资源简介 第50课时 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积[考试要求] 1．认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．3．能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．知识点1 空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称 棱柱 棱锥 棱台图形底面 互相________ 且________ 多边形 互相________ 且________侧棱 ________ 相交于________ 但不一定相等 延长线交于 ________侧面 形状 ________ ________ ________(2)特殊的棱柱①侧棱垂直于底面的棱柱叫做________．②侧棱不垂直于底面的棱柱叫做________．③底面是正多边形的直棱柱叫做________．④底面是平行四边形的四棱柱叫做________．(3)正棱锥底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．(4)旋转体的结构特征名称 圆柱 圆锥 圆台 球图形母线 互相平行且相等， ________于底面 相交于 ________ 延长线交 于________轴截面 ________ ________ ________ ________侧面 展开图 ________ ________ ________知识点2 立体图形的直观图(1)画法：常用________．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面________．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍______________，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的________．知识点3 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称 圆柱 圆锥 圆台侧面展 开图侧面 积公式 S圆柱侧＝________ S圆锥侧＝________ S圆台侧＝ ________知识点4 柱、锥、台、球的表面积和体积名称 表面积 体积柱体(棱柱 和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝________锥体(棱锥 和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝________台体(棱台 和圆台) S表面积＝S侧 ＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋ )h球 S＝________ V＝________[常用结论]1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图，S原图＝2S直观图．1．(人教A版必修第二册P106习题8.1T8改编)如图，长方体ABCD-A′B′C′D′ 被截去一部分，其中EH∥A′D′∥FG，则剩下的几何体是( )A．棱台 B．四棱柱C．五棱柱 D．六棱柱_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．(苏教版必修第二册P161练习T4改编)下列说法正确的是( )A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3．(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积为12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．cm_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4．(人教A版必修第二册P119练习T2)当一个球的半径为________时，其体积和表面积的数值相等．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________5．(用结论)水平放置的△AOB的直观图如图所示，在直观图中，O′A′＝O′B′＝2，则△AOB的面积是( )A．4 B．4C．2 D．8考点一 基本立体图形 结构特征[典例1] (多选)下列说法中正确的是( )A．以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥C．经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大D．棱台的各侧棱延长后必交于一点_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：辨别空间几何体的两种方法(1)定义法：紧扣定义进行判定．(2)反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可． 直观图[典例2] (2025·濮阳期末)如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，则以下说法正确的是( )A．△ABC是钝角三角形B．△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍C．△ABC是等边三角形D．△ABC的周长是4＋4_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．[多维变迁](多选)(2025·定西期末)如图所示为四边形ABCD的平面图，其中AB∥CD，AB＝2CD＝4，AD⊥AB，AD＝2，用斜二测画法画出它的直观图四边形A′B′C′D′，其中∠x′A′y′＝45°，则下列说法正确的是( )A．A′D′＝2B．A′B′＝4C．四边形A′B′C′D′为等腰梯形D．四边形A′B′C′D′的周长为6＋4 展开图[典例3] (2025·河池期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝，AC＝4，BC＝2，AA1＝4，点D在棱AC上，则A1D＋DB的最小值为( )A．4＋2 B．4＋2C．2＋2 D．2_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维建模：最短路径模型第1步 确定展开方式：找路径两端点所在平面的公共棱、端点所在棱或所在的母线，确定展开方式．第2步 确定最小值：分别计算不同展开方式中两端点的连线长度，其最小值为最短路径的长．[多维变迁](2025·靖江期末)圆台的上、下底面半径分别为1 cm，3 cm，母线AB长为12 cm，从AB的中点M拉条绳子绕圆台侧面转到点A(A在下底面)，则绳子的最短长度为( )A．10 cm B．6 cmC．4π cm D．6 cm考点二 面积与体积 侧面积和表面积[典例4] (1)(2025·眉山期末)毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米，上半部分圆锥的母线长为2米，轴截面(过圆锥轴的截面)是面积为3平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐(不含底面)需要毛毡( )A．(6＋15)π平方米B．(5＋6)π平方米C．(12＋15)π平方米D．(10＋6)π平方米(2)(2026·安康模拟)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2A1B1，AA1＝2．若正四棱台的高为2，则其表面积为( )A．24 B．12C．24＋24 D．40＋24______________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积注意衔接部分的处理．