资源简介 第44课时 数列的概念及其函数特性[考试要求] 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识点1 数列的有关概念名称 概念通项 公式 如果数列{an}的第n项an与它的________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式递推 公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式数列{an} 的前n 项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 常见用法还有：an＝知识点2 数列的分类分类标准 类型 满足条件按项数分类 有穷数列 项数________无穷数列 项数________按项与项 间的大小 关系分类 递增数列 an＋1____an 其中n∈N*递减数列 an＋1____an常数列 an＋1＝an按其他 标准分类 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项知识点3 数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是________，对应的函数值是________________，记为an＝f (n)．[常用结论]1．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则2．数列的函数性质由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质：(1)单调性——若an＋1>an，则{an}为递增数列；若an＋1(2)周期性——若an＋k＝an(k为非零常数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期．1．(人教A版选择性必修第二册P8练习T1(1))根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式an＝________．2．(人教B版选择性必修第三册P13例3改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3．(北师大版选择性必修第二册P5例3(2))数列，…，，…的一个通项公式是an＝__________，是递________(单调性)数列．______________________________________________________________________________________________________________________________________4．(人教A版选择性必修第二册P9习题4.1T7改编)已知函数f (x)＝(x∈R)，设数列{an}的通项公式为an＝f (n)(n∈N*)，则an的最小值为________．______________________________________________________________________________________________________________________________________5．(用结论)在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝1－(n∈N*)，则a2 026的值为( )A．－2 B． C． D．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点一 由an与前n项和(积)的关系求通项公式[典例1] (1)(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n＋1，则数列{an}的通项公式是________．(2)(2024·全国甲卷节选)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3．求{an}的通项公式．(3)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝．(i)求证：数列}是等差数列；(ii)设数列{bn}的前n项积为Tn，若Tn＝，求数列{bn}的通项公式．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母题探究](变条件)本例(1)中，若Sn＝2n2＋n，求an．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维建模：和减和模型第1步 类比：令n取n－1，写出Sn－1．第2步 作差：两式相减去掉Sn，Sn－1．第3步 整理：得到an通项或递推关系式．第4步 求通项：求通项公式，然后考虑是否有漏项，有则需要验证，否则不需要．第5步 写通项：若符合通项，则写成一个式子；若不符合，则写成分段形式．考点二 累加、累乘法求通项公式[典例2] (1)(2025·沧州期末)在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋ln ，则{an}的通项公式为( )A．an＝ln nB．an＝(n－1)ln (n＋1)C．an＝n ln nD．an＝ln n＋n－2(2)(2025·广州月考)记Sn为首项为1的数列{an}的前n项和，且＝n2，则S30＝( )A． B．C． D．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维建模：累加、累乘模型第1步 列：罗列出n为1～n－1时的等式．第2步 加或乘：将所有式子进行累加或累乘，左侧式子化简为an－a1或．第3步 右侧求和或求积：将等号右侧的式子求和或求积．第4步 代a1：令n＝1，求通项an．考点三 数列的函数特性 周期性[典例3] (2025·鹤山市月考)在数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝，n∈N*，则a2 025＝( )A． B．－1C．2 D．