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第70课时　用样本估计总体
[考试要求]　1．能用样本估计总体的取值规律，会求n个数据的第p百分位数．2．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义．3．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义．
知识点1　百分位数
(1)第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据________这个值，且至少有________的数据大于或等于这个值．
(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算i＝n×p%；第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第________项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的________．
(3)第25百分位数，第50百分位数(中位数)，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称________四分位数或________四分位数，第75百分位数也称________四分位数或________四分位数．
知识点2　众数、中位数与平均数
(1)众数：一组数据中重复出现次数________的数据．
(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在________位置的数(或中间两个数的________)叫做这组数据的中位数．
(3)平均数：如果n个数x1，x2，… xn，那么________________叫做这n个数的平均数．
一般地，对数值型数据集中趋势的描述，可以用________、________；而对分类型数据集中趋势的描述，可以用________．
知识点3　方差与标准差
(1)方差、标准差的定义：一组数据x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为________＝________，标准差为________．
(2)总体方差和总体标准差
①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2＝
②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差S2＝
[常用结论]
1．频率分布直方图中的常用结论
(1)众数的估计值为最高矩形底边中点对应的横坐标；
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积之和是相等的．
2．平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a．
(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2．
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2．
1．(人教A版必修第二册P203例2改编)某射击运动员7次训练的成绩分别为86，88，90，89，88，87，85，则这7次成绩的第80百分位数为(　　)
A．88.5　　B．89　　C．91　　D．89.5
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2．(人教A版必修第二册P181练习T1)为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50 000户居民的日用电量．若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5 kW·h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数(　　)
A．一定为5.5 kW·h
B．高于5.5 kW·h
C．低于5.5 kW·h
D．约为5.5 kW·h
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3．(北师大版必修第一册P170例3改编)为了判断甲、乙两名同学本学期几次数学考试成绩哪个较稳定，通常需要知道这两人的(　　)
A．平均数 B．众数
C．方差 D．频率分布
4．(人教A版必修第二册P216习题9.2T2)甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：
甲　0　1　0　2　2　0　3　1　2　4
乙　2　3　1　1　0　2　1　1　0　1
分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，________机床的性能更好．
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5．(用结论)若数据3x1－2，3x2－2，…，3x10－2的方差为18，则数据x1，x2，…，x10的方差为________．
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考点一　总体百分位数的估计
[典例1]　(1)(2025·丽江三模)样本数据16，21，18，28，14，20，22，24的第75百分位数为(　　)
A．16 B．17
C．23 D．24
(2)研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1 000名学生的每周自主复习时间，按照时长(单位：h)分成五组：[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12]，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是(　　)
A．7 B．7.5
C．7.8 D．8
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通性通法：频率分布直方图中可运用面积和求第p百分位数或按下列方法计算：
(1)确定百分位数所在的区间[a，b)．
(2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为a＋×(b－a)．
[多维变迁]
1．(2025·开封月考)已知数据6，9，5，8，4，m的75%分位数是8，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，6] B．(－∞，8)
C．(－∞，8] D．(6，8)
2．(2025·福州期末)某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了400名学生，得到这400名学生对食堂用餐质量给出的评分数据(评分均在[50，100]内)，将所得数据分成五组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第60百分位数为(　　)
A．82.5 B．81.5
C．87.5 D．85
考点二　总体集中趋势的估计
　样本的数字特征
[典例2]　(多选)(2025·大同月考)某地连续8天的最高气温(单位：摄氏度)分别为26，29，27，29，26，29，31，33，则这8个数据的(　　)
A．平均数为28.75
B．众数为29
C．中位数为27.5
D．第80百分位数为31
