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第60课时　两条直线的位置关系
[考试要求]　1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
知识点1　两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如表：
位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 ______________ ________________
垂直 ______________ ________________
相交 ______________ ________________
知识点2　两条直线的交点坐标
　已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组
的解．
知识点3　三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝________________．
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝________．
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________．
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝________________．
[常用结论]
1．三种直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)，点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(5)点(x，y)关于直线y＝x＋b的对称点为(y－b，x＋b)，关于直线y＝－x＋b的对称点为(b－y，b－x)．
1．(苏教版选择性必修第一册P27练习T2)以点A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法判断
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2．(人教A版选择性必修第一册P72练习T3)已知直线l经过原点，且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点，则直线l的方程是(　　)
A．4x－3y＝0 B．4x＋3y＝0
C．3x－4y＝0 D．3x＋4y＝0
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3．(人教B版选择性必修第一册P100练习B T2)已知点B(m，6)到直线y＝3x＋6的距离为3，则实数m的值为________．
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4．(人教A版选择性必修第一册P102复习参考题2T1(3))与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为(　　)
A．3x＋4y－5＝0
B．3x＋4y＋5＝0
C．3x－4y＋5＝0
D．3x－4y－5＝0
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考点一　两直线的平行与垂直
[典例1]　(多选)(2025·温州期末)已知直线l1：x＋(1＋a)y＝2＋a与l2：2ax＋4y＝－16，则下列说法正确的是(　　)
A．若a＝1，则l1∥l2
B．若a＝－2，则l1与l2重合
C．若a＝－，则l1⊥l2
D．若a＝0，则l1与l2交于点(6，－4)
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易错提醒：判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
[多维变迁]
1．(2025·深圳期末)已知直线mx＋(2m－1)y＋3＝0与直线3x＋my＝0垂直，则实数m＝(　　)
A．－1或0 B．－1
C．0 D．1
2．(2025·银川三模)若直线l1：(m－2)x＋3y＋3＝0与直线l2：2x＋(m－1)y＋2＝0平行，则实数m＝(　　)
A．4 B．－4
C．1或－4 D．－1或4
考点二　两直线的交点与距离问题
[典例2]　(1)(2026·景德镇模拟)已知直线l1：2x－y－4＝0，l2：x＋y－5＝0相交于点P，则点P到直线l：x＋2y＋3＝0的距离为(　　)
A．2 B．
C． D．
(2)(2025·常州二模)平行直线l1：2x－3y＋2＝0与l2：ay－x＋2＝0之间的距离为(　　)
A． B．
C． D．
(3)(2025·保定月考)若点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为(　　)
A．；3x＋2y－5＝0
B．；3x＋2y－5＝0
C．；2x－3y＋1＝0
D．；2x－3y＋1＝0
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[母题探究]
1．(变结论)本例(1)中，求过点P且与l平行的直线方程．
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2．(变结论)本例(1)中，求过点P且与l垂直的直线方程．
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通性通法：(1)求过两直线的交点的直线方程的方法
①先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；
②利用直线系方程求解．
(2)利用距离公式应注意：
①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；
②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