1________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 单调性[典例4] (多选)(2025·绵阳涪城区月考)下列通项公式中，数列{an}是递增数列的是( )A．an＝2n－11 B．an＝－3n＋32C．an＝2· D．an＝2·3n___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 最值[典例5] (2026·张家口模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝n＋，则{an}的最小项的值为________．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：(1)解决数列的周期性问题，先求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．(2)解决数列的单调性问题，常用作差比较法，根据差的符号判断数列{an}的单调性．[多维变迁]1．(2025·黄冈市三模)函数f (x)的定义域为[1，＋∞)，数列{an}满足an＝f (n)，则“函数f (x)为减函数”是“数列{an}为递减数列”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．(2025·葫芦岛期末)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2－，则{an}的前2 025项和为( )A．2 024 B．2 025C．2 026 D．2 0273．(2025·双鸭山宝山区期末)已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)，数列{an}的最大项的值为________．斐波那契数列1．斐波那契数列的定义：若一个数列，首两项等于1，而从第三项起，每一项是之前两项之和，则称该数列为斐波那契数列．例：1，1，2，3，5，8，13，…2．斐波那契数列的递推公式[典例6] (多选)(2025·肇庆期末)自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”．它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，…”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和．设该数列为{an}，则an＝an－1＋an－2(n≥3)，记Sn是数列{an}的前n项和，Tn是数列的前n项和，则下列说法正确的是( )A．S20＋1＝a21B．a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2nC．a2＋a4＋a6＋…＋a30＝a31－1D．若Tn＝a2 023·a2 024，则n＝2 023_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1．(链接考点一)已知数列{an}的前n项和为Sn，若满足Sn＝4an－3，则Sn＝( )A．4 B．4C．3 D．4(3n－1)2．(链接考点二)(2025·大连期中)若数列{an}满足an＝an－1＋(n≥2且n∈N*)，a1＝，则a2 025＝( )A． B．C． D．3．(链接考向三)(2025·天津和平区月考)已知数列{an}的通项公式为an＝，则an取到最小值时n的值是________．第44课时 数列的概念及其函数特性理法先行·题练固本梳必备·破题有方知识点1 序号n知识点2 有限 无限 > <知识点3 序号n 数列的第n项an链教材·夯基固本1.5n－4 [由题图可知，a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，a4＝16＝5×4－4＝16，…，归纳得an＝5n－4．]2． [当n＝1时，a1＝S1＝2．当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1．显然当n＝1时，不满足上式，故an＝]3． 增 [an＝可以作为这个数列的一个通项公式．由an+1－an＝＝>0．得an+1>an，因此数列{an}为递增数列．]4． [由题意得an＝＝1－．因为n为正整数，所以2n≥2，0<，1－，所以an≥．]5．A [由a1＝－2，an+1＝1－(n∈N*)，可得a2＝1－，a3＝1－，a4＝1－3＝－2＝a1，a5＝1－＝a2，…，即数列{an}是周期为3的数列，则a2 026＝a3×675+1＝a1＝－2．故选A．]考点深研·题型突破考点一典例1 (1)an＝ [当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＋1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝2n2＋n＋1－[2(n－1)2＋(n－1)＋1]＝4n－1．由于a1＝4不满足上式，所以an＝](2)解：因为2Sn＝3an+1－3，所以2Sn+1＝3an+2－3，两式相减，得2an+1＝3an+2－3an+1，即3an+2＝5an+1，所以等比数列{an}的公比q＝，又因为2S1＝3a2－3＝5a1－3，所以a1＝1，故an＝．(3)解：(i)证明：当n＝1时，a1＝，所以＝2；当n≥2时，Sn＝＝2，故数列{}是以2为首项，2为公差的等差数列．(ii)由(i)知，＝2＋(n－1)×2＝2n，得Tn＝2n．当n≥2时，bn＝．当n＝1时，b1＝T1＝2，不符合上式，故bn＝母题探究 解：当n＝1时，a1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝2n2＋n－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1，由于a1＝3满足上式，所以an＝4n－1(n∈N*)．考点二典例2 (1)A (2)C [(1)由已知得an+1－an＝ln＝ln(n＋1)－ln n，所以an－an-1＝ln n－ln(n－1)，an-1－an-2＝ln(n－1)－ln(n－2)，…，a3－a2＝ln 3－ln 2，a2－a1＝ln 2－ln 1，将上述n－1个式子相加，整理得an－a1＝ln n－ln 1＝ln n，又因为a1＝0，所以an＝ln n(n≥2)．