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广东省广州市从化区2024--2025学年八年级下学期期末数学自编练习试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得，
故选：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
2．若有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，，，
∴的取值范围为，
故选：C．
【分析】根据二次根式以及分式有意义的条件可得，，求解即可．
3．下列几组数中，一定是勾股数的是（　　）
A．1，， B．3，4，5
C．，， D．，，
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A． 不是正整数，
不是勾股数，故本选项不符合题意；
B． ，
是勾股数，故本选项符合题意；
C．，，不是正整数，
，，不是勾股数，故本选项不符合题意；
D．当不是正整数时，，，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据勾股数的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．估算的运算结果在(　　)
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：；
∵，
∴．
故原式的运算结果在7和8之间，
故选：C．
【分析】根据二次根式的四则运算法则，先化简式子，再根据无理数的估算求解即可．
5．如图，中，，，点P从B处向A处运动，每秒，点Q从A处向C处运动，每秒，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当时，运动时间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设运动时间为，则
，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
解得．
故选：A．
【分析】设运动时间为，可得，，，根据题意可得，从而，列方程求解即可．
6．如图1，为⊙的四等分点，动点从圆心出发，沿→→→→路线作匀速运动，设运动时间为（秒），(度)，图2表示与之间函数关系的图象，则点的横坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】弧长的计算；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：设点在弧上运动的时间为，
，，，为圆的四等分点，点做匀速运动，
，
解得，
点在半径与弧运动的时间之和是，
点的横坐标为．
故选：D．
【分析】设点在弧上运动的时间为，求得弧的长度，表示出速度，列出方程求得t，再根据图2，加上2即可得解．
7．一组正整数，这组数据有唯一众数，中位数为3，则这组数据的平均数是（　　）
A．4.5 B．3.5 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：∵一组正整数，这组数据有唯一众数，中位数为3，
∴排序后中间两数之和为，
若众数为2，假设，则，平均数为，
若众数为3，则，平均数为，
∴这组数据的平均数是4，
故选：D
【分析】根据题意，分两种情况，分众数为2，众数为3两种情况进行解答即可．
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD．AD＝BC
C．AD∥BC，∠ABC＝∠ADC D．AB＝CD，∠ABC＝∠ADC
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
9．函数与的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A、图中一次函数经过第一、二、四象限，则，抛物线开口向下，则，但是两个函数都与y轴交于，故此选项不符合题意；
B、图中一次函数经过第一、二、三象限，则，抛物线开口向下，则，故此选项不符合题意；
C、图中一次函数经过第一、二、三象限，则，抛物线开口向上，则，且两个函数都与y轴交于，故此选项符合题意；
D、图中一次函数经过第一、二、三象限，则，抛物线开口向上，则，但是两个函数都与y轴交于，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据二次函数，一次函数图象与系数的关系即可求出答案.
10．将一根的筷子，置于底面直径为，高的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子在杯子外面的长度为，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
；
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
，
此时，
所以的取值范围是：．
故选：．
【分析】根据题意，如图可得，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，利用勾股定理以及线段和差关系，求解即可．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．下列各式中是最简二次根式的有　 　个．
【答案】1
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
则只有是最简二次根式．
故答案为：
【分析】根据最简二次根式的定义：最简二次根式是指被开方数中不含分母，且因式中的含字母的因数是整数次幂的二次根式。然后再对各个数进行逐一判断即可。
12．将直线向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为，
故答案为：．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
13．写出一个图象经过点（1，﹣2）的函数的表达式：　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设y=kx，把点（1，﹣2）代入，得
k=-2，
∴（答案不唯一）.
故答案为.
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可。
14．如果数据，，，的平均数是，那么　 　．
【答案】1
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据平均数的公式列出方程求出的值求解即可．
15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A的面积是的面积是的面积是，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图记图中三个正方形分别为、、．
根据勾股定理得到：A与的面积的和是的面积；与的面积的和是的面积；而的面积的和是的面积．
即A、、、的面积之和为的面积．
的面积是，
、、、的面积之和为，设正方形的面积为，
，
故答案为：
【分析】记图中三个正方形分别为、、，根据勾股定理，结合正方形面积建立方程，解方程即可求出答案.
