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广东省广州市白云区2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列的通项公式，则的值为（　　）
A． B．0 C． D．1
2．已知数列的通项公式，则数列的前10项和为（　　）
A．35 B．40 C．45 D．50
3．已知函数，是的导函数，则（　　）
A． B．
C． D．
4．对某地区数学考试成绩的数据分析，学生成绩服从正态分布，，则（　　）
A．0.98 B．0.96 C．0.52 D．0.48
5．的展开式中的系数是（　　）
A．10 B．5 C． D．
6．银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．如果记得密码的最后1位是偶数，不超过3次就按对的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（　　）
A． B． C．505 D．1013
8．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．为了研究变量关于变量的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：
1 2 3 4 5
0.4 0.8 1 1.2 1.6
若经验回归方程为，（参考公式：，相关系数，则（　　）
A．变量和变量负相关
B．
C．当时，相应的残差为
D．去掉样本点后，变量和变量的样本相关系数会变小
10．如图，取正六边形各边的中点，，，，，，依次连线得第2个正六边形；然后再取正六边形各边的中点，，，，，，依次连线得第3个正六边形，依此方法一直继续下去．已知正六边形边长为4，记第个正六边形的边长为，面积为，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．数列是首项为，公比为的等比数列
C．如果这个作图过程可以一直继续下去，则所有正六边形的面积之和不断增加且趋近于无限大
D．如果这个作图过程可以一直继续下去，则所有正六边形的周长之和趋近于
11．甲、乙两人进行球类比赛，有二种赛制，赛制一：比赛采用5局3胜，先赢3局者获胜，比赛结束．记采用赛制一甲获胜为事件，甲获胜时比赛的局数为．赛制二：比赛赛满5局，赢的局数多者获胜，比赛结束．记采用赛制二甲获胜为事件，甲获胜时甲赢的局数为．已知每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛结果相互独立．则（　　）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是　 　．（用数字作答）
13．将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为　 　．
14．已知数列的首项，且，则的通项公式为　 　；若不等式（）恒成立，则的最小值为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．函数，（，）的图象在处的切线与直线平行．
（1）求的值和切线的方程；
（2）求函数的单调区间和极值．
16．为了研究高中学生平时的数学成绩和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽取名学生进行调查统计，数据如下：
整理数学错题习惯 数学成绩 合计
优秀 非优秀
有
没有
合计
（1）依据小概率值的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联；
（2）在调查统计有整理数学错题集习惯的名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取人组建研讨小组，再从人研讨小组中随机抽取人进行访谈，用表示访谈时成绩优秀的人数，求的分布列、数学期望及方差．
附：，
17．已知数列的前项和为，且．
（1）求，及数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
①设（），求；
②若都有不等式成立，求的取值范围．
18．甲对某运动项目进行挑战，若第一天挑战不成功，则第二天继续挑战；若第一天挑战成功，则第二天休息一天，第三天继续挑战，依此类推…假设甲挑战成功的概率均为，设第天甲挑战的概率为．
（1）求，；
（2）求证数列为等比数列，并求；
（3）若随机变量服从两点分布，且，，则．记前天（即从第1天到第天）中甲挑战的天数为，求．
19．牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，，…，，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知．
（1）若给定，求的二阶近似值；
（2）函数．
①试写出函数的最小值与的关系式；
②证明：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角函数诱导公式二~六；数列的通项公式
【解析】【解答】解：数列的通项公式，则.
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式直接计算即可.
2．【答案】C
【知识点】数列的前n项和
【解析】【解答】解：，
则．
故答案为：C.
【分析】利用分组求和法计算即可．
3．【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：过点A作切线，斜率设为，过点B作切线，斜率设为，连接，得到直线，斜率设为，如图所示：
由图可知，，
根据导数的几何意义以及斜率的定义可知：，，，
则.
故答案为：A．
【分析】根据导数的几何意义以及斜率的定义，结合函数图象判断即可.
4．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布的原则求解即可.
5．【答案】C
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，可得；
令，可得；
则的系数是.