当n＝1时，a1＝0，满足an＝ln n．故选A．(2)因为＝n2，所以Sn+1＝(n＋1)2an+1，所以an+1＝Sn+1－Sn＝(n＋1)2an+1－n2an，化简得(n2＋2n)an+1＝n2an，即(n＋2)an+1＝nan，由a1＝1，知an≠0，所以，累乘可得·…·××…×，即an+1＝，所以an＝(n≥2)，当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以Sn＝n2an＝(n∈N*)，所以S30＝．故选C．]考点三考向1 典例3 A [已知在数列{an}中，a1＝2，且an+1＝，n∈N*，则an+2＝＝1－，所以an+3＝＝an，所以数列{an}为周期数列，周期为3．又a2＝＝－1，a3＝，即a2 025＝a675×3＝a3＝．故选A．]考向2 典例4 AD [当n≥2时，比较an与an-1的大小，可得{an}是否为递增数列．对于A，由an＝2n－11，得an－an-1＝2n－11－[2(n－1)－11]＝2>0，所以数列{an}是递增数列，故A正确；对于B，由an＝－3n＋32，得an－an-1＝－3n＋32－[－3(n－1)＋32]＝－3<0，所以数列{an}是递减数列，故B错误；对于C，由an＝2·，得an－an-1＝2·－2·＝－4·<0，所以数列{an}是递减数列，故C错误；对于D，由an＝2·3n，得an－an-1＝2·3n－2·3n-1＝4·3n-1>0，所以数列{an}是递增数列，故D正确．故选AD．]考向3 典例5 4 [根据题意，数列{an}的通项公式为an＝n＋，设f (x)＝x＋(x≥1)，由对勾函数的性质可知：f (x)min＝f (2)，即当x＝2时，f (x)＝x＋取得最小值，则当n＝2时，{an}取得最小项，其最小项的值为a2＝2＋＝4．]多维变迁1．A [根据题意，函数f (x)为在定义域[1，＋∞)上的减函数，当n≥1且n∈Z时，必有f (n)>f (n＋1)，则数列{an}为递减数列，反之，当f (x)＝－时，数列{an}为递减数列，但函数f (x)在定义域上不是减函数，故“函数f (x)为减函数”是“数列{an}为递减数列”的充分不必要条件．故选A．]2．B [由题意可得a2＝2－＝－2，a3＝2－＝4，a4＝2－＝1，…，可知数列{an}是最小正周期为3的周期数列，且一个周期的和为a1＋a2＋a3＝3，则数列{an}的前2 025项和为a1＋a2＋…＋a2 025＝675×(a1＋a2＋a3)＝2 025．故选B．]3． [由an＝(n＋1)，可得an+1＝(n＋2)，an-1＝n·，若an为最大项，则有即解得8≤n≤9，当n＝8或n＝9时，数列取得最大项，故数列{an}的最大项的值为a8＝a9＝．]教材拓展9典例6 BCD [A选项：因为an-2＝an－an-1(n≥3)，因此Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(an+2－an+1)＝an+2－a2＝an+2－1，因此S20＋1＝a22，因此A选项错误．B选项：因为a1＋a3＋a5＋…＋a2n-1＝a2n，因此B选项正确．C选项：因为a2＋a4＋a6＋…＋a30＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a30－a1＝a3＋a4＋a6＋…＋a30－a1＝…＝a31－a1＝a31－1，因此C选项正确．D选项：因为an-1＝an－an-2(n≥3)，因此＝anan-1－an-1an-2(n≥3)，即Tn＝＋…＋＋(a3a2－a1a2)＋(a4a3－a3a2)＋…＋(an+1an－anan-1)＝＋an+1an－a1a2＝anan+1，因为Tn＝a2 023a2 024，因此n＝2 023，因此D选项正确．故选BCD．]随堂·对点检测1．C [当n＝1时，S1＝4a1－3，S1＝4S1－3，得S1＝1，当n≥2时，Sn＝4(Sn－Sn-1)－3，3Sn＝4Sn-1＋3，Sn＝Sn-1＋1，Sn＋3＝(Sn-1＋3)，又S1＋3＝4，所以{Sn＋3}是首项为4，公比为的等比数列，所以Sn＋3＝4×，Sn＝4×－3＝3．故选C．]2．D [由an＝an-1＋，得an－an-1＝，…，a3－a2＝，a2－a1＝，将上述n－1个式子相加，得an－a1＝，又因为a1＝，所以an＝1－，所以a2 025＝1－．故选D．]3.7 [因为an＝＝1＋，当n≤7，n∈N*时，2n－15<0，an＝1＋为递减数列，且1>an＝1＋≥a7＝1＋＝－12，所以当n>7，n∈N*时，2n－15>0，an＝1＋为递减数列，且an＝1＋>1，所以an取到最小值时n的值是7．]1 / 10(共85张PPT)第六章 数列第六章 数列第44课时 数列的概念及其函数特性[考试要求] 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．理法先行·题练固本知识点1 数列的有关概念名称 概念通项 公式 如果数列{an}的第n项an与它的_____之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式递推 公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式序号n名称 概念数列{an} 的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．常见用法还有：an＝知识点2 数列的分类分类标准 类型 满足条件按项数 分类 有穷数列 项数____无穷数列 项数____按项与项 间的大小 关系分类 递增数列 an+1__an 其中n∈N*递减数列 an+1__an常数列 an+1＝an按其他 标准分类 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项有限无限><知识点3 数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是_____，对应的函数值是_____________，记为an＝f (n)．