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与、轴交于点、，点是线段的中点，连接，作于点交轴于点，则线段　 　．
【答案】
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：一次函数，
当时，；当时，；
点的坐标为，点的坐标，
点是线段的中点，
点的坐标为，
，
，
，
即，
解得．
故答案为：．
【分析】根据题意，求出点和点的坐标，根据中点公式求得点的坐标，由勾股定理即可得到的长，再根据锐角三角函数即可求得的长．
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．如图中，于、于，求证：四边形为平行四边形．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
先利用平行四边形性质得到边与角的关系，再证明三角形全等得到对应边相等，结合垂直关系得到对应边平行，最后依据平行四边形判定即可证明.
18．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：．
（2）解：．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据合并同类二次根式的运算法则即可．
（2）先根据乘法分配律去括号运算，再合并同类二次根式即可．
（1）解：．
（2）解：．
19．如图，在中， 是的中线，取中点O，连接并延长至点C，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求矩形的面积．
【答案】（1）证明：为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
是的中线，
，即，
四边形是矩形；
（2）解：，，是的中线，
，
，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据线段中点可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，根据等腰三角形三线合一性质可得，即，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠ADB，再根据含30°角的直角三角形性质可得AB，再根据勾股定理可得BD，再根据矩形面积即可求出答案.
20．已知.
（1）如图1，用尺规作的平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2，已知点是上一点，，，垂足分别为，，与交于点.求证：①；②是的垂直平分线.
【答案】解：（1）如图1
图1
（2）证明：
①平分，，
（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
（等边对等角）
②在和中
，
.
（全等三角形的对应角相等）
又（已证）
垂直平分于点（等腰三角形的三线合一）
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法，作图即可；
（2）①根据角平分线的性质可以得到PC=PD，再根据等腰三角形的性质等边对等角即可求解；②通过证明△POC≌△POD，从而得到，再根据等腰三角形三线合一的性质解答即可.
21．某公司准备每周（按120个工时计算）组装三种型号的无人机360台，组装这些无人机每台所需工时和每台产值如下表．
无人机型号 ① ② ③
工时（个）
产值（万元/台） 0.4 0.3 0.2
（1）如果每周准备组装100台型号③无人机，那么每周应组装型号①、②无人机各几台？
（2）若一周型号③无人机至少组装20台，一周产值记为，求的最大值．
【答案】（1）解：设每周应组装型号①、②无人机分别是台、台．
，
解得，
所以每周应组装型号①、②无人机分别是50台、210台；
（2）解：设每周组装型号①、②、③无人机分别是台、台、台．
由题意可得，
解得，
∴，
由于，且，
所以，
当时，最大（万元），
所以，的最大值是107万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每周应组装型号①无人机，②无人机分别为台、②无人机台，根据题意，列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设每周组装型号①、②、③无人机分别是x台、y台、z台，列出方程组，得到，可以得到产值，再根据题意可得，，确定，再利用一次函数的性质确定出w随z的增大而减小，即可求解．
（1）解：设每周应组装型号①、②无人机分别是台、台．
，
解得，
所以每周应组装型号①、②无人机分别是50台、210台；
（2）解：设每周组装型号①、②、③无人机分别是台、台、台．
，
解得，
∴，
由于，且，
所以，
当时，最大（万元），
所以，的最大值是107万元．
22．已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、B、C、D四个点，其中横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
　 A B C D
x -1 0 1 3
y -1 3 5 3
（1）求二次函数解析式；
（2）求△ABD的面积．
【答案】解：（1）把点A，B，C的坐标代入y=ax2+bx+c，得，解得，
所以二次函数解析式y=-x2+3x+3；
（2）S△ABD=×3×4=6．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）把点A，B，C的坐标代入y=ax2+bx+c，利用待定系数法求解二次函数解析式即可；（2）根据三角形的面积公式以及点的坐标可得，底边长为3，高为4，求解即可．
23．海淀外国语有两个校区，其中初三年级京北校区有200名学生，海淀校区有300名学生，两个校区所有学生都参加了一次环保知识竞赛，为了解两个校区学生的答题情况，进行了抽样调查，从京北、海淀两个校区各随机抽取20名学生，对他们本次环保知识竞赛的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．京北校区成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）；
b．京北校区成绩在这一组的是_______：
74 74 75 77 77 77 77 78 79 79
c．京北、海淀两校区成绩的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
京北校区 79.5
海淀校区 77 81.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值：
（2）两个校区分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本校区的平均分就可以赋予等级A，判断在本次抽取的学生中哪个校区赋予等级A的学生更多，直接写出结果并说明理由；
（3）估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为____．
【答案】（1）
（2）解：海淀校区赋予等级A的学生更多，理由如下：
京北校区成绩的平均数是79.5，第12位的成绩是79，之间有7人，之间有1人，可知成绩超过平均数的学生有8人，即赋予等级A的学生有8人；
海淀校区成绩的平均数是77，中位数是81.5，可知成绩超过平均数的学生至少有10人，即赋予等级A的学生至少有10人；
所以海淀校区赋予等级A的学生更多．
（3）78
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）解：京北校区成绩的中位数．
（3）解：估计京北校区200名学生成绩的平均数为79.5，海淀校区300名学生成绩的平均数为77，
因此估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为，
故答案为：78．
【分析】（1）根据中位数的定义即可求出答案.
