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广东省茂名市普通高中2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知正项等比数列，，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
2．已知x与y之间的一组数据：
x 1 2 3 4
y 5.5 4 3.5 3
若y与x满足回归方程，则（　　）
A． B． C． D．
3．在正方体中，O为底面ABCD的中心，则直线与所成的角为（　　）
A． B． C． D．
4．小明在注册某账号的密码时，想在1，2，3，a，b中组成无重复的五位字符的密码，要求a与b相邻，则可以设置不同的密码的个数为（　　）
A．12 B．24 C．36 D．48
5．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
6．已知曲线在点处的切线与直线平行，则（　　）
A．8 B．12 C．13 D．14
7．已知四棱锥，底面是边长为2的菱形，，，与底面所成角为，，则到平面的距离是（　　）
A． B．1 C． D．
8．袋子A中有2张10元纸币和4张1元纸币，袋子B中有6张5元纸币.现抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出几点就从两个袋子中各取出几张纸币，则从A中取出的纸币的面值之和大于从B中取出的纸币的面值之和的概率为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设某车床生产的零件长度为随机变量X，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．等差数列的前n项和为，，.则下列说法正确的是（　　）
A． B．数列的第10项为
C．数列的前n项和 D．的最大值为8
11．已知棱长为3的正方体，动点P满足，下列结论正确的是（　　）
A．正方体棱上满足条件的P的个数为3
B．正方体棱上满足条件的P所在的平面去截正方体，截面面积为
C．正方体棱上满足条件的P所在的平面去截正方体，被截去较小部分的体积为
D．点P到正方体各顶点距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．展开式中的系数为　 　.
13．已知，恒成立，则a的取值范围是　 　.
14．在一个数字转换程序中，，分别输入正整数m，n，经该转换程序处理后输出的数值为，该程序运行满足以下3个条件：
①；②；③.
若输入2025，且输出的数值为6103，则输入的正整数为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
（1）求的单调区间及最值；
（2）设，讨论在区间上的零点个数.
16．已知等差数列的前n项和为，且，，等比数列的前n项和为，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
17．如图，在正方体中，E，F分别是棱，上的动点.
（1）设E，F分别为、的中点.证明：平面；
（2）设.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值.
18．某研究小组为了探究性别与商场购物意愿之间是否存在关联，随机调查200名市民，得到如下数据：
单位：人
性别 商场购物意愿 合计
喜欢在商场购物 不喜欢商场购物
男性 60 30 90
女性 90 20 110
合计 150 50 200
（1）根据小概率值的独立性检验，分析性别与商场购物意愿是否有关联.
（2）采用分层随机抽样，从调查中喜欢商场购物的市民抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中男性人数X的分布列和期望.
（3）某商场推出购物抽奖促销活动，抽奖是从一个装有1个红球、1个白球、4个黄球的不透明盒子中，依次有放回随机地摸取1个球.规则如下：每摸中1次红球，奖励10元购物券；当消费者摸中红球的个数比黄球个数多1时，抽奖结束，否则抽奖继续.记甲在n次摸球后抽奖结束且获奖30元购物券的概率为，求当取最大值时n的值.
附：，.
临界值表：
α 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19．已知.
（1）若为偶函数，求λ的值；
（2）若在区间内有两个不同的极值点，，求证：；
（3）当时，定义复数，，i为虚数单位，记.求证：对任意，复数的模均满足.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：由等比数列的性质，得，则，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】根据等比数列的性质和已知条件，从而得出的值.
2．【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由表中数据，可得，，
因为线性回归方程过样本中心点，
所以，解得.
故答案为：A.
【分析】利用表中数据和平均数公式，从而求出样本中心点坐标，再利用回归直线经过样本中心点，则由代入法得出的值.
3．【答案】C
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：因为，所以直线与所成的角为，
设正方体边长为2，
由余弦定理，得，
则.
故答案为：C.