序号n数列的第n项an[常用结论]1．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则2．数列的函数性质由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质：(1)单调性——若an+1>an，则{an}为递增数列；若an+1(2)周期性——若an+k＝an(k为非零常数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期．1．(人教A版选择性必修第二册P8练习T1(1))根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式an＝______________． 5n－4 [由题图可知，a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，a4＝16＝5×4－4＝16，…，归纳得an＝5n－4．]5n－4 2．(人教B版选择性必修第三册P13例3改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________________________． [当n＝1时，a1＝S1＝2．当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1．显然当n＝1时，不满足上式，故an＝]3．(北师大版选择性必修第二册P5例3(2))数列，，，…，，…的一个通项公式是an＝______________，是递______________(单调性)数列． 增 [an＝可以作为这个数列的一个通项公式．由an+1－an＝>0．得an+1>an，因此数列{an}为递增数列．]增4．(人教A版选择性必修第二册P9习题4.1T7改编)已知函数f (x)＝(x∈R)，设数列{an}的通项公式为an＝f (n)(n∈N*)，则an的最小值为______________． [由题意得an＝＝1－．因为n为正整数，所以2n≥2，0<，1－，所以an≥．] 5．(用结论)在数列{an}中，a1＝－2，an+1＝1－(n∈N*)，则a2 026的值为( )A．－2 B． C． D．√A [由a1＝－2，an+1＝1－(n∈N*)，可得a2＝1－，a3＝1－，a4＝1－3＝－2＝a1，a5＝1－＝a2，…，即数列{an}是周期为3的数列，则a2 026＝a3×675+1＝a1＝－2．故选A．]考点深研·题型突破【教用·考点】考点 由数列的前几项求数列的通项公式[典例] (1)已知数列－1，，－，，…，则该数列的第211项为( )A．－ B．C．－ D．√(2)根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式．①，1，，，…；②－，，－，，…；③5，55，555，5 555，…．(1)A [由题意，该数列可表示为－，－，…，则该数列的一个通项公式为an＝(－1)n·，所以a211＝(－1)211＝－．](2)[解] ①这个数列的前4项可变形为，所以它的一个通项公式为an＝．②这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n．③这个数列的前4项可变形为×9，×99，×999，×9 999，所以它的一个通项公式为an＝(10n－1)．通性通法：已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑：(1)负号用(－1)n与(－1)n+1或(－1)n-1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错．(2)分式形式的数列，分子、分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法解决．[多维变迁](2025·山东菏泽联考)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图中的小正方形的个数f (n)＝( )A．B．C．D．√A [由题意可得f (1)＝2＋1；f (2)＝3＋2＋1；f (3)＝4＋3＋2＋1；f (4)＝5＋4＋3＋2＋1；f (5)＝6＋5＋4＋3＋2＋1；…；所以f (n)＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋1＝．]考点一 由an与前n项和(积)的关系求通项公式[典例1] (1)(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n＋1，则数列{an}的通项公式是_____________________． (2)(2024·全国甲卷节选)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an+1－3．求{an}的通项公式．(3)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝．(i)求证：数列{}是等差数列；(ii)设数列{bn}的前n项积为Tn，若Tn＝，求数列{bn}的通项公式．an＝(1)an＝ [当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＋1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝2n2＋n＋1－[2(n－1)2＋(n－1)＋1]＝4n－1．由于a1＝4不满足上式，所以an＝](2)[解] 因为2Sn＝3an+1－3，所以2Sn+1＝3an+2－3，两式相减，得2an+1＝3an+2－3an+1，即3an+2＝5an+1，所以等比数列{an}的公比q＝，又因为2S1＝3a2－3＝5a1－3，所以a1＝1，故an＝．(3)[解] (i)证明：当n＝1时，a1＝＝2；当n≥2时，Sn＝＝2，故数列{}是以2为首项，2为公差的等差数列．(ii)由(i)知，＝2＋(n－1)×2＝2n，得Tn＝2n．当n≥2时，bn＝．当n＝1时，b1＝T1＝2，不符合上式，故bn＝[母题探究](变条件)本例(1)中，若Sn＝2n2＋n，求an．