（2）根据两个校区成绩的中位数和平均数，求出成绩超过平均数的人数，再比较大小即可.
（3）根据平均数的定义即可求出答案.
（1）解：京北校区成绩的中位数．
（2）解：海淀校区赋予等级A的学生更多，理由如下：
京北校区成绩的平均数是79.5，第12位的成绩是79，之间有7人，之间有1人，可知成绩超过平均数的学生有8人，即赋予等级A的学生有8人；
海淀校区成绩的平均数是77，中位数是81.5，可知成绩超过平均数的学生至少有10人，即赋予等级A的学生至少有10人；
所以海淀校区赋予等级A的学生更多．
（3）解：估计京北校区200名学生成绩的平均数为79.5，海淀校区300名学生成绩的平均数为77，
因此估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为，
故答案为：78．
24．如图1，在正方形中，点是线段上一个动点（与点、不重合），将线段绕着点顺时针旋转90°得到线段，连接，过点作，交于点，交于点，连接．
（1）求证：①；
②四边形是平行四边形；
（2）如图2，点是延长线上一点，当点在线段上运动时，求证：点始终在的角平分线上．
【答案】（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
②由，可知．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）如图，过点作于点，于点，
则，
∵，
∴四边形是矩形．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，．
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
∴点始终在的角平分线上．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1） 在正方形中，，，得到，推出，再根据即可求证；
（2）由（1）可得，等量代换可得，再根据平行四边形的判定定理即可证得答案；
（3）过点作于点，于点，先证明四边形是矩形，根据证，得到，，再通过证四边形是正方形．即可证得答案．
25．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A且与直线l2：y2＝x交于点B，并且有如下信息：①当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2．②当y1＜0时，x＜﹣4．
根据信息解答下列问题：
（1）求直线l1的表达式．
（2）过点A的直线l3：y3＝与直线l2交于点C，求△ABC的面积．
（3）若点D是x轴上的动点，点E是直线AB上的动点，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的D点坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵当x＞2时，；当x＜2时，，∴点B的横坐标为2，当x＝2时，，∴直线，的交点坐标为B（2，3），∵当时，x＜﹣4，∴直线与x轴的交点坐标为A（﹣4，0），将A（﹣4，0），B（2，3）代入y1＝kx+b中，∴，解得：，∴直线的表达式为；（2）联立，解得：，∴直线，的交点坐标为C（，），∴；（3）存在，∵点E是直线AB上的动点，点D是x轴上的动点，∴设E点坐标为（，），D点坐标为（m，0），又∵A（，0），C（，），在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形中，①当AC，DE为平行四边形的对角线时，，解得，∴此时D点坐标为（2，0），②当AD，CE为平行四边形的对角线时，，解得，此时D点坐标为（2，0），③当AE，CD为平行四边形的对角线时，，解得，此时D点坐标为（﹣10，0），综上，满足条件的点D的坐标为（2，0）或（﹣10，0）
（1）解：（1）∵当x＞2时，；当x＜2时，，
∴点B的横坐标为2，
当x＝2时，，
∴直线，的交点坐标为B（2，3），
∵当时，x＜﹣4，
∴直线与x轴的交点坐标为A（﹣4，0），
将A（﹣4，0），B（2，3）代入y1＝kx+b中，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：联立，
解得：，
∴直线，的交点坐标为C（，），
∴；
（3）解：存在，点D的坐标为（2，0）或（﹣10，0）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的性质；一次函数中的动态几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：存在，
∵点E是直线AB上的动点，点D是x轴上的动点，
∴设E点坐标为（，），D点坐标为（m，0），
又∵A（，0），C（，），
在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形中，
