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圆的综合问题
题型1 四点共圆问题
判定方法1：如图1，若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（圆的定义）. 适用范围：题目出现共端点，等线段时，可利用圆的定义构造辅助圆. 判定方法2：如图2，同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆. 判定方法3：如图3，若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆. 判定方法4：如图4，共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆. 适用范围：双直角三角形共斜边模型. 图1 图2 图3 图4
重难点一 利用到定点距离等于定长建立辅助圆
1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查圆周角定理、圆心角、弦、弧之间的关系以及勾股定理，根据圆周角定理、圆心角、弦、弧之间的关系以及勾股定理进行计算即可，掌握圆周角定理、圆心角、弦、弧之间的关系以及勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图，以点为圆心，为半径作，由于，所以点、点也在圆上，延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
在中，，，
∴．
故选：．
2．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，且，若，则 ， ．

【答案】 84°/84度 14°/14度
【分析】由可知点B，C，D在以A为圆心的圆上，根据圆心角和圆周角的关系即可求得．
【详解】解：，
点，，在以A为圆心的圆上，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，．

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
3．（2021·四川攀枝花·中考真题）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，3为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段长即可．
【详解】解：连接AM，如图所示：
∵点B和M关于AP对称，
∴AB＝AM＝3，
∴M在以A圆心，3为半径的圆上，
∴当A，M，C三点共线时，CM最短，
∵在矩形ABCD中，AC＝，
AM＝AB＝3，
∴CM＝5﹣3＝2，
故选：A．
【点睛】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹．
4．（河北省石家庄市2017届中考数学二模试卷）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 ．
【答案】 ．
【分析】延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．运用勾股定理求解.
【详解】解:如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．
∵AC=6，CF=2，
∴AF=AC-CF=4，
∵∠A=60°，∠AMF=90°，
∴∠AFM=30°，
∴AM=AF=2，
∴FM==2 ，
∵FP=FC=2，
∴PM=MF-PF=2-2，
∴点P到边AB距离的最小值是2-2．
故答案为: 2-2．
【点睛】本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P的位置.
5．（2022·广西柳州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，由EG＝2，确定在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE， 再证明（SAS）， 可得可得当三点共线时，最短，则最短，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，由EG＝2，可得在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，
∵正方形ABCD，
∴
∴
∵DE=DF，
∴（SAS），
∴
∴当三点共线时，最短，则最短，
∵位BC 中点，
∴
此时
此时
所以CF的最小值为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．
6．（江苏省苏州市西安交通大学苏州附属初级中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．
(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；
(2)如图2，若=60° 时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形；
(3)当BC＝2时，连接CE，CD，设△CDE的面积为S．在旋转过程中，S是否存在最大值？若存在，请直接写出S的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)15°
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）由旋转知：AC=AD，∠CAD=30°即可求出∠CDE的度数；
（2）根据旋转60°可知，△BAE为等边三角形，得BE=EA，再通过SCS证明△AFD≌△DEA，得DF=EA，根据点F是边CA的中点，可证BF=CB，而CB=DE，通过两组对边分别相等是四边形是平行四边形即可；
（3）根据线段DE为定值，则点C到DE的距离最大时，△CDE的面积有最大值．可采取动静互换解决问题，得出点C的运动路径为圆，从而求出最大面积．
【详解】（1）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，
∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣30°）＝75°，
∵∠EDA＝∠ACB＝60°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA＝15°；
（2）证明：∵点F是边AC中点，
∴BF＝AF＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴BC＝AC，
∴∠FBA＝∠BAC＝30°，
∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，CB＝DE，∠DEA＝∠ABC＝90°，
∴DE＝BF，
延长BF交AE于点G，则∠BGE＝∠GBA+∠BAG＝90°，
∴∠BGE＝∠DEA，
∴BF∥ED，
∴四边形BFDE是平行四边形．
（3）S的最大值为4+2．
∵线段DE为定值，
∴点C到DE的距离最大时，△CDE的面积有最大值．
∴可看成DE不动，点C绕点A旋转，
当点C'，A，E共线时，S有最大值．
∵CB=2，CB＝CA，
∴CA=4，DE=2，
在Rt△CBA中，，
∴EA＝．
当点C'，A，E共线时，C'E=EA+C'A=，
∵∠DEA=∠CBA=90°，
∴△CDE的面积有最大值S＝CE ED＝．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，点的运动轨迹等知识，采取动静互换，画出△ADE的面积最大时的图形是解题的关键．
重难点二 由定角定线确定隐圆
7．（20-21九年级上·江西新余·阶段练习）如图，在中，，，，D是上一个动点，以为直径的圆O交于E，则线段的最小值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．连接，取的中点，以为直径作，由直径可得，进而可得点在以为直径的上运动，当点、、三点共线时，有最小值，此时，利用勾股定理求出，即可得解．
【详解】解：如图，连接，取的中点，以为直径作，
是直径，
，
，
点在以为直径的上运动，
，
，
，
当点、、三点共线时，有最小值，此时，
，
，
，
线段的最小值是
故答案为：．
8．（21-22九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，正方形的边长为，点是边上一点，连接，过点作于点，连接并延长交于点，则的最大值是 ．
【答案】1
【分析】以为直径作圆，当与圆相切时，最大．根据切线长定理转化线段，在利用勾股定理求解．
【详解】解：以为直径作圆，因为，所以点在圆上．
当与圆相切时，最大．
此时，．
设，则，，
在中，利用勾股定理可得：
，
解得．
故答案为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、切线长定理等，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理．
9．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中， 已知点， 点是轴上一个动点， 当时， 点的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【分析】根据题意，分类讨论当点C在y轴的正半轴时和当点C在y轴的负半轴时，利用圆周角定理和勾股定理，可以求得点C的坐标．
【详解】解∶设线段AB的中点为E，
∵点、，
∴ ，
当点C在y轴的正半轴时，如下图所示，
过点E在第二象限作，且，则为等腰直角三角形，，；
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作，与y轴的正半轴交于点C，为的圆周角，
∴，即点C即为所求
过点P作轴于点F，则，
∵在中，．
∴ ，
∴，
∴点C坐标为；
当点C在y轴的负半轴时，如下图所示，
过点E在第三象限作，且，则为等腰直角三角形，，；
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作，与y轴的负半轴交于点C，为的圆周角，
∴，即点C即为所求
过点P作轴于点F，则，
∵在中，．
∴ ，
∴，
∴点C坐标为．
综上所述，点C坐标为或，
故选∶D ．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，圆周角定理，由的园周角联想到的圆心角是解题的关键，也是本题的难点所在．
10．（2023九年级·江苏泰州·专题练习）在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，，分别是，上的格点，＝，＝．若点是这个网格图形中的格点，连接，，则所有满足＝的中，边的长的最大值是
【答案】
【分析】作线段中点，作的垂直平分线，并使 ，以为圆心，为半径作圆，通过图形可知，当点在位置时，恰好过格点且经过圆心，此时最大，等于圆的直径，得出 ，则，即可求解．
【详解】作线段中点，作的垂直平分线，并使 ，以为圆心，为半径作圆，如图，
∵为垂直平分线且 ，
∴，
，
，
∴弦所对的圆的圆周角为，
∴点在圆上，为圆的弦，
通过图形可知，当点在位置时，恰好过格点且经过圆心，
∴此时最大，等于圆的直径，
＝，＝，
，
，
，
，
故答案选 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，得出边的长的最大值等于圆的直径是解题的关键．
11．（2022·广西·中考真题）已知，点A，B分别在射线上运动，．
(1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系 证明你的结论：
(2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
(3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大 请说明理由，并求出面积的最大值．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)当时，的面积最大；理由见解析，面积的最大值为
【分析】（1）根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD=AB，OD′=A′B′，进而得出结论；
（2）作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，求出CD和等边三角形AO′B上的高O′D，进而求得结果；
（3）以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由(2）可知∶当OC⊥AB时，OC最大，BT=3，当OA=OB时，∠ BOC=22.5°，此时OT最大，根据等腰三角形的性质可得∠OBE=∠BOC=22.5°，由外角的性质可得∠BET=45°，则ET=BT=3，利用勾股定理可得OE，由OT=OE+ET可得OT，然后根据三角形的面积公式进行计算．
【详解】（1）解：，证明如下：
，AB中点为D，
，
为的中点，，
，
，
；
（2）解：如图1，
作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，
当O运动到O′时，OC最大，
此时△AOB是等边三角形，
∴BO′=AB=6，
OC最大=CO′=CD+DO′=AB+BO′=3+3；
（3）解∶如图，当点A，B运动到OA=OB时，△AOB的面积最大，证明如下∶
以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，
由（2）可知，当OC⊥AB时，OC最大，
∵等腰直角三角形ABC，AC=BC，∠ACB=90°，
又OC⊥AB于T，
∴TC=AT=BT=AB=3，
∵OC=OT+CT=OT+3，
∴当OA=OB时，此时OT最大，即OC最大，
∴△AOB的面积最大，
∴∠BOT=∠AOB=22.5°，
∵OE= BE ，
∴∠OBE=∠BOC = 22.5° ，
综上，当点A，B运动到OA=OB时，△AOB的面积最大，△AOB面积的最大值为 ．
【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”的模型．
12．（河南省信阳市罗山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题）（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点+定长”．如图1，在中，，D是外一点，且， 求的度数．
解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（请你在图1上画圆），则点C，D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ．
②类型二，“定角+定弦”．如图2，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
解∶ ∵，
∴．
∵，
∴．
∴ ．（定角）
∴点P在以（定弦）为直径的上．易求得的最小值为 ．
（2）【问题解决】如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．
①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长．
【答案】（1）①；②；4；（2）4；（3）①，理由见解析；②点的运动路径长为．
【分析】本题主要考查圆的定义、圆周角定理、弧长公式、全等三角形的判定与性质等周四点，熟练掌握圆的定义、构造辅助圆的基本方法是解题的关键．
（1）①根据圆的定义、构造辅助圆，运用圆周角定理计算即可；②根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上、构造辅助圆，运用圆的性质计算即可；
（2）根据圆的定义、构造辅助圆，运用圆的性质计算即可解答；
（3）根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上、构造辅助圆，运用圆的性质、弧长公式计算即可．
【详解】解：（1）①∵，
∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，如图1，
∴．
故答案为：28．
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P在以（定弦）为直径的上，
如图2，连接交于点P，此时最小，
∵点O是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴最小值为4．
故答案为：90°，4．
（2）如图3，连接，
∵点B，点M关于直线对称，
∴，
∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点M在线段上时，有最小值，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：4；
（3）①结论：；理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图4，连接交于点O，
∵点P在运动中保持，
∴点P的运动路径是以为直径的圆的
∴点P的运动路径长为．
重难点三 由四边形对角互补确定隐圆
13．（21-22九年级上·山东德州·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝68°，则∠CAD的度数为 ．
【答案】22°
【分析】根据题意可知A、B、C、D四点共圆，由余角性质求出∠DBC的度数，再由同弧所对的圆周角相等，即为所求 ．
【详解】解：∵在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、B、C、D四点在同一个圆上,
∵∠ABC=90°，∠ABD=68°，
∴∠CBD=22°，
∴∠CAD=∠CBD=22°
故答案为：22°
【点睛】本题考查的是四点共圆、互为余角的概念和同圆中同弧所对的圆周角相等．
14．如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，A F⊥CD．