【分析】利用异面直线所成角的定义得出直线与所成的角为，再利用余弦定理得出直线与所成的角.
4．【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将“a”和“b”看成一个整体，与1，2，3进行全排列，
再将“a”和“b”交换顺序，
所以，不同的放置方式种数为.
故答案为：D.
【分析】将“a”和“b”看成一个整体，再利用捆绑法和排列数公式，从而得出可以设置不同的密码的个数.
5．【答案】A
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的半径为，母线长，
因为侧面展开图是一个半圆，
所以，则，
所以，可得，，
利用勾股定理，得圆锥的高为，
所以，圆锥的体积为.
故答案为：A.
【分析】设圆锥的半径为，母线长，根据已知条件和圆锥的表面积公式，从而求出、的值，再利用勾股定理可得该圆锥的高，再根据圆锥的体积公式可得这个圆锥的体积.
6．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意，得，
则函数在点处切线斜率为，
由两直线平行得斜率相等，得.
故答案为：B.
【分析】利用导数的几何意义求出函数在点处切线斜率，再根据两直线平行斜率相等，从而得出实数k的值.
7．【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为点P到平面的距离，又因为，
所以，，
设点到平面的距离为，
由，则，所以.
因为平面，
所以到平面的距离为.
故答案为：D.
【分析】根据题意和正弦函数的定义得出点P到平面的距离，再利用线线垂直和三角形的面积公式以及等体积法，从而得出点到平面的距离即得.
8．【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设骰子掷出的点数为X，
“从中取出的纸币的面值之和大于从中取出的纸币的面值之和”为事件，
则
.
故答案为：B.
【分析】设骰子掷出的点数为X，由题意可得X的取值，再利用组合数公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出从A中取出的纸币的面值之和大于从B中取出的纸币的面值之和的概率.
9．【答案】A,C,D
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：对于选项A，由随机变量，
可得，；
由期望性质，可得，故A正确；
对于选项B，由方差性质，可得，故B错误；
对于选项C，由正态分布密度曲线，可知其关于对称，
利用对称性与概率和为1，可得，
则，故C正确；
对于选项D，由正态分布密度曲线，可知，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件和正态分布求期望公式、方差公式以及期望的性质、方差的性质，从而判断出选项A和选项B；利用正态分布密度曲线的图象对称性和概率之和为1，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的最大（小）值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】解：对于A，设数列的公差为，
则，，
解得，.
，，故A正确；
对于B，由A，，则数列的第10项，故B错误；
对于C，由选项A，得，
则数列的前项和为：
，故C正确；
对于D，因为，
则当时，的最大值为9，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】先求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式和代入法，则判断出选项A；利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用代入法判断出选项B；利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用裂项相消法得出数列的前n项和，则判断出选项C；利用等差数列前n项和公式求出，再利用二次函数求最值的方法，从而得出的最大值，进而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】轨迹方程；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：取过直线的平面，在此平面内建立平面直角坐标系，如图，
则，设，
由，得，
整理得，
则点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，即，
在正方体中，延长至，使得，
则，
因此在空间点P的轨迹是以为球心，2为半径的球面，如图所示，
则该球面与正方体的棱有3个交点，，，
所以，，
则，故A正确、B错误；
因为，故C正确；
因为点P到正方体各顶点的最大距离分别为，，
，，
，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件和两点距离公式求出点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，再利用正方体的结构特征和三角形的面积公式，则判断出选项A和选项B；利用三棱锥的体积公式判断出选项C；利用几何法求最值的方法和勾股定理，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】80
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：因为展开式的通项公式为：，
所以的系数为.
故答案为：80.
【分析】根据二项式定理求出展开式的通项公式，再利用展开式的通项公式得出展开式中的系数.
13．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由已知条件，可得，
令，，
则，
所以，函数在单调上递增，
则函数的最小值为，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，分离参数得，令，，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
14．【答案】3
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：依题意，得：，，，
，
，
∴，，…，是以首项为，公比为4的等比数列.
