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广东省云浮市2024-2025学年高二下学期7月期末教学质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合，则（　　）
A． B．
C． D．
2．曲线在处的切线斜率为2，则（　　）
A． B．1 C．0 D．e
3．在的展开式中，含的项的系数为（　　）．
A．84 B．42 C．21 D．7
4．已知，，，则（　　）．
A． B． C． D．
5．已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．已知一组样本点组成一个样本，得到的经验回归方程为，且其平均数，若增加两个样本点和，得到新样本的经验回归方程为，则（　　）．
A．0.25 B． C．0.5 D．
7．假设某厂包装食盐的生产线，生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：g），该生产线上的检测员某天随机抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低于的概率为（　　）．
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为R，满足，且，则下列结论一定正确的是（　　）．
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．小张同学收集了某商品销售收入y（单位：万元）与相应的广告支出x（单位：万元）共10组数据，绘制出散点图，如下图所示，并利用线性回归模型进行拟合．她将图中10个点中的A点去掉后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（　　）．
A．决定系数变大
B．残差平方和变大
C．相关系数r的值变大
D．去掉A点后，若所有散点都在一条直线上，则决定系数
10．已知函数，则（　　）．
A．的图象关于点对称
B．的极大值点为
C．在区间上的值域为
D．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数t的值为
11．已知函数，则下列说法正确的是（　　）．
A．存在实数a，使得的图象关于y轴对称
B．存在实数，使得有零点
C．当时，在上的最小值小于
D．当时，，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若函数，则　 　．
13．已知函数是定义在R上的奇函数，当，且时，都有成立，则不等式的解集为　 　．
14．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列．
①某信号是由3个1和3个0组成，则3个0不相邻的信号有　 　种；
②某信号是一个6位的序列，则含有连续子序列101的序列有　 　个．（例如101001，110100符合题意）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．某工厂生产了两批次某种产品，现从这两批次产品中共抽取800件进行检测，其中第一批次的产品占了．检测数据如下，第一批次的次品件数与第二批次的次品件数相同，在合格品中，第二批次的合格品占了．
（1）根据题中信息，完成下面列联表；
单位：件
生产批次 产品检测结果 合计
次品 合格品
第一批次 　 　 　
第二批次 　 　 　
合计 　 　 800
（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？
附：，．
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
16．已知函数．
（1）当时，求的极大值；
（2）讨论的单调性；
（3）若，求实数a的取值范围．
17．已知甲袋子装有编号分别为1，2，3的三个红球和编号分别为1，2，3的三个白球（小球除编号、颜色外完全相同）．
（1）从甲袋中一次性摸出两个小球，记事件A为“摸到的两个小球颜色相同”，事件B为“摸到的两个小球的编号之和大于4”，判断A，B是否相互独立，并说明理由．
（2）现从甲袋中不放回地摸球，直到摸出所有白球，则停止摸球．
（ⅰ）若每次摸出一个小球，求恰好摸四次就停止摸球的概率；
（ⅱ）若每次摸出两个小球，求恰好摸两次就停止摸球的概率．
18．小明参加答题闯关游戏，需要从A，B两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺序.答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元.已知小明答对A，B两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立.
（1）规定无论是否答对第一题，都可以答下一题.已知小明第一题选择A题库的题目作答的概率为.
（i）求小明恰好获得100元奖金的概率；
（ii）求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率.
（2）若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题应该回答哪个题库中的题目？
19．我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，对于二元函数，若存在正数m，满足，，则称具有性质T．已知二元函数．
（1）若恒成立，求a的取值范围．
（2）已知正数m，满足．
（ⅰ）证明：．
（ⅱ）证明：具有性质T．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，
集合，则.
故答案为：C.
【分析】解不等式求得集合A，再根据集合的交运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意，设，
因为，所以.
故答案为：A.
【分析】利用导数的几何意义得出曲线在处的切线斜率，再利用已知条件得出实数a的值.
3．【答案】C
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为：，
令，可得展开式中含的项的系数为．
故答案为：C.
【分析】先写出展开式的通项，令求解即可.
4．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，，，
因为，所以．
故答案为：A.
