．若对角线，则四边形的周长为（　　）
A．16 B．12 C．8 D．4
8．如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（　　）海里/小时
A． B． C．40 D．20
9．如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
10．已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：
（1）体育场离该同学家2.5千米；
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
12．已知正比例函数的图象经过点，则的值为　 　．
13．实数在数轴上的位置如图，化简　 　．
14．一副直角三角板如图放置，，．点在的延长线上，，若，则的长为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的坐标是，则点的坐标为　 　．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：．
17．在平面直角坐标系中，函数的图象经过两点．
（1）求该函数的解析式；
（2）求图象与轴的交点坐标，并写出当时，的取值范围．
18．如图，在菱形中，点分别在上，且．求证：．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋竖直楼房的高度（如图），他们在处仰望楼顶，测得，再往楼的方向前进60米至处，测得，点、在同一直线上．求这栋楼的高度（人的身高忽略不计）．
20．为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题，
（1） ，图2中的 ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 和 ．
（2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校八年级共有学生600人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数为多少？
21．某公司生产了、两款新能源电动汽车．如图，、分别表示款、款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．
（1）根据图象信息，分别求出、的函数解析式；
（2）求当行驶路程都是时，款电动汽车电池的剩余电量比款电动汽车电池的剩余电量多多少？
五、解答题（三）（本大题共2小题，22小题13分，23小题14分，共27分）
22．如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．
（1）求证：；
（2）若，，求菱形的面积；
（3）若，求的最小值．
23．【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、与被开方数不一样，不是同类二次根式，不符合题意；
B、，与被开方数不一样，不是同类二次根式，不符合题意；
C、与被开方数不一样，不是同类二次根式，不符合题意；
D、与被开方数一样，是同类二次根式，符合题意；
故选：D．
【分析】利用同类二次根式的定义（先将二次根式化成最简二次根式后，再根据被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式）逐项分析判断即可.
2．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵点是的中点，
∴．
故选：A．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质求出CD的长即可.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意，
故选：D．
【分析】利用二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加法、二次根式的减法的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】B
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：，
∵，，
∴且，
∴，，
∴，
故选：B.
【分析】利用非负数之和为0的性质可得，，求出a、b的值，再将其代入ab计算即可.
5．【答案】C
【知识点】收集数据的过程与方法；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由销售量表格可知：要使每双鞋的利润相同，最关注的销售数据是：12
是众数，
故答案为：C .
【分析】
本题考查数据的收集和处理，熟知统计数据的意义是解题关键.
因为众数是一组数据中出现次数最多的数，根据题意可知：要使每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样就可以确定进货的数量，所以该店主最应关注的销售数据是众数，由此可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵一次函数解析式为，，
∴y随x增大而减小，
∵一次函数的图象经过点，，，
∴，
故选：B．
【分析】根据一次函数的性质即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
∵在矩形中，、、、分别为边、、、的中点，
∴，，
∴，
∴四边形为菱形，且边长为，
∴四边形的周长为；
故选：C.
【分析】连接AC，BD，利用三角形中位线的性质可得，再证出四边形为菱形，且边长为，最后求出四边形的周长即可.
8．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作交于点D，
∴，
∵海里，
∴在中，海里，
（海里），
∵，，
∴，
∵，
∴海里，
∴海里，
则该船行驶的速度为：（海里/小时）．
故选：B.
【分析】过点A作交于点D，先利用勾股定理求出DB的长，再结合，可得海里，最后利用线段的和差求出CB的长即可.
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴O是中点，
又∵E是中点，
∴OE是的中位线，
∴，，
∵的周长为12，，
∴，
∴的周长为．
故选：B.
【分析】根据平行四边形性质可得O是中点，根据三角形中位线定理可得，，再根据四边形周长可得即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确；
该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确；
该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误；
若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确，
故答案为：C．
【分析】此题是分段函数，第一段该同学从家跑步去体育场，该同学离家的距离随时间x的增大而增大，从图象看当时间x为15分钟时， 离家的距离y为2.5km，从而说明体育场离该同学家2.5千米，据此可判断（1）；第二段该同学在体育场锻炼，从图象得，该同学在15分时到达体育场，在30分钟时开始离开，从而可求出在体育场锻炼的时间，据此可判断（2）；根据路程除以时间等于速度，结合图象提供的信息，分别求出该同学跑步、步行的速速，即可判断（3）；求出该同学的骑行速度，然后根据路程等于速度乘以时间可求出a的值，从而可判断（4）.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：．
故答案为：．
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式，再求出x的取值范围即可.