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通性通法：中位数、众数和平均数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”和“平均水平”，我们需根据实际需要选择使用．
[多维变迁]
1．(2025·保定三模)一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这组数据的第60百分位数相等，则该组数据的平均数为(　　)
A．7.5 B．6
C．4.5 D．3
2．(2025·台州期末)已知数据x1，x2，…，x10的平均数为5，数据y1，y2，…，y8的平均数为6，则数据x1，x2，…，x10，y1，y2，…，y8的平均数为(　　)
A． B．5
C．6 D．
　频率分布直方图中的数字特征
[典例3]　某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
(1)求a，b的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的众数、平均数和中位数(精确到0.1)．
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[多维变迁]
(多选)(2025·长沙期末)在某次单元测试中，4 000名考生的考试成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中正确的有(　　)
A．成绩在[70，80)分的考生人数最多
B．考生考试成绩的第80百分位数为83.3
C．考生考试成绩的平均分约为70.5分
D．考生考试成绩的中位数为75分
考点三　总体离散程度的估计
[典例4]　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下：
试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2．
(1)求，s2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高．)
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通性通法：总体离散程度的估计
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．
[多维变迁]
1．(2025·揭阳月考)设一组样本数据x1，x2，…，xn的平均数为3，方差为4，则数据3x1＋1，3x2＋1，…，3xn＋1的标准差为(　　)
A．12 B．3
C．6 D．36
2．(2025·大连一模)一组样本数据x1，x2，x3，…，x10(x1＜x2＜x3＜…＜x10)的平均数为2，方差为8，则由这组样本数据得到的新样本数据2，2，x1，x2，…，x10的方差为(　　)
A．5 B．
C．6 D．
1．(链接考点三)下列说法正确的是(　　)
A．在两组数据中，平均数较大的一组极差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差反映数据波动的大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和
D．在记录两个射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平稳定
2．(链接考点一)(2026·石家庄模拟)为激发同学们对无人机飞行的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名学生的成绩依次为65，95，75，70，95，85，92，80，则这组数据的75%分位数为(　　)
A．93.5 B．93
C．92 D．91.5
3．(链接考向2)(多选)(2025·海口琼山区校级期中)某校开展了“爱祖国，跟党走”的知识答题竞赛，若参赛学生的成绩都在50至100分之间，现随机抽取200名学生的成绩，进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图，则(　　)
A．在被抽取的学生中，成绩在区间[80，90)内的学生有50人
B．图中x的值为0.040
C．估计全校学生成绩的众数为95
D．估计全校学生成绩的70%分位数为92.5
4．(链接考向1)(2025·西宁期末)数据1，2，a，a＋1是按从小到大的顺序排列的，它的中位数是3，则这组数据的平均数为________．
第70课时　用样本估计总体
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)小于或等于　(100－p)%
(2)j　平均数　(3)第一　下　第三　上
知识点2　(1)最多　(2)中间　平均值
(3)(x1＋x2＋…＋xn)　平均数
中位数　众数
知识点3　(1)(xi－)2　　
链教材·夯基固本
1．B　[因为7次训练的成绩从小到大排列为85，86，87，88，88，89，90，且7×80%＝5.6，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据，即89．故选B．]
2．D　[由样本的数字特征与总体的数字特征的关系，可知全市居民用户日用电量的平均数约为5.5 kW·h．]
3．C　[方差刻画一组数据的集中程度或稳定性．故选C．]
4．乙　[甲机床的平均数＝
＝1.5，标准差s甲＝
≈1.28；乙机床的平均数＝1.2，标准差s乙＝
≈0.87．比较发现乙机床的平均数较小而且标准差也较小，说明乙机床生产的次品数比甲机床生产的次品数少，而且更为稳定，所以乙机床的性能更好．]
5.2　[设数据x1，x2，…，x10的方差为s2，则数据3x1－2，3x2－2，…，3x10－2的方差为9s2，由题可知9s2＝18，解得s2＝2．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)C　(2)B　[(1)已知数据16，21，18，28，14，20，22，24，
则从小到大排列为14，16，18，20，21，22，24，28，
又8×75%＝6，所以第75百分位数为＝23．故选C．
(2)由于2×(0.05＋0.1)＝0.3，2×(0.05＋0.1＋0.2)＝0.7，
所以样本数据的第60百分位数的估计值是6＋×2＝7.5．故选B．]
多维变迁
1．C　[已知数据6，9，5，8，4，m的75%分位数是8，
由题可知数据的总个数为6，6×75%＝4.5，
所以该组数据的75%分位数是这组数据从小到大排列后的第5个数据，
则m≤8，即实数m的取值范围是(－∞，8]．
故选C．]
2．D　[根据题意，设该组数据的第60百分位数为x，
第一组的频率为0.010×10＝0.1，
第二组的频率为0.015×10＝0.15，
第三组的频率为0.020×10＝0.2，
第四组的频率为0.030×10＝0.3，
则x在第四组，则0.1＋0.15＋0.2＋(x－80)×0.03＝0.6，解得x＝85．
故估计学生对食堂用餐质量的评分的第60百分位数为85．
故选D．]
考点二
考向1　典例2　ABD　[对于A，平均数为(26＋29＋27＋29＋26＋29＋31＋33)＝28.75，
故A正确；
对于B，29在该组数据中出现的次数最多，故众数为29，故B正确；
对于C，中位数为该组数据从小到大排列后的第四个数与第五个数的平均数，即为＝29，故C错误；
对于D，连续8天的最高气温从小到大排列为26，26，27，29，29，29，31，33，
因为8×0.8＝6.4，所以第80百分位数为从小到大排列后的第7个数，即为31，故D正确．故选ABD．]