【分析】先根据对数的运算法则化简，再根据对数函数的单调性比较大小即可.
5．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：易知函数在上单调递增，则函数在R上单调递增，
即，解得.
故答案为：D.
【分析】由函数在上单调递增，可得 在上是单调递增 ，根据函数的单调性列不等式组求参数范围即可.
6．【答案】B
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：由题可知原数据，
则新样本的平均数，，
所以．
故答案为：B.
【分析】根据回归方程过样本点中心计算即可.
7．【答案】A
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：每包食盐的质量不低于的概率为，抽取了四包食盐，则四包食盐质量不低于的包数服从二项分布，
则恰有两包食盐的质量不低于的概率为．
故答案为：A.
【分析】由正态分布可知：每包食盐的质量不低于的概率为，四包食盐质量不低于的包数服从二项分布，根据二项分布计算概率即可.
8．【答案】B
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解： 函数的定义域为R，满足，且，
令，可得，
则，故A，C错误；
令，则，故B正确，D错误.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用赋值法，令，求解即可判断AC；令，求解即可判断BD.
9．【答案】A,C,D
【知识点】变量相关关系；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由散点图可知，点较其他点偏离直线更远，去掉点后，回归效果更好，残差平方和变小，决定系数变大，故A正确；
自变量与因变量的相关性变强，又与正相关，所以相关系数的值变大，故C正确；
当所有散点都在一条直线上时，残差平方和为，决定系数，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由散点图可知：点偏离直线，去掉点后，回归效果更好，据此即可判断ABC；当所有散点都在一条直线上时，残差平方和为，即可判断D.
10．【答案】A,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、函数为奇函数，其图象关于原点对称，把函数的图象向上平移4个单位长度得到的图象，则的图象关于点对称，故A正确；
B、，，
令，解得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的极大值点为，故B错误；
又的极大值为，极小值为，，，
所以在区间上的值域为，故C正确；
D、画出函数的图象，如图所示：
由得，
若关于x的方程有两个不相等的实数根，
则函数的图象与直线有两个交点，
由图象知或，所以t的值为或，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】易知函数为奇函数，图象关于原点对称，经过平移可得，进而得到对称中心即可判断A；求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可判断BC；作出函数的图象，数形结合求解即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、当时，函数，满足，则的图象关于y轴对称，故A正确；
B、令，则，因为，
当时，，，
又，当且仅当时等号成立，所以关于x的方程无解，故B错误；
C、当时，，其中，则，
因为函数，在上均为增函数，
所以函数在上为增函数，
因为，，
所以存在，使得，则．
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则
，
因为，所以，则，
所以，
所以，且，故C，D正确．
故答案为：ACD.
【分析】当时，函数，满足，图象关于y轴对称接口判断A；令，则，求函数的零点即可口判断B；当时，，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的最值即可判断CD.
12．【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解： 函数，令，解得，则．
故答案为：.
【分析】直接代值求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：当，且时，都有成立，则在R上单调递增，
因为函数是定义在R上的奇函数，所以的图象关于点对称，
由不等式，可得，解得，
故不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】由题意可知函数在R上单调递增，由函数是定义在R上的奇函数，可得的图象关于点对称，利用奇偶性及对称性列不等式求解即可.
14．【答案】4；27
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：①、3个0不相邻的信号有种；
②、考虑出现子序列101时，可能出现的位置有4个，依次对应的序列放入集合，，，中（101XXX，X101XX，XX101X，XXX101），记为集合中元素的个数，
则，再考虑重复的序列，，
，，任意多于2个集合的交集均为空集，
故含有连续子序列101的序列有个．
故答案为：4，27.
【分析】3个0不相邻，利用插空法求解即可；101看成整体，根据101出现的4种位置，再考虑重复的情况，求解即可.
15．【答案】（1）解：从第一批次的产品中抽取了件，
从第二批次的产品中抽取了件．
设第二批次的合格品有件，则第一批次的合格品有件，
故，解得，
列联表如下：
生产批次 产品检测结果 合计
次品 合格品
第一批次 80 240 320
第二批次 80 400 480
合计 160 640 800
（2）解：零假设：产品检测结果与生产批次没有关联，
由，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．
【知识点】独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由题意，完善列联表即可；
（2）先进行零假设，再根据（1）的列联表求，与临界值比较判断即可.
