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江苏省常州市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足，其中为虚数单位，则对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（　　）
A． B． C． D．
3．某校义工社团共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取16人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（　　）
A．3 B．5 C．6 D．10
4．已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．若将一个表面积为的铁球熔铸成一个高为9cm的实心圆锥（熔铸过程中损耗忽略不计），则该圆锥的底面半径为（　　）
A．2cm B． C．3cm D．
6．在中，角，，的对边分别为，，，为的面积.若，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长相等，记异面直线与所成角为，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成的二面角为，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（　　）
A． B．4 C． D．5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数.若连续抛掷两次，则（　　）
A．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”为互斥事件
B．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件
C．事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”互为对立事件
D．事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立
10．在中，，则下列不等式中一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，点为下底面圆周上一点，为上底面圆周上一点，则（　　）
A．该圆台的体积为
B．该圆台的内切球的半径为
C．直线与直线所成角的最大值为
D．直线与平面所成角的正切值最大为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若，其中为虚数单位，则复数的模为　 　.
13．若，则的值为　 　.
14．若正方体的棱长为1，则以为球心，为半径的球面与底面的交线长为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知四边形是平行四边形，且，，.
（1）求点的坐标；
（2）求平行四边形的面积.
16．在地平面上有一竖直的旗杆（在地平面上），为了测得它的高度，在地平面上取一基线，测得其长为20m.在处测得点的仰角为30°，在处测得点的仰角为45°，又测得.
（1）求旗杆的高度；
（2）求点到平面的距离.
17．某校为了了解高一新生的体质健康状况，在开学初进行了一次体质测试，共800人参加本次测试，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）试估计本次测试的平均成绩（用各组区间中点的数值即“组中值”近似的表示每组的成绩）；
（3）立定跳远项目每人有2次测试机会，若第一跳满分，则不再进行第二跳.假设小明同学每一跳获得满分的概率均为0.8，求本次测试中，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率.
18．在等腰直角三角形中，斜边，点，均在线段上（不含端点），且.
（1）若，求的长；
（2）求的面积的最小值.
19．如图1，在直角梯形中，，，，A是的中点.现沿把折起，使得（如图2所示），，分别为，的中点，是线段上一点.
（1）求证：平面平面；
（2）若是线段的中点，求与平面所成的角；
（3）若平面，求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，复数对应的点为，位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】利用复数乘除法运算法则，从而求出复数，再根据复数的几何意义确定复数z对应的点的坐标，从而得出对应点所在的象限.
2．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】由两角差的正弦公式的逆用，从而化简求值.
3．【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：女生应抽取的人数是.
故答案为：C.
【分析】由已知条件和分层抽样的方法，从而得出女生应抽取的人数.
4．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：如图，在正方体中：
因为平面，平面，且与为异面直线，故A错误；
因为平面，，
但平面，而非平面，故B错误；
因为平面，平面平面，
但平面，而非平面，故C错误；
若，，则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用正方体的结构特征和线线平行的判断方法、线面平行的判定定理、线面垂直单调判定定理、面面垂直的判定定理，从而逐项判断找出正确的命题.
5．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设该圆锥的底面半径为，铁球的半径为，
则，
解得，
所以，
解得.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和球的表面积公式，从而求出铁球的半径，再结合等体积法和圆锥的体积公式，从而得出该圆锥的底面的半径.
6．【答案】D
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
若，
则，
又因为，所以，则.
故答案为：D.
【分析】由已知条件和三角形的面积公式以及余弦定理、三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
7．【答案】A
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：如图：
不妨设，取和的交点为，中点，连接，，，
则，，.
因为，所以为异面直线与所成的角为，
则，所以，
又因为平面，
所以为直线与底面所成的角，
则，所以，
因为，，
所以为侧面与底面所成的二面角，
则，
又因为，且在上单调递减，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据正四棱锥结构特征和已知条件，再利用异面直线所成角的定义、线面角的定义和二面角的平面角的定义，从而构造出，，，进而求出它们的三角函数，再利用三角函数的单调性，从而比较出，，的大小.
8．【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意：则，.
因为.
又因为，
当时，取“”，
因为，
所以，
则.
故答案为：C
【分析】根据已知条件和数量积的定义以及数量积的运算律，从而得出，则把问题转化为求的最小值，再转化为求的值，再利用数量积的运算法则和余弦函数求值域的方法，从而得出的最大值.
