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第69课时　随机抽样、统计图表
[考试要求]　1．理解随机抽样的必要性和重要性．2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样方法，掌握分层随机抽样的均值计算方法．3．理解统计图表的含义．
知识点1　总体、个体、样本
调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为________，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为________，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为________，样本中包含的个体数称为________，简称样本量．
知识点2　简单随机抽样
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样．
(1)抽取方式：________抽取；
(2)特点：每个个体被抽到的概率________；
(3)常用方法：抽签法和________．
知识点3　分层随机抽样
(1)分层随机抽样的相关概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行________抽样，再把所有子总体中抽取的样本________作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为________．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
(2)比例分配的分层随机抽样所获得样本的均值与方差
利用比例分配的分层(两层)随机抽样获得的样本中，第一层的样本量为n1，均值为，方差为；第二层的样本量为n2，均值为，方差为，则总的样本均值＝______________，总的样本方差s2＝________________．
知识点4　统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等．
(2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义
[常用结论]
1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．
2．分层随机抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．
3．频率分布直方图中小长方形的高＝．
4．频率分布直方图中小矩形的面积＝组距×＝频率，各小矩形的面积表示相应各组的频率，即频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
5．＝样本容量．
1．(人教A版必修第二册P224复习参考题9 T1改编)从某市参加升学考试的学生中随机抽查1 000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是(　　)
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生
B．样本是指1 000名学生的数学成绩
C．样本量指的是1 000名学生
D．个体指的是1 000名学生中的每一名学生
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2．(人教A版必修第二册P189习题9.1T4)下列从总体中抽得的样本是否为简单随机样本？
(1)总体编号为1～75，在0～99中产生随机整数r．若r＝0或r＞75，则舍弃，重新抽取．
(2)总体编号为1～75，在0～99中产生随机整数r，r除以75的余数作为抽中的编号．若余数为0，则抽中75．
(3)总体编号为6 001～6 876，在1～876范围内产生一个随机整数r，把r＋6 000作为抽中的编号．
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3．(人教B版必修第二册P90习题5－1AT2)已知某地区有小学生12 000人，初中生11 000人，高中生9 000人，现在要了解该地区学生的近视情况，准备抽取320人进行调查，则应该抽取小学生、初中生、高中生的人数分别是________．
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4．(多选)(苏教版必修第二册P236例1改编)某企业2024年年度营业费用情况如图所示，则下面说法中正确的是(　　)
A．基本工资占比最高
B．奖金高于基本工资
C．加班费与包装费相同
D．工人支出占比不到40%
5．(人教A版必修第二册P198练习T1)从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350 kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出如图所示的频率分布直方图．
(1)直方图中x的值为________；
(2)在被调查的用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________．
考点一　抽样方法
[典例1]　(1)(2025·随州期末)从500件产品中随机抽取20件进行抽样，利用随机数法抽取样本时，先将这500件产品按001，002，003，…，500进行编号，如果从随机数表的第1行第6列开始，从左往右依次选取三个数字，则选出来的第4个个体编号为(　　)
1622　7794　3949　5443　5482　1737　9323
7887　3520　9643
8626　3491　6484　4217　5331　5724　5506
8877　0474　4767
A．435 B．482
C．173 D．237
(2)(2025·眉山市二模)某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办了“校园安全知识”竞赛，现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生m名，高中生n名，经统计，m＋n名学生的平均成绩为74分，其中m名初中生的平均成绩为72分，n名高中生的平均成绩为x分，则x＝(　　)
A．74 B．76
C．78 D．80
(3)(多选)(2026·银川模拟)某学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用分层随机抽样的方法从1 500名学生(该校男、女生人数之比为3∶2)中抽取了一个容量为100的样本．其中，男生平均身高为170，方差为12，女生平均身高为160，方差为38，则下列说法正确的是(　　)
A．抽取的样本里男生有60人
B．每一位学生被抽中的可能性为
C．估计该学校学生身高的平均数为165
D．估计该学校学生身高的方差为46.4
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通性通法：(1)简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．
(2)分层随机抽样中有关计算的方法
①抽样比＝．
②在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x，方差为；第二层的样本量为n，平均值为y，方差为，
则样本的平均数为μ＝y；方差为s2＝＋．
[多维变迁]
1．(2025·遂宁期末)某校高一年级有男生160人，女生120人，现需抽调n人参与学校文艺汇演志愿者工作．若按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样．已知男生抽取16人，则n＝(　　)
A．27 B．28
C．29 D．30
2．(2026·太原模拟)为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本数据的平均数为170，方差为15，女生样本数据的平均数为160，方差为30，则由上述数据估计该校高一年级全体学生身高数据的平均数是________，方差是________．
考点二　统计图表(条形图、扇形图、折线图)