多维变迁
1．A　[因为这组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，
所以中位数为，
由6×60%＝3.6，得这组数据的第60百分位数为a，
所以＝a，解得a＝6．
所以这组数据的平均数为
＝7.5．
故选A．]
2．D　[∵数据x1，x2，…，x10的平均数为5，
数据y1，y2，…，y8的平均数为6，
∴由加权平均数公式得数据x1，x2，…，x10，y1，y2，…，y8的平均数为
(10×5＋8×6)＝．
故选D．]
考向2　典例3　解：(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以(0.045＋0.020＋a)×10＝0.7，解得a＝0.005，
所以前两组的频率之和为1－0.7＝0.3，即(a＋b)×10＝0.3，所以b＝0.025．
(2)由样本的频率分布直方图，
得众数为＝70，
平均数为50×0.05＋60×0.25＋70×0.45＋80×0.2＋90×0.05＝69.5，
前两组频率和：0.05＋0.25＝0.3<0.5，前三组频率和：0.3＋0.45＝0.75>0.5，
因此，中位数在第三组[65，75)内，设中位数为x，则0.3＋0.045×(x－65)＝0.5，解得x≈69.4．
则这100名候选者的众数、平均数和中位数分别约为70分、69.5分和69.4分．
多维变迁
　ABC　[A选项，由频率分布直方图知[70，80)对应矩形最高，即频率最大，故成绩在[70，80)内的考生人数最多，A选项正确；
B选项，由0.01×10＝0.1<0.2<(0.01＋0.015)×10＝0.25，故成绩的第80百分位数在区间[80，90)内，设为x，则0.1＋(90－x)×0.015＝0.2，可得x≈83.3分，B选项正确；
C选项，由题图知，平均分为0.1×45＋0.15×55＋0.2×65＋0.3×75＋0.15×85＋0.1×95＝70.5，C选项正确；
D选项，由(0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.45<0.5<(0.01＋0.015＋0.02＋0.03)×10＝0.75，
所以中位数位于区间[70，80)，设为y，则0.5－0.45＝(y－70)×0.03，可得y≈71.7分，D选项错误．
故选ABC．]
考点三
典例4　解：(1)由题意，求出zi的值如表所示，
试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12
则×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，
s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61．
(2)因为2＝2＝11＝，
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
多维变迁
1．C　[因为样本数据x1，x2，…，xn的方差为4，
所以数据3x1＋1，3x2＋1，…，3xn＋1的方差为32×4＝36，
故标准差为＝6．
故选C．]
2．D　[一组样本数据x1，x2，x3，…，x10(x1则x1＋x2＋x3＋…＋x10＝2×10＝20，
则新样本数据的平均数为
＝2，
所以新样本数据的方差为[(2－2)2＋…＋(x10－2)2]＝．
故选D．]
随堂·对点检测
1．B　[平均数反映数据的集中趋势，平均数的大小并不能说明该组数据极差的大小，所以A错误；平均数反映数据的集中趋势，方差反映数据波动的大小，所以B正确；一组数据x1，x2，…，xn，其平均数为，则其方差s2＝(xi－)2，所以C错误；方差大说明射击水平不稳定，所以D错误．故选B．]
2．A　[将8名学生的成绩从低到高依次排列为65，70，75，80，85，92，95，95，
因为8×75%＝6，所以这组数据的75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即为＝93.5．故选A．]
3．BCD　[由题图可知，成绩在区间[80，90)内的频率为0.030×10＝0.3，抽取学生总数为200，
则成绩在该区间的学生人数为0.3×200＝60，所以选项A错误；
由(0.005＋0.010＋0.015＋0.030＋x)×10＝1，得x＝0.040，所以选项B正确；
因为众数估计为＝95，所以选项C正确；
设70%分位数为m，因为成绩在[50，90)的频率为(0.005＋0.010＋0.015＋0.030)×10＝0.6，而成绩在[50，100]的频率为1，所以m在[90，100]内，
根据分位数计算公式0.6＋(m－90)×0.04＝0.7，解得m＝92.5，
所以估计全校学生成绩的70%分位数为92.5，所以选项D正确．
故选BCD．]
4.3　[∵数据1，2，a，a＋1是按从小到大的顺序排列的，它的中位数是3，
∴(2＋a)＝3，解得a＝4，
∴这组数据的平均数为(1＋2＋4＋4＋1)＝3．]
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第九章　统计与成对数据的统计分析
第70课时　用样本估计总体
[考试要求]　1．能用样本估计总体的取值规律，会求n个数据的第p百分位数．2．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义．3．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义．
理法先行·题练固本
知识点1　百分位数
(1)第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据__________这个值，且至少有____________的数据大于或等于这个值．
小于或等于
(100－p)%
(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算i＝n×p%；第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第__项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的_______．
(3)第25百分位数，第50百分位数(中位数)，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称_____四分位数或___四分位数，第75百分位数也称_____四分位数或___四分位数．
j
平均数
第一
下
第三
上
知识点2　众数、中位数与平均数
(1)众数：一组数据中重复出现次数____的数据．
(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在____位置的数(或中间两个数的______)叫做这组数据的中位数．
(3)平均数：如果n个数x1，x2，… xn，那么______________________叫做这n个数的平均数．
一般地，对数值型数据集中趋势的描述，可以用______、______；而对分类型数据集中趋势的描述，可以用____．
最多
中间
平均值
(x1＋x2＋…＋xn)
平均数
中位数
众数
知识点3　方差与标准差
(1)方差、标准差的定义：一组数据x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为______________
标准差为___________________ ．
(xi－)2
(2)总体方差和总体标准差
①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为则总体方差S2Yi－)2．
