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第59课时　直线的方程
[考试要求]　1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
知识点1　直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
知识点2　直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l________的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是________．
知识点3　直线的斜率
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________．
(2)计算公式
①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝．
②若直线的方向向量的坐标为(x，y)，则k＝；直线的方向向量可以记为(1，k)．
知识点4　直线方程的五种形式
名称 几何条件 方程 适用条件
斜截式 纵截距、 斜率 ____________ 与x轴不垂直的直线
点斜式 过一点、 斜率 ____________
两点式 过两点 ____________ (x1≠x2，y1≠y2) 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 纵、横 截距 ____________ 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C ＝0(A2＋B2≠0) 所有直线
[常用结论]
1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
α 0≤α< ＜α＜π
k k≥0 不存在 k<0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论．”
2．特殊位置的直线方程
(1)x轴：y＝0；
(2)y轴：x＝0；
(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为y＝b；
(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为x＝a；
(5)过原点且斜率为k的直线方程为y＝kx．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量n＝(A，B)，一个方向向量v＝(－B，A)．
4．直线的方向向量v＝(m，n)(m≠0)，则直线的斜率k＝．
1．(北师大版选择性必修第一册P8练习T3)已知直线l的一个方向向量v＝(3，1)，则直线l的斜率为(　　)
A．－3 B．3
C．－ D．
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2．(人教A版选择性必修第一册P55练习T4改编)已知点A(2，0)，B(3，)，则直线AB的倾斜角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
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3．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T2改编)已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则实数x＝________．
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4．(苏教版选择性必修第一册P13练习T2)直线y＝k(x＋1)(k>0)可能是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
5．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T7)过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为______________．
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6．(湘教版选择性必修第一册P64习题2.1T5)如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1C．k3考点一　直线的倾斜角与斜率
[典例1]　(1)(多选)(2025·眉山三模)下列说法正确的是(　　)
A．直线x sin α＋y＋2＝0的倾斜角θ的取值范围是
B．若A(－2，12)，B(1，3)，C(4，m)三点在一条直线上，则m＝2
C．若直线l：x＋my＋1＝0的倾斜角为，则实数m的值为
D．直线l的方向向量为(－1，)，则该直线的斜率为－
(2)(2025·上海期末)已知过点(0，－2)的直线l与以点A(3，1)和B(－2，4)为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是 ________．
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[母题探究]
1．(变条件)若将本例(2)中条件改为“A(1，－2)，B(2，1)，过点P(0，－1)的直线l与线段AB有公共点”，求直线l的斜率k的取值范围．
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2．(变结论)若本例(2)中条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围．
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通性通法：直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．
考点二　直线的方程
[典例2]　(1)(多选)(2025·洛阳月考)下列四个选项中，正确的是(　　)
A．直线x－y＋3＝0在x轴上的截距为－3