①当AC，DE为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴此时D点坐标为（2，0），
②当AD，CE为平行四边形的对角线时，
，解得，
此时D点坐标为（2，0），
③当AE，CD为平行四边形的对角线时，
，解得，
此时D点坐标为（﹣10，0），
综上，满足条件的点D的坐标为（2，0）或（﹣10，0）
【分析】（1）由题意 l1 的图像过A点和B点，所以本题要求 l1 的表达式，采用待定系数法，所以需要先求出A点和B点的确切坐标，由 ①当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2 可知，x=2是两函数大小发生变化的点，即它们的交点，所以得出点B的横坐标为2，代入到 l2 中可求得点B的坐标，由 ②当y1＜0时，x＜﹣4 可求得点A的坐标；
（2）求 △ABC 的面积，首先要求出各顶点的坐标，此三角形只有顶点C的坐标未知，因为点C是l2 与 l3 的交点，所以联立方程组即可求得C点的坐标；观察△ABC在坐标系下的位置，求其面积需采用割补法，以x轴为分界线，分成两个标准三角形，分别利用公式求其面积，再相加即可；
（3）因为点E是直线AB上的动点 ，所以可以设E点的坐标为（，），因为点D是x轴上的动点 ，所以可以设D点的坐标为（m，0），然后分类讨论，当AC，DE为平行四边形的对角线时，当AD，CE为平行四边形的对角线时，当AE，CD为平行四边形的对角线时三种情况列方程组求解．
1 / 1广东省广州市从化区2024--2025学年八年级下学期期末数学自编练习试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？（　　）
A． B． C． D．
2．若有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．下列几组数中，一定是勾股数的是（　　）
A．1，， B．3，4，5
C．，， D．，，
4．估算的运算结果在(　　)
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
5．如图，中，，，点P从B处向A处运动，每秒，点Q从A处向C处运动，每秒，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当时，运动时间为（　　）
A． B． C． D．
6．如图1，为⊙的四等分点，动点从圆心出发，沿→→→→路线作匀速运动，设运动时间为（秒），(度)，图2表示与之间函数关系的图象，则点的横坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．一组正整数，这组数据有唯一众数，中位数为3，则这组数据的平均数是（　　）
A．4.5 B．3.5 C．3 D．4
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD．AD＝BC
C．AD∥BC，∠ABC＝∠ADC D．AB＝CD，∠ABC＝∠ADC
9．函数与的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．将一根的筷子，置于底面直径为，高的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子在杯子外面的长度为，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．下列各式中是最简二次根式的有　 　个．
12．将直线向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为　 　．
13．写出一个图象经过点（1，﹣2）的函数的表达式：　 　．
14．如果数据，，，的平均数是，那么　 　．
15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A的面积是的面积是的面积是，则的面积为　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与、轴交于点、，点是线段的中点，连接，作于点交轴于点，则线段　 　．
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．如图中，于、于，求证：四边形为平行四边形．
18．计算：
（1）；
（2）．
19．如图，在中， 是的中线，取中点O，连接并延长至点C，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求矩形的面积．
20．已知.
（1）如图1，用尺规作的平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2，已知点是上一点，，，垂足分别为，，与交于点.求证：①；②是的垂直平分线.