，
.
，
.
则，，…，是以首项为，公差为3的等差数列，
.
中，
令，
可得，输入的正整数为3.
故答案为：3.
【分析】先利用等比数列的定义判断出数列，，…，是等比数列，再利用等比数列的通项公式求出，再根据等差数列的通项公式判断出数列，，…，是公差为3的等差数列，利用等差数列的通项公式求出，令且，从而求出的值，则得出输入的正整数.
15．【答案】（1）解：因为，
令，解得.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
则当时，取最小值为，没有最大值，
所以单调递减区间为，单调递增区间为，且的最小值为，没有最大值.
（2）解：因为，
由（1）可知在上单调递增，
又因为，.
根据k的不同取值，分情况讨论：
①当时，对于，因为，
则恒成立，所以没有零点；
②当时，由的单调性，可知存在唯一，使得，
则函数有唯一零点；
③当时，由，
则恒成立，所以函数没有零点，
综上所述，当时，在上没有零点；
当时，在上有1个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间，进而得出函数的最值.
（2）由（1）可知函数在上单调递增且，再根据k的不同取值分情况讨论，利用函数的单调性求出函数的最值，再利用零点存在性定理，从而讨论出函数在区间上的零点个数.
（1），令，解得.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以当时，取最小值为，没有最大值.
所以单调递减区间为，单调递增区间为，且的最小值为，没有最大值.
（2），由（1），可知在上递增，而，.
根据k的不同取值，分情况讨论：
①当时，对于，由于，则恒成立，故没有零点.
②当时，由的单调性，可知存在唯一，使，故有唯一零点.
③当时，由，即恒成立，故没有零点.
综上，当时，在上没有零点.
当时，在上有1个零点.
16．【答案】（1）解：由题意知：，，
则，
解得，
所以，数列的通项公式，
在等比数列中，
当时，，
则；
当时，，解得，，
所以，数列的通项公式.
（2）解：因为，
所以，①
则，②
由①②，
得
，
解得，
所以，数列的前n项和.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件合等差数列前n项和公式、通项公式，求解通项公式，利用的关系式结合等比数列定义求解.
（2）由题意结合数列的通项公式和数列的通项公式，从而可得数列的通项公式，再利用错位相减的方法得出数列的前n项和.
（1）由题意知：，，
即，解得.
所以数列的通项公式.
在等比数列中，当时，，得.
当时，，解得，.
所以数列的通项公式.
（2）因为，
所以，①
，②
①②得
.
解得，
所以数列的前n项和.
17．【答案】（1）证明：（法一）由E，F分别是棱，的中点，
所以，
因为，所以，平面，平面，
则平面.
（法二）如图，以D为坐标原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为a，E，F分别是棱，的中点，
则，，，，
所以，，
则，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）（ⅰ）证明：设，
则，，
所以，，，
所以.
（ⅱ）解：在正方体中，，
若三棱锥的体积取得最大值，则取得最大值，
因为，
所以，
当且仅当时，即当时取等号，
则E，F分别是棱上中点，
由，，，得，，
则平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，所以，
令，，，
则，，.
设平面与平面夹角为θ，
则，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用两种方法证明.
方法1，由题意结合中位线定理，从而可得，再利用线线平行证出线面平行，即证出平面.
方法2，利用已知条件建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示，则判断出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，即证出平面.
（2）（ⅰ）设，从而得出点E的坐标和点F的坐标，进而求出两向量的坐标，再利用两向量垂直数量积证出.
（ⅱ） 由三棱锥的体积取得最大值，结合基本不等式可得E，F分别是棱上中点，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解.
（1）（法一）由E，F分别是棱，的中点，
所以，又，所以，平面，平面，
所以平面.