（1）从第一批次的产品中抽取了件，
从第二批次的产品中抽取了件．
设第二批次的合格品有件，则第一批次的合格品有件，
故，解得．
列联表如下：
生产批次 产品检测结果 合计
次品 合格品
第一批次 80 240 320
第二批次 80 400 480
合计 160 640 800
（2）提出零假设：产品检测结果与生产批次没有关联．
由，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．
16．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，有极大值，且极大值为；
（2）解：的定义域为，，
当时，，在上单调递增，
当时，令，得或（舍去），
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（3）解：由（2）知，当时在上单调递增，当时，，则不成立，
当时，，
由，得，即，
令，则，故，
由，
因为，所以，
得函数在上单调递增，故，
综上，实数a的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）当时，函数，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可；
（2）求函数的定义域，再求导，分和利用导数判断函数的单调性即可；
（3）由（2）知，当时在上单调递增，根据对函数单调性的讨论情况，找到极大值点，求出极大值即为最大值，列出不等式，求参数范围即可.
（1）当时，，
的定义域为，．
令，得．
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
故当时，有极大值，且极大值为．
（2）的定义域为，．
当时，，在上单调递增．
当时，令，得或（舍去）．
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（3）由（2）知，当时在上单调递增，当时，，
故不成立．
当时，．
由，得，
即．
令，则，故．
由，
因为，所以，
得函数在上单调递增，故．
综上，实数a的取值范围是．
17．【答案】（1）解：从甲袋中一次性摸出两个小球，不同的组合有种；
摸到的两个小球颜色相同有两种情况：两个红球或两个白球.其中从三个红球中摸出两个红球，不同的组合有种；
从三个白球中摸出两个白球，不同的组合有种；
则事件A包含的组合有种，
摸到的两个小球的编号之和大于4有两种情况：编号2，3组合或编号3，3组合，其中编号2，3组合的不同组合有种；
编号3，3组合的不同组合有种；故事件B包含的组合有种，
摸到的两个小球颜色相同且编号之和大于4有两种不同的组合方式：编号2，3红球组合和编号2，3白色组合，
根据古典概型的概率公式可得：，，，
因为，所以A，B相互独立；
（2）解：（ⅰ）若每次摸出一个小球，摸四次包含的不同摸法有种；
恰好摸四次就停止摸球指的是前三次中有一次摸到红球，两次摸到白球，第四次摸到白球，包含的不同摸法有种；
根据古典概型的概率公式可得：若每次摸出一个小球，求恰好摸四次就停止摸球的概率为；
（ⅱ）若每次摸出两个小球，摸两次的不同摸法有种；
恰好摸两次就停止摸球包含两种情况：第一次摸到一红球一白球，第二次摸到两个白球或第一次摸到两个白球，
第二次摸到一红球一白球，不同的摸法有种；
所以若每次摸出两个小球，求恰好摸两次就停止摸球的概率为．
【知识点】相互独立事件；古典概型及其概率计算公式；组合数的基本计算
【解析】【分析】（1）先计算事件A，事件B及事件AB包含的种类，再根据古典概型的概率公式得出，，，最后判断是否满足即可；
（2）（ⅰ）先求出每次摸出一个小球，摸四次包含的不同摸法及恰好摸四次就停止摸球包含的不同摸法，再根据古典概型的概率公式求解即可；
（ⅱ）根据古典概型的概率公式求解即可．
（1）从甲袋中一次性摸出两个小球，不同的组合有种；
摸到的两个小球颜色相同有两种情况：两个红球或两个白球.其中从三个红球中摸出两个红球，不同的组合有种；从三个白球中摸出两个白球，不同的组合有种；故事件A包含的组合有种.
摸到的两个小球的编号之和大于4有两种情况：编号2，3组合或编号3，3组合，其中编号2，3组合的不同组合有种；编号3，3组合的不同组合有种；故事件B包含的组合有种.