21．某公司准备每周（按120个工时计算）组装三种型号的无人机360台，组装这些无人机每台所需工时和每台产值如下表．
无人机型号 ① ② ③
工时（个）
产值（万元/台） 0.4 0.3 0.2
（1）如果每周准备组装100台型号③无人机，那么每周应组装型号①、②无人机各几台？
（2）若一周型号③无人机至少组装20台，一周产值记为，求的最大值．
22．已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、B、C、D四个点，其中横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
　 A B C D
x -1 0 1 3
y -1 3 5 3
（1）求二次函数解析式；
（2）求△ABD的面积．
23．海淀外国语有两个校区，其中初三年级京北校区有200名学生，海淀校区有300名学生，两个校区所有学生都参加了一次环保知识竞赛，为了解两个校区学生的答题情况，进行了抽样调查，从京北、海淀两个校区各随机抽取20名学生，对他们本次环保知识竞赛的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．京北校区成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）；
b．京北校区成绩在这一组的是_______：
74 74 75 77 77 77 77 78 79 79
c．京北、海淀两校区成绩的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
京北校区 79.5
海淀校区 77 81.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值：
（2）两个校区分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本校区的平均分就可以赋予等级A，判断在本次抽取的学生中哪个校区赋予等级A的学生更多，直接写出结果并说明理由；
（3）估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为____．
24．如图1，在正方形中，点是线段上一个动点（与点、不重合），将线段绕着点顺时针旋转90°得到线段，连接，过点作，交于点，交于点，连接．
（1）求证：①；
②四边形是平行四边形；
（2）如图2，点是延长线上一点，当点在线段上运动时，求证：点始终在的角平分线上．
25．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A且与直线l2：y2＝x交于点B，并且有如下信息：①当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2．②当y1＜0时，x＜﹣4．
根据信息解答下列问题：
（1）求直线l1的表达式．
（2）过点A的直线l3：y3＝与直线l2交于点C，求△ABC的面积．
（3）若点D是x轴上的动点，点E是直线AB上的动点，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的D点坐标．若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得，
故选：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，，，
∴的取值范围为，
故选：C．
【分析】根据二次根式以及分式有意义的条件可得，，求解即可．
3．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A． 不是正整数，
不是勾股数，故本选项不符合题意；
B． ，
是勾股数，故本选项符合题意；
C．，，不是正整数，
，，不是勾股数，故本选项不符合题意；
D．当不是正整数时，，，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据勾股数的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：；
∵，
∴．
故原式的运算结果在7和8之间，
故选：C．
【分析】根据二次根式的四则运算法则，先化简式子，再根据无理数的估算求解即可．
5．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设运动时间为，则
，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
解得．
故选：A．
【分析】设运动时间为，可得，，，根据题意可得，从而，列方程求解即可．
6．【答案】D
【知识点】弧长的计算；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：设点在弧上运动的时间为，
，，，为圆的四等分点，点做匀速运动，
，
解得，
点在半径与弧运动的时间之和是，
点的横坐标为．
故选：D．
【分析】设点在弧上运动的时间为，求得弧的长度，表示出速度，列出方程求得t，再根据图2，加上2即可得解．
7．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：∵一组正整数，这组数据有唯一众数，中位数为3，
∴排序后中间两数之和为，
若众数为2，假设，则，平均数为，
若众数为3，则，平均数为，
∴这组数据的平均数是4，
故选：D
【分析】根据题意，分两种情况，分众数为2，众数为3两种情况进行解答即可．
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A、图中一次函数经过第一、二、四象限，则，抛物线开口向下，则，但是两个函数都与y轴交于，故此选项不符合题意；
B、图中一次函数经过第一、二、三象限，则，抛物线开口向下，则，故此选项不符合题意；
C、图中一次函数经过第一、二、三象限，则，抛物线开口向上，则，且两个函数都与y轴交于，故此选项符合题意；
D、图中一次函数经过第一、二、三象限，则，抛物线开口向上，则，但是两个函数都与y轴交于，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据二次函数，一次函数图象与系数的关系即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
；
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
，
此时，
所以的取值范围是：．
故选：．
【分析】根据题意，如图可得，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，利用勾股定理以及线段和差关系，求解即可．
11．【答案】1
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
则只有是最简二次根式．
故答案为：
【分析】根据最简二次根式的定义：最简二次根式是指被开方数中不含分母，且因式中的含字母的因数是整数次幂的二次根式。然后再对各个数进行逐一判断即可。
12．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为，
故答案为：．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
13．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设y=kx，把点（1，﹣2）代入，得
k=-2，
∴（答案不唯一）.
故答案为.