12．【答案】
【知识点】正比例函数的图象
【解析】【解答】解：正比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为： ．
【分析】利用正比例函数图象上点坐标的特征可将点（6，m）代入求出m的值即可.
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】先结合数轴可得，可得，再去掉二次根式，最后合并同类项即可.
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点B作于点M，
在中，，，，
∴，，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】过点B作于点M，先求出，，利用含30°角的直角三角形的性质求出，再结合可得，，再求出，可得，最后利用线段和差求出CD的长即可.
15．【答案】
【知识点】点的坐标；菱形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：顶点在直线上，若点的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵点的横坐标为，，点的纵坐标线相同，
∴点的横坐标为，
∴，
故答案为： ．
【分析】先将点B的坐标代入正比例函数解析式求出m的值，可得点B的坐标，再求出OB的长，利用菱形的性质可得，，再求出点的横坐标为，可得点C的坐标.
16．【答案】解：
．

【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
17．【答案】（1）解：将代入得，，
解得，
∴该函数的解析式为.
（2）解：令得，，
解得：，
图象与轴的交点坐标为，
∵一次函数解析式中，随的增大而增大，
∴当时，的取值范围．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出函数与x轴的交点坐标，再结合求出即可．
（1）解：将代入得，
，
解得，
∴该函数的解析式为；
（2）解：令得，
，
解得：，
图象与轴的交点坐标为，
∵一次函数解析式中，随的增大而增大，
∴当时，的取值范围．
18．【答案】证明：四边形是菱形，．
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用菱形的性质及等量代换可得AE=CF，再利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得DE=DF，再利用等边对等角的性质可得.
19．【答案】解：，
，
，
米，
，
，
米，
在中，
（米）．
答：这栋楼的高度为米．
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】先利用角的运算求出，可得，利用等角对等边的性质可得BD=AB=60，再利用含30°角的直角三角形的性质求出BC的长，最后利用勾股定理求出CD的长即可.
20．【答案】（1）50；34；8；8
（2）解：，
这组数据的平均数是8.36．
（3）解：在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占，
根据样本数据，估计该校八年级学生600人中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占，每周参加科学教育的时间是10h的学生占，
则（人）．
估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为9h的人数约为人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人），
，
，
在这组数据中，8出现了17次，次数最多，
众数是8，
将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8，
中位数是，
故答案为：；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用每周参加科学教育的时间为6h的人数除以其所占百分比可以求得本次接受调查的学生人数a的值，由每周参加科学教育的时间为8h的人数除以本次调查的总人数即可求出m；在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；据此结合条形统计图提供的信息解答即可；
（2）根据加权平均数的定义及条形统计图提供的信息进行解答即可；
（3）用该校八年级学生的总人数乘以样本中每周参加科学教育的时间至少为9h的人数所占的百分比即可估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为9h的人数.
（1）解：（人），
，
，
在这组数据中，8出现了17次，次数最多，
众数是8，
将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8，
中位数是，
故答案为：．
（2）解：，
这组数据的平均数是8.36．
（3）解：在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，
根据样本数据，估计该校八年级学生600人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，每周参加科学教育的时间是的学生占，
则（人）．
估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为人．
21．【答案】（1）解：设，
由题意可知经过点和，
，
解得：，
，
设，
由题意可知经过点和，
，
解得：
，
图象的函数关系式为，图象的函数关系式为；
（2）解：当时，
，，，
答：当行驶路程都是250km时，款电动汽车电池的剩余电量比款电动汽车电池的剩余电量多．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用函数图象中的数据利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将x=250分别代入两个解析式求出y的值，再求解即可.