B．过A(2，0)，B(0，3)两点的直线方程是＝1
C．两点式适用于垂直于x轴和y轴的直线
D．若直线l的倾斜角是直线y＝x－3的倾斜角的两倍，且直线l经过点(2，4)，则直线l的方程为x＝2
(2)(多选)(2025·随州月考)若直线l过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
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通性通法：求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
考点三　直线方程的应用
[典例3]　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
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(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
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思维建模：含参直线过定点模型
第1步　合并：含参项合并，其余项保留．
第2步　列方程组：根据含参项系数为零，其余项也为零，列方程组．
第3步　求解得点：解方程组，得定点的坐标．
1．(链接考点一)(2025·昌吉州期末)直线x－y＋1＝0的倾斜角为(　　)
A． B．
C． D．
2．(链接考点二)(2025·邯郸期末)已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝－x D．y＝－x
3．(链接考点三)“直线y＝(k－1)x＋2k＋1经过第一、二、四象限”是“－A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(链接考点二)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为________．
第59课时　直线的方程
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点2　(1)向上　(2)0°　(3){α|0°≤α<180°}
知识点3　(1)正切值　tan α
知识点4　y＝kx＋b　y－y0＝k(x－x0)　　＝1
链教材·夯基固本
1．D　[因为v＝(3，1)，故直线的斜率k＝．]
2．B　[由题意得直线AB的斜率k＝，设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝．
∵0°≤α<180°，∴α＝60°．故选B．]
3．－3　[因为A，B，C三点共线，
所以kAB＝kAC，
所以，所以x＝－3．]
4．B　[因为k>0，故A，C不正确；
当x＝－1时，y＝0，直线过点(－1，0)，故选B．]
5．3x－2y＝0或x＋y－5＝0　[当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＝1，则＝1，解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0．所以所求直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0．]
6．D　[由题图知，直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)ACD　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)　[(1)直线xsin α＋y＋2＝0的斜率k＝－sin α∈[－1，1]，所以其倾斜角的取值范围是∪，A正确；
由三点共线可得AB的斜率等于BC的斜率，即 m＝－6，B错误；
由－＝tan＝－，得m＝，C正确；
直线l的方向向量为(－1，)，则斜率k＝＝－，D正确．
故选ACD．
(2)设点P(0，－2)，依题意kPA＝＝1，kPB＝＝－，
因为直线l与线段AB有交点，设直线l的斜率为k，
由图知k≤－或k≥1，
由图可知直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．]
母题探究
1．解：如图，
∵A(1，－2)，B(2，1)，P(0，－1)，
∴kPA＝＝－1，kPB＝＝1，
则使直线l与线段AB有公共点的直线l的斜率k的取值范围是[－1，1]．
2．解：由题意可知直线l的倾斜角介于直线PA与PB的倾斜角之间．又直线PB的倾斜角是120°，直线PA的倾斜角是45°，
所以α的取值范围是45°≤α≤120°．
考点二
典例2　(1)ABD　(2)ABC　[(1)对于x－y＋3＝0，令y＝0，得x＝－3，所以直线在x轴上的截距为－3，A正确；
由直线的截距式方程可得，过点A(2，0)，B(0，3)可得直线方程为＝1，B正确；
两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线，C错误；
因为直线y＝x－3的斜率为1，
所以其倾斜角等于45°，于是直线l的倾斜角等于90°，则其斜率不存在，
又直线l过点(2，4)，所以直线l的方程为x＝2，D正确．故选ABD．
(2)当直线经过原点时，斜率k＝＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1，2)代入可得1－2＝k，或1＋2＝k，
求得k＝－1或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0，或x＋y－3＝0．
综上，所求的直线方程为 2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0．
故选ABC．]
考点三
典例3　(1)证明：直线l的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1)．
(2)解：由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，且过定点(－2，1)，
要使直线不经过第四象限，则
解得k>0．
当k＝0时，直线l的方程为y＝1，符合题意，
故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)解：由题意可知k≠0，再由直线l的方程，