[解] 当n＝1时，a1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝2n2＋n－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1，由于a1＝3满足上式，所以an＝4n－1(n∈N*)．思维建模：和减和模型第1步 类比：令n取n－1，写出Sn-1．第2步 作差：两式相减去掉Sn，Sn-1．第3步 整理：得到an通项或递推关系式．第4步 求通项：求通项公式，然后考虑是否有漏项，有则需要验证，否则不需要．第5步 写通项：若符合通项，则写成一个式子；若不符合，则写成分段形式．【教用·通性通法】an与Sn的关系问题的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解．(2)利用Sn－Sn-1＝an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解．【教用·备选题】1．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，且Sn－＋2＝an(n≥2)，则S6＝( )A． B．C． D．√D [由题意，得Sn－＋2＝Sn－Sn-1，所以Sn＝．由S1＝a1＝－1，得S2＝＝1，S3＝，S4＝，S5＝，S6＝．故选D．]2．(多选)已知数列{an}的前n项和Sn＝(3n－1)，则下列说法正确的是( )A．a1＝1B．数列{an}为递增数列C．数列{an}是等比数列D．an＝2×3n-1√√√ABC [∵Sn＝(3n－1)，∴a1＝S1＝×(3－1)＝1，故A正确；当n≥2时，Sn-1＝(3n-1－1)，∴an＝Sn－Sn-1＝(3n－1)－(3n-1－1)＝3n-1，a1＝1也适合上式，∴an＝3n-1，故D错误；∵＝3，∴数列{an}是公比为3的等比数列，故C正确；∵a1＝1，公比大于1，∴数列{an}为递增数列，故B正确．故选ABC．]考点二 累加、累乘法求通项公式[典例2] (1)(2025·沧州期末)在数列{an}中，a1＝0，an+1＝an＋ln，则{an}的通项公式为( )A．an＝ln nB．an＝(n－1)ln(n＋1)C．an＝nln nD．an＝ln n＋n－2√(2)(2025·广州月考)记Sn为首项为1的数列{an}的前n项和，且＝n2，则S30＝( )A． B．C． D．√(1)A (2)C [(1)由已知得an+1－an＝ln＝ln(n＋1)－ln n，所以an－an-1＝ln n－ln(n－1)，an-1－an-2＝ln(n－1)－ln(n－2)，…，a3－a2＝ln 3－ln 2，a2－a1＝ln 2－ln 1，将上述n－1个式子相加，整理得an－a1＝ln n－ln 1＝ln n，又因为a1＝0，所以an＝ln n(n≥2)．当n＝1时，a1＝0，满足an＝ln n．故选A．(2)因为＝n2，所以Sn+1＝(n＋1)2an+1，所以an+1＝Sn+1－Sn＝(n＋1)2an+1－n2an，化简得(n2＋2n)an+1＝n2an，即(n＋2)an+1＝nan，由a1＝1，知an≠0，所以，累乘可得·…·×…×，即an+1＝，所以an＝(n≥2)，当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以Sn＝n2an＝(n∈N*)，所以S30＝．故选C．]思维建模：累加、累乘模型第1步 列：罗列出n为1～n－1时的等式．第2步 加或乘：将所有式子进行累加或累乘，左侧式子化简为an－a1或．第3步 右侧求和或求积：将等号右侧的式子求和或求积．第4步 代a1：令n＝1，求通项an．【教用·通性通法】(1)形如an+1－an＝f (n)的数列，利用累加法，即可求数列{an}的通项公式．(2)形如＝f (n)的数列，利用累乘法，即可求数列{an}的通项公式．考点三 数列的函数特性考向1 周期性[典例3] (2025·鹤山市月考)在数列{an}中，a1＝2，且an+1＝，n∈N*，则a2 025＝( )A． B．－1C．2 D．1√A [已知在数列{an}中，a1＝2，且an+1＝，n∈N*，则an+2＝＝1－，所以an+3＝＝an，所以数列{an}为周期数列，周期为3．又a2＝＝－1，a3＝，即a2 025＝a675×3＝a3＝．故选A．]考向2 单调性[典例4] (多选)(2025·绵阳涪城区月考)下列通项公式中，数列{an}是递增数列的是( )A．an＝2n－11 B．an＝－3n＋32C．an＝2· D．an＝2·3n√√AD [当n≥2时，比较an与an-1的大小，可得{an}是否为递增数列．对于A，由an＝2n－11，得an－an-1＝2n－11－[2(n－1)－11]＝2>0，所以数列{an}是递增数列，故A正确；对于B，由an＝－3n＋32，得an－an-1＝－3n＋32－[－3(n－1)＋32]＝－3 <0，所以数列{an}是递减数列，故B错误；对于C，由an＝2·，得an－an-1＝2·－2·＝－4·<0，所以数列{an}是递减数列，故C错误；对于D，由an＝2·3n，得an－an-1＝2·3n－2·3n-1＝4·3n-1>0，所以数列{an}是递增数列，故D正确．故选AD．]考向3 最值[典例5] (2026·张家口模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝n＋，则{an}的最小项的值为______________． 4 [根据题意，数列{an}的通项公式为an＝n＋，设f (x)＝x＋(x≥1)，由对勾函数的性质可知：f (x)min＝f (2)，即当x＝2时，f (x)＝x＋取得最小值，则当n＝2时，{an}取得最小项，其最小项的值为a2＝2＋＝4．]4 通性通法：(1)解决数列的周期性问题，先求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．(2)解决数列的单调性问题，常用作差比较法，根据差的符号判断数列{an}的单调性．[多维变迁]1．