考点三　对称问题
　关于点对称
[典例3]　(2025·上海普陀区期末)直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　)
A．2x＋3y＋7＝0 B．3x－2y＋2＝0
C．2x＋3y＋8＝0 D．3x－2y－12＝0
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　关于线对称
[典例4]　(1)(2025·深圳一模)点P(－1，3)关于直线x－y＝0的对称点为Q，则点Q到直线3x＋y－2＝0的距离为(　　)
A． B．3
C． D．
(2)(2026·大庆模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，则直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程是________．
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通性通法：对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式求解，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组求解．
[多维变迁]
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
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1．(链接考点一)(2025·长沙期末)已知直线mx＋3y＋m－1＝0与直线x＋(m＋2)y＋2m－2＝0平行，则m的值为(　　)
A．3 B．－3
C．1或－3 D．－1或3
2．(链接考点二)(人教B版选择性必修第一册P100练习B T4改编)已知点A(－1，2)，B(2，1)，C(0，4)，则△ABC的面积是(　　)
A． B．7
C． D．
3．(链接考点三)(人教B版选择性必修第一册P102习题2－2C T3改编)点A(1，2)关于直线l：x＋y－2＝0的对称点B的坐标是(　　)
A．(1，0) B．(0，1)
C．(0，－1) D．(2，1)
4．(链接考点二)(人教A版选择性必修第一册P79习题2.3 T9改编)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则实数m的值为________．
第60课时　两条直线的位置关系
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　k1＝k2且b1≠b2　A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)　k1·k2＝－1　A1A2＋B1B2＝0　k1≠k2　A1B2－A2B1≠0
知识点3　(1)
(2)　(3)
链教材·夯基固本
1．B　[由A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)可得kAB＝＝－，kBC＝＝－5，kAC＝，从而kAB·kAC＝－1，
即AB⊥AC，A为直角．]
2．A　[经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点的直线l的方程可设为2x－2y－1＋λ(6x－4y＋1)＝0，将原点O(0，0)代入，得－1＋λ＝0，解得λ＝1，所以直线l的方程为4x－3y＝0．故选A．]
3．±　[直线方程化为3x－y＋6＝0，
d＝＝3，解得m＝±．]
4．B　[直线3x－4y＋5＝0的斜率是，
与x轴的交点为，
因此它关于x轴对称的直线方程是
y＝－，即3x＋4y＋5＝0．
故选B．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　ACD　[直线l1：x＋(1＋a)y＝2＋a与l2：2ax＋4y＝－16，
A中，当a＝1时，直线l1：x＋2y＝3与l2：x＋2y＝－8，可得两条直线的斜率相同，在y轴上的截距不同，则两条直线平行，所以A正确；
B中，当a＝－2时，直线l1：x－y＝0与l2：x－y＝4，则这两条直线不重合，所以B错误；
C中，当a＝－时，直线l1：x＋y＝与l2：－x＋y＝－4，则－×1＋×1＝0，可得两条直线垂直，所以C正确；
D中，若a＝0时，直线l1：x＋y＝2与l2：y＝－4，联立可得x＝6，y＝－4，
即两条直线的交点为(6，－4)，所以D正确．
故选ACD．]
多维变迁
1．A　[若直线mx＋(2m－1)y＋3＝0与直线3x＋my＝0垂直，
则3m＋m(2m－1)＝0，即2m2＋2m＝0，解得m＝－1或m＝0．
故选A．]
2．D　[若直线l1：(m－2)x＋3y＋3＝0与直线l2：2x＋(m－1)y＋2＝0平行，
则(m－2)(m－1)＝3×2＝6，整理可得m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1，
若m＝－1，直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x－y＋1＝0平行，符合题意；
若m＝4，直线l1：2x＋3y＋3＝0与直线l2：2x＋3y＋2＝0平行，符合题意．
综上所述，m＝4或m＝－1．
故选D．]
考点二
典例2　(1)A　(2)D　(3)A　[(1)由题意，联立故P(3，2)．
则点P到直线l：x＋2y＋3＝0的距离d＝＝2，故选A．
(2)由题意可得2a－(－1)×(－3)＝0，即a＝，
则l2：y－x＋2＝0，即2x－3y－4＝0，
所以两平行直线间的距离为．
故选D．
(3)直线l的方程可整理为λ(3x＋y－4)＋x＋y－2＝0，
令
所以直线l恒过点A(1，1)，
由题意得当PA垂直于直线l时，点P到直线l的距离最大，
|PA|＝，
kPA＝，
所以直线l：y－1＝－(x－1)，整理得3x＋2y－5＝0．
故选A．]
母题探究
1．解：法一：设与直线x＋2y＋3＝0平行的直线方程为x＋2y＋m＝0(m≠3)，
由例(1)的解析知P(3，2)，