得A，B(0，1＋2k)．
依题意得
解得k>0．
∵S＝|OA||OB|
＝|1＋2k|
＝×
≥×＝4，
等号成立的条件是k>0，且4k＝，
即k＝，
∴Smin＝4，
此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
随堂·对点检测
1．B　[设直线的倾斜角为α，
直线x－y＋1＝0的斜率为，
则tan α＝，
∵α∈[0，π)，
∴α＝．
故选B．]
2．D　[将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，
则直线l的倾斜角为，其斜率为－，
又直线过原点，
则直线l的方程为y＝－x．
故选D．]
3．C　[要使直线y＝(k－1)x＋2k＋1经过第一、二、四象限，
则解得－因此，“直线y＝(k－1)x＋2k＋1经过第一、二、四象限”是“－4.5x－2y－5＝0　[设C(x，y)，M(0，m)，N(n，0)，
则
解得x＝－5，y＝－3，m＝－，n＝1，即C(－5，－3)，M，N(1，0)，所以MN所在直线的方程为，即5x－2y－5＝0．]
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第八章　解析几何
第八章　解析几何
第59课时　直线的方程
[考试要求]　1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
理法先行·题练固本
知识点1　直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
知识点2　直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为___；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是____________________．
向上
0°
{α|0°≤α<180°}
知识点3　直线的斜率
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝______．
(2)计算公式
①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝．
②若直线的方向向量的坐标为(x，y)，则k＝；直线的方向向量可以记为(1，k)．
正切值
tan α
知识点4　直线方程的五种形式
名称 几何条件 方程 适用条件
斜截式 纵截距、 斜率 ________ 与x轴不垂直的直线
点斜式 过一点、 斜率 _________________
两点式 过两点 _________________ (x1≠x2，y1≠y2) 与两坐标轴均不垂直的直线
y＝kx＋b
y－y0＝k(x－x0)
名称 几何条件 方程 适用条件
截距式 纵、横 截距 ___________ 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C ＝0(A2＋B2≠0) 所有直线
＝1
[常用结论]
1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
α 0≤α< <α<π
k k≥0 不存在 k<0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论．”
2．特殊位置的直线方程
(1)x轴：y＝0；
(2)y轴：x＝0；
(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为y＝b；
(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为x＝a；
(5)过原点且斜率为k的直线方程为y＝kx．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量n＝(A，B)，一个方向向量v＝(－B，A)．
4．直线的方向向量v＝(m，n)(m≠0)，则直线的斜率k＝．
1．(北师大版选择性必修第一册P8练习T3)已知直线l的一个方向向量v＝(3，1)，则直线l的斜率为(　　)
A．－3 B．3
C．－ D．
√
D　[因为v＝(3，1)，故直线的斜率k＝．]
2．(人教A版选择性必修第一册P55练习T4改编)已知点A(2，0)，B(3，)，则直线AB的倾斜角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
√
B　[由题意得直线AB的斜率k＝，设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝．
∵0°≤α<180°，∴α＝60°．
故选B．]
3．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T2改编)已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则实数x＝______________．
－3　[因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，
所以，所以x＝－3．]
－3　
4．(苏教版选择性必修第一册P13练习T2)直线y＝k(x＋1)(k>0)可能是
(　　)
B　[因为k>0，故A，C不正确；
当x＝－1时，y＝0，直线过点(－1，0)，故选B．]
√
5．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T7)过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为__________________________．
3x－2y＝0或x＋y－5＝0　[当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＝1，则＝1，解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0．所以所求直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0．]
3x－2y＝0或x＋y－5＝0