（法二）如图，以D为坐标原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为a，E，F分别是棱，的中点，
则，，，，
所以，，
则，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）（ⅰ）设，则，，
所以，，，
所以.
（ⅱ）在正方体中，，
若三棱锥的体积取得最大值，则取得最大值，又.
，
当且仅当时，即时取等号，即E，F分别是棱上中点，
由，，，
得，，平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
令，，，则，，.
设平面与平面夹角为θ，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：零假设为：性别与商场购物意愿无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别与商场购物意愿有关.
（2）解：因为调查中喜欢商场购物的市民共有150人，男性人数：女性人数，
所以，分层随机抽样抽取的5人中2人是男性，3人是女性，
则X的可能取值为0，1，2，
所以，，，
则随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P
所以2人中男性人数的数学期望.
（3）解：因为n局获奖励30元，说明甲在抽奖的过程中共抽中3次红球，
又因为红球的个数比黄球个数多1时结束抽奖，
说明第n次摸到红球，前次中有抽到2次黄球、2次红球，
且是“黄红黄红”或“黄黄红红”的顺序，其余均抽到白球，共有种，
则“n次摸球后抽奖结束且甲获奖30元购物券”的概率为：，，
所以
，
因为，所以上式小于0，
则，
所以单调递减，
则当时，取最大值.
另解：因为，又因为，
所以上式小于1，
则.
【知识点】数列的函数特性；独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用列联表计算卡方，再与临界值比较，则根据独立性检验的方法判断出性别与商场购物意愿有关.
（2）根据分层抽样得出这5人中男性人数和女性人数，从而得出随机变量X的可能取值，再利用组合数公式和古典概率公式求出随机变量X每个取值对应的概率，从而列出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（3）根据题意，甲在抽奖的过程中共抽中3次红球，第n次摸到红球，前次中有抽到2次黄球、2次红球，是“黄红黄红”或“黄黄红红”的顺序，其余均抽到白球，共有种，求出的表达式，判断的单调性，得解.
（1）零假设为：性别与商场购物意愿无关，，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即性别与商场购物意愿有关.
（2）调查中喜欢商场购物的市民共有150人，男性人数：女性人数，
所以分层随机抽样抽取的5人中2人是男性，3人是女性，
则X的可能取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布列如下：
X 0 1 2
P
所以2人中男性人数的数学期望.
（3）因为n局获奖励30元，说明甲在抽奖的过程中共抽中3次红球，
由于红球的个数比黄球个数多1时结束抽奖，说明第n次摸到红球，前次中有抽到2次黄球、2次红球，
且是“黄红黄红”或“黄黄红红”的顺序，其余均抽到白球，共有种，
则“n次摸球后抽奖结束且甲获奖30元购物券”的概率，，
于是，
因为，所以上式小于0，故，
即单调递减，则当时，取最大值.
另解：，
因为，所以上式小于1，所以.
19．【答案】（1）解：因为定义域为R，关于原点对称，
由为偶函数，可得，
则，
可得，则.
（2）证明：由已知条件，得，
则，满足，，2，
若，有一者为，
不妨设，则，矛盾，
则，均不为，
那么.
令，，
则，且
则当时，，且，
所以，则在上递增.
又因为，不相等，所以，，
则，，所以.
（3）证明：当时，.
记，，
则，
所以，
且
因此
，
由，
可得
因为且，
所以.
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；数列的求和；复数的模；反证法的应用
【解析】【分析】（1）应用偶函数定义得出实数λ的值.
（2）先利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值点，再利用已知条件证出不等式成立.
（3）根据复数加法运算法则和等比数列求和公式计算，再结合计算，从而证出对任意，复数的模均满足.
（1）定义域为R，关于原点对称.
由为偶函数，可得，
即，
可得，故.
（2）由条件，得，
则，满足，，2.
若，有一者为，
不妨设，则，矛盾，则，均不为，
那么.
令，，
则，
且
则当时，，且，
则，故在上递增.