[典例2]　(1)(多选)为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2025年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．到该地旅游的游客中，青年人是老年人的2倍多
B．到该地旅游的老年人的满意人数是青年人的2倍
C．到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5%
D．到该地旅游的游客满意人数超过一半
(2)(2025·六盘水期末)为了研究某市甲、乙两个旅游景点的游客情况，该市文旅局统计了今年4月到9月甲、乙两个旅游景点的游客人数(单位：万人)，得到如图所示的折线图．根据两个景点的游客人数的折线图，下列说法错误的是(　　)
A．7，8，9月份的总游客人数甲景点比乙景点少
B．乙景点4月到9月的游客人数总体呈上升趋势
C．甲景点4月到9月游客人数的平均数在[31，32]内
D．甲、乙两景点4月到9月中游客量的最高峰期都在8月
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通性通法：常见统计图表的特点与区别
(1)扇形图：用于直观描述各类数据占总数的比例，易于显示每组数据相对于总数的大小．
(2)条形图：主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，适用于描述离散型数据．
(3)折线图：主要用于描述数据随时间的变化趋势．
[多维变迁]
(多选)某快递公司2020－2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则(　　)
A．该公司2020－2024年快递业务量逐年上升
B．该公司2020－2024年快递业务量的极差为68.5亿件
C．该公司2020－2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9%
D．该公司2020－2024年快递业务量的增长率的平均数为21.6%
考点三　频率分布直方图
[典例3]　(2025·昆明月考)有900名学生参加“环保知识竞赛”，为考查竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩进行统计，请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图)解释下列问题．
分组 频数 频率
50.5～60.5 4 0.08
60.5～70.5 0.16
70.5～80.5 10
80.5～90.5 16 0.32
90.5～100.5
合计 50
(1)补全频率分布表；
(2)补全频率分布直方图；
(3)若成绩在75.5～85.5的学生可以获得二等奖，求获得二等奖的学生人数．
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易错提醒：(1)频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆．
(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布．
[多维变迁]
1．(2026·济南模拟)为了解体育锻炼情况，随机统计了n名学生在某个时间段内的体育锻炼时间，所得数据都在区间[50，150]内，其频率分布直方图如图所示．若在区间[50，75)内的频数为30，则n的值是 ________．
2．(2025·上海期末)某校高一年级100名学生在一次数学测验中成绩(百分制，均为整数)的频率分布直方图如图所示，则成绩在[50，60)之间的学生人数为 ________．
　　　　　　　　　　　　　　　
1．(链接考点一)(2025·乌鲁木齐期末)某班有56名学生，从中选出5名学生．把56名学生进行编号，分别为01，02，03，…，54，55，56．现利用随机数表(以下摘取了随机数表中第1行和第2行)选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左向右依次选取两个数字(作为个体的编号)，如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，继续向右选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为(　　)
32 45 66 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90
57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86
A．09 B．20
C．37 D．05
2．(链接考点二)(2025·吉林期中)某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中一定错误的是(　　)
A．丁险种参保人数超过五成
B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成
C．18～29周岁人群参保的总费用最少
D．人均参保费用不超过5 000元
3．(链接考点三)(多选)(2025·南京期末)已知某班n名学生的数学测试成绩(满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中a＋c＝2b，且成绩在[90，100]内的有5人，则(　　)
A．a＝0.005 B．b＝0.01
C．c＝0.015 D．n＝50
4．(链接考点一)(人教A版必修第二册P185练习T3改编)一支田径队有男运动员56名，女运动员42名，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取________名，女运动员应抽取________名．
第69课时　随机抽样、统计图表
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　总体　个体　样本　样本容量
知识点2　(1)逐个不放回　(2)相等　(3)随机数法
知识点3　(1)简单随机　合在一起　层
(2)　＋()2]＋＋()2]
链教材·夯基固本
1．B　[对于A，总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，故A错误；对于B，样本是指1 000名学生的数学成绩，故B正确；对于C，样本量是1 000，故C错误；对于D，个体指的是每名学生的数学成绩，故D错误．故选B．]
2．解：(1)该抽样过程中编号为1~75每个被抽中的概率相等，故该过程是简单随机抽样．
(2)该过程中，编号为1~24，75，25~74被抽中的可能性不同，故不是简单随机抽样．
(3)该过程中，每个编号被抽中的可能性相同，故该过程是简单随机抽样．
3.120，110，90　[小学生、初中生、高中生人数的比例为12 000∶11 000∶9 000＝12∶11∶9，
故抽取人数分别为320×＝120，320×＝110，320×＝90．]
4．CD　[加班费与包装费同为8%，故相同；
工人支出包括基本工资、加班费和奖金，占比为18%＋8%＋11%＝37%，不到40%．故选CD．]
5．(1)0.004 4　(2)70　[(1)由(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，
解得x＝0.004 4．
(2)用电量落在区间[100，250)内的频率为
(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，
故在被调查的用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为100×0.7＝70．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)C　(2)D　(3)ABD　[(1)找到第1行第6列的数开始向右读，
符合条件的第一个数是394，第二个数是435，第三个数是482，第四个数是173．故选C．
(2)m＋n名学生的平均成绩为74分，其中m名初中生的平均成绩为72分，n名高中生的平均成绩为x分，
得解得x＝80．
故选D．
(3)由题意得，抽取的样本里男生有×100＝60(人)，A正确；