6．(湘教版选择性必修第一册P64习题2.1T5)如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1C．k3√
D　[由题图知，直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0考点深研·题型突破
考点一　直线的倾斜角与斜率
[典例1]　(1)(多选)(2025·眉山三模)下列说法正确的是(　　)
A．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角θ的取值范围是
B．若A(－2，12)，B(1，3)，C(4，m)三点在一条直线上，则m＝2
C．若直线l：x＋my＋1＝0的倾斜角为，则实数m的值为
D．直线l的方向向量为(－1，)，则该直线的斜率为－
√
√
√
(2)(2025·上海期末)已知过点(0，－2)的直线l与以点A(3，1)和
B(－2，4)为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是 ______________________________．
(－∞，－]∪[1，＋∞)
(1)ACD　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)　[(1)直线xsin α＋y＋2＝0的斜率k＝－sin α∈[－1，1]，所以其倾斜角的取值范围是，A正确；
由三点共线可得AB的斜率等于BC的斜率，即 m＝－6，B错误；
由－＝tan＝－，得m＝，C正确；
直线l的方向向量为(－1，)，则斜率k＝＝－，D正确．故选ACD．
(2)设点P(0，－2)，
依题意kPA＝＝1，kPB＝＝－，
因为直线l与线段AB有交点，设直线l的斜率为k，由图知k≤－或k≥1，
由图可知直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．]
[母题探究]
1．(变条件)若将本例(2)中条件改为“A(1，－2)，B(2，1)，过点P(0，－1)的直线l与线段AB有公共点”，求直线l的斜率k的取值范围．
[解]　如图，
∵A(1，－2)，B(2，1)，P(0，－1)，
∴kPA＝＝－1，kPB＝＝1，
则使直线l与线段AB有公共点的直线l的斜率k的取值范围是[－1，1]．
2．(变结论)若本例(2)中条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围．
[解]　由题意可知直线l的倾斜角介于直线PA与PB的倾斜角之间．又直线PB的倾斜角是120°，直线PA的倾斜角是45°，
所以α的取值范围是45°≤α≤120°．
通性通法：直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分两种情况讨论．
考点二　直线的方程
[典例2]　(1)(多选)(2025·洛阳月考)下列四个选项中，正确的是
(　　)
A．直线x－y＋3＝0在x轴上的截距为－3
B．过A(2，0)，B(0，3)两点的直线方程是＝1
C．两点式适用于垂直于x轴和y轴的直线
D．若直线l的倾斜角是直线y＝x－3的倾斜角的两倍，且直线l经过点(2，4)，则直线l的方程为x＝2
√
√
√
(2)(多选)(2025·随州月考)若直线l过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
√
√
√
(1)ABD　(2)ABC　[(1)对于x－y＋3＝0，令y＝0，得x＝－3，所以直线在x轴上的截距为－3，
A正确；
由直线的截距式方程可得，过点A(2，0)，B(0，3)可得直线方程为＝1，B正确；
两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线，C错误；
因为直线y＝x－3的斜率为1，
所以其倾斜角等于45°，于是直线l的倾斜角等于90°，则其斜率不存在，
又直线l过点(2，4)，所以直线l的方程为x＝2，D正确．故选ABD．
(2)当直线经过原点时，斜率k＝＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1，2)代入可得1－2＝k，或1＋2＝k，
求得k＝－1或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0，或x＋y－3＝0．
综上，所求的直线方程为 2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0．
故选ABC．]
通性通法：求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
考点三　直线方程的应用
[典例3]　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
[解]　(1)证明：直线l的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1)．
(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，且过定点(－2，1)，
要使直线不经过第四象限，则
解得k>0．
当k＝0时，直线l的方程为y＝1，符合题意，
故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)由题意可知k≠0，再由直线l的方程，
得A，B(0，1＋2k)．
依题意得解得k>0．
∵S＝|OA||OB|＝|1＋2k|＝
≥＝4，
等号成立的条件是k>0，且4k＝，
即k＝，
∴Smin＝4，
此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
思维建模：含参直线过定点模型
第1步　合并：含参项合并，其余项保留．
第2步　列方程组：根据含参项系数为零，其余项也为零，列方程组．
第3步　求解得点：解方程组，得定点的坐标．
【教用·通性通法】
(1)直线过定点问题，将参数的“系数”化为0，解关于x，y的方程组可求定点．
(2)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
(3)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
【教用·备选题】