由于，不相等，则，，故，，从而.
（3）当时，.
记，，
则，于是，
且，
因此
.
由，
可得
.
因且，则.
1 / 1广东省茂名市普通高中2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知正项等比数列，，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：由等比数列的性质，得，则，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】根据等比数列的性质和已知条件，从而得出的值.
2．已知x与y之间的一组数据：
x 1 2 3 4
y 5.5 4 3.5 3
若y与x满足回归方程，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由表中数据，可得，，
因为线性回归方程过样本中心点，
所以，解得.
故答案为：A.
【分析】利用表中数据和平均数公式，从而求出样本中心点坐标，再利用回归直线经过样本中心点，则由代入法得出的值.
3．在正方体中，O为底面ABCD的中心，则直线与所成的角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：因为，所以直线与所成的角为，
设正方体边长为2，
由余弦定理，得，
则.
故答案为：C.
【分析】利用异面直线所成角的定义得出直线与所成的角为，再利用余弦定理得出直线与所成的角.
4．小明在注册某账号的密码时，想在1，2，3，a，b中组成无重复的五位字符的密码，要求a与b相邻，则可以设置不同的密码的个数为（　　）
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将“a”和“b”看成一个整体，与1，2，3进行全排列，
再将“a”和“b”交换顺序，
所以，不同的放置方式种数为.
故答案为：D.
【分析】将“a”和“b”看成一个整体，再利用捆绑法和排列数公式，从而得出可以设置不同的密码的个数.
5．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的半径为，母线长，
因为侧面展开图是一个半圆，
所以，则，
所以，可得，，
利用勾股定理，得圆锥的高为，
所以，圆锥的体积为.
故答案为：A.
【分析】设圆锥的半径为，母线长，根据已知条件和圆锥的表面积公式，从而求出、的值，再利用勾股定理可得该圆锥的高，再根据圆锥的体积公式可得这个圆锥的体积.
6．已知曲线在点处的切线与直线平行，则（　　）
A．8 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意，得，
则函数在点处切线斜率为，
由两直线平行得斜率相等，得.
故答案为：B.
【分析】利用导数的几何意义求出函数在点处切线斜率，再根据两直线平行斜率相等，从而得出实数k的值.
7．已知四棱锥，底面是边长为2的菱形，，，与底面所成角为，，则到平面的距离是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为点P到平面的距离，又因为，
所以，，
设点到平面的距离为，
由，则，所以.
因为平面，
所以到平面的距离为.
故答案为：D.
【分析】根据题意和正弦函数的定义得出点P到平面的距离，再利用线线垂直和三角形的面积公式以及等体积法，从而得出点到平面的距离即得.
8．袋子A中有2张10元纸币和4张1元纸币，袋子B中有6张5元纸币.现抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出几点就从两个袋子中各取出几张纸币，则从A中取出的纸币的面值之和大于从B中取出的纸币的面值之和的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设骰子掷出的点数为X，
“从中取出的纸币的面值之和大于从中取出的纸币的面值之和”为事件，
则
.
故答案为：B.
【分析】设骰子掷出的点数为X，由题意可得X的取值，再利用组合数公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出从A中取出的纸币的面值之和大于从B中取出的纸币的面值之和的概率.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设某车床生产的零件长度为随机变量X，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：对于选项A，由随机变量，
可得，；
由期望性质，可得，故A正确；
对于选项B，由方差性质，可得，故B错误；
对于选项C，由正态分布密度曲线，可知其关于对称，
利用对称性与概率和为1，可得，
则，故C正确；
对于选项D，由正态分布密度曲线，可知，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件和正态分布求期望公式、方差公式以及期望的性质、方差的性质，从而判断出选项A和选项B；利用正态分布密度曲线的图象对称性和概率之和为1，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
10．等差数列的前n项和为，，.则下列说法正确的是（　　）
A． B．数列的第10项为
C．数列的前n项和 D．的最大值为8
【答案】A,C
【知识点】函数的最大（小）值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】解：对于A，设数列的公差为，
则，，
解得，.