所以3＋2×2＋m＝0，解得m＝－7，
所以所求直线方程为x＋2y－7＝0．
法二：设所求直线方程为2x－y－4＋λ(x＋y－5)＝0，
即(λ＋2)x＋(λ－1)y－4－5λ＝0，
又该直线与x＋2y＋3＝0平行，
故(λ＋2)·2－(λ－1)＝0，解得λ＝－5，
故所求直线方程为(－5＋2)x＋(－5－1)y－4＋25＝0，即x＋2y－7＝0．
2．解：设与直线x＋2y＋3＝0垂直的直线的方程为2x－y＋m＝0，由例(1)的解析知P(3，2)，则3×2－2＋m＝0，得m＝－4，
所以所求直线方程为2x－y－4＝0．
考点三
考向1　典例3　C　[法一：因为直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变，
故设对称后的直线方程l为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，
又∵点(1，－1)到两直线的距离相等，
∴，
化简得|c－1|＝7，
即c＝－6 或 c＝8，
∴l的方程为2x＋3y－6＝0 (舍) 或 2x＋3y＋8＝0，
即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0．
故选C．
法二：在直线2x＋3y－6＝0上任选两点，比如A(0，2)，B(3，0)，
则点A，B关于点(1，－1)对称的点A'，B'在所求直线上．
∵AA'的中点为点(1，－1)，
∴点A'(2，－4)，
同理可得B'(－1，－2)，
由两点式得直线A'B'的方程为2x＋3y＋8＝0．
故选C．]
考向2　典例4　(1)C　(2)9x－46y＋102＝0
[(1)设P(－1，3)关于直线x－y＝0的对称点为Q(a，b)，
由对称关系可得
解得
∴Q(3，－1)．
则点Q(3，－1)到直线3x＋y－2＝0的距离d＝．
故选C．
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上．
设对称点为M'(a，b)，
则
解得M'．
设直线m与直线l的交点为N，
由得N(4，3)．又m'经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m'的方程为9x－46y＋102＝0．]
多维变迁
　解：(1)设A'(x，y)，由已知条件得
解得所以A'．
(2)法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P'，Q'均在直线l'上，
易得P'(－3，－5)，Q'(－6，－7)，
所以l'的方程为2x－3y－9＝0．
法二：因为l∥l'，
所以设l'的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．
因为点A(－1，－2)到两直线l，l'的距离相等，
所以由点到直线的距离公式，
得，
解得C＝－9(C＝1舍去)，
所以l'的方程为2x－3y－9＝0．
随堂·对点检测
1．B　[因为直线mx＋3y＋m－1＝0与直线x＋(m＋2)y＋2m－2＝0平行，
所以1×3＝m(m＋2)，解得m＝1或m＝－3．
当m＝－3时，两条直线分别为3x－3y＋4＝0，x－y－8＝0，两条直线平行；
当m＝1时，两条直线分别为x＋3y＝0，x＋3y＝0，两条直线重合，舍去．
故选B．]
2．A　[kAB＝＝－，所以直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0，
∴点C到直线AB的距离d＝，
又|AB|＝，∴S△ABC＝××．
故选A．]
3．B　[设点A(1，2)关于直线x＋y－2＝0的对称点B的坐标为(a，b)，
则有
解得故B(0，1)．故选B．]
4．－9　[由
所以点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9．]
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第八章　解析几何
第60课时　两条直线的位置关系
[考试要求]　1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
理法先行·题练固本
知识点1　两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如表：
位置 关系 l1，l2满 足的条件 l3，l4满足的条件
平行 ______ ________ _________________________________________________
垂直 ___________ _____________
相交 ______ _____________
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
k1≠k2　
A1B2－A2B1≠0
知识点2　两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．
知识点3　三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝_____________________________．
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝___________．
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______________．
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝________．
[常用结论]
1．三种直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)，点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(5)点(x，y)关于直线y＝x＋b的对称点为(y－b，x＋b)，关于直线y＝－x＋b的对称点为(b－y，b－x)．