已知直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点．
(1)当|PA||PB|最小时，求l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．
[解]　依题意，l的斜率存在，且斜率为负．
设l：y－4＝k(x－1)(k<0)．
令y＝0，可得A；
令x＝0，可得B(0，4－k)．
(1)|PA||PB|＝＝－(1＋k2)＝－4≥8(注意k<0)．
当且仅当＝k且k<0，即k＝－1时，|PA|·|PB|取最小值．此时l的方程为x＋y－5＝0．
(2)|OA|＋|OB|＝＋(4－k)＝5－≥9，
当且仅当k＝且k<0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．此时l的方程为2x＋y－6＝0．
1．(链接考点一)(2025·昌吉州期末)直线x－y＋1＝0的倾斜角为(　　)
A． B．
C． D．
√
B　[设直线的倾斜角为α，
直线x－y＋1＝0的斜率为，
则tan α＝，∵α∈[0，π)，∴α＝．
故选B．]
2．(链接考点二)(2025·邯郸期末)已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝－x D．y＝－x
√
D　[将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，
则直线l的倾斜角为，其斜率为－，
又直线过原点，
则直线l的方程为y＝－x．
故选D．]
3．(链接考点三)“直线y＝(k－1)x＋2k＋1经过第一、二、四象限”是“－A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
C　[要使直线y＝(k－1)x＋2k＋1经过第一、二、四象限，
则解得－因此，“直线y＝(k－1)x＋2k＋1经过第一、二、四象限”是“－ 4．(链接考点二)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为__________________．
5x－2y－5＝0　
5x－2y－5＝0　[设C(x，y)，M(0，m)，N(n，0)，
则
解得x＝－5，y＝－3，m＝－，n＝1，即C(－5，－3)，M，N(1，0)，所以MN所在直线的方程为，即5x－2y－5＝0．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(2025·长沙期末)经过两点A(2，m)，B(－m，4)的直线l的倾斜角为135°，则m的值为(　　)
A．－2 B．1
C．3 D．4
课时作业(五十九)　直线的方程
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[经过两点A(2，m)，B(－m，4)的直线l的斜率k＝，
又直线l的倾斜角为135°，
所以＝tan 135°＝－1，
解得m＝1．
故选B．]
√
2．(人教A版选择性必修第一册P55练习T5改编)过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为 (－1，－1)，则y＝(　　)
A．－ B．
C．－1 D．1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[法一：由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)，得＝(－2，－3－y)，又直线AB的一个方向向量为 (－1，－1)，因此(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1，故选C．
法二：由直线的方向向量为(－1，－1)，得直线的斜率为＝1，所以＝1，解得y＝－1．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T10改编)若直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、四象限，则(　　)
A．AB>0且BC>0 B．AB>0且BC<0
C．AB<0且BC>0 D．AB<0且BC<0
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[由Ax＋By＋C＝0，整理得y＝－x－，由于该直线经过第一、二、四象限，
所以
故
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(2025·莆田仙游县期末)已知直线l的倾斜角为，且过点(1，3)，则它在y轴上的截距为(　　)
A．2 B．－2
C．4 D．－4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[根据题意，可得直线l的斜率k＝tan＝1，
结合直线l过点(1，3)，得l的方程为y－3＝x－1，即y＝x＋2，
当x＝0时，y＝2，直线l交y轴于点(0，2)，即直线l在y轴上的截距为2．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．(2025·眉山三模)两条直线l1：＝1和l2：＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
A　[两直线化为截距式分别为＝1，＝1．
选项A，B中，根据直线l1的图象可知，a<0，－b<0，
∴b>0，－a>0，即直线l2在x轴、y轴上的截距都大于零，
故选项A正确，B错误；
对于选项C，根据直线l1的图象可知，a<0，－b>0，
∴b<0，－a>0，即直线l2在x轴上的截距小于零，在y轴上的截距大于零，故选项C错误；
对于选项D，根据直线l1的图象可知，a>0，－b<0，
∴b>0，－a<0，即直线l2在x轴上的截距大于零，在y轴上的截距小于零，故选项D错误．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．已知直线l的斜率小于0，且l经过点P(6，8)，并与坐标轴交于A，B两点，C(4，0)，当△ABC的面积取得最小值时，直线l的斜率为
(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[由题意可设直线l：y－8＝k(x－6)(k<0)，即y＝kx＋8－6k(k<0)．