②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差S2＝)2．
[常用结论]
1．频率分布直方图中的常用结论
(1)众数的估计值为最高矩形底边中点对应的横坐标；
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积之和是相等的．
2．平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a．
(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2．
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2．
1．(人教A版必修第二册P203例2改编)某射击运动员7次训练的成绩分别为86，88，90，89，88，87，85，则这7次成绩的第80百分位数为(　　)
A．88.5　　B．89　　C．91　　D．89.5
√
B　[因为7次训练的成绩从小到大排列为85，86，87，88，88，89，90，且7×80%＝5.6，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据，即89．故选B．]
2．(人教A版必修第二册P181练习T1)为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50 000户居民的日用电量．若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5 kW·h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数(　　)
A．一定为5.5 kW·h B．高于5.5 kW·h
C．低于5.5 kW·h D．约为5.5 kW·h
√
D　[由样本的数字特征与总体的数字特征的关系，可知全市居民用户日用电量的平均数约为5.5 kW·h．]
3．(北师大版必修第一册P170例3改编)为了判断甲、乙两名同学本学期几次数学考试成绩哪个较稳定，通常需要知道这两人的(　　)
A．平均数 B．众数
C．方差 D．频率分布
√
C　[方差刻画一组数据的集中程度或稳定性．故选C．]
4．(人教A版必修第二册P216习题9.2T2)甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：
甲　0　1　0　2　2　0　3　1　2　4
乙　2　3　1　1　0　2　1　1　0　1
分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，______________机床的性能更好．
乙　
乙　[甲机床的平均数
＝1.5，
标准差s甲＝≈1.28；乙机床的平均数＝1.2，标准差s乙＝
≈0.87．比较发现乙机床的平均数较小而且标准差也较小，说明乙机床生产的次品数比甲机床生产的次品数少，而且更为稳定，所以乙机床的性能更好．]
5．(用结论)若数据3x1－2，3x2－2，…，3x10－2的方差为18，则数据x1，x2，…，x10的方差为______________．
2　[设数据x1，x2，…，x10的方差为s2，则数据3x1－2，3x2－2，…，3x10－2的方差为9s2，由题可知9s2＝18，解得s2＝2．]
2　
考点深研·题型突破
考点一　总体百分位数的估计
[典例1]　(1)(2025·丽江三模)样本数据16，21，18，28，14，20，22，24的第75百分位数为(　　)
A．16 B．17
C．23 D．24
√
(2)研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1 000名学生的每周自主复习时间，按照时长(单位：h)分成五组：[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12]，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是(　　)
A．7 B．7.5
C．7.8 D．8
√
(1)C　(2)B　[(1)已知数据16，21，18，28，14，20，22，24，
则从小到大排列为14，16，18，20，21，22，24，28，
又8×75%＝6，所以第75百分位数为＝23．
故选C．
(2)由于2×(0.05＋0.1)＝0.3，2×(0.05＋0.1＋0.2)＝0.7，
所以样本数据的第60百分位数的估计值是6＋×2＝7.5．故选B．]
通性通法：频率分布直方图中可运用面积和求第p百分位数或按下列方法计算：
(1)确定百分位数所在的区间[a，b)．
(2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为a＋×(b－a)．
[多维变迁]
1．(2025·开封月考)已知数据6，9，5，8，4，m的75%分位数是8，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，6] B．(－∞，8)
C．(－∞，8] D．(6，8)
√
C　[已知数据6，9，5，8，4，m的75%分位数是8，
由题可知数据的总个数为6，6×75%＝4.5，
所以该组数据的75%分位数是这组数据从小到大排列后的第5个数据，
则m≤8，即实数m的取值范围是(－∞，8]．
故选C．]
2．(2025·福州期末)某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了400名学生，得到这400名学生对食堂用餐质量给出的评分数据(评分均在[50，100]内)，将所得数据分成五组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第60百分位数为(　　)
A．82.5
B．81.5
C．87.5
D．85
√
D　[根据题意，设该组数据的第60百分位数为x，
第一组的频率为0.010×10＝0.1，
第二组的频率为0.015×10＝0.15，
第三组的频率为0.020×10＝0.2，
第四组的频率为0.030×10＝0.3，
则x在第四组，则0.1＋0.15＋0.2＋(x－80)×0.03＝0.6，解得x＝85．
故估计学生对食堂用餐质量的评分的第60百分位数为85．故选D．]
考点二　总体集中趋势的估计
考向1　样本的数字特征
[典例2]　(多选)(2025·大同月考)某地连续8天的最高气温(单位：摄氏度)分别为26，29，27，29，26，29，31，33，则这8个数据的
(　　)
A．平均数为28.75 B．众数为29
C．中位数为27.5 D．第80百分位数为31
√
√
√
ABD　[对于A，平均数为(26＋29＋27＋29＋26＋29＋31＋33)＝28.75，故A正确；
对于B，29在该组数据中出现的次数最多，故众数为29，故B正确；
对于C，中位数为该组数据从小到大排列后的第四个数与第五个数的平均数，即为＝29，故C错误；
对于D，连续8天的最高气温从小到大排列为26，26，27，29，29，29，31，33，
因为8×0.8＝6.4，所以第80百分位数为从小到大排列后的第7个数，即为31，故D正确．故选ABD．]
通性通法：中位数、众数和平均数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”和“平均水平”，我们需根据实际需要选择使用．
[多维变迁]
1．(2025·保定三模)一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这组数据的第60百分位数相等，则该组数据的平均数为(　　)