（1）解：设，
由题意可知经过点和，
，
解得：，
，
设，
由题意可知经过点和，
，
解得：，
图象的函数关系式为，图象的函数关系式为；
（2）解：当时，
，，，
答：当行驶路程都是250km时，款电动汽车电池的剩余电量比款电动汽车电池的剩余电量多．
22．【答案】（1）证明：如图1：连接，
四边形是菱形，
．
，
，
.
是的垂直平分线，
，
；
（2）解：如图1：过点作于点，
，
，
即．
，
．
∵四边形是菱形，，
．
，
，
，
，
过点A作于点，
在中，，
∴
根据勾股定理，得，
.
（3）解：如图：连接，
，
，
，
当点A、、三点共线时（如图），
即时，取得最小值，
在中，由（2）得：，
的最小值为．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；胡不归模型
【解析】【分析】（1）连接AN，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得AN=CN，再利用垂直平分线的性质可得AN=NE，再利用等量代换可得EN=CN；
（2）过点作于点，利用菱形的性质和差，可得，再利用含30°角的直角三角形的性质可得NF的长，利用勾股定理求出BF的长，再过点A作于点，利用含30°角的直角三角形的性质可得BG的长，再利用勾股定理求出AG的长，最后求出菱形的面积即可；
（3）连接AF，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再证出当点A、、三点共线时，即时，取得最小值，再求出的最小值为即可．
（1）证明：如图1：连接，
四边形是菱形，
．
，
，
.
是的垂直平分线，
，
；
（2）解：如图1：过点作于点，
，
，
即．
，
．
∵四边形是菱形，，
．
，
，
，
，
过点A作于点，
在中，，
∴
根据勾股定理，得，
；
（3）解：如图：连接，
，
，
，
当点A、、三点共线时（如图），
即时，取得最小值，
在中，由（2）得：，
的最小值为．
23．【答案】（1），理由如下：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
过E点作于点M，过E点作于点N，如图，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形是正方形，
∴是正方形对角线，，
∴，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
（3），理由如下，
过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）直接证明，即可证明；
（2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：，，即有，，进而可得，即可证；
（3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明．
1 / 1广东省汕头市澄海区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、与被开方数不一样，不是同类二次根式，不符合题意；
B、，与被开方数不一样，不是同类二次根式，不符合题意；
C、与被开方数不一样，不是同类二次根式，不符合题意；
D、与被开方数一样，是同类二次根式，符合题意；
故选：D．
【分析】利用同类二次根式的定义（先将二次根式化成最简二次根式后，再根据被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式）逐项分析判断即可.
2．如图，在中，，点是的中点，若，则的长为（　　）
A．5 B．10 C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵点是的中点，
∴．
故选：A．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质求出CD的长即可.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意，
故选：D．
【分析】利用二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加法、二次根式的减法的计算方法逐项分析判断即可.
4．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：，
∵，，
∴且，
∴，，
∴，
故选：B.
【分析】利用非负数之和为0的性质可得，，求出a、b的值，再将其代入ab计算即可.
5． 某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表：
鞋码 36 37 38 39 40
平均每天销售量/双 10 12 20 12 12
如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（　　）.
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】C
【知识点】收集数据的过程与方法；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由销售量表格可知：要使每双鞋的利润相同，最关注的销售数据是：12
是众数，
故答案为：C .
【分析】
本题考查数据的收集和处理，熟知统计数据的意义是解题关键.
因为众数是一组数据中出现次数最多的数，根据题意可知：要使每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样就可以确定进货的数量，所以该店主最应关注的销售数据是众数，由此可得出答案.
6．若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵一次函数解析式为，，
∴y随x增大而减小，
∵一次函数的图象经过点，，，
∴，
故选：B．
【分析】根据一次函数的性质即可求出答案.
7．如图，在矩形中，、、、分别为边、、、的中点．若对角线，则四边形的周长为（　　）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
∵在矩形中，、、、分别为边、、、的中点，
∴，，
∴，
∴四边形为菱形，且边长为，
∴四边形的周长为；
故选：C.
【分析】连接AC，BD，利用三角形中位线的性质可得，再证出四边形为菱形，且边长为，最后求出四边形的周长即可.