1．(苏教版选择性必修第一册P27练习T2)以点A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法判断
√
B　[由A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)可得kAB＝＝－，kBC＝＝－5，kAC＝，从而kAB·kAC＝－1，
即AB⊥AC，A为直角．]
2．(人教A版选择性必修第一册P72练习T3)已知直线l经过原点，且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点，则直线l的方程是(　　)
A．4x－3y＝0 B．4x＋3y＝0
C．3x－4y＝0 D．3x＋4y＝0
√
A　[经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点的直线l的方程可设为2x－2y－1＋λ(6x－4y＋1)＝0，将原点O(0，0)代入，得－1＋λ＝0，解得λ＝1，所以直线l的方程为4x－3y＝0．故选A．]
3．(人教B版选择性必修第一册P100练习B T2)已知点B(m，6)到直线y＝3x＋6的距离为3，则实数m的值为______________．
±　[直线方程化为3x－y＋6＝0，
d＝＝3，解得m＝±．]
±　
4．(人教A版选择性必修第一册P102复习参考题2T1(3))与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为(　　)
A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0
C．3x－4y＋5＝0 D．3x－4y－5＝0
√
B　[直线3x－4y＋5＝0的斜率是，
与x轴的交点为，
因此它关于x轴对称的直线方程是y＝－，即3x＋4y＋5＝0．
故选B．]
考点深研·题型突破
考点一　两直线的平行与垂直
[典例1]　(多选)(2025·温州期末)已知直线l1：x＋(1＋a)y＝2＋a与l2：2ax＋4y＝－16，则下列说法正确的是(　　)
A．若a＝1，则l1∥l2
B．若a＝－2，则l1与l2重合
C．若a＝－2/3，则l1⊥l2
D．若a＝0，则l1与l2交于点(6，－4)
√
√
√
ACD　[直线l1：x＋(1＋a)y＝2＋a与l2：2ax＋4y＝－16，
A中，当a＝1时，直线l1：x＋2y＝3与l2：x＋2y＝－8，可得两条直线的斜率相同，在y轴上的截距不同，则两条直线平行，所以A正确；
B中，当a＝－2时，直线l1：x－y＝0与l2：x－y＝4，则这两条直线不重合，所以B错误；
C中，当a＝－时，直线l1：x＋y＝与l2：－x＋y＝－4，则－×1＋×1＝0，可得两条直线垂直，所以C正确；
D中，若a＝0时，直线l1：x＋y＝2与l2：y＝－4，联立可得x＝6，y＝－4，
即两条直线的交点为(6，－4)，所以D正确．
故选ACD．]
易错提醒：判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
[多维变迁]
1．(2025·深圳期末)已知直线mx＋(2m－1)y＋3＝0与直线3x＋my＝0垂直，则实数m＝(　　)
A．－1或0 B．－1
C．0 D．1
√
A　[若直线mx＋(2m－1)y＋3＝0与直线3x＋my＝0垂直，
则3m＋m(2m－1)＝0，即2m2＋2m＝0，解得m＝－1或m＝0．故选A．]
2．(2025·银川三模)若直线l1：(m－2)x＋3y＋3＝0与直线l2：2x＋(m－1)y＋2＝0平行，则实数m＝(　　)
A．4 B．－4
C．1或－4 D．－1或4
√
D　[若直线l1：(m－2)x＋3y＋3＝0与直线l2：2x＋(m－1)y＋2＝0平行，
则(m－2)(m－1)＝3×2＝6，整理可得m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1，
若m＝－1，直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x－y＋1＝0平行，符合题意；
若m＝4，直线l1：2x＋3y＋3＝0与直线l2：2x＋3y＋2＝0平行，符合题意．
综上所述，m＝4或m＝－1．故选D．]
考点二　两直线的交点与距离问题
[典例2]　(1)(2026·景德镇模拟)已知直线l1：2x－y－4＝0，l2：x＋y－5＝0相交于点P，则点P到直线l：x＋2y＋3＝0的距离为(　　)
A．2 B．
C． D．
√
(2)(2025·常州二模)平行直线l1：2x－3y＋2＝0与l2：ay－x＋2＝0之间的距离为(　　)
A． B．
C． D．
√
(3)(2025·保定月考)若点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为
(　　)
A．；3x＋2y－5＝0
B．；3x＋2y－5＝0
C．；2x－3y＋1＝0
D．；2x－3y＋1＝0
√
(1)A　(2)D　(3)A　[(1)由题意，联立故P(3，2)．
则点P到直线l：x＋2y＋3＝0的距离d＝＝2，故选A．
(2)由题意可得2a－(－1)×(－3)＝0，即a＝，
则l2：y－x＋2＝0，即2x－3y－4＝0，
所以两平行直线间的距离为．
故选D．
(3)直线l的方程可整理为λ(3x＋y－4)＋x＋y－2＝0，
令
所以直线l恒过点A(1，1)，
由题意得当PA垂直于直线l时，点P到直线l的距离最大，
|PA|＝，kPA＝，
所以直线l：y－1＝－(x－1)，整理得3x＋2y－5＝0．
故选A．]
[母题探究]
1．(变结论)本例(1)中，求过点P且与l平行的直线方程．
[解]　法一：设与直线x＋2y＋3＝0平行的直线方程为x＋2y＋m＝0(m≠3)，
由例(1)的解析知P(3，2)，
所以3＋2×2＋m＝0，解得m＝－7，
所以所求直线方程为x＋2y－7＝0．
法二：设所求直线方程为2x－y－4＋λ(x＋y－5)＝0，
即(λ＋2)x＋(λ－1)y－4－5λ＝0，
又该直线与x＋2y＋3＝0平行，
故(λ＋2)·2－(λ－1)＝0，解得λ＝－5，
故所求直线方程为(－5＋2)x＋(－5－1)y－4＋25＝0，即x＋2y－7＝0．
2．(变结论)本例(1)中，求过点P且与l垂直的直线方程．