每一位学生被抽中的可能性为，B正确；
该学校学生身高的平均数
＝166，C错误；
该学校学生身高的方差s2＝×[12＋(170－166)2]＋×[38＋(160－166)2]＝46.4，D正确．
故选ABD．]
多维变迁
1．B　[因为高一年级有男生160人，女生120人，抽取男生16人，
所以抽取比例为，
所以抽取人数为(160＋120)×＝28．
故选B．]
2.166　45　[对题中数据分析可得，
项目 人数 平均数 方差
男生 30 170 15
女生 20 160 30
则估计该校高一年级全体学生身高数据的平均数×170＋×160＝166，
方差s2＝×[(170－166)2＋15]＋×[(160－166)2＋30]＝45．]
考点二
典例2　(1)ACD　(2)D　[(1)由扇形图可知青年人占比45%，是老年人占比20%的2倍多，故A正确；
其中满意的青年人占总人数的0.45×0.4×100%＝18%，满意的中年人占总人数的(1－0.45－0.2)×0.7×100%＝24.5%，满意的老年人占总人数的0.2×0.8×100%＝16%，故B错误，C正确；
总满意率为18%＋24.5%＋16%＝58.5%>50%，故D正确．故选ACD．
(2)对于A，由游客人数折线图可知，乙景点的7，8，9月份的总游客人数为33＋44＋53＝130，
甲景点7，8，9月份的总游客人数为30＋52＋47＝129，129<130，A正确；
对于B，根据乙景点的游客人数折线图可知，乙景点每月的游客人数逐月增多，所以总体呈上升趋势，B正确；
对于C，甲景点游客人数的平均数为(14＋21＋26＋30＋52＋47)≈31.7，31.7∈[31，32]，C正确；
对于D，由游客人数折线图可知，乙景点4月到9月中游客量的最高峰期在9月，甲景点4月到9月中游客量的最高峰期在8月，D错误．
故选D．]
多维变迁
　ABD　[对于A，由题图可知，2020－2024年快递业务量逐年上升，故A正确；
对于B，2020－2024年快递业务量的极差为132.0－63.5＝68.5(亿件)，故B正确；
对于C，增长率从小到大排序，
即 2.1%，19.4%，25.3%，29.9%，31.3%，
则中位数为25.3%，故C错误；
对于D，由×(2.1%＋19.4%＋25.3%＋29.9%＋31.3%)＝21.6%，故D正确．
故选ABD．]
考点三
典例3　解：(1)因为50×0.16＝8，＝0.2，50－(4＋8＋10＋16)＝12，＝0.24，且所有频率和为1，
据此补全频率分布表，如表所示．
分组 频数 频率
50.5~60.5 4 0.08
60.5~70.5 8 0.16
70.5~80.5 10 0.2
80.5~90.5 16 0.32
90.5~100.5 12 0.24
合计 50 1
(2)根据(1)中数据可得频率分布直方图，如图所示．
(3)由题意可知，成绩在75.5~85.5频率为＝0.26，
估计获得二等奖的学生人数为900×0.26＝234．
多维变迁
1.300　[由频率分布直方图可知，在区间[50，75)内的频率为0.004×25＝0.1，
所以n＝＝300．]
2.5　[根据频率分布直方图可得(a＋0.020＋0.030＋0.025＋0.020)×10＝1，
则a＝0.005，
所以成绩在[50，60)的频率为0.005×10＝0.05，
则成绩在[50，60)之间的学生人数为100×0.05＝5．]
随堂·对点检测
1．A　[由题意知，依次选出的编号为14，05，11，09，
所以第4个编号为09．
故选A．]
2．B　[对于选项A，由条形图可知丁险种参保比例为1－0.3－0.1－0.04－0.02＝0.54>0.5，超过五成，故A正确；
对于选项B，41岁以上参保人数占比为35%＋10%＝45%，故B错误；
对于选项C，令样本容量为m，由扇形图与折线图可知18~29周岁人群参保人数占比15%，人均参保费用在(3 000，4 000)内，总参保费用小于0.15m×4 000＝600m，而54周岁及以上人群参保比例虽然为10%，但人均参保费用为6 000元，总参保费用约为0.1m×6 000＝600m，显然其他年龄段总参保费用也大于600m，所以18~29周岁人群参保的总费用最少，故C正确；
对于选项D，人均参保费用约15%×4 000＋40%×4 000＋35%×5 500＋10%×6 000＝4 725，故D正确．故选B．]
3．BD　[∵(a＋c＋0.025＋0.035＋2b)×10＝1，又a＋c＝2b，
∴4b＋0.06＝0.1，∴b＝0.01，∴B正确；
又成绩在[90，100]内的有5人，
∴n＝＝50，∴D正确；
∵无法分别求出a，c，∴A，C错误．
故选BD．]
4.16　12　[田径队运动员的总人数是56＋42＝98，要得到容量为28的样本，占总体的比例为，于是应该在男运动员中随机抽取56×＝16(名)，在女运动员中随机抽取28－16＝12(名)．]
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第九章　统计与成对数据的统计分析
第九章　统计与成对数据的统计分析
第69课时　随机抽样、统计图表
[考试要求]　1．理解随机抽样的必要性和重要性．2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样方法，掌握分层随机抽样的均值计算方法．3．理解统计图表的含义．
理法先行·题练固本
知识点1　总体、个体、样本
调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为____，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为____，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为____，样本中包含的个体数称为________，简称样本量．
总体
个体
样本
样本容量
知识点2　简单随机抽样
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样．
(1)抽取方式：__________抽取；
(2)特点：每个个体被抽到的概率____；
(3)常用方法：抽签法和________．
逐个不放回
相等
随机数法
知识点3　分层随机抽样
(1)分层随机抽样的相关概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行________抽样，再把所有子总体中抽取的样本________作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为__．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
简单随机
合在一起
层
(2)比例分配的分层随机抽样所获得样本的均值与方差
利用比例分配的分层(两层)随机抽样获得的样本中，第一层的样本量为n1，均值为第二层的样本量为n2，均值＝___________________，总的样本方差s2＝______________________________________．
＋()2]＋＋()2]
知识点4　统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等．
(2)频率分布表、频率分布直方图
的制作步骤及意义
[常用结论]
1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．
2．分层随机抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．
3．频率分布直方图中小长方形的高＝．
4．频率分布直方图中小矩形的面积＝组距×＝频率，各小矩形的面积表示相应各组的频率，即频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
5．＝样本容量．
1．(人教A版必修第二册P224复习参考题9 T1改编)从某市参加升学考试的学生中随机抽查1 000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是(　　)
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生
B．样本是指1 000名学生的数学成绩