摸到的两个小球颜色相同且编号之和大于4有两种不同的组合方式：编号2，3红球组合和编号2，3白色组合.
所以根据古典概型的概率公式可得：
，，
.
因为，
所以A，B相互独立．
（2）（ⅰ）若每次摸出一个小球，摸四次包含的不同摸法有种；
恰好摸四次就停止摸球指的是前三次中有一次摸到红球，两次摸到白球，第四次摸到白球，包含的不同摸法有种；
所以由古典概型的概率公式可得：
若每次摸出一个小球，求恰好摸四次就停止摸球的概率为．
（ⅱ）若每次摸出两个小球，摸两次的不同摸法有种；
恰好摸两次就停止摸球包含两种情况：第一次摸到一红球一白球，第二次摸到两个白球或第一次摸到两个白球，第二次摸到一红球一白球，不同的摸法有种；
所以若每次摸出两个小球，求恰好摸两次就停止摸球的概率为．
18．【答案】（1）解：（i）由题意可得，小明第一题选择A题库概率为，第一题选择B题库概率为，
当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为，
当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为，
则小明恰好获得100元奖金的概率为；
（ii）若表示第题为库，表示第题为库，表示第题答对，且，
，
，
综上，小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率；
（2）解：由题设，第一题答错0元，第一题答对且第二题答错100元，第一、二题都答对300元，结合（1）中所设事件，
若第一题为，第二题为，则，，，
此时期望；
若第一题为，第二题为，则，，，
此时期望；
，则小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题选题库中的题目.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）（i）由题意可得，小明第一题选择A题库概率为，第一题选择B题库概率为，利用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率即可；
（ii）分别求第一次答对、第一、二次都答对的概率，再根据全概率公式和条件概率公式求额吉即可；
（2）根据已知求第一题为，第二题为和第一题为，第二题为对应的期望，比较大小，即可得结论.
（1）（i）由题设，小明第一题选择A题库概率为，则第一题选择B题库概率为，
当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为，
当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为，
所以小明恰好获得100元奖金的概率为；
（ii）若表示第题为库，表示第题为库，表示第题答对，且，
所以，
，
综上，小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率；
（2）由题设，第一题答错0元，第一题答对且第二题答错100元，第一、二题都答对300元，结合（1）中所设事件，
若第一题为，第二题为，则，，，
此时期望；
若第一题为，第二题为，则，，，
此时期望；
所以，则小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题选题库中的题目.
19．【答案】（1）解：二元函数，
令，求导可得，
令，得，令，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
则，即a的取值范围为；
（2）证明：（ⅰ）正数m，n满足，
则，故，，
不妨设，则由（1）知，，
构造函数，
则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，所以，
又因为在上单调递增，所以，即；
（ⅱ）正数m，n满足，则，
要证，只需证，即证，
不妨设，则，
两边取指数得，化简得，设，则，
而，当时，，
当时，，
得在，上单调递减，在上单调递增，如图所示：
要使且，则，，即，从而，，
要证，只需证，
由于在上单调递增，因此只需证，
又，所以只需证，
所以，则，
设，则，
设，则，在上单调递增，
所以，从而，所以在上单调递减，从而，
则，所以，
故具有性质T．
【知识点】函数恒成立问题；指数式与对数式的互化；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题意可得：二元函数，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，即可求参数的取值范围；
（2）（ⅰ）由可得，由（1）知，，构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用极值点偏移证；
（ⅱ）要证具有性质T即证，设，从而将前者转化为证明即，利用导数可证明后者.
（1），
令，则．
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即a的取值范围为．
（2）证明：（ⅰ）正数m，n满足，
则，故，．
不妨设，则由（1）知，．
构造函数，
则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，
所以，
又在上单调递增，所以，即．
（ⅱ）正数m，n满足，则，
要证，只需证，
即证．
不妨设，则，
两边取指数得，化简得，设，则．
而，当时，，
当时，，
得在，上单调递减，在上单调递增（如图所示），
要使且，则，，
即，从而，．
要证，只需证．
由于在上单调递增，因此只需证，
又，所以只需证，
所以，则．
设，则．
设，则，在上单调递增，
所以，从而，
所以在上单调递减，从而，
则，所以，
故具有性质T．
1 / 1广东省云浮市2024-2025学年高二下学期7月期末教学质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，
集合，则.