(2025·黄冈市三模)函数f (x)的定义域为[1，＋∞)，数列{an}满足an＝f (n)，则“函数f (x)为减函数”是“数列{an}为递减数列”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件√A [根据题意，函数f (x)为在定义域[1，＋∞)上的减函数，当n≥1且n∈Z时，必有f (n)>f (n＋1)，则数列{an}为递减数列，反之，当f (x)＝－时，数列{an}为递减数列，但函数f (x)在定义域上不是减函数，故“函数f (x)为减函数”是“数列{an}为递减数列”的充分不必要条件．故选A．]2．(2025·葫芦岛期末)已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2－，则{an}的前2 025项和为( )A．2 024 B．2 025C．2 026 D．2 027√B [由题意可得a2＝2－＝－2，a3＝2－＝4，a4＝2－＝1，…，可知数列{an}是最小正周期为3的周期数列，且一个周期的和为a1＋a2＋a3＝3，则数列{an}的前2 025项和为a1＋a2＋…＋a2 025＝675×(a1＋a2＋a3)＝2 025．故选B．]3．(2025·双鸭山宝山区期末)已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1) ，数列{an}的最大项的值为______________． [由an＝(n＋1)，可得an+1＝(n＋2)，an-1＝n·，若an为最大项，则有即解得8≤n≤9，当n＝8或n＝9时，数列取得最大项，故数列{an}的最大项的值为a8＝a9＝．]教材拓展9 斐波那契数列1．斐波那契数列的定义：若一个数列，首两项等于1，而从第三项起，每一项是之前两项之和，则称该数列为斐波那契数列．例：1，1，2，3，5，8，13，…2．斐波那契数列的递推公式[典例6] (多选)(2025·肇庆期末)自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”．它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，…”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和．设该数列为{an}，则an＝an-1＋an-2(n≥3)，记Sn是数列{an}的前n项和，Tn是数列的前n项和，则下列说法正确的是( )A．S20＋1＝a21B．a1＋a3＋a5＋…＋a2n-1＝a2nC．a2＋a4＋a6＋…＋a30＝a31－1D．若Tn＝a2 023·a2 024，则n＝2 023√√√BCD [A选项：因为an-2＝an－an-1(n≥3)，因此Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(an+2－an+1)＝an+2－a2＝an+2－1，因此S20＋1＝a22，因此A选项错误．B选项：因为a1＋a3＋a5＋…＋a2n-1＝a2n，因此B选项正确．C选项：因为a2＋a4＋a6＋…＋a30＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a30－a1＝a3＋a4＋a6＋…＋a30－a1＝…＝a31－a1＝a31－1，因此C选项正确．D选项：因为an-1＝an－an-2(n≥3)，因此＝anan-1－an-1an-2(n≥3)，即Tn＝＋…＋＋(a3a2－a1a2)＋(a4a3－a3a2)＋…＋(an+1an－anan-1)＝＋an+1an－a1a2＝anan+1，因为Tn＝a2 023a2 024，因此n＝2 023，因此D选项正确．故选BCD．]1．(链接考点一)已知数列{an}的前n项和为Sn，若满足Sn＝4an－3，则Sn＝( )A．4 B．4C．3 D．4(3n－1)√C [当n＝1时，S1＝4a1－3，S1＝4S1－3，得S1＝1，当n≥2时，Sn＝4(Sn－Sn-1)－3，3Sn＝4Sn-1＋3，Sn＝Sn-1＋1，Sn＋3＝(Sn-1＋3)，又S1＋3＝4，所以{Sn＋3}是首项为4，公比为的等比数列，所以Sn＋3＝4×，Sn＝4×－3＝3．故选C．]2．(链接考点二)(2025·大连期中)若数列{an}满足an＝an-1＋(n≥2且n∈N*)，a1＝，则a2 025＝( )A． B．C． D．√D [由an＝an-1＋，得an－an-1＝，…，a3－a2＝，a2－a1＝，将上述n－1个式子相加，得an－a1＝，又因为a1＝，所以an＝1－，所以a2 025＝1－．故选D．]3．(链接考向三)(2025·天津和平区月考)已知数列{an}的通项公式为an＝，则an取到最小值时n的值是______________． 7 7 [因为an＝＝1＋，当n≤7，n∈N*时，2n－15<0，an＝1＋为递减数列，且1>an＝1＋≥a7＝1＋＝－12，所以当n>7，n∈N*时，2n－15>0，an＝1＋为递减数列，且an＝1＋>1，所以an取到最小值时n的值是7．]题号13524687910一、单项选择题1．(2025·安康月考)已知n∈N*，下列数列是递增数列的是( )A．an＝ B．an＝1－2nC．an＝n2 D．an＝√课时作业(四十四) 数列的概念及其函数特性题号13524687910C [对于A，an－an-1＝＝－<0，故{an}为递减数列，故A不符合题意．对于B，an－an-1＝1－2n－[1－2(n－1)]＝－2<0，故{an}为递减数列，故B不符合题意．对于C，an－an-1＝n2－(n－1)2＝2n－1>0，故{an}为递增数列，故C符合题意．对于D，an－an-1＝＝－<0，故{an}为递减数列，故D不符合题意．故选C．]√题号135246879102．(2025·南阳期中)已知数列{an}满足a1＝2，且an+1＝an＋3n＋2(n≥1)，则a10＝( )A．182 B．173C．164 D．155题号13524687910D [由an+1＝an＋3n＋2(n≥1)，可得an+1－an＝3n＋2(n≥1)，则当n≥2时，an＝an－an-1＋an-1－an-2＋…＋a3－a2＋a2－a1＋a1＝3n－1＋3n－4＋…＋8＋5＋2＝，则a10＝＝155．故选D．]题号135246879103．