[多维变迁](2026·临沧模拟)已知球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为( )A．π B．πC．π D．3π 体积[典例5] (1)(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球O的直径相等，则圆锥的体积与球O的体积的比值是________，圆锥的表面积与球O的表面积的比值是________．(2)(2024·天津卷)一个五面体ABC-DEF．已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为( )A． B．C． D．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体；(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积．等体积法与割补法求体积[典例6] 如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝1，AB＝AC＝2，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱锥P-ABC的体积．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：规则几何体一般直接利用公式求体积；不规则几何体的体积常用“割补法”分割成几个规则几何体或补成规则几何体求体积；求三棱锥的体积通常还需选择合适的底面，利用“等体积法”求体积．1．(链接考点一考向2)(2025·天津期中)将水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则边AB的实际长度为( )A． B．6C．5 D．2．(链接考点一考向2)(多选)(2025·安康期末)下列命题中为真命题的是( )A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．棱台的侧面一定不会是平行四边形C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱D．球体是旋转体的一种类型3．(链接考点一考向3)如图，已知圆柱体底面圆的半径为cm，高为2 cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是(结果保留根式)( )A．cm B．2cmC．2cm D．4 cm4．(链接考点二考向1)(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是( )A．圆柱的侧面积为2πR2B．圆锥的侧面积为2πR2C．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶25．(链接考点二考向2)(2025·永州月考)在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为 ________．第50课时 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积理法先行·题练固本梳必备·破题有方知识点1 (1)平行 全等 平行 相似 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 (2)直棱柱 斜棱柱 正棱柱平行六面体 (4)垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 矩形扇形 扇环知识点2 (1)斜二测画法 (2)垂直 分别平行于坐标轴 不变 一半知识点3 2πrl πrl π(r1＋r2)l知识点4 Sh Sh 4πR2 πR3链教材·夯基固本1．C [由于平面ABFEA'∥平面DCGHD'，且AD，BC，FG，EH，A'D'相互平行且相等，所以剩下的几何体是五棱柱．故选C．]2．D [由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形．故选D．]3．B [设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2(cm)．]4.3 [设球的半径为R，由题意得πR3＝4πR2，解得R＝3．]5．A [由常用结论2知，S△AOB＝2×S△A'O'B'＝2××2×2×sin 45°＝4．故选A．]考点深研·题型突破考点一考向1 典例1 AD [由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A正确；底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故B错误；对于C，如图，在圆锥SO中，经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是等腰三角形，设截面为△SAC，设AB为底面圆O的一条直径，若∠ASB为钝角，则当SA⊥SC时，截面三角形的面积最大，C错误；棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确．]考向2 典例2 D [根据斜二测画法还原图形，可得如图：则AO＝A'O'，CO＝C'O'，BO＝2B'O'，BO⊥AC，易知△ABC为等腰直角三角形，故A、C错误；由题意，过B'作B'D'⊥A'C'，垂足为D'，如图，则B'D'＝B'O'·sin 45°＝，由S△ABC＝·AC·BO＝×4×2＝4，S△A'B'C'＝·A'C'·B'D'＝×4×，则S△ABC＝2S△A'B'C'，故B错误；△ABC的周长AB＋AC＋BC＝AC＋＝4＋4，故D正确．故选D．]多维变迁 BC [由题意可画出其直观图如下，其中A'B'∥C'D'，A'B'＝AB＝4，C'D'＝CD＝2，A'D'＝AD＝，故A错误，B正确；过点D'，C'分别作D'M⊥A'B'，C'N⊥A'B'，垂足分别为点M，N，故A'M＝D'M＝C'N＝A'D'sin 45°＝1，NB'＝A'B'－C'D'－A'M＝1，故B'C'＝，则四边形A'B'C'D'为等腰梯形，故C正确；故四边形A'B'C'D'的周长为4＋2＋2＝6＋2，故D错误．故选BC．]考向3 典例3 D [第1步 确定展开方式：找路径两端点所在平面的公共棱、端点所在棱或所在的母线，确定展开方式．将平面ABC、平面AA1C1C沿AC翻折至同一平面，如图所示．第2步 确定最小值：分别计算不同展开方式中两端点的连线长度，其最小值为最短路径的长．则当A1，B，D三点共线时，A1D＋DB取最小值，因为A1C1＝CC1＝4，BC＝2，且∠ACB＝∠ACC1＝90°，延展后，B，C，C1共线，所以BC1＝2＋4＝6，A1C1＝4，∠A1C1B＝90°，由勾股定理，得A1B＝＝2．故A1D＋DB的最小值为2．故选D．]多维变迁 B [如图，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度．因为圆台的上、下底面半径分别为1 cm，3 cm，所以，母线长AB＝12 cm，代入可得OB＝6 cm，所以OA＝18 cm，OM＝12 cm，设∠BOB'＝θ，由2×1×π＝OB·θ，解得θ＝，所以AM＝＝＝6(cm)，即绳子的最短长度为6cm．故选B．]考点二考向1 典例4 (1)A (2)D [(1)根据题意，如图所示为该组合体上半部分圆锥轴截面，由于其母线长为2米，轴截面是面积为3平方米的等腰钝角三角形，则有解得则上半部分圆锥的侧面积S1＝πrl＝6π，下半部分圆柱的侧面积S2＝2πr×2.5＝15π，则该组合体的表面积(不含底面)S＝S1＋S2＝(6＋15)π．故选A．(2)设A1B1＝a，则AB＝2a，如图，连接AC，BD交于点O，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接OO1，由正四棱台的几何性质可知O1，O分别是上、下底面的中心，所以OO1⊥平面ABCD，OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1为正四棱台的高h，由题可知h＝2．