故答案为：C.
【分析】解不等式求得集合A，再根据集合的交运算求解即可.
2．曲线在处的切线斜率为2，则（　　）
A． B．1 C．0 D．e
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意，设，
因为，所以.
故答案为：A.
【分析】利用导数的几何意义得出曲线在处的切线斜率，再利用已知条件得出实数a的值.
3．在的展开式中，含的项的系数为（　　）．
A．84 B．42 C．21 D．7
【答案】C
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为：，
令，可得展开式中含的项的系数为．
故答案为：C.
【分析】先写出展开式的通项，令求解即可.
4．已知，，，则（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，，，
因为，所以．
故答案为：A.
【分析】先根据对数的运算法则化简，再根据对数函数的单调性比较大小即可.
5．已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：易知函数在上单调递增，则函数在R上单调递增，
即，解得.
故答案为：D.
【分析】由函数在上单调递增，可得 在上是单调递增 ，根据函数的单调性列不等式组求参数范围即可.
6．已知一组样本点组成一个样本，得到的经验回归方程为，且其平均数，若增加两个样本点和，得到新样本的经验回归方程为，则（　　）．
A．0.25 B． C．0.5 D．
【答案】B
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：由题可知原数据，
则新样本的平均数，，
所以．
故答案为：B.
【分析】根据回归方程过样本点中心计算即可.
7．假设某厂包装食盐的生产线，生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：g），该生产线上的检测员某天随机抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低于的概率为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：每包食盐的质量不低于的概率为，抽取了四包食盐，则四包食盐质量不低于的包数服从二项分布，
则恰有两包食盐的质量不低于的概率为．
故答案为：A.
【分析】由正态分布可知：每包食盐的质量不低于的概率为，四包食盐质量不低于的包数服从二项分布，根据二项分布计算概率即可.
8．已知函数的定义域为R，满足，且，则下列结论一定正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解： 函数的定义域为R，满足，且，
令，可得，
则，故A，C错误；
令，则，故B正确，D错误.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用赋值法，令，求解即可判断AC；令，求解即可判断BD.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．小张同学收集了某商品销售收入y（单位：万元）与相应的广告支出x（单位：万元）共10组数据，绘制出散点图，如下图所示，并利用线性回归模型进行拟合．她将图中10个点中的A点去掉后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（　　）．
A．决定系数变大
B．残差平方和变大
C．相关系数r的值变大
D．去掉A点后，若所有散点都在一条直线上，则决定系数
【答案】A,C,D
【知识点】变量相关关系；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由散点图可知，点较其他点偏离直线更远，去掉点后，回归效果更好，残差平方和变小，决定系数变大，故A正确；
自变量与因变量的相关性变强，又与正相关，所以相关系数的值变大，故C正确；
当所有散点都在一条直线上时，残差平方和为，决定系数，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由散点图可知：点偏离直线，去掉点后，回归效果更好，据此即可判断ABC；当所有散点都在一条直线上时，残差平方和为，即可判断D.
10．已知函数，则（　　）．
A．的图象关于点对称
B．的极大值点为
C．在区间上的值域为
D．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数t的值为
【答案】A,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、函数为奇函数，其图象关于原点对称，把函数的图象向上平移4个单位长度得到的图象，则的图象关于点对称，故A正确；
B、，，
令，解得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的极大值点为，故B错误；
又的极大值为，极小值为，，，
所以在区间上的值域为，故C正确；
D、画出函数的图象，如图所示：
由得，
若关于x的方程有两个不相等的实数根，
则函数的图象与直线有两个交点，
由图象知或，所以t的值为或，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】易知函数为奇函数，图象关于原点对称，经过平移可得，进而得到对称中心即可判断A；求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可判断BC；作出函数的图象，数形结合求解即可判断D.