C．样本量指的是1 000名学生
D．个体指的是1 000名学生中的每一名学生
√
B　[对于A，总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，故A错误；对于B，样本是指1 000名学生的数学成绩，故B正确；对于C，样本量是1 000，故C错误；对于D，个体指的是每名学生的数学成绩，故D错误．故选B．]
2．(人教A版必修第二册P189习题9.1T4)下列从总体中抽得的样本是否为简单随机样本？
(1)总体编号为1～75，在0～99中产生随机整数r．若r＝0或r>75，则舍弃，重新抽取．
(2)总体编号为1～75，在0～99中产生随机整数r，r除以75的余数作为抽中的编号．若余数为0，则抽中75．
(3)总体编号为6 001～6 876，在1～876范围内产生一个随机整数r，把r＋6 000作为抽中的编号．
[解]　(1)该抽样过程中编号为1～75每个被抽中的概率相等，故该过程是简单随机抽样．
(2)该过程中，编号为1～24，75，25～74被抽中的可能性不同，故不是简单随机抽样．
(3)该过程中，每个编号被抽中的可能性相同，故该过程是简单随机抽样．
3．(人教B版必修第二册P90习题5－1AT2)已知某地区有小学生12 000人，初中生11 000人，高中生9 000人，现在要了解该地区学生的近视情况，准备抽取320人进行调查，则应该抽取小学生、初中生、高中生的人数分别是______________．
120，110，90
120，110，90　[小学生、初中生、高中生人数的比例为12 000∶
11 000∶9 000＝12∶11∶9，
故抽取人数分别为320×＝120，320×＝110，320×＝90．]
4．(多选)(苏教版必修第二册P236例1改编)某企业2024年年度营业费用情况如图所示，则下面说法中正确的是(　　)
A．基本工资占比最高
B．奖金高于基本工资
C．加班费与包装费相同
D．工人支出占比不到40%
√
√
CD　[加班费与包装费同为8%，故相同；
工人支出包括基本工资、加班费和奖金，占比为18%＋8%＋11%＝37%，不到40%．
故选CD．]
5．(人教A版必修第二册P198练习T1)从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350 kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出如图所示的频率分布直方图．
(1)直方图中x的值为______________；
(2)在被调查的用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为_____．
0.004 4
70
(1)0.004 4　(2)70　[(1)由(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，
解得x＝0.004 4．
(2)用电量落在区间[100，250)内的频率为
(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，
故在被调查的用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为100 ×0.7＝70．]
考点深研·题型突破
考点一　抽样方法
[典例1]　(1)(2025·随州期末)从500件产品中随机抽取20件进行抽样，利用随机数法抽取样本时，先将这500件产品按001，002，003，…，500进行编号，如果从随机数表的第1行第6列开始，从左往右依次选取三个数字，则选出来的第4个个体编号为(　　)
1622　7794　3949　5443　5482　1737　9323　7887　3520　9643
8626　3491　6484　4217　5331　5724　5506　8877　0474　4767
A．435 B．482
C．173 D．237
√
(2)(2025·眉山市二模)某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办了“校园安全知识”竞赛，现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生m名，高中生n名，经统计，m＋n名学生的平均成绩为74分，其中m名初中生的平均成绩为72分，n名高中生的平均成绩为x分，则x＝(　　)
A．74 B．76
C．78 D．80
√
(3)(多选)(2026·银川模拟)某学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用分层随机抽样的方法从1 500名学生(该校男、女生人数之比为3∶2)中抽取了一个容量为100的样本．其中，男生平均身高为170，方差为12，女生平均身高为160，方差为38，则下列说法正确的是(　　)
A．抽取的样本里男生有60人
B．每一位学生被抽中的可能性为
C．估计该学校学生身高的平均数为165
D．估计该学校学生身高的方差为46.4
√
√
√
(1)C　(2)D　(3)ABD　[(1)找到第1行第6列的数开始向右读，
符合条件的第一个数是394，第二个数是435，第三个数是482，第四个数是173．故选C．
(2)m＋n名学生的平均成绩为74分，其中m名初中生的平均成绩为72分，n名高中生的平均成绩为x分，
得解得x＝80．故选D．
(3)由题意得，抽取的样本里男生有×100＝60(人)，A正确；
每一位学生被抽中的可能性为，B正确；
该学校学生身高的平均数＝166，C错误；
该学校学生身高的方差s2＝×[12＋(170－166)2]＋×[38＋(160－166)2]＝46.4，D正确．
故选ABD．]
通性通法：(1)简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．
(2)分层随机抽样中有关计算的方法
①抽样比＝．
②在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x，方差为；第二层的样本量为n，平均值为y，方差为，
则样本的平均数为μ＝y；方差为s2＝＋(μ－x)2]＋＋(μ－y)2]．
[多维变迁]
1．(2025·遂宁期末)某校高一年级有男生160人，女生120人，现需抽调n人参与学校文艺汇演志愿者工作．若按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样．已知男生抽取16人，则n＝(　　)
A．27 B．28
C．29 D．30
√
B　[因为高一年级有男生160人，女生120人，抽取男生16人，
所以抽取比例为，
所以抽取人数为(160＋120)×＝28．
故选B．]
2．(2026·太原模拟)为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本数据的平均数为170，方差为15，女生样本数据的平均数为160，方差为30，则由上述数据估计该校高一年级全体学生身高数据的平均数是______________，方差是______________．
166　
45
166　45　[对题中数据分析可得，
则估计该校高一年级全体学生身高数据的平均数×170＋×160＝166，
方差s2＝×[(170－166)2＋15]＋×[(160－166)2＋30]＝45．]
项目 人数 平均数 方差
男生 30 170 15
女生 20 160 30
【教用·备选题】
(2023·新高考Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　)
A． B．种
C． D．种
√
D　[由题意，初中部和高中部学生人数之比为，所以抽取的60名学生中初中部应有60×＝40(人)，高中部应有60×＝20(人)，所以不同的抽样结果共有种，故选D．]
考点二　统计图表(条形图、扇形图、折线图)
[典例2]　(1)(多选)为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2025年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统
计图如图所示，则下列结论正确的
是(　　)
A．到该地旅游的游客中，青年人是老年人的2倍多
B．到该地旅游的老年人的满意人数是青年人的2倍
C．到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5%