过点A1作A1H⊥AO交AO于点H，则h2＋(AO－A1O1)2＝A，即h2＋＝(2)2，解得a＝2．过点A1作A1H'⊥AB交AB于点H'，则A1H'为斜高，此时A1H'＝，所以正四棱台的表面积S＝4×＋(2)2＋(4)2＝40＋24．故选D．]多维变迁B [由题意作出示意图如图所示．则球的半径为OA＝OB，由题意可得∠OAB＝，所以△OAB是等边三角形，所以∠AOB＝，所以∠O1OB＝，因为球O的表面积为4π，所以4π×OA2＝4π，解得OA＝1，所以OB＝AB＝1，所以O1B＝OB＝，所以圆台的侧面积为π×1＝．故选B．]考向2 典例5 (1) 1 (2)C [(1)设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h＝r，母线长l＝2r，由题可知，h＝2R，所以球的半径R＝r，所以圆锥的体积为V1＝πr2×r＝πr3，球的体积V2＝πR3＝π×πr3，所以．圆锥的表面积S1＝πrl＋πr2＝3πr2，球的表面积S2＝4πR2＝4π×＝3πr2，所以＝1．(2)法一(补形法)：如图1，用一个完全相同的五面体HIJLMN与该五面体相嵌，因为AD∥BE∥CF，且两两之间的距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则形成的新组合体为一个三棱柱，且该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形，该截面的面积为×1×1×，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，所以该五面体的体积为VABC-DEF＝VABC-HIJ＝××4＝．法二(补形法)：如图2，延长AD到点G，使DG＝2，延长BE到点H，使EH＝1，连接AF，BF，可得AG＝BH＝CF＝3，结合AG∥BH∥CF，可知多面体ABC-GHF为三棱柱．因为四边形ABED与四边形HGDE全等，所以VF-ABED＝VF-HGDE＝VABC-GHF．由AG∥BH∥CF，且它们两两之间的距离为1，得当三棱柱ABC-GHF为正三棱柱时，底面边长为1，高为3，此时VABC-GHF＝×12×3＝．根据棱柱的性质，若三棱柱ABC-GHF为斜三棱柱，则体积也是，所以VF-ABED＝VF-HGDE＝VABC-GHF＝，所以该五面体的体积V＝VABC-GHF－VF-HGDE＝．法三(分割法)：因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间的距离为1，过点D作与AB，AC平行的直线分别交BE，CF于点P，Q(图略)，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱ABC-DPQ和一个底面为梯形的四棱锥D-PQFE，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1，下底为2，高为1的梯形，故该五面体的体积为 V＝×1＋××．]微点突破9典例6 解：法一(直接法)：如图1，取BC的中点D，连接AD，PD，过点P作PO⊥AD于点O，由题意可得BC⊥AD，BC⊥PD．因为AD∩PD＝D，AD，PD 平面PAD，所以BC⊥平面PAD．又BC 平面ABC，所以平面PAD⊥平面ABC．因为平面PAD∩平面ABC＝AD，PO⊥AD，PO 平面PAD，所以PO⊥平面ABC，即PO为三棱锥P-ABC的高．因为AB＝AC＝2，∠BAC＝60°，所以BC＝2，AD＝．又PA＝1，∠PAC＝∠PAB＝60°，所以PB＝PC＝，所以PD＝，所以AD2＝PA2＋PD2，所以AP⊥PD．由PA·PD＝PO·AD，得PO＝，所以V三棱锥P-ABC＝S△ABC·PO＝BC·AD·＝×2×1×．法二(等积转换法)：在△PAB中，由余弦定理，得PB2＝PA2＋AB2－2PA·AB·cos∠PAB＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3．所以AB2＝PA2＋PB2，所以PA⊥PB．同理可得PA⊥PC，故PA⊥平面PBC．因为AB＝AC＝2，∠BAC＝60°，所以△ABC为正三角形，BC＝2．如图1，取BC的中点D，连接PD，则PD＝．所以S△PBC＝BC·PD＝，所以V三棱锥A-PBC＝S△PBC·PA＝××1＝．所以V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC＝．法三(割补法)：如图2，分别取AB，AC的中点M，N，连接PM，PN，MN，则PA＝AM＝AN＝1，由∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，得PM＝PN＝MN＝1，所以三棱锥P-AMN是一个棱长为1的正四面体．则V三棱锥P-AMN＝·S△AMN·h＝××12×sin 60°×，所以V三棱锥P-ABC＝4V三棱锥P-AMN＝4×．随堂·对点检测1．C [依题意，在△ABC中，BC⊥AC，BC＝2B'C'＝4，AC＝A'C'＝3，所以AB＝＝5．故选C．]2．ABD [选项A：圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确；选项B：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故B正确．选项C：有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体不一定是棱柱，如图所示，故C错误；选项D：球体是旋转体的一种类型，D正确．故选ABD．]3．C [如图，在圆柱侧面展开图中，线段AC1的长度即为所求．在Rt△AB1C1中，AB1＝π·＝2(cm)，B1C1＝2 cm，所以AC1＝2 cm．故选C．]4．CD [圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，故A错误；圆锥的母线长为R，圆锥的侧面积为πR×R＝πR2，故B错误；球的表面积为4πR2，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；圆柱的体积为πR2×2R＝2πR3，圆锥的体积为×πR2×2R＝R3，球的体积为R3，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为2πR3∶R3∶R3＝3∶1∶2，故D正确．故选CD．]5． [因为在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB，所以 S△PMA＝S△PAC，设N到平面PAC的距离为d1，B到平面PAC的距离为d2，则d1＝d2，则三棱锥 P-AMN的体积V三棱锥P-AMN＝V三棱锥N-APM＝S△PAM·d1＝××S△PAC×d2＝V三棱锥B-PAC．故三棱锥 P-AMN和三棱锥 P-ABC的体积之比为．]1 / 13(共96张PPT)第七章 立体几何与空间向量第七章 立体几何与空间向量第50课时 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积[考试要求] 1．认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．3．能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．理法先行·题练固本知识点1 空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称 棱柱 棱锥 棱台图形名称 棱柱 棱锥 棱台底面 互相____且____ 多边形 互相____且____侧棱 __________ 相交于____ 但不一定相等 延长线交于____侧面 形状 __________ ______ ____平行全等平行相似平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形(2)特殊的棱柱①侧棱垂直于底面的棱柱叫做______．