，，故A正确；
对于B，由A，，则数列的第10项，故B错误；
对于C，由选项A，得，
则数列的前项和为：
，故C正确；
对于D，因为，
则当时，的最大值为9，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】先求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式和代入法，则判断出选项A；利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用代入法判断出选项B；利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用裂项相消法得出数列的前n项和，则判断出选项C；利用等差数列前n项和公式求出，再利用二次函数求最值的方法，从而得出的最大值，进而找出说法正确的选项.
11．已知棱长为3的正方体，动点P满足，下列结论正确的是（　　）
A．正方体棱上满足条件的P的个数为3
B．正方体棱上满足条件的P所在的平面去截正方体，截面面积为
C．正方体棱上满足条件的P所在的平面去截正方体，被截去较小部分的体积为
D．点P到正方体各顶点距离的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】轨迹方程；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：取过直线的平面，在此平面内建立平面直角坐标系，如图，
则，设，
由，得，
整理得，
则点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，即，
在正方体中，延长至，使得，
则，
因此在空间点P的轨迹是以为球心，2为半径的球面，如图所示，
则该球面与正方体的棱有3个交点，，，
所以，，
则，故A正确、B错误；
因为，故C正确；
因为点P到正方体各顶点的最大距离分别为，，
，，
，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件和两点距离公式求出点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，再利用正方体的结构特征和三角形的面积公式，则判断出选项A和选项B；利用三棱锥的体积公式判断出选项C；利用几何法求最值的方法和勾股定理，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．展开式中的系数为　 　.
【答案】80
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：因为展开式的通项公式为：，
所以的系数为.
故答案为：80.
【分析】根据二项式定理求出展开式的通项公式，再利用展开式的通项公式得出展开式中的系数.
13．已知，恒成立，则a的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由已知条件，可得，
令，，
则，
所以，函数在单调上递增，
则函数的最小值为，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，分离参数得，令，，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
14．在一个数字转换程序中，，分别输入正整数m，n，经该转换程序处理后输出的数值为，该程序运行满足以下3个条件：
①；②；③.
若输入2025，且输出的数值为6103，则输入的正整数为　 　.
【答案】3
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：依题意，得：，，，
，
，
∴，，…，是以首项为，公比为4的等比数列.
，
.
，
.
则，，…，是以首项为，公差为3的等差数列，
.
中，
令，
可得，输入的正整数为3.
故答案为：3.
【分析】先利用等比数列的定义判断出数列，，…，是等比数列，再利用等比数列的通项公式求出，再根据等差数列的通项公式判断出数列，，…，是公差为3的等差数列，利用等差数列的通项公式求出，令且，从而求出的值，则得出输入的正整数.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
（1）求的单调区间及最值；
（2）设，讨论在区间上的零点个数.
【答案】（1）解：因为，
令，解得.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
则当时，取最小值为，没有最大值，
所以单调递减区间为，单调递增区间为，且的最小值为，没有最大值.
（2）解：因为，
由（1）可知在上单调递增，
又因为，.
根据k的不同取值，分情况讨论：
①当时，对于，因为，
则恒成立，所以没有零点；
②当时，由的单调性，可知存在唯一，使得，
则函数有唯一零点；
③当时，由，
则恒成立，所以函数没有零点，
综上所述，当时，在上没有零点；
当时，在上有1个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间，进而得出函数的最值.
（2）由（1）可知函数在上单调递增且，再根据k的不同取值分情况讨论，利用函数的单调性求出函数的最值，再利用零点存在性定理，从而讨论出函数在区间上的零点个数.
（1），令，解得.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以当时，取最小值为，没有最大值.
所以单调递减区间为，单调递增区间为，且的最小值为，没有最大值.