[解]　设与直线x＋2y＋3＝0垂直的直线的方程为2x－y＋m＝0，由例(1)的解析知P(3，2)，则3×2－2＋m＝0，得m＝－4，
所以所求直线方程为2x－y－4＝0．
通性通法：(1)求过两直线的交点的直线方程的方法
①先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；
②利用直线系方程求解．
(2)利用距离公式应注意：
①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；
②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
考点三　对称问题
考向1　关于点对称
[典例3]　(2025·上海普陀区期末)直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　)
A．2x＋3y＋7＝0 B．3x－2y＋2＝0
C．2x＋3y＋8＝0 D．3x－2y－12＝0
√
C　[法一：因为直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变，故设对称后的直线方程l为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，
又∵点(1，－1)到两直线的距离相等，
∴，
化简得|c－1|＝7，
即c＝－6 或 c＝8，
∴l的方程为2x＋3y－6＝0 (舍) 或 2x＋3y＋8＝0，
即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0．
故选C．
法二：在直线2x＋3y－6＝0上任选两点，比如A(0，2)，B(3，0)，
则点A，B关于点(1，－1)对称的点A'，B'在所求直线上．
∵AA'的中点为点(1，－1)，
∴点A'(2，－4)，
同理可得B'(－1，－2)，
由两点式得直线A'B'的方程为2x＋3y＋8＝0．
故选C．]
考向2　关于线对称
[典例4]　(1)(2025·深圳一模)点P(－1，3)关于直线x－y＝0的对称点为Q，则点Q到直线3x＋y－2＝0的距离为(　　)
A． B．3
C． D．
(2)(2026·大庆模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，则直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m'的方程是_____________________．
√
9x－46y＋102＝0　
(1)C　(2)9x－46y＋102＝0　[(1)设P(－1，3)关于直线x－y＝0的对称点为Q(a，b)，
由对称关系可得
解得
∴Q(3，－1)．
则点Q(3，－1)到直线3x＋y－2＝0的距离d＝．
故选C．
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上．
设对称点为M'(a，b)，
则解得M'．
设直线m与直线l的交点为N，
由得N(4，3)．又m'经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m'的方程为9x－46y＋102＝0．]
通性通法：对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式求解，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组求解．
[多维变迁]
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标；
(2)直线l关于点A的对称直线l'的方程．
[解]　(1)设A'(x，y)，由已知条件得
解得所以A'．
(2)法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P'，Q'均在直线l'上，
易得P'(－3，－5)，Q'(－6，－7)，
所以l'的方程为2x－3y－9＝0．
法二：因为l∥l'，
所以设l'的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．
因为点A(－1，－2)到两直线l，l'的距离相等，
所以由点到直线的距离公式，
得，解得C＝－9(C＝1舍去)，所以l'的方程为2x－3y－9＝0．
1．(链接考点一)(2025·长沙期末)已知直线mx＋3y＋m－1＝0与直线x＋(m＋2)y＋2m－2＝0平行，则m的值为(　　)
A．3 B．－3
C．1或－3 D．－1或3
√
B　[因为直线mx＋3y＋m－1＝0与直线x＋(m＋2)y＋2m－2＝0平行，
所以1×3＝m(m＋2)，解得m＝1或m＝－3．
当m＝－3时，两条直线分别为3x－3y＋4＝0，x－y－8＝0，两条直线平行；
当m＝1时，两条直线分别为x＋3y＝0，x＋3y＝0，两条直线重合，舍去．
故选B．]
2．(链接考点二)(人教B版选择性必修第一册P100练习B T4改编)已知点A(－1，2)，B(2，1)，C(0，4)，则△ABC的面积是(　　)
A． B．7
C． D．
√
A　[kAB＝＝－，所以直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0，
∴点C到直线AB的距离d＝，
又|AB|＝，
∴S△ABC＝．
故选A．]
3．(链接考点三)(人教B版选择性必修第一册P102习题2－2C T3改编)点A(1，2)关于直线l：x＋y－2＝0的对称点B的坐标是(　　)
A．(1，0) B．(0，1)
C．(0，－1) D．(2，1)
√
B　[设点A(1，2)关于直线x＋y－2＝0的对称点B的坐标为(a，b)，则有
解得故B(0，1)．故选B．]
4．(链接考点二)(人教A版选择性必修第一册P79习题2.3 T9改编)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则实数m的值为______________．
－9　[由
所以点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9．]