A．7.5 B．6
C．4.5 D．3
√
A　[因为这组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，
所以中位数为，
由6×60%＝3.6，得这组数据的第60百分位数为a，所以＝a，解得a＝6．
所以这组数据的平均数为＝7.5．
故选A．]
2．(2025·台州期末)已知数据x1，x2，…，x10的平均数为5，数据y1，y2，…，y8的平均数为6，则数据x1，x2，…，x10，y1，y2，…，y8的平均数为(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[∵数据x1，x2，…，x10的平均数为5，
数据y1，y2，…，y8的平均数为6，
∴由加权平均数公式得数据x1，x2，…，x10，y1，y2，…，y8的平均数为
(10×5＋8×6)＝．
故选D．]
【教用·备选题】
(2025·长沙月考)已知某台机器生产一种零件，在10天中，每天生产的次品数为1，0，2，0，4，3，4，1，3，3，则该机器生产次品数的中位数为 ________．
2.5　[由题意可知，10天中的次品数由小到大排列为0，0，1，1，2，3，3，3，4，4，所以该机器生产次品数的中位数为＝2.5．]
2.5　
考向2　频率分布直方图中的数字特征
[典例3]　某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
(1)求a，b的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的众数、平均数和中位数(精确到0.1)．
[解]　(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以(0.045＋0.020＋a)×10＝0.7，解得a＝0.005，
所以前两组的频率之和为1－0.7＝0.3，即(a＋b)×10＝0.3，所以b＝0.025．
(2)由样本的频率分布直方图，
得众数为＝70，
平均数为50×0.05＋60×0.25＋70×0.45＋80×0.2＋90×0.05＝69.5，
前两组频率和：0.05＋0.25＝0.3<0.5，前三组频率和：0.3＋0.45＝0.75>0.5，
因此，中位数在第三组[65，75)内，设中位数为x，则0.3＋0.045×(x－65)＝0.5，解得x≈69.4．
则这100名候选者的众数、平均数和中位数分别约为70分、69.5分和69.4分．
[多维变迁]
(多选)(2025·长沙期末)在某次单元测试中，4 000名考生的考试成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中正确的有(　　)
A．成绩在[70，80)分的考生人数最多
B．考生考试成绩的第80百分位数为83.3
C．考生考试成绩的平均分约为70.5分
D．考生考试成绩的中位数为75分
√
√
√
ABC　[A选项，由频率分布直方图知[70，80)对应矩形最高，即频率最大，故成绩在[70，80)内的考生人数最多，A选项正确；
B选项，由0.01×10＝0.1<0.2<(0.01＋0.015)×10＝0.25，故成绩的第80百分位数在区间[80，90)内，设为x，则0.1＋(90－x)×0.015＝0.2，可得x≈83.3分，B选项正确；
C选项，由题图知，平均分为0.1×45＋0.15×55＋0.2×65＋0.3×75＋0.15×85＋0.1×95＝70.5，C选项正确；
D选项，由(0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.45<0.5<(0.01＋0.015＋0.02＋0.03)×10＝0.75，
所以中位数位于区间[70，80)，设为y，则0.5－0.45＝(y－70)×0.03，可得y≈71.7分，D选项错误．
故选ABC．]
考点三　总体离散程度的估计
[典例4]　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下：
试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2．
(1)求，s2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)．
[解]　(1)由题意，求出zi的值如表所示，
试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12
则×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，
s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61．
(2)因为2，
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
通性通法：总体离散程度的估计
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．
[多维变迁]
1．(2025·揭阳月考)设一组样本数据x1，x2，…，xn的平均数为3，方差为4，则数据3x1＋1，3x2＋1，…，3xn＋1的标准差为(　　)
A．12 B．3
C．6 D．36
√
C　[因为样本数据x1，x2，…，xn的方差为4，
所以数据3x1＋1，3x2＋1，…，3xn＋1的方差为32×4＝36，故标准差为＝6．
故选C．]
2．(2025·大连一模)一组样本数据x1，x2，x3，…，x10(x1A．5 B．
C．6 D．
√
D　[一组样本数据x1，x2，x3，…，x10(x1则x1＋x2＋x3＋…＋x10＝2×10＝20，
则新样本数据的平均数为＝2，
所以新样本数据的方差为[(2－2)2＋…＋(x10－2)2]＝．故选D．]
1．(链接考点三)下列说法正确的是(　　)
A．在两组数据中，平均数较大的一组极差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差反映数据波动的大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和
D．在记录两个射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平稳定
√
B　[平均数反映数据的集中趋势，平均数的大小并不能说明该组数据极差的大小，所以A错误；平均数反映数据的集中趋势，方差反映数据波动的大小，所以B正确；一组数据x1，x2，…，xn，其平均数为，则其方差s2＝(xi－)2，所以C错误；方差大说明射击水平不稳定，所以D错误．故选B．]
2．(链接考点一)(2026·石家庄模拟)为激发同学们对无人机飞行的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名学生的成绩依次为65，95，75，70，95，85，92，80，则这组数据的75%分位数为
(　　)
A．93.5 B．93
C．92 D．91.5
√
A　[将8名学生的成绩从低到高依次排列为65，70，75，80，85，92，95，95，
因为8×75%＝6，所以这组数据的75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即为＝93.5．
故选A．]
3．(链接考向2)(多选)(2025·海口琼山区校级期中)某校开展了“爱祖国，跟党走”的知识答题竞赛，若参赛学生的成绩都在50至100分之间，现随机抽取200名学生的成绩，进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图，则(　　)