(1) 求证：A、E、C、F四点共圆；
(2) 设线段 BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM = ND
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）只要证明A、E、C、F四点所构成的四边形的对角互补，则该四点共圆；
（2）连接AC交BD于O，易得O是该圆的圆心，OM＝ON，所以可得BM＝ND．
【详解】（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∴A、E、C、F四点共圆；
（2）由（1）可知，圆的直径是AC，
连接AC交BD于O，
∵ABCD是平行四边形，
∴O为圆心，OB=OD，
∴OM=ON，
∴BM=ND.

【点睛】本题主要考查了四点共圆的判定及平行四边形的性质，难度不大，能够灵活运用所学知识进行推理是解题关键.．
15．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗
I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的个顶点共圆（图1、2）；
II．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的个顶点共圆（图3）；
III．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）．
【结论证明】（1）在图1、2中，取的中点，根据______得，即，，，共圆；
（2）在图3中，画经过点，，（图5）．假设点落在外，交于点，连接，可得___，与已知条件___得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论III同理可证．
【理解应用】利用四点共圆解决下述两个问题：
（3）证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点．求证：是的高．
（4）如图7，若二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，为第二象限上的点，在直线上，且；若为轴上方抛物线上的一动点，令点横坐标为，当为何值时，的面积最大，求出此时点坐标和最大面积．
【答案】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）；；（3）见解析；（4）时，有最大值为，此时
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明；
（2）根据结论II可得：，根据得出，根据三角形的外角大于与它不相邻的任一个内角得出，相互矛盾，即可证明点在上；
（3）以，，，四点作圆，以，，，四点作圆，连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，，推得，根据对顶角相等可得，根据三角形内角和定理得出，即可证明；
（4）连接，作中点，连接，过作轴交于，先求出点、、的坐标，根据勾股定理求出，根据中点坐标的公式求出点的坐标，根据等腰直角三角形的定义可推得，根据结论III可得，，，，共圆，即在的外接圆上，推得点为的外接圆圆心，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据待定系数法求出直线的解析式为，根据坐标系中两点间的距离公式列出方程，求出的值，得出点的坐标；根据待定系数法求出直线的解析式为，根据点的横坐标得出，，求出，根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：连接、，如图：
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，，
∴，
故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（2）解：假设点落在外，交于点，连接，
根据结论II可得：，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，相互矛盾，
故点在上；
故答案为：；．
（3）证明：以，，，四点作圆，以，，，四点作圆，连接，
∵，，，四点共圆，
∴，
∵以，，，四点共圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是的边上的高．
（4）解：连接，作中点，连接，过作轴交于，如图：
∵的图象与轴交于、两点，与轴交于点，
∴，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，，共圆，即在的外接圆上，
∵，
∴点为的外接圆圆心，
∴，
设直线为，将点和点的坐标代入得：，
解得：，
直线为，
设，，
解得：或（舍去），
∴，
设直线为，将点和点的坐标代入得：，
解得：，
直线为，
∵点横坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为，
此时．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形外角性质，圆与四边形的综合应用，待定系数法求一次函数的解析式，两点间的距离，中点坐标，二次函数的综合应用等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的点坐标、线段长度及三角形面积．
16．在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2），和中，．试证明A、B、C、D四点在同一圆上．
小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取中点M，连接，则有及，即，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，为半径得圆上，根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：
(1)如图2，在中，三条高、、相交于点H，若，则 ．
(2)如图3，已知是的直径，是的弦，G为的中点，于E，于F（E、F不重合），若，求证：．
【答案】(1)；
(2)详见解析
【分析】（1）由、、是的高，可知点E、H、D、B四点共圆，点E、H、D、C四点共圆，然后在每一个圆中运用圆周角定理进行角的转换即可求解；
（2）连接，根据垂径定理可知，结合，，可知C、E、O、G四点共圆，D、G、O、F四点共圆，然后在每一个圆中运用圆周角定理进行角的转换即可求解，最后证明是等边三角形即可；
【详解】（1）设与交于点，
、、是的高，
，，
点E、H、D、B四点共圆，点E、H、D、C四点共圆，
，
，
，
故答案为：52；
（2）证明：如图3，连接，
为的中点，
，，
，
C、E、O、G四点共圆，D、G、O、F四点共圆，
，
，
，
是等边三角形，
；
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及与三角形有关的角的计算；结合题意证明四点共圆并运用圆的相关知识解决问题是解题的关键．
17．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程：
已知：在四边形中，．
求证：过点可作一个圆．
证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆．如图1，若点在圆外，设与圆相交于点，连接，则______，而已知，所以，而是的外角，，出现矛盾，故假设不成立，因此点在过三点的圆上．
如图2，若点在圆内，（请同学们补充完成省略的部分证明过程）
因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．
学习任务：
(1)材料中划线部分的结论是______，依据是______；
(2)请将图2的证明过程补全；
(3)如图3，在四边形中，，，，则的大小为______
(4)如图4，已知正方形的边长为6，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线相交于点．当点从运动到时，点也随之运动，求经过的路径长．
【答案】(1)，圆内接四边形对角互补
(2)见解析；
(3)32
(4)点经过的路径为．
【分析】本题考查了对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，反证法，圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理．
（1）根据材料得出结论，依据圆内接四边形对角互补；
（2）同（1）利用反证法结合圆内接四边形对角互补证明即可；
（3）利用题中结论，结合直径的性质及等腰三角形的性质即可求解；
（4）连接连接，由勾股定理求出，由圆周角定理得出，点在上，当运动到点时，为的中点，即可求解．
【详解】（1）解：材料中划线部分的结论是：，
依据：圆内接四边形对角互补，
故答案为：，圆内接四边形对角互补；
（2）证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆，如图2，
若点在圆内，设延长与圆相交于点，连接，则，
∵，
∴，
∴是的外角，
∴，出现矛盾，故假设不成立，
∴点在过三点的圆上；
（3）解：∵，
∴过四边形的四个顶点能作一个圆，如图：
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：32；
（4）解：连接如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵四点共圆，
∴，
∴点在上，
当运动到点时，为的中点，
∴，
∴点经过的路径为．
18．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考
阅读下面的材料，并完成相应的任务．
探究四点共圆的条件我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 下面给出了一些圆内接四边形． 分别用量角器测量上面各四边形的内角，得出结论： ① 180°．（填“＞”“＜”或“＝”） ∵四边形内角和为， ∴ ② ．（填“＞”“＜”或“＝”） 如果四边形的四个顶点不在同一个圆上，那么与之间还有上面的关系吗？试结合下图中的两种情况进行证明． ……
任务：
(1)填空：①________，②________．（填“＞”“＜”或“＝”）
(2)请你在图4与图5中选择其中一个图，探究与180°之间的关系．
(3)如图6，点E在四边形ABCD的边AB的延长线上，，，，请在图6中作一个过A，B，D三点的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数．
【答案】(1)=，=
(2)图4：点C在圆的内部时，，证明见解析；图5：点C在圆的外部时，，证明见解析；
(3)作图见解析，
【分析】1）根据测量结果以及四边形的内角和解答即可；
（2）图4：点C在圆的内部时，如图：连接，然后三角形外角的性质可得，再结合可得，最后结合四边形内角和为即可解答；图5：点C在圆的外部时，同理可解；
（3）如图：连接，作、的垂直平分线，其交点O为圆心，然后画出圆即可完成作图；先说明，再说明A、B、C、D三点在上，再根据同圆中等弧所对的圆周角相等即可解答．
【详解】（1）解：经测量：；
∵，
∴．
故答案为：，．
（2）解：图4：点C在圆的内部时，，证明如下：
如图：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
图5：点C在圆的外部时，，证明如下：
如图：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图：即为所求；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵A，B，D三点在上，
∴A，B，C、D三点在上，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了四边形的内角和定理、圆的内接四边形、三角形外角的性质、圆周角定理、外接圆的作法等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
19．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证．
【验证猜想】
已知：四边形中，
求证：A、B、C、D四点共圆
证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内
若点C在外，如图1，设交于，连接，则．
四边形是的内接四边形，
．
，
与矛盾，故点C不可能在圆外；
若点C在圆内，
……
（1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明；
【深入探究】
得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究：
（2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）；
【结论应用】
应用以上结论，解决下列问题：
（3）如图4，在四边形中，，，则________；
（4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数；
【拓展延伸】
（5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）30；（4）；（5）
【分析】（1）由圆的内接四边形可得，即可求解；
（2）通过点A、B、C、E四点在同一个圆上，可得点C在点A、B、D所确定的上，即可求解；
（3）通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得；
（4）通过证明点A、、E、C四点共圆，可得，由三角形内角和定理可求解；
（5）通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得，当是直径时，有最大值，即四边形的周长有最大值，即可求解．
【详解】解：（1）若点C在内，如图，延长设交于，
连接，则．
四边形是的内接四边形，
，
，
与矛盾，故点C不可能在圆内，
∴点C在圆上，
∴点A、B、C、E四点在同一个圆上；
（2）如图，作经过点A、B、D的，
在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，，
则，
，
．
点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上，
点A、B、C、D四点共圆；
（3）∵，
∴点A，点B，点C，点D四点共圆，
∴，
故答案为：30；
（4）由对称可知，，
，
，
由（2）可知，点A、、E、C四点共圆．
，
中，，
；
（5）如图，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点A，点B，点C，点D四点共圆，
∴，弦最大值是直径长，
以为边在上方作等边三角形，连接，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴A，E，D三点共线，
∴，
∵四边形周长，
∴当是直径时，四边形的周长有最大值，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，圆内接四边形的性质，反证法，等边三角形的判定与性质等知识点．
重难点四 利用同侧等角建立隐圆
20．如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1856cm2，P为正方形内的一点，且∠OPB=45，连结PA、PB，若PA∶PB=3∶7，则PB= cm.
【答案】
【详解】如图，连接OA、OB，已知点O为正方形ABCD的对称中心，可得∠OAB=45°，再由∠OPB=45°，可得∠OPB=∠OAB=45°，因点A、P在OB的同侧，可判定A、B、P、O四点共圆，根据圆周角定理可得∠APB=∠AOB=90°．在Rt△APB中，根据勾股定理可得，设AP=3x，则BP=7x，所以 解得x=4cm．所以BP=4×7=28cm．
点睛：本题考查的知识点是四点共圆的判定定理及正方形的性质，先判定A、B、P、O四点共圆，再根据正方形的性质及勾股定理解答即可．