－9　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．已知两条直线l1：4x－2y＋5＝0和l2：6x＋ay－7＝0，若l1⊥l2，则实数a＝(　　)
A．12 B．－12
C．3 D．－3
课时作业(六十)　两条直线的位置关系
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[直线l1：4x－2y＋5＝0和l2：6x＋ay－7＝0，若l1⊥l2，则24－2a＝0，解得a＝12．故选A．]
√
2．(苏教版选择性必修第一册P42习题1.5T18(1)改编)直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为(　　)
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[法一：设所求直线上一点的坐标为(x，y)，则其关于点在直线3x－2y＝0上，所以3－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，
所以所求直线方程为3x－2y－2＝0．故选B．
法二：在直线3x－2y＝0上任取两点O(0，0)，M(2，3)，设点O，M关于点的对称点分别为O'，M'，则O'，M'
，即3x－2y－2＝0．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为
(　　)
A．1 B．
C． D．2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝．当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝，要使d最大，需k>0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝，故选B．
法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝，故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(2025·北京海淀区开学考试)已知直线2x－my＋m－2＝0恒过点P，则过点P且与直线x－2y＋4＝0垂直的直线方程为(　　)
A．2x＋y－3＝0 B．2x＋y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．2x－y＋3＝0
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[根据题意，2x－my＋m－2＝0变形可得(1－y)m＋2x－2＝0，
令
所以该直线恒过定点(1，1)，即P的坐标为(1，1)，
由x－2y＋4＝0，得y＝x＋2，即该直线的斜率为，
因为所求直线与直线x－2y＋4＝0垂直，则所求的直线的斜率为－2，
又由所求直线过点P(1，1)，则所求直线的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2026·武汉模拟)在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|＝(　　)
A．2 B．2
C．2 D．4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[由题意，根据菱形的两组对边间的距离相等，可得，则|c1－c2|＝2．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2025·上海宝山区期中)在等腰直角△ABC中，AB＝AC＝6，点P是边AB上异于端点的一点，光线由点P出发经BC，CA边反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQB的面积等于(　　)
A． B．4
C．5 D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[由题意，可建立直角坐标系，如图所示，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
可得B(6，0)，C(0，6)，故直线BC的方程为x＋y＝6，则△ABC的重心坐标为，即(2，2)，
设P(a，0)，0则即P1(6，6－a)，
易得P关于y轴的对称点P2(－a，0)，由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，
直线QR的斜率k＝，故直线QR的方程为y＝(x＋a)，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
由于直线QR过△ABC的重心(2，2)，代入得2＝(2＋a)，
则a＝2或a＝0(舍去)，故P(2，0)，P1(6，4)，P2(－2，0)，直线QR的方程为y＝(x＋2)，
联立
即点Q的坐标为，
则△PQB的面积S＝×(6－2)×yQ＝2×．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、 多项选择题
7．(2025·洛阳期末)已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　)
A．－ B．－
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
AB　[法一：由题意知点A和点B到直线l的距离相等，所以，
化简得6a＋4＝－3a－3或6a＋4＝3a＋3，
解得a＝－或a＝－．故选AB．
法二：由题意知，当直线l与点A，B的连线所在的直线平行或直线l过线段AB的中点时，点A，B到直线l的距离相等．
当直线与点A，B的连线所在的直线平行时，
由直线AB的斜率k＝，直线l的斜率－a，得a＝－；
当直线l过线段AB的中点时，
因为线段AB的中点坐标为，得a＝－．
所以a＝－或a＝－．故选AB．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(2025·西安期末)已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－(2a－3)y－1＝0，下列说法正确的是(　　)