8．如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（　　）海里/小时
A． B． C．40 D．20
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作交于点D，
∴，
∵海里，
∴在中，海里，
（海里），
∵，，
∴，
∵，
∴海里，
∴海里，
则该船行驶的速度为：（海里/小时）．
故选：B.
【分析】过点A作交于点D，先利用勾股定理求出DB的长，再结合，可得海里，最后利用线段的和差求出CB的长即可.
9．如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴O是中点，
又∵E是中点，
∴OE是的中位线，
∴，，
∵的周长为12，，
∴，
∴的周长为．
故选：B.
【分析】根据平行四边形性质可得O是中点，根据三角形中位线定理可得，，再根据四边形周长可得即可求出答案.
10．已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：
（1）体育场离该同学家2.5千米；
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确；
该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确；
该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误；
若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确，
故答案为：C．
【分析】此题是分段函数，第一段该同学从家跑步去体育场，该同学离家的距离随时间x的增大而增大，从图象看当时间x为15分钟时， 离家的距离y为2.5km，从而说明体育场离该同学家2.5千米，据此可判断（1）；第二段该同学在体育场锻炼，从图象得，该同学在15分时到达体育场，在30分钟时开始离开，从而可求出在体育场锻炼的时间，据此可判断（2）；根据路程除以时间等于速度，结合图象提供的信息，分别求出该同学跑步、步行的速速，即可判断（3）；求出该同学的骑行速度，然后根据路程等于速度乘以时间可求出a的值，从而可判断（4）.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：．
故答案为：．
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式，再求出x的取值范围即可.
12．已知正比例函数的图象经过点，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】正比例函数的图象
【解析】【解答】解：正比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为： ．
【分析】利用正比例函数图象上点坐标的特征可将点（6，m）代入求出m的值即可.
13．实数在数轴上的位置如图，化简　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】先结合数轴可得，可得，再去掉二次根式，最后合并同类项即可.
14．一副直角三角板如图放置，，．点在的延长线上，，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点B作于点M，
在中，，，，
∴，，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】过点B作于点M，先求出，，利用含30°角的直角三角形的性质求出，再结合可得，，再求出，可得，最后利用线段和差求出CD的长即可.
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的坐标是，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；菱形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：顶点在直线上，若点的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵点的横坐标为，，点的纵坐标线相同，
∴点的横坐标为，
∴，
故答案为： ．
【分析】先将点B的坐标代入正比例函数解析式求出m的值，可得点B的坐标，再求出OB的长，利用菱形的性质可得，，再求出点的横坐标为，可得点C的坐标.
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：．
【答案】解：
．

【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
17．在平面直角坐标系中，函数的图象经过两点．
（1）求该函数的解析式；
（2）求图象与轴的交点坐标，并写出当时，的取值范围．
【答案】（1）解：将代入得，，
解得，
∴该函数的解析式为.
（2）解：令得，，
解得：，
图象与轴的交点坐标为，
∵一次函数解析式中，随的增大而增大，
∴当时，的取值范围．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出函数与x轴的交点坐标，再结合求出即可．
（1）解：将代入得，
，
解得，
∴该函数的解析式为；
（2）解：令得，
，
解得：，
图象与轴的交点坐标为，
∵一次函数解析式中，随的增大而增大，
∴当时，的取值范围．
18．如图，在菱形中，点分别在上，且．求证：．
【答案】证明：四边形是菱形，．
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用菱形的性质及等量代换可得AE=CF，再利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得DE=DF，再利用等边对等角的性质可得.
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋竖直楼房的高度（如图），他们在处仰望楼顶，测得，再往楼的方向前进60米至处，测得，点、在同一直线上．求这栋楼的高度（人的身高忽略不计）．
【答案】解：，
，
，
米，
，
，
米，
在中，
（米）．
答：这栋楼的高度为米．
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】先利用角的运算求出，可得，利用等角对等边的性质可得BD=AB=60，再利用含30°角的直角三角形的性质求出BC的长，最后利用勾股定理求出CD的长即可.