11．已知函数，则下列说法正确的是（　　）．
A．存在实数a，使得的图象关于y轴对称
B．存在实数，使得有零点
C．当时，在上的最小值小于
D．当时，，
【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、当时，函数，满足，则的图象关于y轴对称，故A正确；
B、令，则，因为，
当时，，，
又，当且仅当时等号成立，所以关于x的方程无解，故B错误；
C、当时，，其中，则，
因为函数，在上均为增函数，
所以函数在上为增函数，
因为，，
所以存在，使得，则．
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则
，
因为，所以，则，
所以，
所以，且，故C，D正确．
故答案为：ACD.
【分析】当时，函数，满足，图象关于y轴对称接口判断A；令，则，求函数的零点即可口判断B；当时，，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的最值即可判断CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若函数，则　 　．
【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解： 函数，令，解得，则．
故答案为：.
【分析】直接代值求解即可.
13．已知函数是定义在R上的奇函数，当，且时，都有成立，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：当，且时，都有成立，则在R上单调递增，
因为函数是定义在R上的奇函数，所以的图象关于点对称，
由不等式，可得，解得，
故不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】由题意可知函数在R上单调递增，由函数是定义在R上的奇函数，可得的图象关于点对称，利用奇偶性及对称性列不等式求解即可.
14．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列．
①某信号是由3个1和3个0组成，则3个0不相邻的信号有　 　种；
②某信号是一个6位的序列，则含有连续子序列101的序列有　 　个．（例如101001，110100符合题意）
【答案】4；27
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：①、3个0不相邻的信号有种；
②、考虑出现子序列101时，可能出现的位置有4个，依次对应的序列放入集合，，，中（101XXX，X101XX，XX101X，XXX101），记为集合中元素的个数，
则，再考虑重复的序列，，
，，任意多于2个集合的交集均为空集，
故含有连续子序列101的序列有个．
故答案为：4，27.
【分析】3个0不相邻，利用插空法求解即可；101看成整体，根据101出现的4种位置，再考虑重复的情况，求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．某工厂生产了两批次某种产品，现从这两批次产品中共抽取800件进行检测，其中第一批次的产品占了．检测数据如下，第一批次的次品件数与第二批次的次品件数相同，在合格品中，第二批次的合格品占了．
（1）根据题中信息，完成下面列联表；
单位：件
生产批次 产品检测结果 合计
次品 合格品
第一批次 　 　 　
第二批次 　 　 　
合计 　 　 800
（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？
附：，．
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：从第一批次的产品中抽取了件，
从第二批次的产品中抽取了件．
设第二批次的合格品有件，则第一批次的合格品有件，
故，解得，
列联表如下：
生产批次 产品检测结果 合计
次品 合格品
第一批次 80 240 320
第二批次 80 400 480
合计 160 640 800
（2）解：零假设：产品检测结果与生产批次没有关联，
由，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．
【知识点】独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由题意，完善列联表即可；
（2）先进行零假设，再根据（1）的列联表求，与临界值比较判断即可.
（1）从第一批次的产品中抽取了件，
从第二批次的产品中抽取了件．
设第二批次的合格品有件，则第一批次的合格品有件，
故，解得．
列联表如下：
生产批次 产品检测结果 合计
次品 合格品
第一批次 80 240 320
第二批次 80 400 480
合计 160 640 800
（2）提出零假设：产品检测结果与生产批次没有关联．
由，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．
16．已知函数．
（1）当时，求的极大值；
（2）讨论的单调性；
（3）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，有极大值，且极大值为；
（2）解：的定义域为，，
当时，，在上单调递增，
当时，令，得或（舍去），
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（3）解：由（2）知，当时在上单调递增，当时，，则不成立，
当时，，
由，得，即，
令，则，故，
由，
因为，所以，
得函数在上单调递增，故，
综上，实数a的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）当时，函数，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可；
（2）求函数的定义域，再求导，分和利用导数判断函数的单调性即可；
（3）由（2）知，当时在上单调递增，根据对函数单调性的讨论情况，找到极大值点，求出极大值即为最大值，列出不等式，求参数范围即可.