A．l2始终过定点
B．若l1⊥l2，则a＝0或a＝2
C．当a＝－3时，l1与l2的距离为
D．若l1不经过第三象限，则a>0
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABC　[对于选项A，由ax－(2a－3)y－1＝0得a(x－2y)＋3y－1＝0，
令直线l2始终过定点，故选项A正确；
对于选项B，由l1⊥l2得a－a(2a－3)＝0，解得a＝0或a＝2，故选项B正确；
对于选项C，由直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－(2a－3)y－1＝0，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
可得当a＝－3时，l1：x－3y＋3＝0，即3x－9y＋9＝0，l2：3x－9y＋1＝0，则l1∥l2，
则l1与l2的距离为，故选项C正确；
对于选项D，当a＝0时，l1：x＝0，不经过第三象限，故选项D错误．故选ABC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
9．(2025·永州期末)已知点M(1，0)关于直线mx－y＋1＝0(m∈R)的对称点N在直线x＋y＝0上，则实数m的值为(　　)
A． B．2
C．－ D．－2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
AC　[根据点N在直线x＋y＝0上，设点N(a，－a)，
结合M(1，0)，可知MN的中点坐标为在直线mx－y＋1＝0(m∈R)上，
可得m×＋1＝0，化简得m(a＋1)＋a＋2＝0，①
因为直线MN垂直于直线mx－y＋1＝0(m∈R)，
所以当a≠1时，可得－×m＝－1，化简得am＝a－1，②
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
联立①②，解得
又当a＝1时，根据直线MN垂直于直线mx－y＋1＝0(m∈R)，可知m＝0，此时直线为y＝1，
而MN的中点坐标为，不在直线y＝1上，不满足题意．
综上所述，m＝±．
故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
10．(人教A版选择性必修第一册P79练习T2改编)已知直线x＋y－a＝0与直线3x－ay＋3＝0平行，则它们之间的距离是______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
　
　[由题可得1×(－a)－3＝0，解得a＝－3，
直线3x－ay＋3＝0，即3x＋3y＋3＝0，即x＋y＋1＝0，
所以直线x＋y＋3＝0与直线x＋y＋1＝0的距离为．
即直线x＋y－a＝0与直线3x－ay＋3＝0之间的距离为．]
11．经过点P(1，0)和两直线l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0交点的直线方程为______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
x＋y－1＝0　[设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0，点P(1，0)在直线上，
∴1－2＋λ(3＋2)＝0，解得λ＝，
∴所求直线方程为x＋2y－2＋(3x－2y＋2)＝0，即x＋y－1＝0．]
x＋y－1＝0　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(2025·合肥瑶海区期末)已知点P(m，n)在直线3x＋4y＋15＝0上，则的最小值为______________．
3　[由题意得|OP|＝，表示点P到原点(0，0)的距离，
所以的最小值等于原点(0，0)到直线3x＋4y＋15＝0的距离，
结合点到直线的距离公式，可得d＝＝3，可知的最小值为3．]
3　
谢谢！课时作业(六十)　两条直线的位置关系
一、单项选择题
1．已知两条直线l1：4x－2y＋5＝0和l2：6x＋ay－7＝0，若l1⊥l2，则实数a＝(　　)
A．12 B．－12
C．3 D．－3
2．(苏教版选择性必修第一册P42习题1.5T18(1)改编)直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为(　　)
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
3．(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1 B．
C． D．2
4．(2025·北京海淀区开学考试)已知直线2x－my＋m－2＝0恒过点P，则过点P且与直线x－2y＋4＝0垂直的直线方程为(　　)
A．2x＋y－3＝0 B．2x＋y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．2x－y＋3＝0
5．(2026·武汉模拟)在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|＝(　　)
A．2 B．2
C．2 D．4
6．(2025·上海宝山区期中)在等腰直角△ABC中，AB＝AC＝6，点P是边AB上异于端点的一点，光线由点P出发经BC，CA边反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQB的面积等于(　　)
A． B．4
C．5 D．
二、 多项选择题
7．(2025·洛阳期末)已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　)
A．－ B．－
C． D．
8．(2025·西安期末)已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－(2a－3)y－1＝0，下列说法正确的是(　　)