20．为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题，
（1） ，图2中的 ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 和 ．
（2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校八年级共有学生600人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数为多少？
【答案】（1）50；34；8；8
（2）解：，
这组数据的平均数是8.36．
（3）解：在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占，
根据样本数据，估计该校八年级学生600人中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占，每周参加科学教育的时间是10h的学生占，
则（人）．
估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为9h的人数约为人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人），
，
，
在这组数据中，8出现了17次，次数最多，
众数是8，
将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8，
中位数是，
故答案为：；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用每周参加科学教育的时间为6h的人数除以其所占百分比可以求得本次接受调查的学生人数a的值，由每周参加科学教育的时间为8h的人数除以本次调查的总人数即可求出m；在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；据此结合条形统计图提供的信息解答即可；
（2）根据加权平均数的定义及条形统计图提供的信息进行解答即可；
（3）用该校八年级学生的总人数乘以样本中每周参加科学教育的时间至少为9h的人数所占的百分比即可估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为9h的人数.
（1）解：（人），
，
，
在这组数据中，8出现了17次，次数最多，
众数是8，
将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8，
中位数是，
故答案为：．
（2）解：，
这组数据的平均数是8.36．
（3）解：在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，
根据样本数据，估计该校八年级学生600人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，每周参加科学教育的时间是的学生占，
则（人）．
估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为人．
21．某公司生产了、两款新能源电动汽车．如图，、分别表示款、款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．
（1）根据图象信息，分别求出、的函数解析式；
（2）求当行驶路程都是时，款电动汽车电池的剩余电量比款电动汽车电池的剩余电量多多少？
【答案】（1）解：设，
由题意可知经过点和，
，
解得：，
，
设，
由题意可知经过点和，
，
解得：
，
图象的函数关系式为，图象的函数关系式为；
（2）解：当时，
，，，
答：当行驶路程都是250km时，款电动汽车电池的剩余电量比款电动汽车电池的剩余电量多．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用函数图象中的数据利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将x=250分别代入两个解析式求出y的值，再求解即可.
（1）解：设，
由题意可知经过点和，
，
解得：，
，
设，
由题意可知经过点和，
，
解得：，
图象的函数关系式为，图象的函数关系式为；
（2）解：当时，
，，，
答：当行驶路程都是250km时，款电动汽车电池的剩余电量比款电动汽车电池的剩余电量多．
五、解答题（三）（本大题共2小题，22小题13分，23小题14分，共27分）
22．如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．
（1）求证：；
（2）若，，求菱形的面积；
（3）若，求的最小值．
【答案】（1）证明：如图1：连接，
四边形是菱形，
．
，
，
.
是的垂直平分线，
，
；
（2）解：如图1：过点作于点，
，
，
即．
，
．
∵四边形是菱形，，
．
，
，
，
，
过点A作于点，
在中，，
∴
根据勾股定理，得，
.
（3）解：如图：连接，
，
，
，
当点A、、三点共线时（如图），
即时，取得最小值，
在中，由（2）得：，
的最小值为．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；胡不归模型
【解析】【分析】（1）连接AN，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得AN=CN，再利用垂直平分线的性质可得AN=NE，再利用等量代换可得EN=CN；
（2）过点作于点，利用菱形的性质和差，可得，再利用含30°角的直角三角形的性质可得NF的长，利用勾股定理求出BF的长，再过点A作于点，利用含30°角的直角三角形的性质可得BG的长，再利用勾股定理求出AG的长，最后求出菱形的面积即可；
（3）连接AF，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再证出当点A、、三点共线时，即时，取得最小值，再求出的最小值为即可．
（1）证明：如图1：连接，
四边形是菱形，
．
，
，
.
是的垂直平分线，
，
；
（2）解：如图1：过点作于点，
，
，
即．
，
．
∵四边形是菱形，，
．
，
，
，
，
过点A作于点，
在中，，
∴
根据勾股定理，得，
；
（3）解：如图：连接，
，
，
，
当点A、、三点共线时（如图），
即时，取得最小值，
在中，由（2）得：，
的最小值为．
23．【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），理由如下：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
过E点作于点M，过E点作于点N，如图，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形是正方形，
∴是正方形对角线，，
∴，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
（3），理由如下，
过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）直接证明，即可证明；
（2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：，，即有，，进而可得，即可证；
（3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明．
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