②侧棱不垂直于底面的棱柱叫做______．③底面是正多边形的直棱柱叫做______．④底面是平行四边形的四棱柱叫做__________．直棱柱斜棱柱正棱柱平行六面体(3)正棱锥底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．(4)旋转体的结构特征名称 圆柱 圆锥 圆台 球图形母线 互相平行 且相等， ____于底面 相交于 ____ 延长线交 于____ 轴截面 ____ __________ ________ ____侧面 展开图 ____ ____ ____垂直一点一点矩形等腰三角形等腰梯形圆面矩形扇形扇环知识点2 立体图形的直观图(1)画法：常用__________．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°)，z'轴与x'轴和y'轴所在平面____．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍________________，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度____，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的____．斜二测画法垂直分别平行于坐标轴不变 一半知识点3 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称 圆柱 圆锥 圆台侧面展 开图侧面 积公式 S圆柱侧＝____ S圆锥侧＝___ S圆台侧＝____________2πrlπrlπ(r1＋r2)l知识点4 柱、锥、台、球的表面积和体积名称 表面积 体积柱体(棱柱 和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝___锥体(棱锥 和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝____台体(棱台 和圆台) S表面积＝S侧 ＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h球 S＝____ V＝_____ShSh4πR2πR3[常用结论]1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图，S原图＝2S直观图．1．(人教A版必修第二册P106习题8.1T8改编)如图，长方体ABCD-A'B'C'D' 被截去一部分，其中EH∥A'D'∥FG，则剩下的几何体是( )A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱√C [由于平面ABFEA'∥平面DCGHD'，且AD，BC，FG，EH，A'D'相互平行且相等，所以剩下的几何体是五棱柱．故选C．]2．(苏教版必修第二册P161练习T4改编)下列说法正确的是( )A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行√D [由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形．故选D．]3．(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积为12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．cm√B [设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2(cm)．]4．(人教A版必修第二册P119练习T2)当一个球的半径为__________时，其体积和表面积的数值相等． 3 [设球的半径为R，由题意得πR3＝4πR2，解得R＝3．]3 5．(用结论)水平放置的△AOB的直观图如图所示，在直观图中，O'A'＝O'B'＝2，则△AOB的面积是( )A．4B．4C．2D．8√A [由常用结论2知，S△AOB＝2×S△A'O'B'＝2×2×2×sin 45°＝4．故选A．]考点深研·题型突破考点一 基本立体图形考向1 结构特征[典例1] (多选)下列说法中正确的是( )A．以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥C．经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大D．棱台的各侧棱延长后必交于一点√√AD [由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A正确；底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故B错误；对于C，如图，在圆锥SO中，经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是等腰三角形，设截面为△SAC，设AB为底面圆O的一条直径，若∠ASB为钝角，则当SA⊥SC时，截面三角形的面积最大，C错误；棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确．]通性通法：辨别空间几何体的两种方法(1)定义法：紧扣定义进行判定．(2)反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可．考向2 直观图[典例2] (2025·濮阳期末)如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O'C'＝O'A'＝2O'B'＝2，则以下说法正确的是( )A．△ABC是钝角三角形B．△ABC的面积是△A'B'C'的面积的2倍C．△ABC是等边三角形D．△ABC的周长是4＋4√D [根据斜二测画法还原图形，可得如图：则AO＝A'O'，CO＝C'O'，BO＝2B'O'，BO⊥AC，易知△ABC为等腰直角三角形，故A、C错误；由题意，过B'作B'D'⊥A'C'，垂足为D'，如图，则B'D'＝B'O'sin 45°＝，由S△ABC＝·AC·BO＝×4×2＝4，S△A'B'C'＝·A'C'·B'D'＝×4×，则S△ABC＝2S△A'B'C'，故B错误；△ABC的周长AB＋AC＋BC＝AC＋＝4＋4，故D正确．故选D．]通性通法：在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．[多维变迁](多选)(2025·定西期末)如图所示为四边形ABCD的平面图，其中AB∥CD，AB＝2CD＝4，AD⊥AB，AD＝2，用斜二测画法画出它的直观图四边形A'B'C'D'，其中∠x'A'y'＝45°，则下列说法正确的是( )A．A'D'＝2B．A'B'＝4C．四边形A'B'C'D'为等腰梯形D．四边形A'B'C'D'的周长为6＋4√√BC [由题意可画出其直观图如下，其中A'B'∥C'D'，A'B'＝AB＝4，C'D'＝CD＝2，A'D'＝AD＝，故A错误，B正确；过点D'，C'分别作D'M⊥A'B'，C'N⊥A'B'，垂足分别为点M，N，故A'M＝D'M＝C'N＝A'D'sin 45°＝1，NB'＝A'B'－C'D'－A'M＝1，故B'C'＝，则四边形A'B'C'D'为等腰梯形，故C正确；故四边形A'B'C'D'的周长为4＋2＋2＝6＋2，故D错误．故选BC．]考向3 展开图[典例3] (2025·河池期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝，AC＝4，BC＝2，AA1＝4，点D在棱AC上，则A1D＋DB的最小值为( )A．4＋2 B．4＋2C．2＋2 D．2√D [第1步 确定展开方式：找路径两端点所在平面的公共棱、端点所在棱或所在的母线，确定展开方式．将平面ABC、平面AA1C1C沿AC翻折至同一平面，如图所示．