21．（2020九年级·云南昆明·学业考试）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC中点，∠CAD＝∠CBE，则AE＝（　　）．
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】B
【分析】如图，连接DE，由等腰直角三角形的性质可求∠C＝∠BAC＝45°，AC＝AB＝4，由∠CAD＝∠CBE，可证点A，点B，点D，点E四点共圆，可得∠ABD＝∠DEC＝90°，由等腰直角三角形的性质可求DE＝，即可求解．
【详解】如图，连接DE，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4
∴∠C＝∠BAC＝45°，AC＝AB＝4
∵D是BC中点
∴CD＝BC＝2
∵∠CAD＝∠CBE
∴点A，点B，点D，点E四点共圆
∴∠ABD＝∠DEC＝90°
∴∠C＝∠EDC＝45°
∴DE＝CE＝CD＝
∴AE＝AC﹣CE＝3
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形和圆的知识；求解的关键是熟练掌握等腰直角三角形和圆的性质，从而完成求解．
题型2 圆与图形变换问题
重难点一 圆的翻折
22．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，弦，将沿翻折，恰好与弦相切于点，若的半径是13，则切线长的值是（　　）
A．13.5 B．15 C．16.5 D．18
【答案】D
【分析】过点分别作，的垂线，，由，的半径是13，作根据垂径定理可以求出，再利用勾股定理可求得弦心距，再由轴对称（翻折）得到点关于的对称点是对应的圆心，，连接，由切线性质可得，，由三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，，，进而在中用勾股定理可求出，长，即可解决问题．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，则于，
由垂径定理的，
连接，
在中，，
，
过点作于，同理可得，，
将沿翻折，恰好与弦相切于点，
由翻折对称得，是对应的圆心，连接，
，，，
过点作于，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，，
（勾股定理），
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，切线的性质，轴对称和勾股定理，以及矩形的判定与性质，是一道几何综合性很强的试题．
23．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，点为圆上一点，，若将劣弧沿弦翻折交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．连接，根据直径所对的圆周角是直角求出和，根据翻折的性质，可知所对的圆周角为，所对的圆周角为，再根据，可得，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，
∴，
∵，
，
．
故选：A．
24．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，的半径为5，四边形是的内接四边形，（，位于圆心O的两侧），，，将，分别沿，翻折得到，，M为上点，过点M作交于点N，则的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，过点O作于P，交于Q，设弧所在的圆的圆心为，弧所在的圆的圆心为，连接，，，，，，，设交于J．想办法求出即可解决问题．
【详解】解：如图，过点O作于P，交于Q，设弧所在的圆的圆心为，弧所在的圆的圆心为，连接，，，，，，，设交于J．
∵，，
∴，，
∵，，
∴．
同法可得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
过点作交的延长线于T．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
根据对称性可知，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，垂径定理，翻折变换，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
25．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，为的内接三角形，，为边上的中线，将沿翻折后刚好经过点，若已知的半径为，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，过点作，交于，可得点为点的对应点，根据折叠点性质可得，根据圆内接四边形的性质及邻补角点定义可得，得出，过点作于，过点作于，连接、，根据垂径定理可得出的长，根据“三线合一”可得的长，即可得出四边形是正方形，可得、的长，利用勾股定理可求出的长，即可得出的长，利用勾股定理即可得答案．
【详解】解：如图，过点作，交于，过点作于，过点作于，连接、，
∵为边上的中线，，
∴，，
∴，
∵将沿翻折后刚好经过点，，交于，
∴点为点的对应点，，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查折叠的性质、垂径定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、正方形的判定与性质及勾股定理，根据圆内接四边形的性质及折叠性质得出是解题关键．
26．（21-22九年级上·云南保山·期末）如图，在长方形中，，E点是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在的直线翻折，得，则长的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查线段的最值问题，涉及隐圆，轴对称的性质，勾股定理等，找出点G的运动轨迹是解题的关键．
由轴对称的性质可得长度不变，因此点G在以点E为圆心，长为半径的圆上，进而可得当点G在线段上时，的长取最小值．
【详解】解：以点E为圆心，长度为半径作圆，连接，当点G在线段上时，的长取最小值，如图所示：
长方形中，，E点是的中点，
，，，
，
，
即长的最小值是，
故答案为：．
27．（2023·吉林长春·一模）如图，为直径，点C是上的一点，连接，以C为圆心，长为半径画圆弧，使点B在该圆弧上，再将分别沿向内翻折．若，则图中阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留π）
【答案】
【分析】本题考查了求不规则图形的面积，根据题意分析得出阴影部分图形的面积和为是解题的关键．依题意，，则是等腰直角三角形， 然后根据图中阴影部分图形的面积和为，即可求解．
【详解】解：∵，以为圆心，长为半径画圆弧，使点在该圆弧上，
∴，
∵为直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵
∴，
∴图中阴影部分图形的面积和为，
故答案为：．
28．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心、为半径作圆．从点出发，以每秒个单位的速度沿轴正半轴运动，运动时间为．连接，将沿翻折，得到．当 时，直线与相切；当 时，直线与相切．
【答案】 或
【分析】本题考查了切线的性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等；
（1）根据切线的性质以及折叠得出，进而根据等面积法得出的长，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解；
（2）当与相切时，分两种情况讨论，同（1）的方法，根据切线的性质以及勾股定理，即可求解，
【详解】解：（1）当与相切时，如图，
设切于点，连接，
将沿翻折，得到．
，
经过点，
，
即，
在中，，
故答案为：．
（2）当与相切时，如图，
设切于点，连接，交于，连接，
切于点，
，，
，
，
，，
，
将沿翻折，得到．
，
，，
，即，
，
在中，，解，
解得或舍去；
当的反向延长线与相切时，
设切于点，连接，交轴于，
，
，
，
，
，
，
，
，即
解得：
故答案为：或．
重难点二 圆的旋转
29．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
利用勾股定理求出，利用旋转的性质可得，进而求出和，再结合图形即可解答．
【详解】解：，
，
将绕点A逆时针旋转后得到，
，
，
．
故选：C．
30．（23-24九年级下·河南周口·开学考试）如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　）
A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次
【答案】C
【分析】本题考查直线与圆的位置关系．延长交于点，根据线段的和差关系求出，根据等边三角形的性质，得到，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可．
【详解】解：如图，延长交于点，
，
；
；
是等边三角形，为等边三角形的高，
，
又∵的 半径为1，
∴在旋转过程中，与边只有一个公共点的情况有 2次，与边有2次，与边有1次，即交点为点，共5次．如图：
故选 C．
31．（23-24九年级上·广东广州·期末）在中，，，，将绕所在直线旋转一周．所得几何体的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求圆锥的表面积．根据题意，得到上下两个底面相同的圆锥，勾股定理求出圆锥的底面圆的半径，求出两个圆锥的侧面积，求和即可．解题的关键是确定几何体的形状，掌握圆锥侧面积的计算方法．
【详解】解：∵，，，
∴，
将绕所在直线旋转一周，得到如图所示的上下两个底面相同的圆锥的组合体，
设，则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴组合体的表面积为：；
故选：B．
32．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，正方形中和中，，连接．若绕点A旋转，当最大时，（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】D
【分析】作，交的延长线于点，当为此圆的切线时，即时，最大，在中，，证明则根据三角形面积公式即可得到答案．
【详解】如图，作，交的延长线于点，
，当绕点A旋转时，点在以A为圆心，8为半径的圆上
当为此圆的切线时，即时，最大，
此时，在中，，
，
，
，
，
在和中
，
，
．
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、正方形的性质、切线性质、圆周角定理、勾股定理等知识，找到最大时的位置是解题的关键．
33．（2023·山东济南·一模）如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形的圆心C是的中点，且扇形绕着点C旋转，半径交于点G，半径交于点H，则图中阴影面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据扇形面积公式求出两扇形面积，再过C分别作于M，于N，连接，再证明，可证得白色部分的面积等于对角线为的正方形得面积，进而可求得阴影部分的面积．
【详解】∵两个直角扇形的半径长均为1，
∴两个扇形面积和为，
过C分别作于M，于N，连接，则四边形是矩形，
∵C是的中点，
∴，即平分，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴白色部分的面积等于对角线为的正方形的面积，
∴空白部分面积为，
∴阴影部分面积为，
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积公式、圆的有关性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记扇形面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质，求出空白部分面积是解答的关键．
34．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，经过的中点，点为上动点，过点作的垂线，垂足为．当点旋转一周时，点运动的路程为 ．
【答案】
【分析】此题重点考查切线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、弧长公式等知识，当与相切时，连接、，则，因为，是的中点，所以，则，所以，延长交于点，取的中点，连接，可证明，则，所以，可知当点从点运动到与相切时，点的运动路径为以为圆心、半径为且圆心角等于的圆弧，当点旋转一周时，点的运动路径为四段这样的圆弧，即可由弧长公式求得点运动的路程为，于是得到问题的答案．正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，当与相切时，连接、，则，
，
，
是的中点，
，
，
是等边三角形，
，
延长交于点，取的中点，连接，
于点，
，
，
，，
，
、分别为、的中点，
，
，
当点从点运动到与相切时，点的运动路径为以为圆心、半径为且圆心角等于的圆弧，
当点旋转一周时，点的运动路径为四段半径为且圆心角等于的圆弧，
点运动的路程为，
故答案为：．
35．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，，把绕点A逆时针旋转，得，点B，C旋转后的对应点为，，连接，若点P为线段的中点，则的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】
【分析】延长至点D，使，由勾股定理求出，，以点A为圆心，以为半径作，则点D在上运动，据此可求出的最大值和最小值．
【详解】解：如图，延长至点D，使，
∵，，，
∴．
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
以点A为圆心，以为半径作，则点D在上运动，
∵点P为线段的中点，，
∴．
当点D在处时，最小，此时取得最小值为；
当点D在处时，最大，此时取得最大值为；
故答案为：，．
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，三角形中位线，圆的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
重难点三 圆的覆盖
36．（2024·河北石家庄·二模）在数学综合实践课上，李老师拿出了如图所示的三个边长都为的正方形硬纸板，并提出问题：“若将这三个正方形硬纸板互不重叠平放在桌面上，用一个圆形纸片将其完全覆盖，怎样摆放才能使这个圆形纸片的直径最小呢？”全班同学经过讨论后，得出如图所示的三种方案，则下列说法正确的是（ ）
A．方案一中圆形纸片的直径最小，直径是
B．方案二中圆形纸片的直径最小，直径是 ．
C．方案二和方案三中圆形纸片的直径都最小，直径都是
D．方案一、方案二和方案三中圆形纸片的直径都不是最小的
【答案】D
【分析】此题考查正多边形与圆，分别求出三个方案中圆形纸片的直径，设计一个直径更小的情况可知选D，解答此题的关键是找出经过以各边顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答．
【详解】解：依题意得：方案一中圆形纸片的直径为 ；
方案二中圆形纸片的直径为 ；
方案三中圆形纸片的直径为 ．
按如图所示位置摆放，连接，，延长交于点P，则，P为中点，
设，则，则有：，
，
则 ，
此时圆形纸片的直径为 ．
而，
圆形纸片的最小直径为 ，
方案一、二、三中圆形纸片的直径都不是最小的．故选D．
37．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5．现用一个等边三角形纸片将其完全覆盖，当此等边三角形面积最小时，则它的外接圆半径是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的性质可知，等边三角形纸片的一边与B点所在的正方形水平方向的边重合，且等边三角形纸片的左侧的边过A点，据此画出图形，再根据勾股定理，正三角形的性质以及其外接圆的性质，作答即可．
【详解】如图，面积最小的等边三角形为，则等边的外接圆的半径为为等边中线的，设小正方形的边长为x，