A．在被抽取的学生中，成绩在区间[80，90)内的学生有50人
B．图中x的值为0.040
C．估计全校学生成绩的众数为95
D．估计全校学生成绩的70%分位数为92.5
√
√
√
BCD　[由题图可知，成绩在区间[80，90)内的频率为0.030×10＝0.3，抽取学生总数为200，
则成绩在该区间的学生人数为0.3×200＝60，所以选项A错误；
由(0.005＋0.010＋0.015＋0.030＋x)×10＝1，得x＝0.040，所以选项B正确；
因为众数估计为＝95，所以选项C正确；
设70%分位数为m，因为成绩在[50，90)的频率为(0.005＋0.010＋0.015＋0.030)×10＝0.6，
而成绩在[50，100]的频率为1，所以m在[90，100]内，
根据分位数计算公式0.6＋(m－90)×0.04＝0.7，解得m＝92.5，
所以估计全校学生成绩的70%分位数为92.5，所以选项D正确．
故选BCD．]
4．(链接考向1)(2025·西宁期末)数据1，2，a，a＋1是按从小到大的顺序排列的，它的中位数是3，则这组数据的平均数为______．
3　[∵数据1，2，a，a＋1是按从小到大的顺序排列的，它的中位数是3，
∴(2＋a)＝3，解得a＝4，
∴这组数据的平均数为(1＋2＋4＋4＋1)＝3．]
3　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(苏教版必修第二册P270本章测试T7改编)10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．c>b>a
课时作业(七十)　用样本估计总体
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[由已知得a＝×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，将这10名工人生产的件数按从小到大的顺序排列，得第5个数据和第6个数据都是15，所以b＝×(15＋15)＝15，又c＝17，所以c>b>a．故选D．]
√
2．(2025·苏州期末)若样本数据x1，x2，…，x10的方差为3，则2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为(　　)
A．3 B．5
C．6 D．12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[∵样本数据x1，x2，…，x10的方差为3，
∴2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为22×3＝12．
故选D．]
√
3．(2025·德州期末)在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了8名同学的第一个解答题的得分，得分分别为10，5，7，8，7，9，4，2，则这组数据的75%分位数是(　　)
A．6.5 B．8
C．8.5 D．9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[将数据按从小到大的顺序排列可得2，4，5，7，7，8，9，10，
∵8×75%＝6，
∴这组数据的75%分位数为＝8.5．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(2025·通州期末)已知一组样本数据16，x，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为(　　)
A．2 B．2.1
C．2.2 D．2.4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[∵一组样本数据16，x，14，15，13的平均数为15，
∴(16＋x＋14＋15＋13)＝15，
解得x＝17，
∴该组样本数据的方差为
s2＝[(16－15)2＋(17－15)2＋(14－15)2＋(15－15)2＋(13－15)2]＝2．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2025·南通期末)10名运动员比赛前进行特训，特训的成绩分别为9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的(　　)
A．众数为12 B．平均数为14
C．中位数为15 D．第85百分位数为16
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[成绩按从小到大排列为8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，
对于A选项，出现次数最多的数为16，故A选项错误；
对于B选项，平均数为(8＋9＋12＋12＋13＋16＋16＋16＋18＋20)＝14，故B选项正确；
对于C选项，中位数为＝14.5，故C选项错误；
对于D选项，由10×0.85＝8.5，
得这组数据的第85百分位数为第9位，为18，故D选项错误．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2025·天津月考)某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制，统计满意度并绘制成如图所示的频率分布直方图，图中m＝2n，则下列结论不正确的是(　　)
A．n＝0.015
B．满意度计分的众数约为75分
C．满意度计分的平均分约为79分　
D．满意度计分的第25百分位数约为70分
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[对于A，由频率分布直方图可得(0.01＋n＋0.035＋m＋0.01)×10＝1，又m＝2n，
解得n＝0.015，m＝0.03，故A正确；
对于B，满意度计分的众数为最高矩形底边中点的横坐标，为75分，故B正确；
对于C，满意度计分的平均分约为(55×0.01＋65×0.015＋75×0.035＋85×0.03＋95×0.01)×10＝76.5，故C错误；
对于D，前两组的频率之和为0.25，所以满意度计分的第25百分位数约为70分，故D正确．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(2025·黄山期末)如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图1形成对称形态，图2形成“右拖尾”形态，图3形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是(　　)
A．图1的平均数＝中位数＝众数
B．图2的众数<平均数<中位数　
C．图2的众数<中位数<平均数　
D．图3的中位数<平均数<众数
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
AC　[题图1的频率分布直方图是对称的，平均数＝中位数＝众数，A正确；
题图2的众数最小，右拖尾平均数大于中位数，B错误，C正确；
题图3的左拖尾众数最大，平均数小于中位数，D错误．
故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(2025·汕头期末)在某年的中国足球超级联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差是0.4．下列说法中正确的是(　　)
A．平均说来甲队比乙队防守技术好　
B．甲队比乙队技术水平更稳定　