不妨假设A在x轴上，则A，B(0，8－6k)，易知A在C右侧，
记O为坐标原点，因为线段OA与OB的长度分别为6－，8－6k，
所以△ABC的面积S＝(8－6k)＝ (64＋2)＝32＋16，
当且仅当－＝－12k(k<0)，即k＝－时，等号成立．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．下列四个结论中正确的是(　　)
A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线
B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
BC　[A不正确，方程k＝不含点(－1，2)；B正确；C正确；D只有斜率k存在时成立．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(2025·南京期末)下列说法正确的是(　　)
A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x＋y＝a(a∈R)表示
B．方程mx＋y－2＝0(m∈R)表示的直线斜率一定存在
C．直线2xcos α－y－3＝0
D．经过两点P(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线方程为y－y1＝(x－x1)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
BCD　[当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，如y＝2x，不能用方程x＋y＝a(a∈R)表示，故A错误；
方程mx＋y－2＝0(m∈R)表示的直线斜率一定存在，为k＝－m，故B正确；
由α∈≤cos α≤，
所以k＝2cos α∈[1，]，
设直线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，
则tan θ∈[1，]，所以θ∈，故C正确；
经过两点P(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝，
由直线方程的点斜式可得，直线方程为y－y1＝(x－x1)，故D正确．
故选BCD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
9．(2025·武汉质检)下列说法正确的是(　　)
A．直线y＝ax－2a＋3(a∈R)必过定点(2，3)
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l：mx＋y－m－1＝0与线段AB相交，则实数m的取值范围是
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
AB　[直线y＝ax－2a＋3＝a(x－2)＋3过定点(2，3)，A正确；
当m＝0时，直线方程为x＝2，B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tan θ(x－1)表示，C错误；
直线l：mx＋y－m－1＝0，即m(x－1)＋y－1＝0过定点C(1，1)，画出图象
如图所示，其中kAC＝＝－4，kBC＝，直线l
的斜率为－m，所以－m≥或－m≤－4，解得m≥4或m
≤－，D错误．
故选AB．]
三、填空题
10．(2025·上海宝山区期末)直线y＝x－2 026的倾斜角的大小为 ______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
　[直线y＝x－2 026的斜率为，
设其倾斜角大小为α，则tan α＝，
因为α∈[0，π)，则α＝．]
　
11．(人教B版选择性必修第一册P89练习AT2改编)已知点(a，－2)，(－1，b)确定的直线方程是y＝－3x＋1，则当x>0时，＋bx的最小值是______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4　[由条件知－2＝－3a＋1，b＝－3×(－1)＋1，
分别解得a＝1，b＝4，∴＋bx＝＋4x≥2＝4，
当且仅当＝4x，即x＝时，等号成立，
∴＋4x的最小值是4．]
4　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T7改编)经过点P(1，9)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______________________．
9x－y＝0或x＋y－10＝0　[当直线在两坐标轴上的截距为0时，直线方程为9x－y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＝1，则＝1，解得a＝10，所以直线方程为x＋y－10＝0．]
9x－y＝0或x＋y－10＝0
谢谢！课时作业(五十九)　直线的方程
一、单项选择题
1．(2025·长沙期末)经过两点A(2，m)，B(－m，4)的直线l的倾斜角为135°，则m的值为(　　)
A．－2 B．1
C．3 D．4
2．(人教A版选择性必修第一册P55练习T5改编)过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为 (－1，－1)，则y＝(　　)
A．－ B．
C．－1 D．1
3．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T10改编)若直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、四象限，则(　　)
A．AB＞0且BC＞0 B．AB＞0且BC＜0
C．AB＜0且BC＞0 D．AB＜0且BC＜0
4．(2025·莆田仙游县期末)已知直线l的倾斜角为，且过点(1，3)，则它在y轴上的截距为(　　)
A．2 B．－2
C．4 D．－4
5．(2025·眉山三模)两条直线l1：＝1和l2：＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)
　　
　　　　　A　　　　　　　B　　　 　　　　C　　　　　　　　D