根据图形的对称性有：，，，，，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∵在等边中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴等边中线长为：，
∵等边的外接圆的半径为为等边中线长的，
∴外接圆半径是，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，外接圆的性质，三角形外心的性质以及轴对称图形的性质等知识，正确的画出图形是解答本题的关键．
38．（22-23七年级下·福建龙岩·期中）如图，平面直角坐标系被一块圆形铁皮覆盖了一部分．下列有序实数对表示的点中，被这块圆形铁皮覆盖的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两点间距离公式分别求出该点到圆心的距离，与半径比较即可得到该点的位置，由此判断．
【详解】解：由题意得，圆的半径r满足，圆的圆心为原点，
A、距原点距离为，故该点在圆外；
B、距原点距离为，故该点在圆外；
C、距原点距离为，故该点在圆内；
D、距原点距离为，故该点在圆外；
故选：C．
【点睛】此题考查了两点之间的距离公式，点与圆的位置关系，正确理解点与圆的位置关系是解题的关键．
39．（2022·湖北武汉·一模）如图，在平面内，，两两外切，其中的半径为8，，的半径都为5．用一张半径为R的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则R的最小值为（ ）
A． B．10 C．13 D．15
【答案】A
【分析】当半径为R的圆形纸片与三个圆相切时，R的值最小，根据两圆相切的性质求解即可．
【详解】解：如图，当与三个已知圆相切时，R的值最小，
∵四个圆相切，的半径为8，，的半径都为5，的半径为R．
∴O1O2= O1O3=5+8=13，OO2= OO3=R-5，O1O=R-8，O2O3=5+5=10，
∴O1O⊥O2O3，设垂足为I，
∴IO2=5，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
故选： A．
【点睛】本题考查了相切圆的性质和勾股定理，解题关键是明确两圆相切时，圆心距与半径的关系，根据勾股定理列出方程．
40．（21-22九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O点逆时针旋转90°得矩形，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】线段BC、的垂直平分线的交点H即为最小覆盖圆的圆心，连接BH，BH即为圆的半径，根据勾股定理即可求解．
【详解】作线段BC、的垂直平分线MH、NH，两线的交点为H点，连接BH，如图，
∵MH、NH为线段BC、的垂直平分线，
∴BM=BC=，= =，
∴HM=-1=，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，找到最小覆盖圆是解答本题的关键．
41．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．若存在一个边长为4的正方形被两个半径为r的等圆所覆盖，此时r的最小值为 ；若存在一个边长为4的正方形被三个半径为r的等圆所覆盖，此时r的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】把正方形分成两个相等的矩形，分别以两个矩形的对角线的中点为圆心、对角线的一半为半径作圆，此时这两个矩形分别内接于两圆半径最小，再根据正方形和矩形的性质可得，，再由等腰三角形的性质得，再利用勾股定理求解即可；把正方形分成三个相等的矩形，分别以三个矩形的对角线的中点为圆心、对角线的一半为半径作圆，此时这三个矩形分别内接于两圆半径最小，再根据正方形的性质可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，正方形被、所覆盖，点E是的中点，过点M作于点F，
∵正方形的边长为4，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴，，
在中，，
∴r的最小值为，
如图，正方形被、、所覆盖，点G、M、H是、的三等分点，
∵正方形的边长为4，
∴，
在中，，
∴，
∴r的最小值为，
故答案为：；．
【点睛】本题考查正方形与圆、正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，利用圆的内接正方形进行计算求出半径的最小值是解题的关键．
42．（24-25九年级下·福建福州·期中）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
(1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的实际喷洒面积___________，实际喷洒覆盖率 ___________．
(2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为5m的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置．．．以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
(3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点，使得 ，设的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值．
【答案】(1)
(2)不能提高喷洒覆盖率，理由见解析
(3)y
【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解；
（2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解；
（3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积．
∴；
正方形草坪的面积．
故喷洒覆盖率．
（2）解：对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为．
因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接，
要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积．
∴都经过正方形的中心点，
在中，，，
∵
∴，
在中，
∴
∴
∴当时，取得最小值，此时
解得：．
【点睛】本题考查了正方形与圆，二次函数的应用，解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案．
43．（22-23九年级上·天津河西·期末）要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少为 ．
【答案】
【分析】该题的实质是求出正方形外接圆的半径，其半径就是正方形对角线的一半，故其选用的圆形铁片的最小半径为其内接正方形对角线的一半．
【详解】解：如图：四边形是正方形，是正方形的外接圆，，
∴，
又
∴
∴选用的圆形铁片的半径至少是
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质．正方形的外接圆圆心是其对角线的交点，正方形的两对角线互相垂直、平分．
重难点四 圆的截取
44．（2023·山西晋城·一模）如图，阴影部分是从一块直径为的圆形铁板中截出的一个工件示意图，其中是等边三角形，则阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】连接，，作于，求出等边三角形的内角，弓形的面积即可求出阴影的面积．
【详解】解：连接，，作于，
，是等边三角形，
，
，
，
，，
，
圆的直径是，
，
，
，
，
的面积，
扇形的面积，的面积，
弓形的面积扇形的面积的面积，
阴影的面积的面积弓形的面积，
故选：D．
【点睛】本题考查扇形的面积，三角形的面积，等边三角形的性质，关键是求出的面积，弓形的面积．
45．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在直角三角形材料中，，，，现用此材料裁出一个面积最大的半圆形模板，则该半圆形模板的半径是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了圆切线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形．
设半圆的圆心为O，圆O与相切于点D，与相切于点E，首先根据勾股定理求出，设，然后利用代数求解即可．
【详解】如图所示，设半圆的圆心为O，圆O与相切于点D，与相切于点E，
∵，，，
∴
∵，
∴，
设
∴
∴
解得．
∴该半圆形模板的半径是．
故选：C．
46．（2025·甘肃张掖·三模）问题提出
（1）如图1，在四边形中，，M为的中点，猜想与四边形的面积关系，并说明理由．
问题解决
（2）如图2，现有一块半径为的圆形材料，工人师傅需要在材料中裁剪出一个内接四边形．四边形需要满足，且面积最大．请探究四边形面积最大的实施方案，并求出面积的最大值．
【答案】（1），理由见解析；（2）
【分析】（1）延长，，交点为．证明，得出，即可得出，再结合，即可得证；
（2）取的中点，连接，，．结合（1）中结论可知，即当的面积最大时，四边形的面积最大．连接，，，，过点作于点，过点作于点．求出、的长，当，，三点共线时，，的面积最大，此时四边形为矩形，由此即可得解．
【详解】解：（1）．
理由：如图1，延长，，交点为．
，
∵，
．
为的中点，
．
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
，
∴．
（2）如图2，取的中点，连接，，．
，
，
，
，
为的中点，
结合（1）中结论可知，即当的面积最大时，四边形的面积最大．
连接，，，，过点作于点，过点作于点．
为的中点，
，
．
，
，
．
，
当，，三点共线时，，的面积最大，此时四边形为矩形．
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
题型3 圆的综合问题
重难点一 圆与四边形综合
47．（2023·广东佛山·一模）（1）如图1，的半径为1，，点P为上任意一点，则的最小值为 ；
（2）如图2，已知矩形，点E为上方一点，连接，作于点F，点P是的内心，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若矩形的边长，，，求此时的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据一点到圆上的距离可得当、、三点共线，且点在线段上时，有最小值，即可求解；
（2）根据点是的内心，得出，，根据三角形内角和定理即可求解；
（3）证明，结合（2）的结论，则，可得点P的运动轨迹是在上运动，且所含的圆周角为，作的外接圆，连接，，，过作，设的半径为，交的延长线于，根据圆周角定理得出，得出是等腰直角三角形，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】解：（1）当、、三点共线，且点在线段上时，有最小值，
的最小值为：；
故答案为：．
（2）∵，
∴，
∴，
∵点是的内心，
∴，，
∴，
∴；
（3）点是的内心，
，
，，
，
由（2）可得 ，
，
∴点P的运动轨迹是在上运动，且所含的圆周角为，如图，作的外接圆，连接，，，过作，交的延长线于，
设的半径为，则的最小值为：，
∵所含的圆周角为，
所对的圆心角为，
，
又，，
是等腰直角三角形，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，，
故的最小值为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，求一点到圆上的距离，三角形内心的性质，三角形外接圆，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．
48．（22-23九年级上·安徽·期末）已知是的直径，于点E，连接．
(1)如图1，延长交于点F，连接并延长交的延长线于点P，求证：；
(2)如图2，过点B作，垂足为点G，交于点H，连接，且点O和点A均在的左侧．若，，．
①求的半径；
②求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①2；②
【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据等角的余角相等得到，再根据圆内接四边形对角互补以及邻补角互补即可得出结论；
（2）①先根据直径所对的圆周角为，以及，得出，，从而证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论；②连接，根据等腰三角形的性质得出的度数，然后根据平行线的性质和三角形内角和定理得到的度数，最后根据同弧所对圆周角以及平行线的性质得出结论．
【详解】（1）证明：∵AC是直径，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如答图，连接，设和交于点M．
①∵AC是的直径，
∴．
∴．
又∵，
∴．
同理，
∴四边形DHBC是平行四边形．
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴．
∴的半径长是2．
②∵，
∴．
∵，
∴．
在中，．
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
49．（21-22九年级上·河北保定·期末）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”，如图1，四边形ABCD中，若，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形，根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半，根据以上信息回答：
(1)写出一种你所知道的特殊四边形中是“奇妙四边形”的图形名称______．
(2)如图2，已知四边形ABCD是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在⊙O上，若⊙O的半径为6，，求“奇妙四边形”ABCD的面积，
(3)如图3，已知四边形ABCD是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在⊙O上，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)正方形
(2)54
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据正方形的性质即可证明判断．
（2）如图2中，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，则BH＝DH．解直角三角形求出BD，再根据奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半计算即可．
（3）结论：．如图3中，连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E．证明△BOM≌△OAE（AAS）即可解决问题．
【详解】（1）∵正方形的两条对角线互相垂直且相等，
∴正方形是“奇妙四边形”，
故答案为：正方形
（2）如图2中，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，则BH＝DH．
∵∠BOD＝2∠BCD＝2×60°＝120°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝30°，
在Rt△OBH中，
∵∠OBH＝30°，
∴OHOB＝3，
∴BHOH＝3，
∵BD＝2BH＝6，
∴AC＝BD＝6
∴“奇妙四边形”ABCD的面积 AC BD＝54．
（3）结论：．
理由如下：如图3中，连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E．
∵OE⊥AD，
∴AE＝DE，
∵∠BOC＝2∠BAC，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形，
∴∠BOC＝2∠BOM，
∴∠BOM＝∠BAC，
同理可得∠AOE＝∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD＝90°，
∴∠BOM+∠AOE＝90°，
∵∠BOM+∠OBM＝90°，
∴∠OBM＝∠AOE，
在△BOM和△OAE中
∴△BOM≌△OAE（AAS），
∴OM＝AE，
∴AD＝2OM．
∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、30°角直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、“奇妙四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
50．（2020·湖南永州·一模）（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　°．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　 　．
【答案】（1）45；（2）∠BAC＝25°；（3）﹣1
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，
（3）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【详解】解：（1）如图1，
∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
故答案是：45；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°，
（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
重难点二 圆与三角形综合
51．（2023·吉林长春·中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．
【答案】感知：；探究：见解析；应用：．
【分析】感知：由圆周角定理即可求解；
探究：延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证；
应用：延长至点E，使，连结，通过证明得，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解．
【详解】感知：
由圆周角定理可得，
故答案为：；
探究：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
，
∴，，
，
是等边三角形，
，
，
即；
应用：
延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
，
，
∴，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换求解．
52．（20-21九年级上·湖北宜昌·期末）已知：是的外接圆，且，，D为上一动点．