9．【答案】B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：对于A，因为“至少有一次点数为偶数”包含恰有一次点数为偶数和恰有两次点数为偶数，
所以，事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”可能同时发生，
则事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”不为互斥事件，故A错误；
对于B，因为“至少有一次点数为奇数” 包含恰有一次点数为奇数和恰有两次点数为奇数，
所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”不会同时发生，
又因为在一次实验中“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”必然有一个事件会发生，
所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件，故B正确；
对于C，因为事件“两次点数之和等于6”发生时，
事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”均不会发生，
所以事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”不互为对立事件，故C错误；
对于D，因为连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次共有种不同的结果，
记“第一次点数为偶数” 为事件，则事件包含种结果，
所以，
记“第二次点数为奇数”为事件，则事件包含种结果，
所以，
又因为事件同时发生包含种不同的结果，
所以，
则事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件和互斥事件、对立事件、独立事件的定义，再利用古典概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦定理的应用；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：对于A，在中，，
由正弦定理，得，故A正确；
对于B，显然，因此，故B正确；
对于C，取，满足，
因为，故C错误；
对于D，由选项A知，，
则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用边角关系合正弦定理，则判断出选项A；利用余弦函数的单调性，则判断出选项B；举例判断选项C；利用二倍角的余弦公式结合选项A，则判断出选项D，从而找出不等式一定正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的最大（小）值；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线所成的角；直线与平面所成的角；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，因为圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，
所以，故选项A正确；
对于B，设上底面半径为，下底面半径为，
若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，
如图（1）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，高为，
易得等腰梯形的腰为，
假设等腰梯形有内切圆，则腰长，
所以，梯形存在内切圆，
则圆台存在内切球，且内切球的半径为，故选项B正确；
对于C，如图（2），过作垂直于下底面于点，
则，
所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，则为所求，
又因为，
由圆的性质，得：，
所以，
因为，故选项C错误；
对于D选项，如图（3），平面即平面，过点做交于点，
因为垂直于下底面，而在底面内，所以，
又因为，且平面，所以平面，
则直线与平面所成角即为，且．
设，则，
所以，
则，
当时，，
当时，则，
因为函数在上单调递增，
则当时，有最大值，最大值为，故选项D正确．
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件和圆台的体积公式，则判断出选项A；利用圆台的轴截面结合等腰梯形中存在内切圆的判定方法，则判断出选项B；根据异面直线夹角的定义作图，再利用正切函数的定义和圆的性质，从而得出直线与直线所成角的最大值，则判断出选项C； 根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，
可得，
所以.
故答案为：.
【分析】利用复数的除法运算法则求得复数，再利用复数求模公式，从而得出复数z的模.
13．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以
.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和诱导公式，从而可得，再结合二倍角的余弦公式， 而得出的值.
14．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：在正方体中，平面，
所以平面与球的截面是以为圆心的圆，且半径为，
则球面与底面的交线为以为圆心，为半径的圆与正方形相交的一段弧，
所以，该交线长为.
故答案为：.
【分析】由题意结合勾股定理，从而可得球面与底面的交线为以为圆心，为半径的圆与正方形相交的一段弧，再利用弧长公式得出以为球心，为半径的球面与底面的交线长.
15．【答案】（1）解：设点D的坐标为．
由题意，得，．
因为，
所以，
解得，
所以点D的坐标为．
（2）解：由，，
得，，，
则，
所以，
则平行四边形的面积为：
.
【知识点】相等向量与相反向量；数量积表示两个向量的夹角；同角三角函数间的基本关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）设点D的坐标为，利用平行四边形的性质，则，再根据向量的坐标表示建立方程组，解方程组得出x，y的值，从而得出点D的坐标.
（2）根据题意结合数量积求向量夹角的坐标表示，从而求出的夹角余弦值，再利用同角三角函数基本关系式得到的正弦值，再根据三角形的面积公式计算即可.
（1）设点D的坐标为．
由题意得，．
因为，所以，解得，
所以点D的坐标为．
（2）由，，
则，，，
则，
所以，
则平行四边形的面积为
.
16．【答案】（1）解：由题意，则，
又因为，，
由余弦定理，得，
则，解得.
（2）解：如图所示，过点作于点，
由题意，则平面，
因为平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
则所求为线段的长度，
由（1）可知，，
所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意和余弦定理，从而得出旗杆的高度的值.