(2025·南昌青山湖区期末)若数列{an}满足an+1＝，且a1＝3，则a2 024＋a2 025＝( )A．3 B．4C． D．√题号13524687910B [由数列{an}满足an+1＝，可得an+2＝＝an，即数列{an}是周期为2的数列，且a1＝3，a2＝1，则a2 024＋a2 025＝a2＋a1＝1＋3＝4．故选B．]√题号135246879104．(2025·黔西南州期末)已知数列{an}满足＝n＋1，则a2 027＝( )A．2 027 B．2 025C．4 051 D．4 053题号13524687910D [由题意可得a1＋＋…＋＝n＋1，①当n＝1时，a1＝2；当n≥2时，a1＋＋…＋＝n，②①－②得＝1，即an＝2n－1．又a1＝2不满足an＝2n－1，综上所述，an＝所以a2 027＝4 053．故选D．]√题号13524687910二、多项选择题5．(2025·西安月考)下列结论中不正确的是( )A．数列，，，，…的一个通项公式是an＝(n∈N*)B．数列1，2，3，4，5的项数一定是无限的C．数列－1，1，－1，1，－1，1，…的通项公式的形式是唯一的D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式√√题号13524687910BCD [根据题意，依次分析选项：对于A，数列，…的一个通项公式是an＝(n∈N*)，A正确；对于B，数列1，2，3，4，5只有5项，该数列项数是有限的，B错误；对于C，数列－1，1，－1，1，－1，1，…的通项公式可以为an＝(－1)n，也可以为an＝cos nπ，该数列通项公式不唯一，C错误；对于D，该数列的通项公式可以为bn＝D错误．故选BCD．]题号135246879106．(2025·三明三元区期末)在数列{an}中，下列结论正确的是( )A．若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝2n－1B．若Sn＝，且数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn＝C．若a1＝1，且，则an＝D．若Sn＝－n2＋7n－3，则当n＝3或4时，Sn取得最大值√√√题号13524687910BCD [对于A，已知Sn＝n2＋1，当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，又a1＝2不满足an＝2n－1，综上，an＝故A错误；对于B，Tn＝×…×，所以数列{Sn}的前n项积为Tn＝，故B正确；题号13524687910对于C，由，等式左右分别相乘可得，又a1＝1，所以an＝，故C正确；对于D，因为Sn＝－n2＋7n－3＝－，且n∈N*，所以当n＝3或4时，Sn取得最大值，故D正确．故选BCD．]题号13524687910三、填空题7．(苏教版选择性必修第一册P139习题4.1T8改编)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则数列{an}的最大项为第_________项． 4题号135246879104 [法一：因为an+1－an＝，所以当n≥4时，an+1an，即a1a5>a6>…，故数列{an}的最大项为第4项．法二：设数列{an}中的最大项为ak，则(k≥2)，题号13524687910即解得≤k≤．因为k∈N*，所以k＝4．故数列{an}的最大项为第4项．]题号135246879108．(2025·成都月考)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2tn＋5(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数t的取值范围是______________． 题号13524687910 [根据题意，数列{an}是递增数列，而an＝n2－2tn＋5，则an+1＝(n＋1)2－2t(n＋1)＋5．则an+1－an＝(n＋1)2－2t(n＋1)＋5－(n2－2tn＋5)＝n2＋2n＋1－2tn－2t＋5－n2＋2tn－5＝2n＋1－2t>0恒成立，变形可得2t<2n＋1，又由n∈N*，则2t<3，解得t<．即实数t的取值范围是．]题号13524687910四、解答题9．(2026·阿坝州模拟节选)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且．(1)求Sn；(2)求{an}的通项公式．题号13524687910[解] (1)由a1＝1，得S1＝a1＝1，而，当n≥2时，Sn＝S1··…·＝1××…×，因为S1＝1也满足上式，所以Sn＝．(2)由(1)得，当n≥2时，Sn-1＝，所以an＝Sn－Sn-1＝＝n，因为a1＝1也满足上式，所以{an}的通项公式为an＝n．题号1352468791010．(人教A版选择性必修第二册P9习题4.1T4改编)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，Sn＝n2·an，bn＝．(1)写出数列{bn}的前4项；(2)求出数列{an}的通项公式．题号13524687910[解] (1)因为Sn＝n2·an，①所以Sn+1＝(n＋1)2·an+1，②②－①得an+1＝Sn+1－Sn＝(n＋1)2·an+1－n2·an，所以，所以bn＝，所以b1＝，b2＝，b3＝，b4＝．题号13524687910(2)当n≥2时，由，所以·…·×…×，即(n≥2)，又因为a1＝，所以an＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝满足上式，故an＝．谢谢！课时作业(四十四) 数列的概念及其函数特性一、单项选择题1．(2025·安康月考)已知n∈N*，下列数列是递增数列的是( )A．an＝ B．an＝1－2nC．an＝n2 D．an＝2．(2025·南阳期中)已知数列{an}满足a1＝2，且an＋1＝an＋3n＋2(n≥1)，则a10＝( )A．182 B．173C．164 D．1553．(2025·南昌青山湖区期末)若数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3，则a2 024＋a2 025＝( )A．