(1)如图1，若点D是的中点，等于多少？
(2)过点B作直线的垂线，垂足为点E．
①如图2，若点D在上，求证：．
②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足时，求的最大值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）连接，根据可得，再根据圆周角定理进行求解即可；
（2）①过B作于点H，则，证明和即可求解；
②连接并延长交于点I，则点D在上，证明和即可求解；
【详解】（1）如图1中，连接．

∵，
∴，
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴．
（2）①过B作于点H，则．

又∵于点E，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵四边形是的内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
②连接并延长与交于点I，则点D在上．

如图：过B作于点H，
则，
又∵于点E，
∴，
∴，
又∵四边形是的内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当点D运动到点I时取得最大值，此时．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
53．（2021·山东德州·中考真题）已知为的外接圆，．
(1)如图1，延长至点，使，连接．
①求证：为直角三角形；
②若的半径为4，，求的值；
(2)如图2，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明．
【答案】(1)①见解析；②；
(2)，理由见解析
【分析】（1）①利用如果三角形中一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形可得出结论；
②连接OA，OD，利用垂径定理得到OD⊥AC且AH=CH，设DH=x，则OH=4-x，利用勾股定理列出方程求得DH的值，再利用三角形的中位线定理得到BC=2DH；
（2）猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC2=2QD2+QA2．延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，由已知可得∠DAC=∠DCA=45°；利用同弧所对的圆周角相等，得到∠DFA=∠E=∠DCA=45°，∠DFC=∠DAC=45°，由于△ADQ△与ADE关于AD对称，于是∠DQA=∠E=45°，则得△DQF为等腰直角三角形，△QFC为直角三角形；利用勾股定理可得：QC2=QF2+CF2，QF2=2DQ2；利用△QDA≌△FDC得到QA=FC，等量代换可得结论．
【详解】（1）①，，
．
∴∠B=∠DCB，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠B+∠BAC+∠DCB+∠DCA =180°，
∴∠DCB+∠DCA=90°．
为直角三角形；
②连接，，如图，
，
，
且．
的半径为4，
．
设，则，
，
，
．
解得：．
．
由①知：，
，
．
，
．
（2），，三者之间的数量关系为：．理由：
延长交于点，连接，，如图，
，，
．
，．
．
．
与关于对称，
，
，
．
．
．
即．
，
．
在和中，
，
．
．
．
【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方程的解法．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．
54．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读理解：
(1)【学习心得】
小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，是外一点，且，求的度数．
解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ．
②类型二，“定角+定弦”：如图，中，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
解：，
，
，（定角）
点在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程．
(2)【问题解决】
如图3，在矩形中，已知，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为 ．
(3)【问题拓展】
如图4，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点．
①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②点从点开始运动到点时，点也随之运动，请求出点的运动路径长．
【答案】(1)，
(2)2
(3)，
【分析】本题要考查的是圆的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等等，理解题意运用各种性质解题即可．
（1）①以点A(定点)为圆心， (定长) 为半径作辅助圆，得出是的圆心角，而是圆周角，即可求出答案； ②先判断出，进而判断出，进而判断出点P在上，即可求出答案；
（2）连接，，由，点B，点M关于直线对称，得出，进而推出点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，当点M在线段上时，有最小值；
（3）①由正方形性质可证可得，，由余角的性质可证②由题意可得点P的运动路径是以为直径的圆的，由弧长公式可求解．
【详解】（1）解：①∵
∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，如图1：
∴，
故答案为∶．
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P在以(定弦)为直的上，如图2，连接交于点P，此时最小，
∵点O是的中点，
∴，
在中，，，，
∴
∴，
∴最小值为2，
故答案为∶
（2）如图3，连接，，
∵点B，点M关于直线对称，
∴，
∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点M在线段上时，有最小值，
∵
∴，
∴的最小值为，
故答案为∶2
（3）①结论∶，，
理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
在和中，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴
②如图4，连接，交于点O，
∵点P在运动中保持，
∴点P的运动路径是以AD为直径的圆弧，
∴点P的运动路径长为 ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，弧长公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
重难点三 圆与函数综合问题
55．（20-21九年级上·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，若将点P沿x轴折叠得到点，再将点绕点R顺时针旋转得到，则称点是点P关于x轴-点R的折旋点．
例如：点关于x轴-点O的折旋点是点．
(1)如图1，点．
若点B是点A关于x轴-点的折旋点，则点B的坐标为___________；
若点是点A关于x轴-点E的折旋点，则点E的坐标为___________；
(2)如图2，的半径为2，若上存在点M，使得点是点M关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，求b的取值范围；
(3)是y轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据折旋点定义求解即可；
根据折旋点定义求解即可；
（2）设M点坐标为，根据（1）可知的坐标为，当直线与圆相切时，与y轴交点最高或最低，即可确定b的取值范围；
（3）确定点F的折旋点，再根据与圆相切求取值范围．
【详解】（1）解：如图所示，点关于x轴对称点F的坐标为，绕顺时针旋转得到点B，易证,，，B点坐标为，
故答案为：，
如图所示，E点是以为斜边的等腰直角三角形的直角顶点，
因此，E点坐标为，
故答案为：；
（2）解：设M点坐标为，根据（1）可知的坐标为，
点在直线上，
,即，
∴点M在直线上，
当直线与圆相切时，与y轴交点最高或最低，
如图所示，当M在第二象限时，连接，
，，，
同理，当M在第四象限时，，
所以，；

（3）解：由可知，由（1）可知，关于x轴－点的折旋点N坐标为，
∴点N关于x轴－点的折旋点在以为圆心，半径为2的圆上，
当圆在直线左侧与直线相切时，如图所示，由可知，，易得，，，
由三角函数得，，，
，
，

当圆在直线右侧与直线相切时，如图所示，同理可得，，,
，
，
．

【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系和一次函数综合，涉及到了三角函数、全等三角形、旋转等知识，解题关键是充分理解题意，准确把握已知条件，发现折旋点坐标变化规律．
56．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值；
(3)如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，切线的性质、勾股定理、正方形、三角形面积的计算等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键；
（1）利用待定系数法即可得出答案；
（2）连接、，过点P作，交BC于点D，求直线的解析式，设点P坐标为，则，得出，根据，运用三角函数的性质可得结论；
（3）设点P坐标为，则
设的半径为r．根据切线的性质得，然后根据的长为边长的正方形的面积与的面积相等，列式计算即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意，得，
∴，
∴；
（2）连接、，过点P作，交于点D．
由题意，可得点，设直线对应函数表达式为，则
∴，
∴
设点P坐标为，则，
则
当时，的最大值为8．
∴，
∴，
∴最大．
（3）设点P坐标为，则
设的半径为r．
∵与相切，切点为T．
∴
∵以的长为边长的正方形的面积与的面积相等
∴，
∴
∵，
∴，
∴的半径是常量．
57．（21-22九年级上·贵州安顺·期末）如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，点的坐标为，经过三点，且圆心在轴上．
(1)求的值．
(2)求的半径．
(3)过点作直线，交轴于点，当直线与抛物线只有一个交点时直线是否与相切？若相切，请证明；若不相切，请求出直线与的另外一个交点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)不相切，交点为
【分析】（1）将点代入抛物线解析式，利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）令，可得，求解即可确定点坐标，然后确定的半径即可；
（3）直线与抛物线只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，由可求出的值，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴的值为4；
（2）在中，
令，可得，
解得：，
∴，
∴，
∴的半径为；
（3）直线与相交．
在中，令，得，
∴，
设直线解析式为，将点代入，可得，
∴直线解析式为，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
整理，得，
∴，
解得，
∴直线解析式为，