第2步 确定最小值：分别计算不同展开方式中两端点的连线长度，其最小值为最短路径的长．则当A1，B，D三点共线时，A1D＋DB取最小值，因为A1C1＝CC1＝4，BC＝2，且∠ACB＝∠ACC1＝90°，延展后，B，C，C1共线，所以BC1＝2＋4＝6，A1C1＝4，∠A1C1B＝90°，由勾股定理，得A1B＝＝2．故A1D＋DB的最小值为2．故选D．]思维建模：最短路径模型第1步 确定展开方式：找路径两端点所在平面的公共棱、端点所在棱或所在的母线，确定展开方式．第2步 确定最小值：分别计算不同展开方式中两端点的连线长度，其最小值为最短路径的长．[多维变迁](2025·靖江期末)圆台的上、下底面半径分别为1 cm，3 cm，母线AB长为12 cm，从AB的中点M拉条绳子绕圆台侧面转到点A(A在下底面)，则绳子的最短长度为( )A．10 cm B．6 cmC．4π cm D．6 cm√B [如图，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度．因为圆台的上、下底面半径分别为1 cm，3 cm，所以，母线长AB＝12 cm，代入可得OB＝6 cm，所以OA＝18 cm，OM＝12 cm，设∠BOB'＝θ，由2×1×π＝OB·θ，解得θ＝，所以AM＝＝6(cm)，即绳子的最短长度为6cm．故选B．]【教用·通性通法】在解决空间曲线或折线(段)最短问题时一般要考虑几何体的侧面展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．考点二 面积与体积考向1 侧面积和表面积[典例4] (1)(2025·眉山期末)毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米，上半部分圆锥的母线长为2米，轴截面(过圆锥轴的截面)是面积为3平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐(不含底面)需要毛毡( )A．(6＋15)π平方米 B．(5＋6)π平方米C．(12＋15)π平方米 D．(10＋6)π平方米√(2)(2025·安康模拟)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2A1B1，AA1＝2．若正四棱台的高为2，则其表面积为( )A．24 B．12C．24＋24 D．40＋24√(1)A (2)D [(1)根据题意，如图所示为该组合体上半部分圆锥轴截面，由于其母线长为2米，轴截面是面积为3平方米的等腰钝角三角形，则有则上半部分圆锥的侧面积S1＝πrl＝6π，下半部分圆柱的侧面积S2＝2πr×2.5＝15π，则该组合体的表面积(不含底面)S＝S1＋S2＝(6＋15)π．故选A．(2)设A1B1＝a，则AB＝2a，如图，连接AC，BD交于点O，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接OO1，由正四棱台的几何性质可知O1，O分别是上、下底面的中心，所以OO1⊥平面ABCD，OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1为正四棱台的高h，由题可知h＝2．过点A1作A1H⊥AO交AO于点H，则h2＋(AO－A1O1)2＝A，即h2＋＝(2)2，解得a＝2．过点A1作A1H'⊥AB交AB于点H'，则A1H'为斜高，此时A1H'＝，所以正四棱台的表面积S＝4×＋(2)2＋(4)2＝40＋24．故选D．]通性通法：空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积注意衔接部分的处理．[多维变迁](2026·临沧模拟)已知球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为( )A．π B．πC．π D．3π√B [由题意作出示意图如图所示．则球的半径为OA＝OB，由题意可得∠OAB＝，所以△OAB是等边三角形，所以∠AOB＝，所以∠O1OB＝，因为球O的表面积为4π，所以4π×OA2＝4π，解得OA＝1，所以OB＝AB＝1，所以O1B＝OB＝，所以圆台的侧面积为π×1＝．故选B．]考向2 体积[典例5] (1)(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球O的直径相等，则圆锥的体积与球O的体积的比值是________，圆锥的表面积与球O的表面积的比值是_______． 1 (2)(2024·天津卷)一个五面体ABC-DEF．已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为( )A． B．C． D．√(1) 1 (2)C [(1)设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h＝r，母线长l＝2r，由题可知，h＝2R，所以球的半径R＝r，所以圆锥的体积为V1＝πr2×r＝πr3，球的体积V2＝πR3＝π×πr3，所以．圆锥的表面积S1＝πrl＋πr2＝3πr2，球的表面积S2＝4πR2＝4π×＝3πr2，所以＝1．(2)法一(补形法)：如图1，用一个完全相同的五面体HIJLMN与该五面体相嵌，因为AD∥BE∥CF，且两两之间的距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则形成的新组合体为一个三棱柱，且该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形，该截面的面积为×1×1×，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，所以该五面体的体积为VABC-DEF＝VABC-HIJ＝×4＝．法二(补形法)：如图2，延长AD到点G，使DG＝2，延长BE到点H，使EH＝1，连接AF，BF，可得AG＝BH＝CF＝3，结合AG∥BH∥CF，可知多面体ABC-GHF为三棱柱．因为四边形ABED与四边形HGDE全等，所以VF-ABED＝VF-HGDE＝VABC-GHF．由AG∥BH∥CF，且它们两两之间的距离为1，得当三棱柱ABC-GHF为正三棱柱时，底面边长为1，高为3，此时VABC-GHF＝×12×3＝．根据棱柱的性质，若三棱柱ABC-GHF为斜三棱柱，则体积也是，所以VF-ABED＝VF-HGDE＝VABC-GHF＝，所以该五面体的体积V＝VABC-GHF－VF-HGDE＝．法三(分割法)：因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间的距离为1，过点D作与AB，AC平行的直线分别交BE，CF于点P，Q(图略)，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱ABC-DPQ和一个底面为梯形的四棱锥D-PQFE，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1，下底为2，高为1的梯形，故该五面体的体积为 V＝×1＋．]通性通法：求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体；(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积．微点突破9 等体积法与割补法求体积[典例6] 如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝1，AB＝AC＝2，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱锥P-ABC的体积．[解] 法一(直接法)：如图1，取BC的中点D，连接AD，PD，过点P作PO⊥AD于点O，由题意可得BC⊥AD，BC⊥PD．因为AD∩PD＝D，AD，PD 平面PAD，所以BC⊥平面PAD．又BC 平面ABC，所以平面PAD⊥平面ABC．