D．到该地旅游的游客满意人数超过一半
√
√
√
(2)(2025·六盘水期末)为了研究某市甲、乙两个旅游景点的游客情况，该市文旅局统计了今年4月到9月甲、乙两个旅游景点的游客人数(单位：万人)，得到如图所示的折线图．根据两个景点的游客人数的折线图，下列说法错误的是(　　)
A．7，8，9月份的总游客人数甲景点比乙景点少
B．乙景点4月到9月的游客人数总体呈上升趋势
C．甲景点4月到9月游客人数的平均数在[31，32]内
D．甲、乙两景点4月到9月中游客量的最高峰期都在8月
√
(1)ACD　(2)D　[(1)由扇形图可知青年人占比45%，是老年人占比20%的2倍多，故A正确；
其中满意的青年人占总人数的0.45×0.4×100%＝18%，满意的中年人占总人数的(1－0.45－0.2)×0.7×100%＝24.5%，满意的老年人占总人数的0.2×0.8×100%＝16%，故B错误，C正确；
总满意率为18%＋24.5%＋16%＝58.5%>50%，故D正确．
故选ACD．
(2)对于A，由游客人数折线图可知，乙景点的7，8，9月份的总游客人数为33＋44＋53＝130，
甲景点7，8，9月份的总游客人数为30＋52＋47＝129，129<130，A正确；
对于B，根据乙景点的游客人数折线图可知，乙景点每月的游客人数逐月增多，所以总体呈上升趋势，B正确；
对于C，甲景点游客人数的平均数为(14＋21＋26＋30＋52＋47)≈31.7，31.7∈[31，32]，C正确；
对于D，由游客人数折线图可知，乙景点4月到9月中游客量的最高峰期在9月，甲景点4月到9月中游客量的最高峰期在8月，D错误．
故选D．]
通性通法：常见统计图表的特点与区别
(1)扇形图：用于直观描述各类数据占总数的比例，易于显示每组数据相对于总数的大小．
(2)条形图：主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，适用于描述离散型数据．
(3)折线图：主要用于描述数据随时间的变化趋势．
[多维变迁]
(多选)某快递公司2020－2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则(　　)
A．该公司2020－2024年快递业务量逐年上升
B．该公司2020－2024年快递业务量的极差为68.5亿件
C．该公司2020－2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9%
D．该公司2020－2024年快递业务量的增长率的平均数为21.6%
√
√
√
ABD　[对于A，由题图可知，2020－2024年快递业务量逐年上升，故A正确；
对于B，2020－2024年快递业务量的极差为132.0－63.5＝68.5(亿件)，故B正确；
对于C，增长率从小到大排序，
即 2.1%，19.4%，25.3%，29.9%，31.3%，
则中位数为25.3%，故C错误；
对于D，由×(2.1%＋19.4%＋25.3%＋29.9%＋31.3%)＝21.6%，故D正确．
故选ABD．]
【教用·备选题】
(多选)(2025·合肥期末)动力电池组对新能源汽车的性能表现以及安全性影响巨大，是新能源汽车非常
核心的部件．如图是刀片电池、三
元锂电池和磷酸铁锂电池部分指标的
雷达图，则下列说法正确的是(　　)
A．刀片电池的安全性更高，价格优势更突出
B．三元锂电池的缺点是循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低
C．对于这7项指标，刀片电池的平均得分低于三元锂电池
D．磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能好
√
√
AB　[由雷达图易知刀片电池的安全性更高，价格优势更突出，故A正确；
三元锂电池的循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低，故B正确；
对于这7项指标，刀片电池的平均得分为(4＋4＋5＋4＋5＋5＋4)÷7＝，
三元锂电池的平均得分为(5＋5＋3＋5＋4＋3＋5)÷7＝，故C错误；
磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能差，故D错误．
故选AB．]
考点三　频率分布直方图
[典例3]　(2025·昆明月考)有900名学生参加“环保知识竞赛”，为考查竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩进行统计，请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图)解释下列问题．
分组 频数 频率
50.5~60.5 4 0.08
60.5~70.5 0.16
70.5~80.5 10
80.5~90.5 16 0.32
90.5~100.5
合计 50
(1)补全频率分布表；
(2)补全频率分布直方图；
(3)若成绩在75.5~85.5的学生可以获得二等奖，求获得二等奖的学生人数．
[解]　(1)因为50×0.16＝8，＝0.2，50－(4＋8＋10＋16)＝12，＝0.24，且所有频率和为1，
据此补全频率分布表，如表所示．
分组 频数 频率
50.5~60.5 4 0.08
60.5~70.5 8 0.16
70.5~80.5 10 0.2
80.5~90.5 16 0.32
90.5~100.5 12 0.24
合计 50 1
(2)根据(1)中数据可得频率分布直方图，如图所示．
(3)由题意可知，成绩在75.5~85.5频率为＝0.26，
估计获得二等奖的学生人数为900×0.26＝234．
易错提醒：(1)频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆．
(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布．
[多维变迁]
1．(2026·济南模拟)为了解体育锻炼情况，随机统计了n名学生在某个时间段内的体育锻炼时间，所得数据都在区间[50，150]内，其频率分布直方图如图所示．若在区间[50，75)内的频数为30，则n的值是 ______________．
300
300　[由频率分布直方图可知，在区间[50，75)内的频率为0.004 ×25＝0.1，所以n＝＝300．]
2．(2025·上海期末)某校高一年级100名学生在一次数学测验中成绩(百分制，均为整数)的频率分布直方图如图所示，则成绩在[50，60)之间的学生人数为 ______________．
5　
5　[根据频率分布直方图可得(a＋0.020＋0.030＋0.025＋0.020)×10＝1，则a＝0.005，
所以成绩在[50，60)的频率为0.005×10＝0.05，
则成绩在[50，60)之间的学生人数为100×0.05＝5．]
1．(链接考点一)(2025·乌鲁木齐期末)某班有56名学生，从中选出5名学生．把56名学生进行编号，分别为01，02，03，…，54，55，56．现利用随机数表(以下摘取了随机数表中第1行和第2行)选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左向右依次选取两个数字(作为个体的编号)，如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，继续向右选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为(　　)
32 45 66 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90
57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86
A．09 B．20
C．37 D．05
√
A　[由题意知，依次选出的编号为14，05，11，09，
所以第4个编号为09．故选A．]
2．(链接考点二)(2025·吉林期中)某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中一定错误的是(　　)
A．丁险种参保人数超过五成
B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成