6．已知直线l的斜率小于0，且l经过点P(6，8)，并与坐标轴交于A，B两点，C(4，0)，当△ABC的面积取得最小值时，直线l的斜率为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
二、多项选择题
7．下列四个结论中正确的是(　　)
A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线
B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程
8．(2025·南京期末)下列说法正确的是(　　)
A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x＋y＝a(a∈R)表示
B．方程mx＋y－2＝0(m∈R)表示的直线斜率一定存在
C．直线2x cos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是
D．经过两点P(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线方程为y－y1＝(x－x1)
9．(2025·武汉质检)下列说法正确的是(　　)
A．直线y＝ax－2a＋3(a∈R)必过定点(2，3)
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l：mx＋y－m－1＝0与线段AB相交，则实数m的取值范围是
三、填空题
10．(2025·上海宝山区期末)直线y＝x－2 026的倾斜角的大小为 ________．
11．(人教B版选择性必修第一册P89练习AT2改编)已知点(a，－2)，(－1，b)确定的直线方程是y＝－3x＋1，则当x>0时，＋bx的最小值是________．
12．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T7改编)经过点P(1，9)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
课时作业(五十九)
1．B　[经过两点A(2，m)，B(－m，4)的直线l的斜率k＝，
又直线l的倾斜角为135°，
所以＝tan 135°＝－1，解得m＝1．
故选B．]
2．C　[法一：由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)，得＝(－2，－3－y)，又直线AB的一个方向向量为 (－1，－1)，因此(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1，故选C．
法二：由直线的方向向量为(－1，－1)，得直线的斜率为＝1，所以＝1，解得y＝－1．故选C．]
3．B　[由Ax＋By＋C＝0，整理得y＝－x－，由于该直线经过第一、二、四象限，
所以
故选B．]
4．A　[根据题意，可得直线l的斜率k＝tan＝1，
结合直线l过点(1，3)，得l的方程为y－3＝x－1，即y＝x＋2，
当x＝0时，y＝2，直线l交y轴于点(0，2)，即直线l在y轴上的截距为2．
故选A．]
5．A　[两直线化为截距式分别为＝1，＝1．
选项A，B中，根据直线l1的图象可知，a<0，－b<0，
∴b>0，－a>0，即直线l2在x轴、y轴上的截距都大于零，
故选项A正确，B错误；
对于选项C，根据直线l1的图象可知，a<0，－b>0，
∴b<0，－a>0，即直线l2在x轴上的截距小于零，在y轴上的截距大于零，故选项C错误；
对于选项D，根据直线l1的图象可知，a>0，－b<0，
∴b>0，－a<0，即直线l2在x轴上的截距大于零，在y轴上的截距小于零，故选项D错误．
故选A．]
6．C　[由题意可设直线l：y－8＝k(x－6)(k<0)，即y＝kx＋8－6k(k<0)．
不妨假设A在x轴上，则A，B(0，8－6k)，易知A在C右侧，
记O为坐标原点，因为线段OA与OB的长度分别为6－，8－6k，
所以△ABC的面积S＝(8－6k)＝(64＋2)＝32＋16，
当且仅当－＝－12k(k<0)，
即k＝－时，等号成立．]
7．BC　[A不正确，方程k＝不含点(－1，2)；B正确；C正确；D只有斜率k存在时成立．]
8．BCD　[当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，如y＝2x，不能用方程x＋y＝a(a∈R)表示，故A错误；
方程mx＋y－2＝0(m∈R)表示的直线斜率一定存在，为k＝－m，故B正确；
由α∈≤cos α≤，
所以k＝2cos α∈[1，]，
设直线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，
则tan θ∈[1，]，所以θ∈，故C正确；
经过两点P(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝，
由直线方程的点斜式可得，直线方程为y－y1＝(x－x1)，故D正确．
故选BCD．]
9．AB　[直线y＝ax－2a＋3＝a(x－2)＋3过定点(2，3)，A正确；
当m＝0时，直线方程为x＝2，B正确；
若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tan θ(x－1)表示，C错误；
直线l：mx＋y－m－1＝0，即m(x－1)＋y－1＝0过定点C(1，1)，画出图象如图所示，其中kAC＝＝－4，kBC＝，直线l的斜率为－m，所以－m≥或－m≤－4，解得m≥4或m≤－，D错误．故选AB．]
10．　[直线y＝x－2 026的斜率为，
设其倾斜角大小为α，
则tan α＝，
因为α∈[0，π)，则α＝．]
11.4　[由条件知－2＝－3a＋1，b＝－3×(－1)＋1，
分别解得a＝1，b＝4，∴＋bx＝＋4x≥2＝4，
当且仅当＝4x，即x＝时，等号成立，
∴＋4x的最小值是4．]
12.9x－y＝0或x＋y－10＝0　[当直线在两坐标轴上的截距为0时，直线方程为9x－y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＝1，则＝1，解得a＝10，所以直线方程为x＋y－10＝0．]
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