故答案为：C.
【分析】先写出展开式的通项公式，令和讨论求展开式中的系数即可.
6．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：记得密码的最后1位是偶数，不超过3次就按对的概率：．
故答案为：C.
【分析】根据互斥事件概率加法公式和独立事件的乘法公式求解即可．
7．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设首项为，
因为成等比数列，
所以，
则，
解得或，
当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除，
当时，，此时，令，
则其前2025项和为：
.
故答案为：D.
【分析】根据已知以及等差数列的通项公式求得的值，从而得到数列的通项公式，令，再利用并项求和即可.
8．【答案】D
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数，
令 ，
因为存在唯一的整数，使得，即，
，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故当时，函数取得极小值也是最小值，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
是斜率为a，且过定点的直线，作出其大致图象，如图所示：
当时，存在无穷多个满足条件的整数满足不等式，不符合题意，
故，此时需满足在图象上只有一个横坐标为整数的点在直线下方，
则需满足，解得，
则实数a的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】令 ，将存在唯一的整数，使得，即，转化为在图象上只有一个横坐标为整数的点在直线下方，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，作出函数的大致图象，数形结合，列出不等式组，求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】线性相关；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由表格数据可知，随着的增加，随之增加，则与正相关，故A错误；
因为，所以样本中心为，
因为回归直线必过样本点的中心，所以，解得，故B正确；
由B选项可知：回归方程为，则当时，估计，
残差为：，故C正确；
点为样本中心点，去掉样本点后变量和变量的样本相关系数不变，故D错误．
故答案为：BC.
【分析】根据5组样本数据判断与正相关即可判断A；分别求的平均值，根据回归方程必过样本中心点求解即可判断B；根据B选项的回归方程，求残差即可判断C；根据相关系数的性质即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意正六边形每次取中点连线，新正六边形的边长为前一个边长的倍，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，即，
，数列的前项和为，
所以前个正六边形的周长之和为，
即所有正六边形的周长之和趋近于，故AD正确；
因为边长为的正六边形的面积为，
所以正六边形每次取中点连线，新正六边形的面积为前一个面积的倍，
又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确；
由A可知：前个正六边形的面积之和为，
则所有正六边形的面积之和不断增加且且趋近于，故C错误.
故答案为：ABD.
【分析】由题意可知：数列是以为首项，以为公比的等比数列，求得，计算即可判断A；由A选项，利用等比数列求和公式求出周长的前项和即可判断D ；结合正六边形的面积，推导出为等比数列，利用等比数列求和公式求出的和即可判断BC.
11．【答案】B,C,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：A、赛制一中甲获胜的情况为：甲连续赢3局，甲赢3局输1局，甲赢3局输2局共3种情况：
则，故A错误；
B、，，，则，故B正确；
C、赛制二中甲获胜的情况为：甲赢3局输2局，甲赢4局输1局，甲赢5局输共3种情况：
则，故C正确；
D、，，
，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据二项分布求概率和期望判断即可.
12．【答案】
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先排首位，在选一个，有3种；
十位、个位从剩下的3个数中选2个数全排，有种，
故可以组成种没有重复数字的三位数.
故答案为：.
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.
13．【答案】
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意方盒的底面边长为的正方形，高为，
则，即，
所以无盖方盒的容积为，，
则，
令，解得或；
令，解得．
因为函数的定义域为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值即最大值，所以，
即该方盒容积最大为.
故答案为：.
【分析】先表示无盖方盒的容积，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值即可.
14．【答案】；3
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：，且，
再由累加法得：，
设，则，，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，
即，所以，又，
故不等式（）恒成立，则的最小值为3.
故答案为：，3.
【分析】根据数列的递推公式，利用累加法，结合等比数列求和公式求，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，利用导数法证得，再利用该结论得，则，即可得解.
15．【答案】（1）解：函数定义域为，，
由题意，解得，
则，，
故在处的切线为，即；
（2）解：由（1）可得，令，解得或，
当，即且，解得且，
当，即，解得或，
则函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，
函数在处取得极小值，在处取得极大值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用建立方程求得，求出切点，再利用点斜式求切线方程即可；
（2）由（1）可得，利用导数研究单调性，求函数的极值.