C．18～29周岁人群参保的总费用最少
D．人均参保费用不超过5 000元
√
B　[对于选项A，由条形图可知丁险种参保比例为1－0.3－0.1－0.04－0.02＝0.54>0.5，超过五成，故A正确；
对于选项B，41岁以上参保人数占比为35%＋10%＝45%，故B错误；
对于选项C，令样本容量为m，由扇形图与折线图可知18～29周岁人群参保人数占比15%，人均参保费用在(3 000，4 000)内，总参保费用小于0.15m×4 000＝600m，而54周岁及以上人群参保比例虽然为10%，但人均参保费用为6 000元，总参保费用约为0.1m×6 000＝600m，显然其他年龄段总参保费用也大于600m，所以18～29周岁人群参保的总费用最少，故C正确；
对于选项D，人均参保费用约15%×4 000＋40%×4 000＋35%×5 500＋10%×6 000＝4 725，故D正确．故选B．]
3．(链接考点三)(多选)(2025·南京期末)已知某班n名学生的数学测试成绩(满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中a＋c＝2b，且成绩在[90，100]内的有5人，则(　　)
A．a＝0.005
B．b＝0.01
C．c＝0.015
D．n＝50
√
√
BD　[∵(a＋c＋0.025＋0.035＋2b)×10＝1，又a＋c＝2b，∴4b＋0.06＝0.1，∴b＝0.01，∴B正确；
又成绩在[90，100]内的有5人，
∴n＝＝50，∴D正确；
∵无法分别求出a，c，∴A，C错误．故选BD．]
4．(链接考点一)(人教A版必修第二册P185练习T3改编)一支田径队有男运动员56名，女运动员42名，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取______________名，女运动员应抽取______________名．
16　12　[田径队运动员的总人数是56＋42＝98，要得到容量为28的样本，占总体的比例为，于是应该在男运动员中随机抽取56×＝16(名)，在女运动员中随机抽取28－16＝12(名)．]
16　
12　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
一、单项选择题
1．(2025·安顺期末)某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1 200，1 200，1 500．现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为260的样本，则从高三年级中抽取的学生人数为(　　)
A．60 B．80
C．100 D．120
课时作业(六十九)　随机抽样、统计图表
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[根据题意，高一、高二、高三年级学生人数之比为4∶4∶5，
所以从高三年级抽取的学生人数为×260＝100．
故选C．]
√
2．(2026·张掖模拟)在某次赛车中，50名参赛选手的成绩(单位：min)全部介于13到18之间(包括13和18)，将比赛成绩分为五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，……，第五组[17，18]，其频率分布直方图如图所示．若成绩在[13，15)内的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为(　　)
A．11 B．15
C．35 D．39
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A　[由题意可得成绩在[13，15)内的频率为1－0.08－0.32－0.38＝0.22，
又本次赛车中，共50名参赛选手，
所以这50名选手中获奖的人数为50×0.22＝11．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
3．(人教B版必修第二册P92习题5－1C T2改编)为比较甲、乙两名学生的数学素养，对课程标准中规定的六大数学核心素养进行指标测验，指标值满分为5分，分值高者为优，根据测验情况绘制了如图所示的六大数学核心素养指标雷达图，
则下面叙述错误的是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
A．甲的数据分析核心素养优于乙
B．乙的数学运算核心素养优于数学抽象核心素养
C．甲的六大数学核心素养指标值波动性比乙的小
D．甲、乙在数学建模核心素养上的差距比在直观想象核心素养上的差距大
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
D　[对于A，甲的数据分析核心素养指标值为5，乙的为4，故A正确；对于B，乙的数学运算核心素养指标值为5，数学抽象核心素养指标值为3，故B正确；对于C，甲的六大数学核心素养指标值均为4或5，乙的六大数学核心素养指标值有3，4，5，故甲的波动性较小，故C正确；对于D，甲、乙在数学建模核心素养上的指标值差为1，甲、乙在直观想象核心素养上的指标值差为2，故D错误．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
4．(2025·天津静海区三模)某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．现用分层随机抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在高三年级抽取的女生人数为(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
高一年级 高二年级 高三年级
女生 373 x y
男生 377 370 250
A．24 B．16
C．12 D．8
√
D　[由题意，高二年级女生有2 000×0.19＝380(名)，即x＝380，
则高三年级女生有y＝2 000－373－380－377－370－250＝250(名)，
则用分层随机抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在高三年级抽取的女生人数为×64＝8．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
5．(2026·九江模拟)某学校高一年级在校人数为600，其中男生350人，女生250人，为了解学生身高情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为172 cm，抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为160 cm，则该校高一学生的平均身高为(　　)
A．162 cm B．167 cm
C．164 cm D．169 cm
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
B　[设样本中男生身高的平均数为，
则＝172，＝160，
所以样本平均数×172＋×160＝167(cm)，
故该校高一学生的平均身高为167 cm．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
6．(2026·株洲模拟)已知某中学共有学生1 000名，其中男生有600人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生身高的平均数和方差分别为160和4，女生身高的平均数和方差分别为155和3，则估计该校学生身高的总体方差是(　　)
A．9.6 B．9
C．8.6 D．8
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A　[由题意得，抽取的100人中，男生有60人，女生有40人，
由抽取的样本中男生身高的平均数为160，女生身高的平均数为155，
可得这100名学生的平均身高为＝158，
又抽取的样本中男生身高的平均数和方差分别为160和4，
女生身高的平均数和方差分别为155和3，
所以这100名学生身高的方差为
×[4＋(160－158)2]＋×[3＋(155－158)2]＝9.6，