因为平面PAD∩平面ABC＝AD，PO⊥AD，PO 平面PAD，所以PO⊥平面ABC，即PO为三棱锥P-ABC的高．因为AB＝AC＝2，∠BAC＝60°，所以BC＝2，AD＝．又PA＝1，∠PAC＝∠PAB＝60°，所以PB＝PC＝，所以PD＝，所以AD2＝PA2＋PD2，所以AP⊥PD．由PA·PD＝PO·AD，得PO＝，所以V三棱锥P-ABC＝S△ABC·PO＝BC·AD·＝×2×1×．法二(等积转换法)：在△PAB中，由余弦定理，得PB2＝PA2＋AB2－2PA·AB·cos∠PAB＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3．所以AB2＝PA2＋PB2，所以PA⊥PB．同理可得PA⊥PC，故PA⊥平面PBC．因为AB＝AC＝2，∠BAC＝60°，所以△ABC为正三角形，BC＝2．如图1，取BC的中点D，连接PD，则PD＝．所以S△PBC＝BC·PD＝，所以V三棱锥A-PBC＝S△PBC·PA＝×1＝．所以V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC＝．法三(割补法)：如图2，分别取AB，AC的中点M，N，连接PM，PN，MN，则PA＝AM＝AN＝1，由∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，得PM＝PN＝MN＝1，所以三棱锥P-AMN是一个棱长为1的正四面体．则V三棱锥P-AMN＝·S△AMN·h＝×12×sin 60°×，所以V三棱锥P-ABC＝4V三棱锥P-AMN＝4×．通性通法：规则几何体一般直接利用公式求体积；不规则几何体的体积常用“割补法”分割成几个规则几何体或补成规则几何体求体积；求三棱锥的体积通常还需选择合适的底面，利用“等体积法”求体积．1．(链接考点一考向2)(2025·天津期中)将水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知A'C'＝3，B'C'＝2，则边AB的实际长度为( )A． B．6C．5 D．√C [依题意，在△ABC中，BC⊥AC，BC＝2B'C'＝4，AC＝A'C'＝3，所以AB＝＝5．故选C．]2．(链接考点一考向2)(多选)(2025·安康期末)下列命题中为真命题的是( )A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．棱台的侧面一定不会是平行四边形C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱D．球体是旋转体的一种类型√√√ABD [选项A：圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确；选项B：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故B正确．选项C：有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体不一定是棱柱，如图所示，故C错误；选项D：球体是旋转体的一种类型，D正确．故选ABD．]3．(链接考点一考向3)如图，已知圆柱体底面圆的半径为cm，高为2 cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是(结果保留根式)( )A．cm B．2cmC．2cm D．4 cm√C [如图，在圆柱侧面展开图中，线段AC1的长度即为所求．在Rt△AB1C1中，AB1＝π·＝2(cm)，B1C1＝2 cm，所以AC1＝2cm．故选C．]4．(链接考点二考向1)(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是( )A．圆柱的侧面积为2πR2B．圆锥的侧面积为2πR2C．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2√√CD [圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，故A错误；圆锥的母线长为R，圆锥的侧面积为πR×R＝πR2，故B错误；球的表面积为4πR2，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；圆柱的体积为πR2×2R＝2πR3，圆锥的体积为×πR2×2R＝R3，球的体积为R3，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为2πR3∶R3∶R3＝3∶1∶2，故D正确．故选CD．]5．(链接考点二考向2)(2025·永州月考)在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为 ______________． [因为在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB，所以 S△PMA＝S△PAC，设N到平面PAC的距离为d1，B到平面PAC的距离为d2，则d1＝d2，则三棱锥 P-AMN的体积V三棱锥P-AMN＝V三棱锥N-APM＝S△PAM·d1＝S△PAC×d2＝V三棱锥B-PAC．故三棱锥 P-AMN和三棱锥 P-ABC的体积之比为．]题号135246879101112√一、单项选择题1．(2025·惠州校级期中)下列说法正确的是( )A．过球面上两点与球心有且只有一个平面B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台课时作业(五十) 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积题号135246879101112C [对于A：当球面上两点与球心在一条直线上时，这样的平面有无数多个，故A错误；对于B：若平面与圆锥底面不平行，则此时截出来的不是圆台，如图所示，故B错误；对于C：由正棱锥的定义与性质知，正棱锥的所有侧棱均相等，底面是正多边形，所以侧面是全等的等腰三角形，故C正确；对于D：棱台要求侧棱的延长线交于一点，故D错误．故选C．]√2．(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )A．2π B．3πC．6π D．9π题号135246879101112B [设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2，解得r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π．故选B．]题号135246879101112√3．如图，小蚂蚁的家住在长方体ABCD-A1B1C1D1的A处，小蚂蚁的奶奶家住在C1处，三条棱长分别是AA1＝1，AB＝2，AD＝3，小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到奶奶家C1的最短距离是( )A．2B．3C．D．题号135246879101112B [将长方体的部分表面展开，则从A点出发到C1点，有3条直线路线，如图1，2，3所示．图1中，AB＝2，BC1＝4，所以AC1＝＝2；图2中，AC＝5，CC1＝1，所以AC1＝；图3中，C1B1＝3，AB1＝3，所以AC1＝＝3．而>2>3，所以小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到奶奶家C1的最短距离是3．]题号135246879101112√4．(2026·西宁模拟)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为1，若将其截去三棱锥A-A1B1D1，则剩余部分几何体的体积为( )A． B．C． D．题号135246879101112D [将平行六面体截去三棱锥后，剩余部分几何体的体积等于平行六面体的体积减去三棱锥的体积，记平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为V＝1，则三棱锥A-A1B1D1的体积V1＝·h＝·h＝V＝，所以剩余部分几何体的体积为V－V1＝1－．