3 B．4C． D．4．(2025·黔西南州期末)已知数列{an}满足＝n＋1，则a2 027＝( )A．2 027 B．2 025C．4 051 D．4 053二、多项选择题5．(2025·西安月考)下列结论中不正确的是( )A．数列，…的一个通项公式是an＝(n∈N*)B．数列1，2，3，4，5的项数一定是无限的C．数列－1，1，－1，1，－1，1，…的通项公式的形式是唯一的D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式6．(2025·三明三元区期末)在数列{an}中，下列结论正确的是( )A．若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝2n－1B．若Sn＝，且数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn＝C．若a1＝1，且＝，则an＝D．若Sn＝－n2＋7n－3，则当n＝3或4时，Sn取得最大值三、填空题7．(苏教版选择性必修第一册P139习题4.1T8改编)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则数列{an}的最大项为第________项．8．(2025·成都月考)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2tn＋5(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数t的取值范围是________．四、解答题9．(13分)(2026·阿坝州模拟节选)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且＝．(1)求Sn；(2)求{an}的通项公式．10．(15分)(人教A版选择性必修第二册P9习题4.1T4改编)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，Sn＝n2·an，bn＝．(1)写出数列{bn}的前4项；(2)求出数列{an}的通项公式．课时作业(四十四)1．C [对于A，an－an-1＝＝－<0，故{an}为递减数列，故A不符合题意．对于B，an－an-1＝1－2n－[1－2(n－1)]＝－2<0，故{an}为递减数列，故B不符合题意．对于C，an－an-1＝n2－(n－1)2＝2n－1>0，故{an}为递增数列，故C符合题意．对于D，an－an-1＝＝－<0，故{an}为递减数列，故D不符合题意．故选C．]2．D [由an+1＝an＋3n＋2(n≥1)，可得an+1－an＝3n＋2(n≥1)，则当n≥2时，an＝an－an-1＋an-1－an-2＋…＋a3－a2＋a2－a1＋a1＝3n－1＋3n－4＋…＋8＋5＋2＝，则a10＝＝155．故选D．]3．B [由数列{an}满足an+1＝，可得an+2＝＝an，即数列{an}是周期为2的数列，且a1＝3，a2＝1，则a2 024＋a2 025＝a2＋a1＝1＋3＝4．故选B．]4．D [由题意可得a1＋＋…＋＝n＋1，①当n＝1时，a1＝2；当n≥2时，a1＋＋…＋＝n，②①－②得＝1，即an＝2n－1．又a1＝2不满足an＝2n－1，综上所述，an＝所以a2 027＝4 053．故选D．]5．BCD [根据题意，依次分析选项：对于A，数列，…的一个通项公式是an＝(n∈N*)，A正确；对于B，数列1，2，3，4，5只有5项，该数列项数是有限的，B错误；对于C，数列－1，1，－1，1，－1，1，…的通项公式可以为an＝(－1)n，也可以为an＝cos nπ，该数列通项公式不唯一，C错误；对于D，该数列的通项公式可以为bn＝D错误．故选BCD．]6．BCD [对于A，已知Sn＝n2＋1，当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，又a1＝2不满足an＝2n－1，综上，an＝故A错误；对于B，Tn＝×××…×，所以数列{Sn}的前n项积为Tn＝，故B正确；对于C，由，等式左右分别相乘可得，又a1＝1，所以an＝，故C正确；对于D，因为Sn＝－n2＋7n－3＝－，且n∈N*，所以当n＝3或4时，Sn取得最大值，故D正确．故选BCD．]7.4 [法一：因为an+1－an＝，所以当n≥4时，an+1an，即a1a5>a6>…，故数列{an}的最大项为第4项．法二：设数列{an}中的最大项为ak，则(k≥2)，即≤k≤．因为k∈N*，所以k＝4．故数列{an}的最大项为第4项．]8． [根据题意，数列{an}是递增数列，而an＝n2－2tn＋5，则an+1＝(n＋1)2－2t(n＋1)＋5．则an+1－an＝(n＋1)2－2t(n＋1)＋5－(n2－2tn＋5)＝n2＋2n＋1－2tn－2t＋5－n2＋2tn－5＝2n＋1－2t>0恒成立，变形可得2t<2n＋1，又由n∈N*，则2t<3，解得t<．即实数t的取值范围是．]9．解：(1)由a1＝1，得S1＝a1＝1，而，当n≥2时，Sn＝S1··…·＝1××××…××，因为S1＝1也满足上式，所以Sn＝．(2)由(1)得，当n≥2时，Sn-1＝，所以an＝Sn－Sn-1＝＝n，因为a1＝1也满足上式，所以{an}的通项公式为an＝n．10．解：(1)因为Sn＝n2·an，①所以Sn+1＝(n＋1)2·an+1，②②－①得an+1＝Sn+1－Sn＝(n＋1)2·an+1－n2·an，所以，所以bn＝，所以b1＝，b2＝，b3＝，b4＝．(2)当n≥2时，由，所以·…·×××…×，即(n≥2)，又因为a1＝，所以an＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝满足上式，故an＝．1 / 3 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第六章 第44课时 数列的概念及其函数特性.docx 第六章 第44课时 数列的概念及其函数特性.pptx 课时作业44 数列的概念及其函数特性.docx
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