设直线与的另外一个交点的坐标为，
∵，的半径为5，
则，
解得 （舍去）或，
将代入到，可得，
∴直线与的另外一个交点的坐标为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、一元二次方程的根的判别式、两点之间的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
58．（21-22九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作ADBC交抛物线于D，点E为直线AD上一动点，连接CP，CE，BP，BE，求四边形BPCE面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线CB方向平移个单位，M为平移后的抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）四边形BPCE的面积最大为，此时P（3，）；（3）存在，点N的坐标为N1（﹣3，﹣3），N2（﹣3，9），N3（9，﹣6），N4（9，6）
【分析】（1）把A（﹣2，0），B（6，0）两点坐标代入抛物线的解析式即可．
（2）由抛物线的解析式可得，C（0，3），由点B，点C的坐标可求得直线BC的解析式；如过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，设点P的坐标为（m，﹣m2+m+3），则Q（m，﹣m+3），其中0＜m＜6．PQ＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，根据S四边形BPCE＝S△BCE+S△BCP可表达出四边形BPCE的面积，再结合二次函数的性质可求出当m＝3时，四边形BPCE的面积最大为，此时P（3，）．
（3）抛物线沿射线CB方向平移个单位，等同于将该抛物线向右平移1个单位，向下移动个单位．则新抛物线的对称轴为：直线x＝3，设点M的坐标为（3，n），点N的坐标为（s，t），当BC为菱形的边时，①以点B为圆心，BC长为半径作圆，交直线x＝3于点M1，M2，此时BM1＝BM2＝BC＝3，可得，M1F＝M2F＝6，利用点的平移可得到点N1（﹣3，﹣3），N2（﹣3，9）；②以点C为圆心，BC长为半径作圆，交直线x＝3于点M3，M4，过点C作CG⊥y轴，交直线x＝3于点G，如图所示，此时CM3＝CM4＝BC＝3，GM3＝GM4＝＝6，由点的平移可知，N3（9，﹣6），N4（9，6）；当BC为菱形的对角线时，MN为另一对角线，BC垂直平分MN，此时BC的中点为（3，），则点M与BC的中点重合，此时不存在点N，不能构成菱形．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3．
（2）由抛物线的解析式可得，C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入点B，点C的坐标，得
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
如图，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，
设点P的坐标为（m，﹣m2+m+3），则Q（m，﹣m+3），其中0＜m＜6．
∴PQ＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，
∴S四边形BPCE＝S△BCE+S△BCP
＝S△BCA+S△BCP
＝×8×3+×（6﹣0）×（﹣m2+m）
＝﹣（m﹣3）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝3时，四边形BPCE的面积最大为，此时P（3，）．
（3）存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
∵（）2+12＝（）2，
∴抛物线沿射线CB方向平移个单位，等同于将该抛物线向右平移1个单位，向下移动个单位．
∵原抛物线的顶点坐标为（2，4），
∴新抛物线的顶点坐标为（3，），
∴新抛物线的对称轴为：直线x＝3，设对称轴与x轴交于点F；
设点M的坐标为（3，n），点N的坐标为（s，t），
当BC为菱形的边时，
①以点B为圆心，BC长为半径作圆，交直线x＝3于点M1，M2，如图所示，
此时BM1＝BM2＝BC＝3，
可得，M1F＝M2F＝6，
∴M1（3，﹣6），M2（3，6），
∵C（0，3），B（6，0），
∴点B向上平移3个单位长度，向左平移6个单位长度可得到点C，
∴点M1（3，﹣6）向上平移3个单位长度，向左平移6个单位长度可得到点N1（﹣3，﹣3），
同理可得，N2（﹣3，9）；
②以点C为圆心，BC长为半径作圆，交直线x＝3于点M3，M4，过点C作CG⊥y轴，交直线x＝3于点G，如图所示，
此时CM3＝CM4＝BC＝3，
∴GM3＝GM4＝＝6，
∴M3F＝3，M4F＝9，
∴M3（3，﹣3），M4（3，9），
由点的平移可知，N3（9，﹣6），N4（9，6）；
当BC为菱形的对角线时，MN为另一对角线，BC垂直平分MN，此时BC的中点为（3，），
则点M与BC的中点重合，此时不存在点N，不能构成菱形．
综上，点N的坐标为N1（﹣3，﹣3），N2（﹣3，9），N3（9，﹣6），N4（9，6）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
重难点四 圆与其它问题
59．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）大课间活动时，数学兴趣小组运用不同的方法探究校园内几个圆形花坛半径的大小，因受限于场地和工具，花坛半径不能直接测量，兴趣小组对不同花坛分别测量了一些数据（单位：米），根据所学知识计算花坛半径．相关花坛的图形及数据见下表，请完成下列问题．
名称 花坛Ⅰ 花坛Ⅱ 花坛Ⅲ 花坛Ⅳ
图形
条件 ， ，． ，， ，． ， ． ，， ，， 为正数．
说明：图中点都在圆上，在上，，垂足为．
(1)问题解决：
①花坛Ⅰ的半径为 米；（直接写出答案）
②计算花坛Ⅱ的半径；
③计算花坛Ⅲ的半径；
④请用含的代数式表示花坛的半径．
(2)问题拓展：
兴趣小组在活动中遇到下面问题：如图，在同一个圆上，是上一动点，经测量，，垂足为，，则面积最小值为 米．
【答案】(1)①；②；③；④
(2)
【分析】（1）①根据圆周角为所对的弦为直径，再根据勾股定理即可作答；
②根据垂径定理得米，根据勾股定理进行列式作答即可；
③如图，可设花坛半径为米，连接和，可证和均为等腰直角三角形，则得，根据垂径定理得米，米，由勾股定理得米；
④本题可构造网格（如图）得等腰直角三角形，则，所以，，则．根据勾股定理进行列式，求得米，即可作答．
（2）记该圆的圆心为点，连接，，，，且交于点，依题意，，即面积最小值，取最小值，因为，当点，，三点共线时，，此时半径最小，米，根据勾股定理进行列式，即可作答．
【详解】（1）解：①连接,
因为，
所以是直径，的中点为圆心，
故米，
所以半径为米；
故答案为：米；
②设半径为米，记圆心为，连接，，如图所示：
因为，，
所以，米，
在，，
即，
解得；
③延长交于点，连接，过点分别作，作，连接，，如图所示：
因为，米，
所以是等腰三角形，
因为，
所以，
因为，延长交于点，
所以，
则是等腰三角形，
所以米，
因为，，
所以四边形是矩形，，
则米，米，
因为米，
所以米，
则米；
④依题意，，米，米，米，为正数．
可构造网格（如图），过点作的延长线上，
根据小正方形网格（边长为）特征，
则米，
易得等腰直角三角形，如图：
即，
所以，
记该圆心为点，以劣弧所对的圆周角为，如图所示：
则，
则．
在中，，
解得米．
故半径为米；
（2）解：记该圆的圆心为点，连接，，，，且交于点，
因为，米，
所以，
要使面积最小值，
即取最小值，
因为，
所以，
则是等腰直角三角形，
所以，
设半径为米，
则，
当点，，三点共线时，即点与点重合，如图所示：
则，此时半径最小，
因为是等腰直角三角形，
则,
所以米，
那么，
所以，
解得，（舍去），
因为，
则米，
所以面积最小值为米，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆综合，涉及垂径定理、圆周角定理，内接四边形性质，勾股定理，三角形三边关系等，综合性强，难度大，要求学生具有较强的做辅助线的能力，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
60．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”，如图1，四边形中，若，，则称四边形为“奇妙四边形”，根据以上信息回答：
(1)写出一种你所知道的特殊四边形中是“奇妙四边形”的图形名称________；
(2)如图2，已知四边形是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在上，若的半径为6，，求的长；
(3)如图3，已知四边形是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在上，作于M，请猜测与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)正方形
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据正方形的对角线的性质判断即可；
（2）连接、，作于H，则．解直角三角形求出，据此即可得解；
（3）结论：．连接、、、，作于E，证明，根据全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：∵正方形的对角线互相垂直且相等，
∴正方形是“奇妙四边形”，
故答案为：正方形．
（2）解：连接、，作于H，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：，理由如下：
连接、、、，作于E，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵于M，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，“奇妙四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
61．（2022·贵州遵义·二模）如图，P是正方形ABCD中一动点，连接PA，PB，PC．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，当时，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为8，Q为BC上一点，，连加小编微信防失联，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher
加小编微信防失联，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher
圆的综合问题
题型1 四点共圆问题
判定方法1：如图1，若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（圆的定义）. 适用范围：题目出现共端点，等线段时，可利用圆的定义构造辅助圆. 判定方法2：如图2，同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆. 判定方法3：如图3，若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆. 判定方法4：如图4，共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆. 适用范围：双直角三角形共斜边模型. 图1 图2 图3 图4
重难点一 利用到定点距离等于定长建立辅助圆
1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，且，若，则 ， ．