（2）过点作于点，根据线线垂直得出线面垂直，从而得出所求为线段的长度，再由（1）得出AO的长，则根据正弦函数定义得出AC说明所求为线段的长度，从而得出点到平面的距离.
（1）由题意，而，，
所以由余弦定理有，即，解得；
（2）如图所示，过点作于点，
由题意平面，又平面，所以，
又因为，平面，
所以平面，
故所求为线段的长度，
由（1）可知，
所以.
17．【答案】（1）解：根据频率分布直方图，
可得，
解得.
（2）解：设本次测试的平均成绩为，
则根据频率分布直方图，
可得
则本次测试的平均成绩为.
（3）解：设小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为，
则，
所以，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和频率分布直方图中各小组的频率等于各小组矩形的面积，再利用频率之和等于1，从而得出实数a的值.
（2）由频率分布直方图求平均数公式，从而估计出本次测试的平均成绩.
（3） 小明在立定跳远项目最终获得满分的概率包括第一次满分和第一次没有满分但第二次满分两种情况，根据概率计算即可..
（1）根据频率分布直方图，可得，
解得；
（2）设本次测试的平均成绩为，则根据频率分布直方图，可得
，
即本次测试的平均成绩为；
（3）设小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为，则，
即小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为.
18．【答案】（1）解：在等腰直角三角形中，
斜边，点，均在线段上（不含端点），
所以，
在中，，
则，
所以，或.
（2）解：过作交于，
则，
设，
所以
则的面积为，
因为，
所以，
则，
所以，
则，
当且仅当时，取最小值，
所以，的面积的最小值为.
【知识点】两角和与差的正切公式；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的结构特征和余弦定理，从而得出AP的长.
（2）根据已知条件和正切函数的定义以及三角形面积公式、两角和的正切公式，从而得出，再根据基本不等式求最值的方法，从而得出的面积的最小值.
（1）在等腰直角三角形中，斜边，点，均在线段上（不含端点），
所以，在中，，
所以，
所以或；
（2）过作交于，则，
设，
所以所以的面积为，
因为，所以，
所以，所以，
所以，当且仅当时，取最小值，
所以面积的最小值为.
19．【答案】（1）证明：在直角梯形中，，，，A是的中点，
所以，四边形为矩形，则，
因为，，平面，
所以平面．
又因为为边的中点，所以，
则为等腰直角三角形，，
所以，．
由平面，平面，得且，平面
所以平面，
因为平面，所以，平面平面．
（2）解；因为为的中点，为的中点，所以，
则与平面所成的角与与平面所成的角相等，
连接，点为线段的中点，交与点，
因为四边形为矩形，，点分别为线段的中点，
所以，四边形为正方形，则，所以，
由（1）平面，平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
则与平面所成的角为，
设，则，，，
在中，，，
所以，
因为，所以，
则与平面所成的角为.
（3）解：延长，交的延长线于点，
因为平面，
又因为平面，平面平面，
所以，则，
因为，所以，
又因为为线段的中点，所以，
因为，为线段的中点，
所以，则.
【知识点】直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据线线垂直证出直线PA⊥平面ABCD，再根据中点的性质和等腰直角三角形的结构特征以及面面垂直的判定定理证出平面平面；
（2） 证明，连接点与的中点，交与点，证明平面，结合线面角的定义求与平面的夹角，由此可得结论；
（3）延长，交于点，利用线面平行的性质定理得出线线平行，再根据线线平行对应边成比例和中点的性质，从而得出的值．
（1）证明：直角梯形中，，，，A是的中点，
故，四边形为矩形，所以，
因为，，平面，
所以平面．
又为边的中点，所以，
故为等腰直角三角形，，
故，．
又由平面，平面，得，
且，平面
所以平面，
而平面，故平面平面．
（2）因为为的中点，为的中点，
所以，
所以与平面所成的角与与平面所成的角相等，
连接，点为线段的中点，交与点，
因为四边形为矩形，，点分别为线段的中点，
所以四边形为正方形，所以，即，
由（1）平面，平面，
所以，因为，平面，
所以平面，
所以与平面所成的角为，
设，则，，，
在中，，，，
所以，又，
所以，
所以与平面所成的角为；
（3）延长，交的延长线于点，
因为平面，又平面，平面平面，
所以，所以，
因为，故，又为线段的中点，
所以，又，为线段的中点，
所以，
所以，
1 / 1江苏省常州市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足，其中为虚数单位，则对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，复数对应的点为，位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】利用复数乘除法运算法则，从而求出复数，再根据复数的几何意义确定复数z对应的点的坐标，从而得出对应点所在的象限.