（1）当时，，
的定义域为，．
令，得．
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
故当时，有极大值，且极大值为．
（2）的定义域为，．
当时，，在上单调递增．
当时，令，得或（舍去）．
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（3）由（2）知，当时在上单调递增，当时，，
故不成立．
当时，．
由，得，
即．
令，则，故．
由，
因为，所以，
得函数在上单调递增，故．
综上，实数a的取值范围是．
17．已知甲袋子装有编号分别为1，2，3的三个红球和编号分别为1，2，3的三个白球（小球除编号、颜色外完全相同）．
（1）从甲袋中一次性摸出两个小球，记事件A为“摸到的两个小球颜色相同”，事件B为“摸到的两个小球的编号之和大于4”，判断A，B是否相互独立，并说明理由．
（2）现从甲袋中不放回地摸球，直到摸出所有白球，则停止摸球．
（ⅰ）若每次摸出一个小球，求恰好摸四次就停止摸球的概率；
（ⅱ）若每次摸出两个小球，求恰好摸两次就停止摸球的概率．
【答案】（1）解：从甲袋中一次性摸出两个小球，不同的组合有种；
摸到的两个小球颜色相同有两种情况：两个红球或两个白球.其中从三个红球中摸出两个红球，不同的组合有种；
从三个白球中摸出两个白球，不同的组合有种；
则事件A包含的组合有种，
摸到的两个小球的编号之和大于4有两种情况：编号2，3组合或编号3，3组合，其中编号2，3组合的不同组合有种；
编号3，3组合的不同组合有种；故事件B包含的组合有种，
摸到的两个小球颜色相同且编号之和大于4有两种不同的组合方式：编号2，3红球组合和编号2，3白色组合，
根据古典概型的概率公式可得：，，，
因为，所以A，B相互独立；
（2）解：（ⅰ）若每次摸出一个小球，摸四次包含的不同摸法有种；
恰好摸四次就停止摸球指的是前三次中有一次摸到红球，两次摸到白球，第四次摸到白球，包含的不同摸法有种；
根据古典概型的概率公式可得：若每次摸出一个小球，求恰好摸四次就停止摸球的概率为；
（ⅱ）若每次摸出两个小球，摸两次的不同摸法有种；
恰好摸两次就停止摸球包含两种情况：第一次摸到一红球一白球，第二次摸到两个白球或第一次摸到两个白球，
第二次摸到一红球一白球，不同的摸法有种；
所以若每次摸出两个小球，求恰好摸两次就停止摸球的概率为．
【知识点】相互独立事件；古典概型及其概率计算公式；组合数的基本计算
【解析】【分析】（1）先计算事件A，事件B及事件AB包含的种类，再根据古典概型的概率公式得出，，，最后判断是否满足即可；
（2）（ⅰ）先求出每次摸出一个小球，摸四次包含的不同摸法及恰好摸四次就停止摸球包含的不同摸法，再根据古典概型的概率公式求解即可；
（ⅱ）根据古典概型的概率公式求解即可．
（1）从甲袋中一次性摸出两个小球，不同的组合有种；
摸到的两个小球颜色相同有两种情况：两个红球或两个白球.其中从三个红球中摸出两个红球，不同的组合有种；从三个白球中摸出两个白球，不同的组合有种；故事件A包含的组合有种.
摸到的两个小球的编号之和大于4有两种情况：编号2，3组合或编号3，3组合，其中编号2，3组合的不同组合有种；编号3，3组合的不同组合有种；故事件B包含的组合有种.
摸到的两个小球颜色相同且编号之和大于4有两种不同的组合方式：编号2，3红球组合和编号2，3白色组合.
所以根据古典概型的概率公式可得：
，，
.
因为，
所以A，B相互独立．
（2）（ⅰ）若每次摸出一个小球，摸四次包含的不同摸法有种；
恰好摸四次就停止摸球指的是前三次中有一次摸到红球，两次摸到白球，第四次摸到白球，包含的不同摸法有种；
所以由古典概型的概率公式可得：
若每次摸出一个小球，求恰好摸四次就停止摸球的概率为．
（ⅱ）若每次摸出两个小球，摸两次的不同摸法有种；
恰好摸两次就停止摸球包含两种情况：第一次摸到一红球一白球，第二次摸到两个白球或第一次摸到两个白球，第二次摸到一红球一白球，不同的摸法有种；
所以若每次摸出两个小球，求恰好摸两次就停止摸球的概率为．
18．小明参加答题闯关游戏，需要从A，B两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺序.答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元.已知小明答对A，B两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立.