3．（2021·四川攀枝花·中考真题）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
4．（河北省石家庄市2017届中考数学二模试卷）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 ．
5．（2022·广西柳州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 ．
6．（江苏省苏州市西安交通大学苏州附属初级中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．
(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；
(2)如图2，若=60° 时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形；
(3)当BC＝2时，连接CE，CD，设△CDE的面积为S．在旋转过程中，S是否存在最大值？若存在，请直接写出S的最大值；若不存在，请说明理由．
重难点二 由定角定线确定隐圆
7．（20-21九年级上·江西新余·阶段练习）如图，在中，，，，D是上一个动点，以为直径的圆O交于E，则线段的最小值是 ．
8．（21-22九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，正方形的边长为，点是边上一点，连接，过点作于点，连接并延长交于点，则的最大值是 ．
9．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中， 已知点， 点是轴上一个动点， 当时， 点的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
10．（2023九年级·江苏泰州·专题练习）在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，，分别是，上的格点，＝，＝．若点是这个网格图形中的格点，连接，，则所有满足＝的中，边的长的最大值是
11．（2022·广西·中考真题）已知，点A，B分别在射线上运动，．
(1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系 证明你的结论：
(2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
(3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大 请说明理由，并求出面积的最大值．
12．（河南省信阳市罗山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题）（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点+定长”．如图1，在中，，D是外一点，且， 求的度数．
解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（请你在图1上画圆），则点C，D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ．
②类型二，“定角+定弦”．如图2，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
解∶ ∵，
∴．
∵，
∴．
∴ ．（定角）
∴点P在以（定弦）为直径的上．易求得的最小值为 ．
（2）【问题解决】如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．
①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长．
重难点三 由四边形对角互补确定隐圆
13．（21-22九年级上·山东德州·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝68°，则∠CAD的度数为 ．
14．如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，A F⊥CD．