故选D．]题号135246879101112√5．(人教A版必修第二册P120习题8.3T8改编)在△ABC中，AB＝2，BC＝，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )A．π B．πC．π D．π题号135246879101112A [如图，形成的旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥．由题易知OA＝，OB＝1，所以旋转体的体积为V＝π×OA2×BC＝π×()2×π．]题号135246879101112√6．(2026·广州模拟)辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省喀左县小波汰沟．鼎体直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足部装饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似等于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为( )A．R B．RC．R D．R题号135246879101112D [由球的半径为R，得圆柱体的高为R，此鼎主体部分的容积约为πR3＋πR2×R＝πR3，此鼎主体部分外表面积约为×4πR2＋2πR×R＝4πR2，所以此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为：R．故选D．]题号135246879101112√二、多项选择题7．如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，A'B'＝2，A'C'＝B'C'＝，则在原平面图形△ABC中，有( )A．AC＝BCB．AB＝2C．AC＝2D．S△ABC＝4题号135246879101112√BD [如图所示，在直观图△A'B'C'中，过C'作C'D'⊥A'B'于D'，题号135246879101112∵A'B'＝2，A'C'＝B'C'＝，∴A'D'＝1，C'D'＝＝2．又∠C'O'D'＝45°，∴O'D'＝2，O'A'＝1，O'C'＝2，所以利用斜二测画法将直观图△A'B'C'还原为原平面图形△ABC，如图，则OC＝4，OA＝1，AB＝2，故选项B正确；又因为AC＝，BC＝，故选项A，C错误；S△ABC＝×AB×OC＝×2×4＝4，故选项D正确．故选BD．]题号135246879101112√8．(2025·肇庆期末)如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝BC＝AD＝CD，CD＝4，则( )A．该圆台的高为1B．该圆台轴截面面积为3C．该圆台的体积为D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5题号135246879101112√√BCD [对于A，因为圆台O1O2，在其轴截面ABCD中，AB＝BC＝AD＝CD，CD＝4，所以该圆台的高为O1O2＝，所以A选项错误；对于B，因为该圆台轴截面面积为S＝(AB＋CD)·O1O2＝(2＋4)×＝3，所以B选项正确；对于C，因为该圆台的体积为V＝(4π＋π＋)×，所以C选项正确；题号135246879101112对于D，将圆台侧面沿直线BC处剪开，其侧面展开图如图所示．易知圆弧的长度分别为2π，4π，设扇形圆心为O，圆心角为θ，OB＝r，由弧长公式可知θr＝2π，θ(r＋2)＝4π，解得θ＝π，r＝2，所以可得∠AOB＝90°，设E为AD的中点，连接EC，当小虫从点C沿着EC爬行到AD的中点，所经过路程最短，易知OE＝3，OC＝4，且OE⊥OC，由勾股定理可知，EC＝＝5，所以D选项正确．故选BCD．]题号135246879101112√9．(2025·泊头期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，BC＝3，CC1＝4，且AB⊥BC，P为BC1的中点，则( )A．三棱锥A-BCC1的体积为4B．三棱锥C-APC1的体积为C．四棱锥C1-ABB1A1的体积为8D．三棱锥C1-ABC的表面积为14＋2题号135246879101112√√ACD [对于A，×CC1×S△ABC＝×4××2×3＝4，故A正确；对于B，，而三棱锥A-BCC1与三棱锥A-PCC1有共同的高，∵P为BC1的中点，∴，∴×4＝2，故B错误；题号135246879101112对于C，＝×2×3×4－4＝8，故C正确；对于D，由题可知，AC＝，AC1＝，BC1＝5，∴AB2＋B＝A，∴△ABC1是直角三角形，AB⊥BC1，∴三棱锥C1-ABC的表面积为S△ABC＋×2×3＋×3×4＋×4＋×2×5＝14＋2，故D正确．故选ACD．]题号135246879101112三、填空题10．(人教A版必修第二册P120习题8.3T3改编)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为______________． 题号1352468791011121212 [设△ABC的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，侧面AA1B1B水平放置时，水的体积为V＝S△ABC·AA1＝a·16＝12a，当底面ABC水平放置时，水的体积为V＝S△ABCh＝ah，于是ah＝12a，解得h＝12，所以当底面ABC水平放置时，液面高为12．]题号13524687910111211．(2026·鄄城模拟)如图，已知圆台O1O2中，△ABO2为等边三角形，三角形边长为2，且O1B∥O2A，则圆台的体积为______________，圆台的表面积为______________． 题号135246879101112 11π 11π [因为在圆台O1O2中，△ABO2为等边三角形，三角形边长为2，且O1B ∥O2A，所以O1B＝1，圆台的高h＝，因此圆台的体积为V＝πh(＋r1r2＋)＝，表面积S＝π(＋r1l＋r2l＋)＝11π．]题号135246879101112题号13524687910111212．(2025·深圳二模)已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为______________． 36 36 [如图，在正四棱锥P-ABCD中，PO为四棱锥的高，PE为侧面的高，因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，所以S侧＝4××6PE＝2S底＝72，解得PE＝6，PO＝＝3，所以V四棱锥P-ABCD＝S底·PO＝×36×3＝36．]谢谢！课时作业(五十) 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积一、单项选择题1．(2025·惠州校级期中)下列说法正确的是( )A．过球面上两点与球心有且只有一个平面B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台2．(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )A．2π B．3πC．6π D．9π3．如图，小蚂蚁的家住在长方体ABCD-A1B1C1D1的A处，小蚂蚁的奶奶家住在C1处，三条棱长分别是AA1＝1，AB＝2，AD＝3，小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到奶奶家C1的最短距离是( )A．2 B．3C． D．4．(2026·西宁模拟)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为1，若将其截去三棱锥A-A1B1D1，则剩余部分几何体的体积为( )A． B．C． D．5．