（1）规定无论是否答对第一题，都可以答下一题.已知小明第一题选择A题库的题目作答的概率为.
（i）求小明恰好获得100元奖金的概率；
（ii）求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率.
（2）若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题应该回答哪个题库中的题目？
【答案】（1）解：（i）由题意可得，小明第一题选择A题库概率为，第一题选择B题库概率为，
当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为，
当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为，
则小明恰好获得100元奖金的概率为；
（ii）若表示第题为库，表示第题为库，表示第题答对，且，
，
，
综上，小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率；
（2）解：由题设，第一题答错0元，第一题答对且第二题答错100元，第一、二题都答对300元，结合（1）中所设事件，
若第一题为，第二题为，则，，，
此时期望；
若第一题为，第二题为，则，，，
此时期望；
，则小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题选题库中的题目.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）（i）由题意可得，小明第一题选择A题库概率为，第一题选择B题库概率为，利用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率即可；
（ii）分别求第一次答对、第一、二次都答对的概率，再根据全概率公式和条件概率公式求额吉即可；
（2）根据已知求第一题为，第二题为和第一题为，第二题为对应的期望，比较大小，即可得结论.
（1）（i）由题设，小明第一题选择A题库概率为，则第一题选择B题库概率为，
当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为，
当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为，
所以小明恰好获得100元奖金的概率为；
（ii）若表示第题为库，表示第题为库，表示第题答对，且，
所以，
，
综上，小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率；
（2）由题设，第一题答错0元，第一题答对且第二题答错100元，第一、二题都答对300元，结合（1）中所设事件，
若第一题为，第二题为，则，，，
此时期望；
若第一题为，第二题为，则，，，
此时期望；
所以，则小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题选题库中的题目.
19．我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，对于二元函数，若存在正数m，满足，，则称具有性质T．已知二元函数．
（1）若恒成立，求a的取值范围．
（2）已知正数m，满足．
（ⅰ）证明：．
（ⅱ）证明：具有性质T．
【答案】（1）解：二元函数，
令，求导可得，
令，得，令，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
则，即a的取值范围为；
（2）证明：（ⅰ）正数m，n满足，
则，故，，
不妨设，则由（1）知，，
构造函数，
则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，所以，
又因为在上单调递增，所以，即；
（ⅱ）正数m，n满足，则，
要证，只需证，即证，
不妨设，则，
两边取指数得，化简得，设，则，
而，当时，，
当时，，
得在，上单调递减，在上单调递增，如图所示：
要使且，则，，即，从而，，
要证，只需证，
由于在上单调递增，因此只需证，
又，所以只需证，
所以，则，
设，则，
设，则，在上单调递增，
所以，从而，所以在上单调递减，从而，
则，所以，
故具有性质T．
【知识点】函数恒成立问题；指数式与对数式的互化；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题意可得：二元函数，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，即可求参数的取值范围；
（2）（ⅰ）由可得，由（1）知，，构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用极值点偏移证；
（ⅱ）要证具有性质T即证，设，从而将前者转化为证明即，利用导数可证明后者.
（1），
令，则．
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即a的取值范围为．
（2）证明：（ⅰ）正数m，n满足，
则，故，．
不妨设，则由（1）知，．
构造函数，
则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，
所以，
又在上单调递增，所以，即．
（ⅱ）正数m，n满足，则，
要证，只需证，
即证．
不妨设，则，
两边取指数得，化简得，设，则．
而，当时，，
当时，，
得在，上单调递减，在上单调递增（如图所示），
要使且，则，，
即，从而，．
要证，只需证．
由于在上单调递增，因此只需证，
又，所以只需证，
所以，则．
设，则．
设，则，在上单调递增，
所以，从而，
所以在上单调递减，从而，
则，所以，
故具有性质T．
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