(1) 求证：A、E、C、F四点共圆；
(2) 设线段 BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM = ND
15．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗
I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的个顶点共圆（图1、2）；
II．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的个顶点共圆（图3）；
III．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）．
【结论证明】（1）在图1、2中，取的中点，根据______得，即，，，共圆；
（2）在图3中，画经过点，，（图5）．假设点落在外，交于点，连接，可得___，与已知条件___得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论III同理可证．
【理解应用】利用四点共圆解决下述两个问题：
（3）证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点．求证：是的高．
（4）如图7，若二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，为第二象限上的点，在直线上，且；若为轴上方抛物线上的一动点，令点横坐标为，当为何值时，的面积最大，求出此时点坐标和最大面积．
16．在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2），和中，．试证明A、B、C、D四点在同一圆上．
小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取中点M，连接，则有及，即，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，为半径得圆上，根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：
(1)如图2，在中，三条高、、相交于点H，若，则 ．
(2)如图3，已知是的直径，是的弦，G为的中点，于E，于F（E、F不重合），若，求证：．
17．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程：
已知：在四边形中，．
求证：过点可作一个圆．
证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆．如图1，若点在圆外，设与圆相交于点，连接，则______，而已知，所以，而是的外角，，出现矛盾，故假设不成立，因此点在过三点的圆上．
如图2，若点在圆内，（请同学们补充完成省略的部分证明过程）
因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．
学习任务：
(1)材料中划线部分的结论是______，依据是______；
(2)请将图2的证明过程补全；
(3)如图3，在四边形中，，，，则的大小为______
(4)如图4，已知正方形的边长为6，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线相交于点．当点从运动到时，点也随之运动，求经过的路径长．
18．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考
阅读下面的材料，并完成相应的任务．
探究四点共圆的条件我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 下面给出了一些圆内接四边形． 分别用量角器测量上面各四边形的内角，得出结论： ① 180°．（填“＞”“＜”或“＝”） ∵四边形内角和为， ∴ ② ．（填“＞”“＜”或“＝”） 如果四边形的四个顶点不在同一个圆上，那么与之间还有上面的关系吗？试结合下图中的两种情况进行证明． ……
任务：
(1)填空：①________，②________．（填“＞”“＜”或“＝”）
(2)请你在图4与图5中选择其中一个图，探究与180°之间的关系．
(3)如图6，点E在四边形ABCD的边AB的延长线上，，，，请在图6中作一个过A，B，D三点的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数．
19．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证．
【验证猜想】
已知：四边形中，
求证：A、B、C、D四点共圆
证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内
若点C在外，如图1，设交于，连接，则．
四边形是的内接四边形，
．
，
与矛盾，故点C不可能在圆外；
若点C在圆内，
……
（1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明；
【深入探究】
得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究：
（2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）；
【结论应用】
应用以上结论，解决下列问题：
（3）如图4，在四边形中，，，则________；
（4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数；
【拓展延伸】
（5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）．
重难点四 利用同侧等角建立隐圆
20．如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1856cm2，P为正方形内的一点，且∠OPB=45，连结PA、PB，若PA∶PB=3∶7，则PB= cm.
21．（2020九年级·云南昆明·学业考试）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC中点，∠CAD＝∠CBE，则AE＝（　　）．
A．4 B．3 C．2 D．
题型2 圆与图形变换问题
重难点一 圆的翻折
22．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，弦，将沿翻折，恰好与弦相切于点，若的半径是13，则切线长的值是（　　）
A．13.5 B．15 C．16.5 D．18
23．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，点为圆上一点，，若将劣弧沿弦翻折交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
24．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，的半径为5，四边形是的内接四边形，（，位于圆心O的两侧），，，将，分别沿，翻折得到，，M为上点，过点M作交于点N，则的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．
25．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，为的内接三角形，，为边上的中线，将沿翻折后刚好经过点，若已知的半径为，则的长是（ ）
A． B． C． D．
26．（21-22九年级上·云南保山·期末）如图，在长方形中，，E点是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在的直线翻折，得，则长的最小值是 ．
27．（2023·吉林长春·一模）如图，为直径，点C是上的一点，连接，以C为圆心，长为半径画圆弧，使点B在该圆弧上，再将分别沿向内翻折．若，则图中阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留π）
28．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心、为半径作圆．从点出发，以每秒个单位的速度沿轴正半轴运动，运动时间为．连接，将沿翻折，得到．当 时，直线与相切；当 时，直线与相切．
重难点二 圆的旋转
29．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）．
A． B． C． D．
30．（23-24九年级下·河南周口·开学考试）如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　）
A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次
31．（23-24九年级上·广东广州·期末）在中，，，，将绕所在直线旋转一周．所得几何体的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
32．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，正方形中和中，，连接．若绕点A旋转，当最大时，（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
33．（2023·山东济南·一模）如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形的圆心C是的中点，且扇形绕着点C旋转，半径交于点G，半径交于点H，则图中阴影面积等于（ ）
A． B． C． D．
34．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，经过的中点，点为上动点，过点作的垂线，垂足为．当点旋转一周时，点运动的路程为 ．
35．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，，把绕点A逆时针旋转，得，点B，C旋转后的对应点为，，连接，若点P为线段的中点，则的最大值为 ，最小值为 ．
重难点三 圆的覆盖
36．（2024·河北石家庄·二模）在数学综合实践课上，李老师拿出了如图所示的三个边长都为的正方形硬纸板，并提出问题：“若将这三个正方形硬纸板互不重叠平放在桌面上，用一个圆形纸片将其完全覆盖，怎样摆放才能使这个圆形纸片的直径最小呢？”全班同学经过讨论后，得出如图所示的三种方案，则下列说法正确的是（ ）
A．方案一中圆形纸片的直径最小，直径是
B．方案二中圆形纸片的直径最小，直径是 ．
C．方案二和方案三中圆形纸片的直径都最小，直径都是
D．方案一、方案二和方案三中圆形纸片的直径都不是最小的
37．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5．现用一个等边三角形纸片将其完全覆盖，当此等边三角形面积最小时，则它的外接圆半径是（　　）

A． B． C． D．
38．（22-23七年级下·福建龙岩·期中）如图，平面直角坐标系被一块圆形铁皮覆盖了一部分．下列有序实数对表示的点中，被这块圆形铁皮覆盖的是（ ）
A． B． C． D．
39．（2022·湖北武汉·一模）如图，在平面内，，两两外切，其中的半径为8，，的半径都为5．用一张半径为R的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则R的最小值为（ ）
A． B．10 C．13 D．15
40．（21-22九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O点逆时针旋转90°得矩形，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
41．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．若存在一个边长为4的正方形被两个半径为r的等圆所覆盖，此时r的最小值为 ；若存在一个边长为4的正方形被三个半径为r的等圆所覆盖，此时r的最小值为 ．
42．（24-25九年级下·福建福州·期中）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
(1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的实际喷洒面积___________，实际喷洒覆盖率 ___________．
(2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为5m的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置．．．以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
(3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点，使得 ，设的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值．
43．（22-23九年级上·天津河西·期末）要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少为 ．
重难点四 圆的截取
44．（2023·山西晋城·一模）如图，阴影部分是从一块直径为的圆形铁板中截出的一个工件示意图，其中是等边三角形，则阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
45．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在直角三角形材料中，，，，现用此材料裁出一个面积最大的半圆形模板，则该半圆形模板的半径是（ ）
A．2 B．3 C． D．
46．（2025·甘肃张掖·三模）问题提出
（1）如图1，在四边形中，，M为的中点，猜想与四边形的面积关系，并说明理由．
问题解决
（2）如图2，现有一块半径为的圆形材料，工人师傅需要在材料中裁剪出一个内接四边形．四边形需要满足，且面积最大．请探究四边形面积最大的实施方案，并求出面积的最大值．
题型3 圆的综合问题
重难点一 圆与四边形综合
47．（2023·广东佛山·一模）（1）如图1，的半径为1，，点P为上任意一点，则的最小值为 ；
（2）如图2，已知矩形，点E为上方一点，连接，作于点F，点P是的内心，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若矩形的边长，，，求此时的最小值．
48．（22-23九年级上·安徽·期末）已知是的直径，于点E，连接．
(1)如图1，延长交于点F，连接并延长交的延长线于点P，求证：；
(2)如图2，过点B作，垂足为点G，交于点H，连接，且点O和点A均在的左侧．若，，．
①求的半径；
②求的度数．
49．（21-22九年级上·河北保定·期末）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”，如图1，四边形ABCD中，若，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形，根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半，根据以上信息回答：
(1)写出一种你所知道的特殊四边形中是“奇妙四边形”的图形名称______．
(2)如图2，已知四边形ABCD是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在⊙O上，若⊙O的半径为6，，求“奇妙四边形”ABCD的面积，
(3)如图3，已知四边形ABCD是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在⊙O上，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
50．（2020·湖南永州·一模）（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　°．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　 　．
重难点二 圆与三角形综合
51．（2023·吉林长春·中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．
52．（20-21九年级上·湖北宜昌·期末）已知：是的外接圆，且，，D为上一动点．

(1)如图1，若点D是的中点，等于多少？
(2)过点B作直线的垂线，垂足为点E．
①如图2，若点D在上，求证：．
②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足时，求的最大值．
53．（2021·山东德州·中考真题）已知为的外接圆，．
(1)如图1，延长至点，使，连接．
①求证：为直角三角形；
②若的半径为4，，求的值；
(2)如图2，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明．
54．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读理解：
(1)【学习心得】
小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，是外一点，且，求的度数．
解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ．
②类型二，“定角+定弦”：如图，中，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
解：，
，
，（定角）
点在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程．
(2)【问题解决】
如图3，在矩形中，已知，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为 ．
(3)【问题拓展】
如图4，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点．
①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②点从点开始运动到点时，点也随之运动，请求出点的运动路径长．
重难点三 圆与函数综合问题
55．（20-21九年级上·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，若将点P沿x轴折叠得到点，再将点绕点R顺时针旋转得到，则称点是点P关于x轴-点R的折旋点．
例如：点关于x轴-点O的折旋点是点．
(1)如图1，点．
若点B是点A关于x轴-点的折旋点，则点B的坐标为___________；
若点是点A关于x轴-点E的折旋点，则点E的坐标为___________；
(2)如图2，的半径为2，若上存在点M，使得点是点M关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，求b的取值范围；
(3)是y轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，直接写出t的取值范围．
56．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值；
(3)如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量．
57．（21-22九年级上·贵州安顺·期末）如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，点的坐标为，经过三点，且圆心在轴上．
(1)求的值．
(2)求的半径．
(3)过点作直线，交轴于点，当直线与抛物线只有一个交点时直线是否与相切？若相切，请证明；若不相切，请求出直线与的另外一个交点的坐标．
58．（21-22九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作ADBC交抛物线于D，点E为直线AD上一动点，连接CP，CE，BP，BE，求四边形BPCE面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线CB方向平移个单位，M为平移后的抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
重难点四 圆与其它问题
59．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）大课间活动时，数学兴趣小组运用不同的方法探究校园内几个圆形花坛半径的大小，因受限于场地和工具，花坛半径不能直接测量，兴趣小组对不同花坛分别测量了一些数据（单位：米），根据所学知识计算花坛半径．相关花坛的图形及数据见下表，请完成下列问题．
名称 花坛Ⅰ 花坛Ⅱ 花坛Ⅲ 花坛Ⅳ
图形
条件 ， ，． ，， ，． ， ． ，， ，， 为正数．
说明：图中点都在圆上，在上，，垂足为．
(1)问题解决：
①花坛Ⅰ的半径为 米；（直接写出答案）
②计算花坛Ⅱ的半径；
③计算花坛Ⅲ的半径；
④请用含的代数式表示花坛的半径．
(2)问题拓展：
兴趣小组在活动中遇到下面问题：如图，在同一个圆上，是上一动点，经测量，，垂足为，，则面积最小值为 米．
60．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”，如图1，四边形中，若，，则称四边形为“奇妙四边形”，根据以上信息回答：
(1)写出一种你所知道的特殊四边形中是“奇妙四边形”的图形名称________；
(2)如图2，已知四边形是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在上，若的半径为6，，求的长；
(3)如图3，已知四边形是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在上，作于M，请猜测与的数量关系，并证明你的结论．
61．（2022·贵州遵义·二模）如图，P是正方形ABCD中一动点，连接PA，PB，PC．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，当时，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为8，Q为BC上一点，，连接AQ，PQ，求面积的最大值．
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