所以估计该校学生身高的总体方差是9.6．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
二、多项选择题
7．(2025·商洛期末)某学校调查学生对学校食堂意见情况，该学校分高一、高二、高三三个年级，统计可得这三个年级的人数比例为4∶3∶3．现用分层随机抽样的方法从这些学生中抽取n名学生进行调查，若高一年级抽到80人，则(　　)
A．高二年级抽到60人　
B．高三年级抽到90人　
C．n＝200
D．抽取的高二与高三人数之和比高一多40人
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
√
ACD　[高一、高二、高三的人数比例为4∶3∶3，分层随机抽样时各层抽取的样本数与总体比例一致，
设高一、高二、高三抽取的样本数分别为4k，3k，3k(k为比例系数)，
已知高一年级抽到80人，即4k＝80，
解得k＝20，
高二年级抽取人数为3k＝3×20＝60，故选项A正确；
高三年级抽取人数为3k＝60，选项B错误；
总样本数n＝80＋60＋60＝200，选项C正确；
抽取的高二与高三人数之和为60＋60＝120，比高一多120－80＝40，选项D正确．
故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
8．(2025·汕头潮阳区月考)2024年4月30日国家统计局发布了制造业采购经理指数(PMI)，如图所示．下列说法正确的是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
A．从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数(PMI)的第75百分位数为50.4%
B．从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数(PMI)的极差为1.8%
C．从2023年4月到2024年4月制造业采购经理指数(PMI)呈下降趋势
D．制造业采购经理指数(PMI)大于50%表示经济处于扩张活跃的状态，制造业采购经理指数(PMI)小于50%表示经济处于低迷萎缩的状态，则2024年3月到2024年4月，经济处于扩张活跃的状态
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
√
ABD　[对于选项A，从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数(PMI)按从小到大的顺序为49.0%，49.1%，49.2%，49.4%，49.5%，50.4%，50.8%，
因为7×75%＝5.25，
所以第75百分位数为50.4%，故A正确；
对于选项B，极差为50.8%－49.0%＝1.8%，故B正确；
对于选项C，制造业采购经理指数(PMI)有升有降，故C错误；
对于选项D，2024年3月到2024年4月，PMI大于50%，经济处于扩张活跃的状态，故D正确．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
9．(2025·许昌期末)为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛．从参赛的2 000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则(　　)
A．a的值为0.030
B．抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间
C．2 000名考生中约有10名成绩优秀
D．估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
√
ABD　[依题意，(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)×10＝1，
解得a＝0.030，故A选项正确；
根据频率分布直方图，90－50＝40，100－40＝60，
所以极差介于40分至60分之间，故B选项正确；
因为90分以上的频率为0.1，
所以2 000名考生中约有2 000×0.1＝200(名)成绩优秀，故C选项错误；
成绩介于70分至90分之间的频率为0.3＋0.25＝0.55，
所以估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间，故D选项正确．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
三、填空题
10．(2025·大同期末)某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到如下的统计图表，则样本中人数最多的是_____层，样本中E层的男生人数为_____．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
B　
6　
B　6　[由题图可知女生人数为60，则男生人数为40，
样本中A层的人数为9＋40×10%＝13；
样本中B层的人数为24＋40×30%＝36；
样本中C层的人数为15＋40×25%＝25；
样本中D层的人数为9＋40×20%＝17；
样本中E层的人数为3＋40×15%＝9．
故样本中B层的人数最多．
样本中E层的男生人数为40×15%＝6．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
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11．(2025·北京东城区期末)某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图．若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据a＝ ______．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
0.01
0.01　[因为样本中分数低于60分的有15人，
所以样本中分数不低于60分的有100－15＝85(人)，
由频率分布直方图可知，样本中分数不低于60分的频率为0.25＋0.3＋0.2＋10a＝0.75＋10a，
所以100×(0.75＋10a)＝85，
解得a＝0.01．]
题号
1
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4
6
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10
11
谢谢！课时作业(六十九)　随机抽样、统计图表
一、单项选择题
1．(2025·安顺期末)某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1 200，1 200，1 500．现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为260的样本，则从高三年级中抽取的学生人数为(　　)
A．60 B．80
C．100 D．120
2．(2026·张掖模拟)在某次赛车中，50名参赛选手的成绩(单位：min)全部介于13到18之间(包括13和18)，将比赛成绩分为五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，……，第五组[17，18]，其频率分布直方图如图所示．若成绩在[13，15)内的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为(　　)
A．11 B．15
C．35 D．39
3．(人教B版必修第二册P92习题5－1C T2改编)为比较甲、乙两名学生的数学素养，对课程标准中规定的六大数学核心素养进行指标测验，指标值满分为5分，分值高者为优，根据测验情况绘制了如图所示的六大数学核心素养指标雷达图，则下面叙述错误的是(　　)
A．甲的数据分析核心素养优于乙
B．乙的数学运算核心素养优于数学抽象核心素养
C．甲的六大数学核心素养指标值波动性比乙的小
D．甲、乙在数学建模核心素养上的差距比在直观想象核心素养上的差距大
4．(2025·天津静海区三模)某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．现用分层随机抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在高三年级抽取的女生人数为(　　)