2．（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】由两角差的正弦公式的逆用，从而化简求值.
3．某校义工社团共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取16人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（　　）
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：女生应抽取的人数是.
故答案为：C.
【分析】由已知条件和分层抽样的方法，从而得出女生应抽取的人数.
4．已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：如图，在正方体中：
因为平面，平面，且与为异面直线，故A错误；
因为平面，，
但平面，而非平面，故B错误；
因为平面，平面平面，
但平面，而非平面，故C错误；
若，，则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用正方体的结构特征和线线平行的判断方法、线面平行的判定定理、线面垂直单调判定定理、面面垂直的判定定理，从而逐项判断找出正确的命题.
5．若将一个表面积为的铁球熔铸成一个高为9cm的实心圆锥（熔铸过程中损耗忽略不计），则该圆锥的底面半径为（　　）
A．2cm B． C．3cm D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设该圆锥的底面半径为，铁球的半径为，
则，
解得，
所以，
解得.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和球的表面积公式，从而求出铁球的半径，再结合等体积法和圆锥的体积公式，从而得出该圆锥的底面的半径.
6．在中，角，，的对边分别为，，，为的面积.若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
若，
则，
又因为，所以，则.
故答案为：D.
【分析】由已知条件和三角形的面积公式以及余弦定理、三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
7．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长相等，记异面直线与所成角为，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成的二面角为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：如图：
不妨设，取和的交点为，中点，连接，，，
则，，.
因为，所以为异面直线与所成的角为，
则，所以，
又因为平面，
所以为直线与底面所成的角，
则，所以，
因为，，
所以为侧面与底面所成的二面角，
则，
又因为，且在上单调递减，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据正四棱锥结构特征和已知条件，再利用异面直线所成角的定义、线面角的定义和二面角的平面角的定义，从而构造出，，，进而求出它们的三角函数，再利用三角函数的单调性，从而比较出，，的大小.
8．已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（　　）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意：则，.
因为.
又因为，
当时，取“”，
因为，
所以，
则.
故答案为：C
【分析】根据已知条件和数量积的定义以及数量积的运算律，从而得出，则把问题转化为求的最小值，再转化为求的值，再利用数量积的运算法则和余弦函数求值域的方法，从而得出的最大值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数.若连续抛掷两次，则（　　）
A．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”为互斥事件
B．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件
C．事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”互为对立事件
D．事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立
【答案】B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：对于A，因为“至少有一次点数为偶数”包含恰有一次点数为偶数和恰有两次点数为偶数，
所以，事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”可能同时发生，
则事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”不为互斥事件，故A错误；
对于B，因为“至少有一次点数为奇数” 包含恰有一次点数为奇数和恰有两次点数为奇数，
所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”不会同时发生，
又因为在一次实验中“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”必然有一个事件会发生，
所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件，故B正确；
对于C，因为事件“两次点数之和等于6”发生时，
事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”均不会发生，
所以事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”不互为对立事件，故C错误；
对于D，因为连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次共有种不同的结果，
记“第一次点数为偶数” 为事件，则事件包含种结果，
所以，
记“第二次点数为奇数”为事件，则事件包含种结果，
所以，
又因为事件同时发生包含种不同的结果，
所以，
则事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件和互斥事件、对立事件、独立事件的定义，再利用古典概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而逐项判断找出正确的选项.
10．在中，，则下列不等式中一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦定理的应用；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：对于A，在中，，
由正弦定理，得，故A正确；
对于B，显然，因此，故B正确；
对于C，取，满足，
因为，故C错误；
对于D，由选项A知，，
则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用边角关系合正弦定理，则判断出选项A；利用余弦函数的单调性，则判断出选项B；举例判断选项C；利用二倍角的余弦公式结合选项A，则判断出选项D，从而找出不等式一定正确的选项.