C．甲队有时表现很差，有时表现又非常好　
D．乙队很少不失球
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ACD　[由甲队每场比赛平均失球数是1.5，乙队每场比赛平均失球数是2.1，说明甲队每场比赛平均失球数比乙队每场比赛平均失球数少，所以平均说来甲队比乙队防守技术好，故A正确；
甲队全年比赛失球个数的标准差为1.1，乙队全年比赛失球个数的标准差是0.4，
说明甲队全年比赛失球个数的标准差较大，
所以甲队的起伏较大，故B错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
甲队全年比赛失球个数的标准差为1.1，乙队全年比赛失球个数的标准差是0.4，
说明甲队全年比赛失球个数的标准差较大，
所以甲队的表现时好时坏，故C正确；
乙队的平均失球数多，全年失球个数的标准差很小，
说明乙队的表现较稳定，经常失球，故D正确．
故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
9．(2026·金华模拟)饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET”．随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义．上海某高中随机调查了该校某两个班(A班，B班)5月份每天产生饮料瓶的数目(单位：个)，并按[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70]分组，分别得到频率分布直方图如下，下列说法正确的是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．A班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为41
B．m＝0.025
C．B班5月份产生饮料瓶数的第75百分位数为
D．已知该校共有学生1 000人，则约有150人5月份产生饮料瓶数在[40，50)内
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
√
ABC　[选项A，A班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为10×(15×0.005＋25×0.015＋35×0.030＋45×0.020＋55×0.025＋65×0.005)＝41，故选项A正确；
选项B，由10×(0.005＋0.020＋m＋0.020＋0.015＋0.015)＝1，得m＝0.025，故选项B正确；
选项C，∵(0.005＋0.020＋0.025＋0.020)×10＝0.7<0.75，(0.005＋0.020＋0.025＋0.020＋0.015)×10＝0.85>0.75，
∴B班5月份产生饮料瓶数的第75百分位数x位于[50，60)内，∴0.7＋(x－50)×0.015＝0.75，解得x＝，故选项C正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
选项D，A班和B班5月份产生饮料瓶数在[40，50)内的频率均为0.020×10＝0.2，
故该校学生5月份产生饮料瓶数在[40，50)内的频率也为0.2，
∵1 000×0.2＝200，
∴该校约有200人5月份产生饮料瓶数在[40，50)内，故选项D错误．故选ABC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
10．(2025·洛阳月考)高二(2)班第一组的期末数学考试成绩分别为138，130，120，122，120，130，110，130，则该组成绩的中位数与平均数之差为______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
1　
1　[将成绩从小到大排列为110，120，120，122，130，130，130，138，
∴该组成绩的中位数为＝126，平均数为＝125，∴该组成绩的中位数与平均数之差为126－125＝1．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．(2025·焦作期末)某农场种植了一批梨树，从中随机抽取15棵，单株产量(单位：千克)分别为24，27，29，31，32，34，35，36，38，40，41，43，45，47，50．若规定单株产量小于等于10%分位数的梨树需重点养护，则估计需重点养护的梨树单株产量的最大值为______________千克．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
27　
27　[已知梨树单株产量分别为24，27，29，31，32，34，35，36，38，40，41，43，45，47，50，
因为样本容量为15，所以15×10%＝1.5，
则第2个数27即为10%分位数，所以估计需重点养护的梨树单株产量的最大值为27千克．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(苏教版必修第二册P271本章测试T10改编)某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为，其中三个年级学生每天读书时间的平均数分别3.3，又已知高一学生、高二学生每天读书时间的方差分别为2，则高三学生每天读书时间的方差＝______________．
3　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
3　[由题意可得，1.966＝×[1＋(2.7－3)2]＋×[2＋(3.1－3)2]＋×[＋(3.3－3)2]，解得＝3．]
谢谢！课时作业(七十)　用样本估计总体
一、单项选择题
1．(苏教版必修第二册P270本章测试T7改编)10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．c>b>a
2．(2025·苏州期末)若样本数据x1，x2，…，x10的方差为3，则2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为(　　)
A．3 B．5
C．6 D．12
3．(2025·德州期末)在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了8名同学的第一个解答题的得分，得分分别为10，5，7，8，7，9，4，2，则这组数据的75%分位数是(　　)
A．6.5 B．8
C．8.5 D．9
4．(2025·通州期末)已知一组样本数据16，x，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为(　　)
A．2 B．2.1
C．2.2 D．2.4
5．(2025·南通期末)10名运动员比赛前进行特训，特训的成绩分别为9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的(　　)
A．众数为12
B．平均数为14
C．中位数为15
D．第85百分位数为16
6．(2025·天津月考)某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制，统计满意度并绘制成如图所示的频率分布直方图，图中m＝2n，则下列结论不正确的是(　　)
A．n＝0.015
B．满意度计分的众数约为75分
C．满意度计分的平均分约为79分　
D．满意度计分的第25百分位数约为70分
二、多项选择题