高一年级 高二年级 高三年级
女生 373 x y
男生 377 370 250
A．24 B．16
C．12 D．8
5．(2026·九江模拟)某学校高一年级在校人数为600，其中男生350人，女生250人，为了解学生身高情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为172 cm，抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为160 cm，则该校高一学生的平均身高为(　　)
A．162 cm B．167 cm
C．164 cm D．169 cm
6．(2026·株洲模拟)已知某中学共有学生1 000名，其中男生有600人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生身高的平均数和方差分别为160和4，女生身高的平均数和方差分别为155和3，则估计该校学生身高的总体方差是(　　)
A．9.6 B．9
C．8.6 D．8
二、多项选择题
7．(2025·商洛期末)某学校调查学生对学校食堂意见情况，该学校分高一、高二、高三三个年级，统计可得这三个年级的人数比例为4∶3∶3．现用分层随机抽样的方法从这些学生中抽取n名学生进行调查，若高一年级抽到80人，则(　　)
A．高二年级抽到60人　
B．高三年级抽到90人　
C．n＝200
D．抽取的高二与高三人数之和比高一多40人
8．(2025·汕头潮阳区月考)2024年4月30日国家统计局发布了制造业采购经理指数(PMI)，如图所示．下列说法正确的是(　　)
A．从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数(PMI)的第75百分位数为50.4%
B．从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数(PMI)的极差为1.8%
C．从2023年4月到2024年4月制造业采购经理指数(PMI)呈下降趋势
D．制造业采购经理指数(PMI)大于50%表示经济处于扩张活跃的状态，制造业采购经理指数(PMI)小于50%表示经济处于低迷萎缩的状态，则2024年3月到2024年4月，经济处于扩张活跃的状态
9．(2025·许昌期末)为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛．从参赛的2 000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则(　　)
A．a的值为0.030
B．抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间
C．2 000名考生中约有10名成绩优秀
D．估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间
三、填空题
10．(2025·大同期末)某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到如下的统计图表，则样本中人数最多的是________层，样本中E层的男生人数为________．
11．(2025·北京东城区期末)某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图．若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据a＝ ________．
课时作业(六十九)
1．C　[根据题意，高一、高二、高三年级学生人数之比为4∶4∶5，
所以从高三年级抽取的学生人数为
×260＝100．故选C．]
2．A　[由题意可得成绩在[13，15)内的频率为1－0.08－0.32－0.38＝0.22，
又本次赛车中，共50名参赛选手，
所以这50名选手中获奖的人数为50×0.22＝11．
故选A．]
3．D　[对于A，甲的数据分析核心素养指标值为5，乙的为4，故A正确；对于B，乙的数学运算核心素养指标值为5，数学抽象核心素养指标值为3，故B正确；对于C，甲的六大数学核心素养指标值均为4或5，乙的六大数学核心素养指标值有3，4，5，故甲的波动性较小，故C正确；对于D，甲、乙在数学建模核心素养上的指标值差为1，甲、乙在直观想象核心素养上的指标值差为2，故D错误．故选D．]
4．D　[由题意，高二年级女生有2 000×0.19＝380(名)，即x＝380，
则高三年级女生有y＝2 000－373－380－377－370－250＝250(名)，
则用分层随机抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在高三年级抽取的女生人数为×64＝8．故选D．]
5．B　[设样本中男生身高的平均数为，
则＝172，＝160，
所以样本平均数×172＋×160＝167(cm)，
故该校高一学生的平均身高为167 cm．
故选B．]
6．A　[由题意得，抽取的100人中，男生有60人，女生有40人，
由抽取的样本中男生身高的平均数为160，女生身高的平均数为155，
可得这100名学生的平均身高为
＝158，
又抽取的样本中男生身高的平均数和方差分别为160和4，
女生身高的平均数和方差分别为155和3，
所以这100名学生身高的方差为
×[4＋(160－158)2]＋×[3＋(155－158)2]＝9.6，
所以估计该校学生身高的总体方差是9.6．
故选A．]
7．ACD　[高一、高二、高三的人数比例为4∶3∶3，分层随机抽样时各层抽取的样本数与总体比例一致，
设高一、高二、高三抽取的样本数分别为4k，3k，3k(k为比例系数)，
已知高一年级抽到80人，即4k＝80，
解得k＝20，
高二年级抽取人数为3k＝3×20＝60，故选项A正确；
高三年级抽取人数为3k＝60，选项B错误；
总样本数n＝80＋60＋60＝200，选项C正确；
抽取的高二与高三人数之和为60＋60＝120，比高一多120－80＝40，选项D正确．
故选ACD．]
8．ABD　[对于选项A，从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数(PMI)按从小到大的顺序为49.0%，49.1%，49.2%，49.4%，49.5%，50.4%，50.8%，
因为7×75%＝5.25，
所以第75百分位数为50.4%，故A正确；
对于选项B，极差为50.8%－49.0%＝1.8%，故B正确；
对于选项C，制造业采购经理指数(PMI)有升有降，故C错误；
对于选项D，2024年3月到2024年4月，PMI大于50%，经济处于扩张活跃的状态，故D正确．
故选ABD．]
9．ABD　[依题意，(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)×10＝1，
解得a＝0.030，故A选项正确；
根据频率分布直方图，90－50＝40，100－40＝60，
所以极差介于40分至60分之间，故B选项正确；
因为90分以上的频率为0.1，
所以2 000名考生中约有2 000×0.1＝200(名)成绩优秀，故C选项错误；
成绩介于70分至90分之间的频率为0.3＋0.25＝0.55，
所以估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间，故D选项正确．
故选ABD．]
10．B　6　[由题图可知女生人数为60，则男生人数为40，
样本中A层的人数为9＋40×10%＝13；
样本中B层的人数为24＋40×30%＝36；
样本中C层的人数为15＋40×25%＝25；
样本中D层的人数为9＋40×20%＝17；
样本中E层的人数为3＋40×15%＝9．
故样本中B层的人数最多．
样本中E层的男生人数为40×15%＝6．]
11.0．01　[因为样本中分数低于60分的有15人，
所以样本中分数不低于60分的有100－15＝85(人)，
由频率分布直方图可知，样本中分数不低于60分的频率为0.25＋0.3＋0.2＋10a＝0.75＋10a，所以100×(0.75＋10a)＝85，
解得a＝0.01．]
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