11．如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，点为下底面圆周上一点，为上底面圆周上一点，则（　　）
A．该圆台的体积为
B．该圆台的内切球的半径为
C．直线与直线所成角的最大值为
D．直线与平面所成角的正切值最大为
【答案】A,B,D
【知识点】函数的最大（小）值；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线所成的角；直线与平面所成的角；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，因为圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，
所以，故选项A正确；
对于B，设上底面半径为，下底面半径为，
若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，
如图（1）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，高为，
易得等腰梯形的腰为，
假设等腰梯形有内切圆，则腰长，
所以，梯形存在内切圆，
则圆台存在内切球，且内切球的半径为，故选项B正确；
对于C，如图（2），过作垂直于下底面于点，
则，
所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，则为所求，
又因为，
由圆的性质，得：，
所以，
因为，故选项C错误；
对于D选项，如图（3），平面即平面，过点做交于点，
因为垂直于下底面，而在底面内，所以，
又因为，且平面，所以平面，
则直线与平面所成角即为，且．
设，则，
所以，
则，
当时，，
当时，则，
因为函数在上单调递增，
则当时，有最大值，最大值为，故选项D正确．
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件和圆台的体积公式，则判断出选项A；利用圆台的轴截面结合等腰梯形中存在内切圆的判定方法，则判断出选项B；根据异面直线夹角的定义作图，再利用正切函数的定义和圆的性质，从而得出直线与直线所成角的最大值，则判断出选项C； 根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若，其中为虚数单位，则复数的模为　 　.
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，
可得，
所以.
故答案为：.
【分析】利用复数的除法运算法则求得复数，再利用复数求模公式，从而得出复数z的模.
13．若，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以
.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和诱导公式，从而可得，再结合二倍角的余弦公式， 而得出的值.
14．若正方体的棱长为1，则以为球心，为半径的球面与底面的交线长为　 　.
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：在正方体中，平面，
所以平面与球的截面是以为圆心的圆，且半径为，
则球面与底面的交线为以为圆心，为半径的圆与正方形相交的一段弧，
所以，该交线长为.
故答案为：.
【分析】由题意结合勾股定理，从而可得球面与底面的交线为以为圆心，为半径的圆与正方形相交的一段弧，再利用弧长公式得出以为球心，为半径的球面与底面的交线长.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知四边形是平行四边形，且，，.
（1）求点的坐标；
（2）求平行四边形的面积.
【答案】（1）解：设点D的坐标为．
由题意，得，．
因为，
所以，
解得，
所以点D的坐标为．
（2）解：由，，
得，，，
则，
所以，
则平行四边形的面积为：
.
【知识点】相等向量与相反向量；数量积表示两个向量的夹角；同角三角函数间的基本关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）设点D的坐标为，利用平行四边形的性质，则，再根据向量的坐标表示建立方程组，解方程组得出x，y的值，从而得出点D的坐标.
（2）根据题意结合数量积求向量夹角的坐标表示，从而求出的夹角余弦值，再利用同角三角函数基本关系式得到的正弦值，再根据三角形的面积公式计算即可.
（1）设点D的坐标为．
由题意得，．
因为，所以，解得，
所以点D的坐标为．
（2）由，，
则，，，
则，
所以，
则平行四边形的面积为
.
16．在地平面上有一竖直的旗杆（在地平面上），为了测得它的高度，在地平面上取一基线，测得其长为20m.在处测得点的仰角为30°，在处测得点的仰角为45°，又测得.
（1）求旗杆的高度；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）解：由题意，则，
又因为，，
由余弦定理，得，
则，解得.
（2）解：如图所示，过点作于点，
由题意，则平面，
因为平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
则所求为线段的长度，
由（1）可知，，
所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意和余弦定理，从而得出旗杆的高度的值.
（2）过点作于点，根据线线垂直得出线面垂直，从而得出所求为线段的长度，再由（1）得出AO的长，则根据正弦函数定义得出AC说明所求为线段的长度，从而得出点到平面的距离.
（1）由题意，而，，
所以由余弦定理有，即，解得；
（2）如图所示，过点作于点，
由题意平面，又平面，所以，
又因为，平面，
所以平面，
故所求为线段的长度，
由（1）可知，
所以.
17．某校为了了解高一新生的体质健康状况，在开学初进行了一次体质测试，共800人参加本次测试，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）试估计本次测试的平均成绩（用各组区间中点的数值即“组中值”近似的表示每组的成绩）；
（3）立定跳远项目每人有2次测试机会，若第一跳满分，则不再进行第二跳.假设小明同学每一跳获得满分的概率均为0.8，求本次测试中，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率.