（1）由得，由题意，
所以，所以，则，
所以在处的切线为，即.
（2），令有或，
由有且，即且，
由有，即或，
所以函数的增区间为，，减区间为，
所以函数在处取得极小值，在处取得极大值.
16．【答案】（1）解：零假设数学成绩优秀与整理数学错题集习惯无关，
由列联表中的数据可得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联，此推断犯错误的概率不超过；
（2）解：由分层抽样可知，人研讨小组中，成绩非优秀的人数为人，成绩优秀的人数为人，
由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
，，，
故随机变量的分布列如下表所示：
则，
.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）先进行零假设，再计算，与临界值比较判断即可；
（2）利用分层抽样确定成绩非优秀的人数和成绩优秀的人数，由题意可得随机变量的可能取值有、、，利用超几何分布求得对应的概率，列分布列，再求、的值即可.
（1）零假设数学成绩优秀与整理数学错题集习惯无关，
由列联表中的数据可得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联，此推断犯错误的概率不超过.
（2）由分层抽样可知，人研讨小组中，成绩非优秀的人数为人，成绩优秀的人数为人，
由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
，，，
故随机变量的分布列如下表所示：
所以，，
.
17．【答案】（1）解：由且，可得，
当时，，两式相减得，即，
又因为，所以数列为公比为2的等比数列，所以；
（2）解：①、由（1）得，，
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
则，即，则，所以，
则，，
两式相减可得
，所以；
②、因为都有不等式成立，
所以恒成立，
，
当时，，即，
当时，，即，
所以，所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；数列与不等式的综合；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用递推式，令求得，当时，，两式作差求得，又因为，所以数列为等比数列，利用等比数列通项公式求解即可；
（2）①、由（1）得，，由题意求出，根据错位相减法求和即可；
②、问题转化为恒成立，利用作差法比较大小，确定的最大值求解即可.
（1）由得，，时，，两式相减得，
即，又，所以数列为公比为2的等比数列，
所以；
（2）①由（1）得，，
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则，即，则，所以，
则，，
两式相减可得
，所以；
②因为都有不等式成立，
所以恒成立，
，
当时，，即，
当时，，即，
所以，所以.
18．【答案】（1）解：由题意，；
（2）解：当时，，所以，又，
所以是以为首，为公比的等比数列，所以，
则；
（3）解：因为，，所以，
因为，，
所以当时，，
故.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用对立事件概率公式和独立事件乘法公式求解即可；
（2） 当时，，变形可得，利用等比数列定义证明结论，再利用等比数列的概念求数列的通项公式即可；
（3）利用两点分布求得，再利用等比数列求和公式求解即可.
（1）根据题意，.
（2）当时，，所以，又，
所以是以为首，为公比的等比数列，所以，
即.
（3）因为，，
所以，
因为，，
所以当时，，
故.
19．【答案】（1）解：因为函数，
求导得，
依题意，得，
当时，，
同理可得，
又因为，
所以.
（2）①解：因为，
所以，
令，
求导得，
所以在上单调递增，
则函数单调递增，
所以，
由，得，且，
则，，
所以，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，函数在处取得最小值，
则，
所以.
②证明：由①知，，
令，求导得，
令，求导得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
则当时，恒成立，
所以，函数在上单调递增，
又因为，
所以，
则.
【知识点】函数恒成立问题；导数的加法与减法法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据给定的方法，先求出的导数，再依次求出，从而得出的二阶近似值.
（2）①利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，再结合求出m与r的关系式.
②由①的结论，从而构造函数，再利用导数判断函数在上的单调性，从而证出不等式成立.
（1）函数，求导得，
依题意，，当时，，
同理，而，所以；
（2）①因为，
所以，令，
求导得，所以在上单调递增，
函数单调递增，，
由，得，且，则，，
所以，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得最小值，
即.