(人教A版必修第二册P120习题8.3T8改编)在△ABC中，AB＝2，BC＝，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )A．π B．πC．π D．π6．(2026·广州模拟)辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省喀左县小波汰沟．鼎体直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足部装饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似等于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为( )A．R B．RC．R D．R二、多项选择题7．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′＝2，A′C′＝B′C′＝，则在原平面图形△ABC中，有( )A．AC＝BC B．AB＝2C．AC＝2 D．S△ABC＝48．(2025·肇庆期末)如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝BC＝AD＝CD，CD＝4，则( )A．该圆台的高为1B．该圆台轴截面面积为3C．该圆台的体积为D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为59．(2025·泊头期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，BC＝3，CC1＝4，且AB⊥BC，P为BC1的中点，则( )A．三棱锥A-BCC1的体积为4B．三棱锥C-APC1的体积为C．四棱锥C1-ABB1A1的体积为8D．三棱锥C1-ABC的表面积为14＋2三、填空题10．(人教A版必修第二册P120习题8.3T3改编)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为________．11．(2026·鄄城模拟)如图，已知圆台O1O2中，△ABO2为等边三角形，三角形边长为2，且O1B∥O2A，则圆台的体积为________，圆台的表面积为________．12．(2025·深圳二模)已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为________．课时作业(五十)1．C [对于A：当球面上两点与球心在一条直线上时，这样的平面有无数多个，故A错误；对于B：若平面与圆锥底面不平行，则此时截出来的不是圆台，如图所示，故B错误；对于C：由正棱锥的定义与性质知，正棱锥的所有侧棱均相等，底面是正多边形，所以侧面是全等的等腰三角形，故C正确；对于D：棱台要求侧棱的延长线交于一点，故D错误．故选C．]2．B [设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2，解得r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π．故选B．]3．B [将长方体的部分表面展开，则从A点出发到C1点，有3条直线路线，如图1，2，3所示．图1中，AB＝2，BC1＝4，所以AC1＝＝2；图2中，AC＝5，CC1＝1，所以AC1＝；图3中，C1B1＝3，AB1＝3，所以AC1＝＝3．而>2>3，所以小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到奶奶家C1的最短距离是3．]4．D [将平行六面体截去三棱锥后，剩余部分几何体的体积等于平行六面体的体积减去三棱锥的体积，记平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为V＝1，则三棱锥A-A1B1D1的体积V1＝·h＝·h＝V＝，所以剩余部分几何体的体积为V－V1＝1－．故选D．]5．A [如图，形成的旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥．由题易知OA＝，OB＝1，所以旋转体的体积为V＝π×OA2×BC＝π×()2×π．]6．D [由球的半径为R，得圆柱体的高为R，此鼎主体部分的容积约为×πR3＋πR2×R＝πR3，此鼎主体部分外表面积约为×4πR2＋2πR×R＝4πR2，所以此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为：R．故选D．]7．BD [如图所示，在直观图△A'B'C'中，过C'作C'D'⊥A'B'于D'，∵A'B'＝2，A'C'＝B'C'＝，∴A'D'＝1，C'D'＝＝2．又∠C'O'D'＝45°，∴O'D'＝2，O'A'＝1，O'C'＝2，所以利用斜二测画法将直观图△A'B'C'还原为原平面图形△ABC，如图，则OC＝4，OA＝1，AB＝2，故选项B正确；又因为AC＝，BC＝，故选项A，C错误；S△ABC＝×AB×OC＝×2×4＝4，故选项D正确．故选BD．]8．BCD [对于A，因为圆台O1O2，在其轴截面ABCD中，AB＝BC＝AD＝CD，CD＝4，所以该圆台的高为O1O2＝，所以A选项错误；对于B，因为该圆台轴截面面积为S＝(AB＋CD)·O1O2＝(2＋4)×＝3，所以B选项正确；对于C，因为该圆台的体积为V＝(4π＋π＋)×，所以C选项正确；对于D，将圆台侧面沿直线BC处剪开，其侧面展开图如图所示．易知圆弧的长度分别为2π，4π，设扇形圆心为O，圆心角为θ，OB＝r，由弧长公式可知θr＝2π，θ(r＋2)＝4π，解得θ＝π，r＝2，所以可得∠AOB＝90°，设E为AD的中点，连接EC，当小虫从点C沿着EC爬行到AD的中点，所经过路程最短，易知OE＝3，OC＝4，且OE⊥OC，由勾股定理可知，EC＝＝5，所以D选项正确．故选BCD．]9．ACD [对于A，×CC1×S△ABC＝×4××2×3＝4，故A正确；对于B，，而三棱锥A-BCC1与三棱锥A-PCC1有共同的高，∵P为BC1的中点，∴，∴×4＝2，故B错误；对于C，×2×3×4－4＝8，故C正确；对于D，由题可知，AC＝，AC1＝，BC1＝5，∴AB2＋B＝A，∴△ABC1是直角三角形，AB⊥BC1，∴三棱锥C1-ABC的表面积为S△ABC＋＝×2×3＋×3×4＋××4＋×2×5＝14＋2，故D正确．故选ACD．]10.12 [设△ABC的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，侧面AA1B1B水平放置时，水的体积为V＝S△ABC·AA1＝a·16＝12a，当底面ABC水平放置时，水的体积为V＝S△ABCh＝ah，于是ah＝12a，解得h＝12，所以当底面ABC水平放置时，液面高为12．]11． 11π [因为在圆台O1O2中，△ABO2为等边三角形，三角形边长为2，且O1B∥O2A，所以O1B＝1，圆台的高h＝，因此圆台的体积为V＝πh(＋r1r2＋)＝，表面积S＝π(＋r1l＋r2l＋)＝11π．]12．36 [如图，在正四棱锥P-ABCD中，PO为四棱锥的高，PE为侧面的高，因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，所以S侧＝4××6PE＝2S底＝72，解得PE＝6，PO＝＝3，所以V四棱锥P-ABCD＝S底·PO＝×36×3＝36．]1 / 4 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第七章 第50课时 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积.docx 第七章 第50课时 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积.pptx 课时作业50 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积.docx
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