（2），由（1），可知在上递增，而，.
根据k的不同取值，分情况讨论：
①当时，对于，由于，则恒成立，故没有零点.
②当时，由的单调性，可知存在唯一，使，故有唯一零点.
③当时，由，即恒成立，故没有零点.
综上，当时，在上没有零点.
当时，在上有1个零点.
16．已知等差数列的前n项和为，且，，等比数列的前n项和为，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
【答案】（1）解：由题意知：，，
则，
解得，
所以，数列的通项公式，
在等比数列中，
当时，，
则；
当时，，解得，，
所以，数列的通项公式.
（2）解：因为，
所以，①
则，②
由①②，
得
，
解得，
所以，数列的前n项和.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件合等差数列前n项和公式、通项公式，求解通项公式，利用的关系式结合等比数列定义求解.
（2）由题意结合数列的通项公式和数列的通项公式，从而可得数列的通项公式，再利用错位相减的方法得出数列的前n项和.
（1）由题意知：，，
即，解得.
所以数列的通项公式.
在等比数列中，当时，，得.
当时，，解得，.
所以数列的通项公式.
（2）因为，
所以，①
，②
①②得
.
解得，
所以数列的前n项和.
17．如图，在正方体中，E，F分别是棱，上的动点.
（1）设E，F分别为、的中点.证明：平面；
（2）设.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：（法一）由E，F分别是棱，的中点，
所以，
因为，所以，平面，平面，
则平面.
（法二）如图，以D为坐标原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为a，E，F分别是棱，的中点，
则，，，，
所以，，
则，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）（ⅰ）证明：设，
则，，
所以，，，
所以.
（ⅱ）解：在正方体中，，
若三棱锥的体积取得最大值，则取得最大值，
因为，
所以，
当且仅当时，即当时取等号，
则E，F分别是棱上中点，
由，，，得，，
则平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，所以，
令，，，
则，，.
设平面与平面夹角为θ，
则，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用两种方法证明.
方法1，由题意结合中位线定理，从而可得，再利用线线平行证出线面平行，即证出平面.
方法2，利用已知条件建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示，则判断出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，即证出平面.
（2）（ⅰ）设，从而得出点E的坐标和点F的坐标，进而求出两向量的坐标，再利用两向量垂直数量积证出.
（ⅱ） 由三棱锥的体积取得最大值，结合基本不等式可得E，F分别是棱上中点，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解.
（1）（法一）由E，F分别是棱，的中点，
所以，又，所以，平面，平面，
所以平面.
（法二）如图，以D为坐标原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为a，E，F分别是棱，的中点，
则，，，，
所以，，
则，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）（ⅰ）设，则，，
所以，，，
所以.
（ⅱ）在正方体中，，
若三棱锥的体积取得最大值，则取得最大值，又.
，
当且仅当时，即时取等号，即E，F分别是棱上中点，
由，，，
得，，平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
令，，，则，，.
设平面与平面夹角为θ，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．某研究小组为了探究性别与商场购物意愿之间是否存在关联，随机调查200名市民，得到如下数据：
单位：人
性别 商场购物意愿 合计
喜欢在商场购物 不喜欢商场购物
男性 60 30 90
女性 90 20 110
合计 150 50 200
（1）根据小概率值的独立性检验，分析性别与商场购物意愿是否有关联.
（2）采用分层随机抽样，从调查中喜欢商场购物的市民抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中男性人数X的分布列和期望.
（3）某商场推出购物抽奖促销活动，抽奖是从一个装有1个红球、1个白球、4个黄球的不透明盒子中，依次有放回随机地摸取1个球.规则如下：每摸中1次红球，奖励10元购物券；当消费者摸中红球的个数比黄球个数多1时，抽奖结束，否则抽奖继续.记甲在n次摸球后抽奖结束且获奖30元购物券的概率为，求当取最大值时n的值.
附：，.