②由①知，，
令，求导得，
令，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
而，
则当时，恒成立，即函数在上单调递增，
而，因此，所以.
1 / 1广东省广州市白云区2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列的通项公式，则的值为（　　）
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【知识点】三角函数诱导公式二~六；数列的通项公式
【解析】【解答】解：数列的通项公式，则.
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式直接计算即可.
2．已知数列的通项公式，则数列的前10项和为（　　）
A．35 B．40 C．45 D．50
【答案】C
【知识点】数列的前n项和
【解析】【解答】解：，
则．
故答案为：C.
【分析】利用分组求和法计算即可．
3．已知函数，是的导函数，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：过点A作切线，斜率设为，过点B作切线，斜率设为，连接，得到直线，斜率设为，如图所示：
由图可知，，
根据导数的几何意义以及斜率的定义可知：，，，
则.
故答案为：A．
【分析】根据导数的几何意义以及斜率的定义，结合函数图象判断即可.
4．对某地区数学考试成绩的数据分析，学生成绩服从正态分布，，则（　　）
A．0.98 B．0.96 C．0.52 D．0.48
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布的原则求解即可.
5．的展开式中的系数是（　　）
A．10 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，可得；
令，可得；
则的系数是.
故答案为：C.
【分析】先写出展开式的通项公式，令和讨论求展开式中的系数即可.
6．银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．如果记得密码的最后1位是偶数，不超过3次就按对的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：记得密码的最后1位是偶数，不超过3次就按对的概率：．
故答案为：C.
【分析】根据互斥事件概率加法公式和独立事件的乘法公式求解即可．
7．已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（　　）
A． B． C．505 D．1013
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设首项为，
因为成等比数列，
所以，
则，
解得或，
当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除，
当时，，此时，令，
则其前2025项和为：
.
故答案为：D.
【分析】根据已知以及等差数列的通项公式求得的值，从而得到数列的通项公式，令，再利用并项求和即可.
8．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数，
令 ，
因为存在唯一的整数，使得，即，
，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故当时，函数取得极小值也是最小值，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
是斜率为a，且过定点的直线，作出其大致图象，如图所示：
当时，存在无穷多个满足条件的整数满足不等式，不符合题意，
故，此时需满足在图象上只有一个横坐标为整数的点在直线下方，
则需满足，解得，
则实数a的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】令 ，将存在唯一的整数，使得，即，转化为在图象上只有一个横坐标为整数的点在直线下方，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，作出函数的大致图象，数形结合，列出不等式组，求解即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．为了研究变量关于变量的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：
1 2 3 4 5
0.4 0.8 1 1.2 1.6
若经验回归方程为，（参考公式：，相关系数，则（　　）
A．变量和变量负相关
B．
C．当时，相应的残差为
D．去掉样本点后，变量和变量的样本相关系数会变小
【答案】B,C
【知识点】线性相关；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由表格数据可知，随着的增加，随之增加，则与正相关，故A错误；
因为，所以样本中心为，
因为回归直线必过样本点的中心，所以，解得，故B正确；
由B选项可知：回归方程为，则当时，估计，
残差为：，故C正确；
点为样本中心点，去掉样本点后变量和变量的样本相关系数不变，故D错误．
故答案为：BC.
【分析】根据5组样本数据判断与正相关即可判断A；分别求的平均值，根据回归方程必过样本中心点求解即可判断B；根据B选项的回归方程，求残差即可判断C；根据相关系数的性质即可判断D.
10．如图，取正六边形各边的中点，，，，，，依次连线得第2个正六边形；然后再取正六边形各边的中点，，，，，，依次连线得第3个正六边形，依此方法一直继续下去．已知正六边形边长为4，记第个正六边形的边长为，面积为，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．数列是首项为，公比为的等比数列
C．如果这个作图过程可以一直继续下去，则所有正六边形的面积之和不断增加且趋近于无限大
D．如果这个作图过程可以一直继续下去，则所有正六边形的周长之和趋近于
【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意正六边形每次取中点连线，新正六边形的边长为前一个边长的倍，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，即，
，数列的前项和为，
所以前个正六边形的周长之和为，
即所有正六边形的周长之和趋近于，故AD正确；
因为边长为的正六边形的面积为，
所以正六边形每次取中点连线，新正六边形的面积为前一个面积的倍，
又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确；
由A可知：前个正六边形的面积之和为，
则所有正六边形的面积之和不断增加且且趋近于，故C错误.