【答案】（1）解：根据频率分布直方图，
可得，
解得.
（2）解：设本次测试的平均成绩为，
则根据频率分布直方图，
可得
则本次测试的平均成绩为.
（3）解：设小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为，
则，
所以，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和频率分布直方图中各小组的频率等于各小组矩形的面积，再利用频率之和等于1，从而得出实数a的值.
（2）由频率分布直方图求平均数公式，从而估计出本次测试的平均成绩.
（3） 小明在立定跳远项目最终获得满分的概率包括第一次满分和第一次没有满分但第二次满分两种情况，根据概率计算即可..
（1）根据频率分布直方图，可得，
解得；
（2）设本次测试的平均成绩为，则根据频率分布直方图，可得
，
即本次测试的平均成绩为；
（3）设小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为，则，
即小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为.
18．在等腰直角三角形中，斜边，点，均在线段上（不含端点），且.
（1）若，求的长；
（2）求的面积的最小值.
【答案】（1）解：在等腰直角三角形中，
斜边，点，均在线段上（不含端点），
所以，
在中，，
则，
所以，或.
（2）解：过作交于，
则，
设，
所以
则的面积为，
因为，
所以，
则，
所以，
则，
当且仅当时，取最小值，
所以，的面积的最小值为.
【知识点】两角和与差的正切公式；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的结构特征和余弦定理，从而得出AP的长.
（2）根据已知条件和正切函数的定义以及三角形面积公式、两角和的正切公式，从而得出，再根据基本不等式求最值的方法，从而得出的面积的最小值.
（1）在等腰直角三角形中，斜边，点，均在线段上（不含端点），
所以，在中，，
所以，
所以或；
（2）过作交于，则，
设，
所以所以的面积为，
因为，所以，
所以，所以，
所以，当且仅当时，取最小值，
所以面积的最小值为.
19．如图1，在直角梯形中，，，，A是的中点.现沿把折起，使得（如图2所示），，分别为，的中点，是线段上一点.
（1）求证：平面平面；
（2）若是线段的中点，求与平面所成的角；
（3）若平面，求的值.
【答案】（1）证明：在直角梯形中，，，，A是的中点，
所以，四边形为矩形，则，
因为，，平面，
所以平面．
又因为为边的中点，所以，
则为等腰直角三角形，，
所以，．
由平面，平面，得且，平面
所以平面，
因为平面，所以，平面平面．
（2）解；因为为的中点，为的中点，所以，
则与平面所成的角与与平面所成的角相等，
连接，点为线段的中点，交与点，
因为四边形为矩形，，点分别为线段的中点，
所以，四边形为正方形，则，所以，
由（1）平面，平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
则与平面所成的角为，
设，则，，，
在中，，，
所以，
因为，所以，
则与平面所成的角为.
（3）解：延长，交的延长线于点，
因为平面，
又因为平面，平面平面，
所以，则，
因为，所以，
又因为为线段的中点，所以，
因为，为线段的中点，
所以，则.
【知识点】直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据线线垂直证出直线PA⊥平面ABCD，再根据中点的性质和等腰直角三角形的结构特征以及面面垂直的判定定理证出平面平面；
（2） 证明，连接点与的中点，交与点，证明平面，结合线面角的定义求与平面的夹角，由此可得结论；
（3）延长，交于点，利用线面平行的性质定理得出线线平行，再根据线线平行对应边成比例和中点的性质，从而得出的值．
（1）证明：直角梯形中，，，，A是的中点，
故，四边形为矩形，所以，
因为，，平面，
所以平面．
又为边的中点，所以，
故为等腰直角三角形，，
故，．
又由平面，平面，得，
且，平面
所以平面，
而平面，故平面平面．
（2）因为为的中点，为的中点，
所以，
所以与平面所成的角与与平面所成的角相等，
连接，点为线段的中点，交与点，
因为四边形为矩形，，点分别为线段的中点，
所以四边形为正方形，所以，即，
由（1）平面，平面，
所以，因为，平面，
所以平面，
所以与平面所成的角为，
设，则，，，
在中，，，，
所以，又，
所以，
所以与平面所成的角为；
（3）延长，交的延长线于点，
因为平面，又平面，平面平面，
所以，所以，
因为，故，又为线段的中点，
所以，又，为线段的中点，
所以，
所以，
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