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可。
14．【答案】1
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据平均数的公式列出方程求出的值求解即可．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图记图中三个正方形分别为、、．
根据勾股定理得到：A与的面积的和是的面积；与的面积的和是的面积；而的面积的和是的面积．
即A、、、的面积之和为的面积．
的面积是，
、、、的面积之和为，设正方形的面积为，
，
故答案为：
【分析】记图中三个正方形分别为、、，根据勾股定理，结合正方形面积建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：一次函数，
当时，；当时，；
点的坐标为，点的坐标，
点是线段的中点，
点的坐标为，
，
，
，
即，
解得．
故答案为：．
【分析】根据题意，求出点和点的坐标，根据中点公式求得点的坐标，由勾股定理即可得到的长，再根据锐角三角函数即可求得的长．
17．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
先利用平行四边形性质得到边与角的关系，再证明三角形全等得到对应边相等，结合垂直关系得到对应边平行，最后依据平行四边形判定即可证明.
18．【答案】（1）解：．
（2）解：．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据合并同类二次根式的运算法则即可．
（2）先根据乘法分配律去括号运算，再合并同类二次根式即可．
（1）解：．
（2）解：．
19．【答案】（1）证明：为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
是的中线，
，即，
四边形是矩形；
（2）解：，，是的中线，
，
，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据线段中点可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，根据等腰三角形三线合一性质可得，即，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠ADB，再根据含30°角的直角三角形性质可得AB，再根据勾股定理可得BD，再根据矩形面积即可求出答案.
20．【答案】解：（1）如图1
图1
（2）证明：
①平分，，
（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
（等边对等角）
②在和中
，
.
（全等三角形的对应角相等）
又（已证）
垂直平分于点（等腰三角形的三线合一）
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法，作图即可；
（2）①根据角平分线的性质可以得到PC=PD，再根据等腰三角形的性质等边对等角即可求解；②通过证明△POC≌△POD，从而得到，再根据等腰三角形三线合一的性质解答即可.
21．【答案】（1）解：设每周应组装型号①、②无人机分别是台、台．
，
解得，
所以每周应组装型号①、②无人机分别是50台、210台；
（2）解：设每周组装型号①、②、③无人机分别是台、台、台．
由题意可得，
解得，
∴，
由于，且，
所以，
当时，最大（万元），
所以，的最大值是107万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每周应组装型号①无人机，②无人机分别为台、②无人机台，根据题意，列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设每周组装型号①、②、③无人机分别是x台、y台、z台，列出方程组，得到，可以得到产值，再根据题意可得，，确定，再利用一次函数的性质确定出w随z的增大而减小，即可求解．
（1）解：设每周应组装型号①、②无人机分别是台、台．
，
解得，
所以每周应组装型号①、②无人机分别是50台、210台；
（2）解：设每周组装型号①、②、③无人机分别是台、台、台．
，
解得，
∴，
由于，且，
所以，
当时，最大（万元），
所以，的最大值是107万元．
22．【答案】解：（1）把点A，B，C的坐标代入y=ax2+bx+c，得，解得，
所以二次函数解析式y=-x2+3x+3；
（2）S△ABD=×3×4=6．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）把点A，B，C的坐标代入y=ax2+bx+c，利用待定系数法求解二次函数解析式即可；（2）根据三角形的面积公式以及点的坐标可得，底边长为3，高为4，求解即可．
23．【答案】（1）
（2）解：海淀校区赋予等级A的学生更多，理由如下：
京北校区成绩的平均数是79.5，第12位的成绩是79，之间有7人，之间有1人，可知成绩超过平均数的学生有8人，即赋予等级A的学生有8人；
海淀校区成绩的平均数是77，中位数是81.5，可知成绩超过平均数的学生至少有10人，即赋予等级A的学生至少有10人；
所以海淀校区赋予等级A的学生更多．
（3）78
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）解：京北校区成绩的中位数．
（3）解：估计京北校区200名学生成绩的平均数为79.5，海淀校区300名学生成绩的平均数为77，
因此估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为，
故答案为：78．
【分析】（1）根据中位数的定义即可求出答案.
（2）根据两个校区成绩的中位数和平均数，求出成绩超过平均数的人数，再比较大小即可.
（3）根据平均数的定义即可求出答案.