故答案为：ABD.
【分析】由题意可知：数列是以为首项，以为公比的等比数列，求得，计算即可判断A；由A选项，利用等比数列求和公式求出周长的前项和即可判断D ；结合正六边形的面积，推导出为等比数列，利用等比数列求和公式求出的和即可判断BC.
11．甲、乙两人进行球类比赛，有二种赛制，赛制一：比赛采用5局3胜，先赢3局者获胜，比赛结束．记采用赛制一甲获胜为事件，甲获胜时比赛的局数为．赛制二：比赛赛满5局，赢的局数多者获胜，比赛结束．记采用赛制二甲获胜为事件，甲获胜时甲赢的局数为．已知每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛结果相互独立．则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：A、赛制一中甲获胜的情况为：甲连续赢3局，甲赢3局输1局，甲赢3局输2局共3种情况：
则，故A错误；
B、，，，则，故B正确；
C、赛制二中甲获胜的情况为：甲赢3局输2局，甲赢4局输1局，甲赢5局输共3种情况：
则，故C正确；
D、，，
，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据二项分布求概率和期望判断即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是　 　．（用数字作答）
【答案】
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先排首位，在选一个，有3种；
十位、个位从剩下的3个数中选2个数全排，有种，
故可以组成种没有重复数字的三位数.
故答案为：.
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.
13．将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意方盒的底面边长为的正方形，高为，
则，即，
所以无盖方盒的容积为，，
则，
令，解得或；
令，解得．
因为函数的定义域为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值即最大值，所以，
即该方盒容积最大为.
故答案为：.
【分析】先表示无盖方盒的容积，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值即可.
14．已知数列的首项，且，则的通项公式为　 　；若不等式（）恒成立，则的最小值为　 　．
【答案】；3
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：，且，
再由累加法得：，
设，则，，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，
即，所以，又，
故不等式（）恒成立，则的最小值为3.
故答案为：，3.
【分析】根据数列的递推公式，利用累加法，结合等比数列求和公式求，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，利用导数法证得，再利用该结论得，则，即可得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．函数，（，）的图象在处的切线与直线平行．
（1）求的值和切线的方程；
（2）求函数的单调区间和极值．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
由题意，解得，
则，，
故在处的切线为，即；
（2）解：由（1）可得，令，解得或，
当，即且，解得且，
当，即，解得或，
则函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，
函数在处取得极小值，在处取得极大值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用建立方程求得，求出切点，再利用点斜式求切线方程即可；
（2）由（1）可得，利用导数研究单调性，求函数的极值.
（1）由得，由题意，
所以，所以，则，
所以在处的切线为，即.
（2），令有或，
由有且，即且，
由有，即或，
所以函数的增区间为，，减区间为，
所以函数在处取得极小值，在处取得极大值.
16．为了研究高中学生平时的数学成绩和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽取名学生进行调查统计，数据如下：
整理数学错题习惯 数学成绩 合计
优秀 非优秀
有
没有
合计
（1）依据小概率值的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联；
（2）在调查统计有整理数学错题集习惯的名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取人组建研讨小组，再从人研讨小组中随机抽取人进行访谈，用表示访谈时成绩优秀的人数，求的分布列、数学期望及方差．
附：，
【答案】（1）解：零假设数学成绩优秀与整理数学错题集习惯无关，
由列联表中的数据可得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联，此推断犯错误的概率不超过；
（2）解：由分层抽样可知，人研讨小组中，成绩非优秀的人数为人，成绩优秀的人数为人，
由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
，，，
故随机变量的分布列如下表所示：
则，
.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）先进行零假设，再计算，与临界值比较判断即可；
（2）利用分层抽样确定成绩非优秀的人数和成绩优秀的人数，由题意可得随机变量的可能取值有、、，利用超几何分布求得对应的概率，列分布列，再求、的值即可.