A．l2始终过定点
B．若l1⊥l2，则a＝0或a＝2
C．当a＝－3时，l1与l2的距离为
D．若l1不经过第三象限，则a＞0
9．(2025·永州期末)已知点M(1，0)关于直线mx－y＋1＝0(m∈R)的对称点N在直线x＋y＝0上，则实数m的值为(　　)
A． B．2
C．－ D．－2
三、填空题
10．(人教A版选择性必修第一册P79练习T2改编)已知直线x＋y－a＝0与直线3x－ay＋3＝0平行，则它们之间的距离是________．
11．经过点P(1，0)和两直线l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0交点的直线方程为________．
12．(2025·合肥瑶海区期末)已知点P(m，n)在直线3x＋4y＋15＝0上，则的最小值为________．
课时作业(六十)
1．A　[直线l1：4x－2y＋5＝0和l2：6x＋ay－7＝0，若l1⊥l2，则24－2a＝0，解得a＝12．
故选A．]
2．B　[法一：设所求直线上一点的坐标为(x，y)，则其关于点在直线3x－2y＝0上，所以3－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，
所以所求直线方程为3x－2y－2＝0．故选B．
法二：在直线3x－2y＝0上任取两点O(0，0)，M(2，3)，设点O，M关于点的对称点分别为O'，M'，则O'，
M'，即3x－2y－2＝0．故选B．]
3．B　[法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝
＝．当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝，要使d最大，需k>0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝，故选B．
法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝，故选B．]
4．A　[根据题意，2x－my＋m－2＝0变形可得(1－y)m＋2x－2＝0，
令
所以该直线恒过定点(1，1)，即P的坐标为(1，1)，
由x－2y＋4＝0，得y＝x＋2，即该直线的斜率为，
因为所求直线与直线x－2y＋4＝0垂直，则所求的直线的斜率为－2，
又由所求直线过点P(1，1)，则所求直线的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0．
故选A．]
5．B　[由题意，根据菱形的两组对边间的距离相等，可得，
则|c1－c2|＝2．
故选B．]
6．A　[由题意，可建立直角坐标系，如图所示，
可得B(6，0)，C(0，6)，故直线BC的方程为x＋y＝6，
则△ABC的重心坐标为，即(2，2)，
设P(a，0)，0则
即P1(6，6－a)，
易得P关于y轴的对称点P2(－a，0)，由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，
直线QR的斜率k＝，故直线QR的方程为y＝(x＋a)，
由于直线QR过△ABC的重心(2，2)，代入得2＝(2＋a)，
则a＝2或a＝0(舍去)，故P(2，0)，P1(6，4)，P2(－2，0)，直线QR的方程为y＝(x＋2)，
联立
即点Q的坐标为，
则△PQB的面积S＝×(6－2)×yQ＝2×．
故选A．]
7．AB　[法一：由题意知点A和点B到直线l的距离相等，
所以，
化简得6a＋4＝－3a－3或6a＋4＝3a＋3，
解得a＝－或a＝－．故选AB．
法二：由题意知，当直线l与点A，B的连线所在的直线平行或直线l过线段AB的中点时，点A，B到直线l的距离相等．
当直线与点A，B的连线所在的直线平行时，
由直线AB的斜率k＝，直线l的斜率－a，得a＝－；
当直线l过线段AB的中点时，
因为线段AB的中点坐标为，得a＝－．
所以a＝－或a＝－．故选AB．]
8．ABC　[对于选项A，由ax－(2a－3)y－1＝0得a(x－2y)＋3y－1＝0，
令直线l2始终过定点，故选项A正确；
对于选项B，由l1⊥l2得a－a(2a－3)＝0，解得a＝0或a＝2，故选项B正确；
对于选项C，由直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－(2a－3)y－1＝0，
可得当a＝－3时，l1：x－3y＋3＝0，即3x－9y＋9＝0，l2：3x－9y＋1＝0，则l1∥l2，
则l1与l2的距离为，故选项C正确；
对于选项D，当a＝0时，l1：x＝0，不经过第三象限，故选项D错误．
故选ABC．]
9．AC　[根据点N在直线x＋y＝0上，
设点N(a，－a)，
结合M(1，0)，可知MN的中点坐标为，
由题意可知点在直线mx－y＋1＝0(m∈R)上，
可得m×＋1＝0，化简得m(a＋1)＋a＋2＝0，①
因为直线MN垂直于直线mx－y＋1＝0(m∈R)，
所以当a≠1时，可得－×m＝－1，化简得am＝a－1，②
联立①②，解得
又当a＝1时，根据直线MN垂直于直线mx－y＋1＝0(m∈R)，可知m＝0，此时直线为y＝1，
而MN的中点坐标为，不在直线y＝1上，不满足题意．
综上所述，m＝±．
故选AC．]
10．　[由题可得1×(－a)－3＝0，解得a＝－3，
直线3x－ay＋3＝0，即3x＋3y＋3＝0，即x＋y＋1＝0，
所以直线x＋y＋3＝0与直线x＋y＋1＝0的距离为．
即直线x＋y－a＝0与直线3x－ay＋3＝0之间的距离为．]
11．x＋y－1＝0　[设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0，点P(1，0)在直线上，
∴1－2＋λ(3＋2)＝0，解得λ＝，
∴所求直线方程为x＋2y－2＋(3x－2y＋2)＝0，即x＋y－1＝0．]
12.3　[由题意得|OP|＝，表示点P到原点(0，0)的距离，
所以的最小值等于原点(0，0)到直线3x＋4y＋15＝0的距离，
结合点到直线的距离公式，可得d＝＝3，可知的最小值为3．]
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