（1）解：京北校区成绩的中位数．
（2）解：海淀校区赋予等级A的学生更多，理由如下：
京北校区成绩的平均数是79.5，第12位的成绩是79，之间有7人，之间有1人，可知成绩超过平均数的学生有8人，即赋予等级A的学生有8人；
海淀校区成绩的平均数是77，中位数是81.5，可知成绩超过平均数的学生至少有10人，即赋予等级A的学生至少有10人；
所以海淀校区赋予等级A的学生更多．
（3）解：估计京北校区200名学生成绩的平均数为79.5，海淀校区300名学生成绩的平均数为77，
因此估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为，
故答案为：78．
24．【答案】（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
②由，可知．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）如图，过点作于点，于点，
则，
∵，
∴四边形是矩形．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，．
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
∴点始终在的角平分线上．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1） 在正方形中，，，得到，推出，再根据即可求证；
（2）由（1）可得，等量代换可得，再根据平行四边形的判定定理即可证得答案；
（3）过点作于点，于点，先证明四边形是矩形，根据证，得到，，再通过证四边形是正方形．即可证得答案．
25．【答案】解：（1）∵当x＞2时，；当x＜2时，，∴点B的横坐标为2，当x＝2时，，∴直线，的交点坐标为B（2，3），∵当时，x＜﹣4，∴直线与x轴的交点坐标为A（﹣4，0），将A（﹣4，0），B（2，3）代入y1＝kx+b中，∴，解得：，∴直线的表达式为；（2）联立，解得：，∴直线，的交点坐标为C（，），∴；（3）存在，∵点E是直线AB上的动点，点D是x轴上的动点，∴设E点坐标为（，），D点坐标为（m，0），又∵A（，0），C（，），在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形中，①当AC，DE为平行四边形的对角线时，，解得，∴此时D点坐标为（2，0），②当AD，CE为平行四边形的对角线时，，解得，此时D点坐标为（2，0），③当AE，CD为平行四边形的对角线时，，解得，此时D点坐标为（﹣10，0），综上，满足条件的点D的坐标为（2，0）或（﹣10，0）
（1）解：（1）∵当x＞2时，；当x＜2时，，
∴点B的横坐标为2，
当x＝2时，，
∴直线，的交点坐标为B（2，3），
∵当时，x＜﹣4，
∴直线与x轴的交点坐标为A（﹣4，0），
将A（﹣4，0），B（2，3）代入y1＝kx+b中，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：联立，
解得：，
∴直线，的交点坐标为C（，），
∴；
（3）解：存在，点D的坐标为（2，0）或（﹣10，0）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的性质；一次函数中的动态几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：存在，
∵点E是直线AB上的动点，点D是x轴上的动点，
∴设E点坐标为（，），D点坐标为（m，0），
又∵A（，0），C（，），
在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形中，
①当AC，DE为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴此时D点坐标为（2，0），
②当AD，CE为平行四边形的对角线时，
，解得，
此时D点坐标为（2，0），
③当AE，CD为平行四边形的对角线时，
，解得，
此时D点坐标为（﹣10，0），
综上，满足条件的点D的坐标为（2，0）或（﹣10，0）
【分析】（1）由题意 l1 的图像过A点和B点，所以本题要求 l1 的表达式，采用待定系数法，所以需要先求出A点和B点的确切坐标，由 ①当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2 可知，x=2是两函数大小发生变化的点，即它们的交点，所以得出点B的横坐标为2，代入到 l2 中可求得点B的坐标，由 ②当y1＜0时，x＜﹣4 可求得点A的坐标；
（2）求 △ABC 的面积，首先要求出各顶点的坐标，此三角形只有顶点C的坐标未知，因为点C是l2 与 l3 的交点，所以联立方程组即可求得C点的坐标；观察△ABC在坐标系下的位置，求其面积需采用割补法，以x轴为分界线，分成两个标准三角形，分别利用公式求其面积，再相加即可；
（3）因为点E是直线AB上的动点 ，所以可以设E点的坐标为（，），因为点D是x轴上的动点 ，所以可以设D点的坐标为（m，0），然后分类讨论，当AC，DE为平行四边形的对角线时，当AD，CE为平行四边形的对角线时，当AE，CD为平行四边形的对角线时三种情况列方程组求解．
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