（1）零假设数学成绩优秀与整理数学错题集习惯无关，
由列联表中的数据可得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联，此推断犯错误的概率不超过.
（2）由分层抽样可知，人研讨小组中，成绩非优秀的人数为人，成绩优秀的人数为人，
由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
，，，
故随机变量的分布列如下表所示：
所以，，
.
17．已知数列的前项和为，且．
（1）求，及数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
①设（），求；
②若都有不等式成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：由且，可得，
当时，，两式相减得，即，
又因为，所以数列为公比为2的等比数列，所以；
（2）解：①、由（1）得，，
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
则，即，则，所以，
则，，
两式相减可得
，所以；
②、因为都有不等式成立，
所以恒成立，
，
当时，，即，
当时，，即，
所以，所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；数列与不等式的综合；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用递推式，令求得，当时，，两式作差求得，又因为，所以数列为等比数列，利用等比数列通项公式求解即可；
（2）①、由（1）得，，由题意求出，根据错位相减法求和即可；
②、问题转化为恒成立，利用作差法比较大小，确定的最大值求解即可.
（1）由得，，时，，两式相减得，
即，又，所以数列为公比为2的等比数列，
所以；
（2）①由（1）得，，
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则，即，则，所以，
则，，
两式相减可得
，所以；
②因为都有不等式成立，
所以恒成立，
，
当时，，即，
当时，，即，
所以，所以.
18．甲对某运动项目进行挑战，若第一天挑战不成功，则第二天继续挑战；若第一天挑战成功，则第二天休息一天，第三天继续挑战，依此类推…假设甲挑战成功的概率均为，设第天甲挑战的概率为．
（1）求，；
（2）求证数列为等比数列，并求；
（3）若随机变量服从两点分布，且，，则．记前天（即从第1天到第天）中甲挑战的天数为，求．
【答案】（1）解：由题意，；
（2）解：当时，，所以，又，
所以是以为首，为公比的等比数列，所以，
则；
（3）解：因为，，所以，
因为，，
所以当时，，
故.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用对立事件概率公式和独立事件乘法公式求解即可；
（2） 当时，，变形可得，利用等比数列定义证明结论，再利用等比数列的概念求数列的通项公式即可；
（3）利用两点分布求得，再利用等比数列求和公式求解即可.
（1）根据题意，.
（2）当时，，所以，又，
所以是以为首，为公比的等比数列，所以，
即.
（3）因为，，
所以，
因为，，
所以当时，，
故.
19．牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，，…，，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知．
（1）若给定，求的二阶近似值；
（2）函数．
①试写出函数的最小值与的关系式；
②证明：．
【答案】（1）解：因为函数，
求导得，
依题意，得，
当时，，
同理可得，
又因为，
所以.
（2）①解：因为，
所以，
令，
求导得，
所以在上单调递增，
则函数单调递增，
所以，
由，得，且，
则，，
所以，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，函数在处取得最小值，
则，
所以.
②证明：由①知，，
令，求导得，
令，求导得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
则当时，恒成立，
所以，函数在上单调递增，
又因为，
所以，
则.
【知识点】函数恒成立问题；导数的加法与减法法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据给定的方法，先求出的导数，再依次求出，从而得出的二阶近似值.
（2）①利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，再结合求出m与r的关系式.
②由①的结论，从而构造函数，再利用导数判断函数在上的单调性，从而证出不等式成立.
（1）函数，求导得，
依题意，，当时，，
同理，而，所以；
（2）①因为，
所以，令，
求导得，所以在上单调递增，
函数单调递增，，
由，得，且，则，，
所以，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得最小值，
即.
②由①知，，
令，求导得，
令，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
而，
则当时，恒成立，即函数在上单调递增，
而，因此，所以.
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