7．(2025·黄山期末)如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图1形成对称形态，图2形成“右拖尾”形态，图3形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是(　　)
A．图1的平均数＝中位数＝众数
B．图2的众数＜平均数＜中位数　
C．图2的众数＜中位数＜平均数　
D．图3的中位数＜平均数＜众数
8．(2025·汕头期末)在某年的中国足球超级联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差是0.4．下列说法中正确的是(　　)
A．平均说来甲队比乙队防守技术好　
B．甲队比乙队技术水平更稳定　
C．甲队有时表现很差，有时表现又非常好　
D．乙队很少不失球
9．(2026·金华模拟)饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET”．随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义．上海某高中随机调查了该校某两个班(A班，B班)5月份每天产生饮料瓶的数目(单位：个)，并按[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70]分组，分别得到频率分布直方图如下，下列说法正确的是(　　)
A．A班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为41
B．m＝0.025
C．B班5月份产生饮料瓶数的第75百分位数为
D．已知该校共有学生1 000人，则约有150人5月份产生饮料瓶数在[40，50)内
三、填空题
10．(2025·洛阳月考)高二(2)班第一组的期末数学考试成绩分别为138，130，120，122，120，130，110，130，则该组成绩的中位数与平均数之差为________．
11．(2025·焦作期末)某农场种植了一批梨树，从中随机抽取15棵，单株产量(单位：千克)分别为24，27，29，31，32，34，35，36，38，40，41，43，45，47，50．若规定单株产量小于等于10%分位数的梨树需重点养护，则估计需重点养护的梨树单株产量的最大值为________千克．
12．(苏教版必修第二册P271本章测试T10改编)某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为＝3，方差为s2＝1.966，其中三个年级学生每天读书时间的平均数分别为＝2.7，＝3.1，＝3.3，又已知高一学生、高二学生每天读书时间的方差分别为＝＝2，则高三学生每天读书时间的方差＝________．
课时作业(七十)
1．D　[由已知得a＝×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，将这10名工人生产的件数按从小到大的顺序排列，得第5个数据和第6个数据都是15，
所以b＝×(15＋15)＝15，又c＝17，所以c>b>a．故选D．]
2．D　[∵样本数据x1，x2，…，x10的方差为3，
∴2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为22×3＝12．
故选D．]
3．C　[将数据按从小到大的顺序排列可得2，4，5，7，7，8，9，10，
∵8×75%＝6，
∴这组数据的75%分位数为＝8.5．
故选C．]
4．A　[∵一组样本数据16，x，14，15，13的平均数为15，
∴(16＋x＋14＋15＋13)＝15，
解得x＝17，
∴该组样本数据的方差为
s2＝[(16－15)2＋(17－15)2＋(14－15)2＋(15－15)2＋(13－15)2]＝2．
故选A．]
5．B　[成绩按从小到大排列为8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，
对于A选项，出现次数最多的数为16，故A选项错误；
对于B选项，平均数为(8＋9＋12＋12＋13＋16＋16＋16＋18＋20)＝14，故B选项正确；
对于C选项，中位数为＝14.5，故C选项错误；
对于D选项，由10×0.85＝8.5，
得这组数据的第85百分位数为第9位，为18，故D选项错误．
故选B．]
6．C　[对于A，由频率分布直方图可得(0.01＋n＋0.035＋m＋0.01)×10＝1，又m＝2n，
解得n＝0.015，m＝0.03，故A正确；
对于B，满意度计分的众数为最高矩形底边中点的横坐标，为75分，故B正确；
对于C，满意度计分的平均分约为(55×0.01＋65×0.015＋75×0.035＋85×0.03＋95×0.01)×10＝76.5，故C错误；
对于D，前两组的频率之和为0.25，所以满意度计分的第25百分位数约为70分，故D正确．故选C．]
7．AC　[题图1的频率分布直方图是对称的，平均数＝中位数＝众数，A正确；
题图2的众数最小，右拖尾平均数大于中位数，B错误，C正确；
题图3的左拖尾众数最大，平均数小于中位数，D错误．
故选AC．]
8．ACD　[由甲队每场比赛平均失球数是1.5，乙队每场比赛平均失球数是2.1，
说明甲队每场比赛平均失球数比乙队每场比赛平均失球数少，
所以平均说来甲队比乙队防守技术好，故A正确；
甲队全年比赛失球个数的标准差为1.1，乙队全年比赛失球个数的标准差是0.4，
说明甲队全年比赛失球个数的标准差较大，
所以甲队的起伏较大，故B错误；
甲队全年比赛失球个数的标准差为1.1，乙队全年比赛失球个数的标准差是0.4，
说明甲队全年比赛失球个数的标准差较大，
所以甲队的表现时好时坏，故C正确；
乙队的平均失球数多，全年失球个数的标准差很小，
说明乙队的表现较稳定，经常失球，故D正确．
故选ACD．]
9．ABC　[选项A，A班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为10×(15×0.005＋25×0.015＋35×0.030＋45×0.020＋55×0.025＋65×0.005)＝41，故选项A正确；
选项B，由10×(0.005＋0.020＋m＋0.020＋0.015＋0.015)＝1，得m＝0.025，故选项B正确；
选项C，∵(0.005＋0.020＋0.025＋0.020)×10＝0.7<0.75，
(0.005＋0.020＋0.025＋0.020＋0.015)×10＝0.85>0.75，
∴B班5月份产生饮料瓶数的第75百分位数x位于[50，60)内，
∴0.7＋(x－50)×0.015＝0.75，解得x＝，故选项C正确；
选项D，A班和B班5月份产生饮料瓶数在[40，50)内的频率均为0.020×10＝0.2，
故该校学生5月份产生饮料瓶数在[40，50)内的频率也为0.2，
∵1 000×0.2＝200，
∴该校约有200人5月份产生饮料瓶数在[40，50)内，故选项D错误．故选ABC．]
10.1　[将成绩从小到大排列为110，120，120，122，130，130，130，138，
∴该组成绩的中位数为＝126，
平均数为
＝125，
∴该组成绩的中位数与平均数之差为126－125＝1．]
11.27　[已知梨树单株产量分别为24，27，29，31，32，34，35，36，38，40，41，43，45，47，50，
因为样本容量为15，所以15×10%＝1.5，
则第2个数27即为10%分位数，
所以估计需重点养护的梨树单株产量的最大值为27千克．]
12.3　[由题意可得，1.966＝×[1＋(2.7－3)2]＋×[2＋(3.1－3)2]＋×[＋(3.3－3)2]，
解得＝3．]
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