临界值表：
α 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：零假设为：性别与商场购物意愿无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别与商场购物意愿有关.
（2）解：因为调查中喜欢商场购物的市民共有150人，男性人数：女性人数，
所以，分层随机抽样抽取的5人中2人是男性，3人是女性，
则X的可能取值为0，1，2，
所以，，，
则随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P
所以2人中男性人数的数学期望.
（3）解：因为n局获奖励30元，说明甲在抽奖的过程中共抽中3次红球，
又因为红球的个数比黄球个数多1时结束抽奖，
说明第n次摸到红球，前次中有抽到2次黄球、2次红球，
且是“黄红黄红”或“黄黄红红”的顺序，其余均抽到白球，共有种，
则“n次摸球后抽奖结束且甲获奖30元购物券”的概率为：，，
所以
，
因为，所以上式小于0，
则，
所以单调递减，
则当时，取最大值.
另解：因为，又因为，
所以上式小于1，
则.
【知识点】数列的函数特性；独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用列联表计算卡方，再与临界值比较，则根据独立性检验的方法判断出性别与商场购物意愿有关.
（2）根据分层抽样得出这5人中男性人数和女性人数，从而得出随机变量X的可能取值，再利用组合数公式和古典概率公式求出随机变量X每个取值对应的概率，从而列出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（3）根据题意，甲在抽奖的过程中共抽中3次红球，第n次摸到红球，前次中有抽到2次黄球、2次红球，是“黄红黄红”或“黄黄红红”的顺序，其余均抽到白球，共有种，求出的表达式，判断的单调性，得解.
（1）零假设为：性别与商场购物意愿无关，，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即性别与商场购物意愿有关.
（2）调查中喜欢商场购物的市民共有150人，男性人数：女性人数，
所以分层随机抽样抽取的5人中2人是男性，3人是女性，
则X的可能取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布列如下：
X 0 1 2
P
所以2人中男性人数的数学期望.
（3）因为n局获奖励30元，说明甲在抽奖的过程中共抽中3次红球，
由于红球的个数比黄球个数多1时结束抽奖，说明第n次摸到红球，前次中有抽到2次黄球、2次红球，
且是“黄红黄红”或“黄黄红红”的顺序，其余均抽到白球，共有种，
则“n次摸球后抽奖结束且甲获奖30元购物券”的概率，，
于是，
因为，所以上式小于0，故，
即单调递减，则当时，取最大值.
另解：，
因为，所以上式小于1，所以.
19．已知.
（1）若为偶函数，求λ的值；
（2）若在区间内有两个不同的极值点，，求证：；
（3）当时，定义复数，，i为虚数单位，记.求证：对任意，复数的模均满足.
【答案】（1）解：因为定义域为R，关于原点对称，
由为偶函数，可得，
则，
可得，则.
（2）证明：由已知条件，得，
则，满足，，2，
若，有一者为，
不妨设，则，矛盾，
则，均不为，
那么.
令，，
则，且
则当时，，且，
所以，则在上递增.
又因为，不相等，所以，，
则，，所以.
（3）证明：当时，.
记，，
则，
所以，
且
因此
，
由，
可得
因为且，
所以.
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；数列的求和；复数的模；反证法的应用
【解析】【分析】（1）应用偶函数定义得出实数λ的值.
（2）先利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值点，再利用已知条件证出不等式成立.
（3）根据复数加法运算法则和等比数列求和公式计算，再结合计算，从而证出对任意，复数的模均满足.
（1）定义域为R，关于原点对称.
由为偶函数，可得，
即，
可得，故.
（2）由条件，得，
则，满足，，2.
若，有一者为，
不妨设，则，矛盾，则，均不为，
那么.
令，，
则，
且
则当时，，且，
则，故在上递增.
由于，不相等，则，，故，，从而.
（3）当时，.
记，，
则，于是，
且，
因此
.
由，
可得
.
因且，则.
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