资源简介 第51课时 与球有关的切、接问题(进阶课)[总体概览]一、研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或转化为特殊几何体的切、接问题来解决．二、特殊几何体与球1．正方体与球(1)内切球：内切球直径2R＝正方体棱长a．(2)棱切球：棱切球直径2R＝正方体的面对角线长a．(3)外接球：外接球直径2R＝正方体体对角线长a．2．长方体与球外接球：外接球直径2R＝体对角线长(a，b，c分别为长方体的长、宽、高)．3．正棱锥与球(1)内切球：V正棱锥＝S表·r＝S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高．(2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2＝(h－R)2＋r2(正棱锥外接球半径为R，高为h)．4．正四面体与球若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则h＝a，R＝a，r＝a，R∶r＝3∶1．5．直棱柱的外接球球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心．R2＝＋r2(直棱柱的外接球半径是R，高是h，底面外接圆半径是r)．6．圆柱的外接球R＝(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径)．7．圆锥的外接球R2＝(h－R)2＋r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径)．类型一 简单几何体的外接球 柱体的外接球问题[典例1] (1)(2025·宁波月考)已知一个正方体的顶点都在球面上，该球的体积为36π，则正方体的棱长为( )A． B．2C．2 D．(2)(2025·乌鲁木齐期末)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝，AA1＝2，且∠BAC＝，则该三棱柱的外接球的体积为 ________．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母题探究]若将本例(2)的条件“BC＝，AA1＝2，且∠BAC＝”换为“AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12”，其他条件不变，则球O的半径为________．思维建模：柱体外接球模型第1步 补形：若为棱柱或圆柱，则无需补形；若棱锥中有侧棱垂直于底面，则补形为棱柱．第2步 定外心、定球心：确定上、下底面的外心及外接球球心，连出直角三角形．第3步 用勾股定理：R2＝r2＋(r为底面外接圆半径，h为柱体高，R为外接球半径)． 锥体(台体)的外接球问题[典例2] (1)已知圆锥底面半径为3，体积为3π，若圆锥底面圆周和顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为( )A．100π B．40πC． D．(2)(2025·邵阳期末)在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝，BC＝2，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为( )A．6π B．8πC．10π D．12π(3)(多选)某正四棱台的上、下底面边长分别为3和4，若该正四棱台所有的顶点均在表面积为100π的球面上，则该正四棱台的体积可能为( )A． B．C． D．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母题探究]1．若将本例(2)条件改为“SA＝BC＝2，SB＝AC＝，SC＝AB＝”，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积等于________．2．若将本例(2)的条件改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥的各顶点都在以O为球心的球面上”，则其外接球的半径为________．思维建模：长方体外接球模型第1步 将几何体放入长方体中：几何体的顶点作为长方体的顶点．第2步 确定长方体的长、宽、高的长度．第3步 求长方体的外接球半径．类型二 简单几何体的内切球[典例3] (1)(2025·湛江一模)一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是( )A．2π B．πC．π D．π(2)(2025·石家庄月考)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为3，高为，则其内切球体积是( )A．π B．C． D．π_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：1．多面体内切球的球心与半径的确定(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等．(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合．(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合．(4)体积分割是求内切球半径的通用做法．2．正四面体的内切球的半径r＝a，其半径是外接球半径的三分之一(a为该正四面体的棱长)．简单几何体外接球球心的确定方法简单几何体的外接球与内切球问题是立体几何的重点，也是历年高考考查的一个热点．研究多面体的外接球问题，关键是确定球心． 定义法确定球心[典例4] (2025·湖南衡阳模拟)某冷饮店为了吸引顾客，特推出一款蛋仔冰激凌，其底座造型如图所示，外部为半球形蛋壳，内有三个特制的球形蛋仔，蛋仔两两相切，且都与蛋壳相切，蛋仔的顶端正好与半球形的蛋壳的上沿处于同一水平面．如果球形蛋仔的半径为，则这个蛋壳形的半球的容积为________．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据球心到其他顶点的距离也是球的半径，列关系式求解即可． 补形法找球心[典例5] 已知在三棱锥P-ABC中，AC＝，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，则其外接球体积为( )A． B．4πC． D．4π_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：补形法的解题策略(1)侧面为直角三角形或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解．(2)直三棱锥补成三棱柱求解．第51课时 与球有关的切、接问题(进阶课)类型一考向1 典例1 (1)C (2) [(1)设球的半径为r，所以球的体积为πr3＝36π，所以r＝3，因为正方体的顶点都在球面上，正方体的棱长为a，所以3a2＝(2r)2＝36，解得a＝2．故选C．(2)第1步 补形：若为棱柱或圆柱，则无需补形；若棱锥中有侧棱垂直于底面，则补形为棱柱．根据题意及正弦定理可得上、下底面三角形的外接圆的半径为＝1，又AA1＝2，第2步 定外心、定球心：确定上、下底面的外心及外接球球心，连出直角三角形．且其外接球的球心为上、下底面三角形外心连线的中点．第3步 用勾股定理：R2＝r2＋(r为底面外接圆半径，h为柱体高，R为外接球半径)．设外接球的半径为R，则根据勾股定理可得12＋()2＝R2，所以R＝2，所以该三棱柱的外接球的体积为πR3＝π×8＝．]母题探究 [如图所示，过球心O作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M．易得BC＝5，又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝．]考向2 典例2 (1)A (2)B (3)BD[(1)设圆锥的高为h，因为圆锥的体积为3π，所以π×32×h＝3π，解得h＝1，设圆锥的外接球的半径为R，可得R2＝r2＋(R－h)2，即R2＝32＋(R－1)2，解得R＝5，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π．故选A．(2)第1步 将几何体放入长方体中：几何体的顶点作为长方体的顶点．因为在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝，BC＝2，第2步 确定长方体的长、宽、高的长度．所以三棱锥S-ABC的外接球的直径2R即为长、宽、高分别为，2的长方体的体对角线长，如图所示．第3步 求长方体的外接球半径．(2R)2＝a2＋b2＋c2．所以(2R)2＝2＋2＋4＝8，所以三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝8π．故选B．(3)设该正四棱台外接球的球心为O，半径为R，则4πR2＝100π，解得R＝5．设上底面正方形ABCD的中心为M，下底面正方形EFGH的中心为N．如图1，若球心在正四棱台的内部，连接OA，OE，AM，EN，OM，ON，则MN为正四棱台的高，OA＝OE＝5，可得AM＝AC＝×＝3，同理NE＝4．由勾股定理得OM＝＝4，ON＝＝3，可得正四棱台的高h＝MN＝4＋3＝7，正四棱台的体积V＝×(18＋32＋)×7＝．如图2，若球心在正四棱台的外部，可得正四棱台的高h＝OM－ON＝4－3＝1，所以正四棱台的体积V＝×(18＋32＋)×1＝．故选BD．]母题探究1.8π [将三棱锥S-ABC放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，如图所示，则所以a2＋b2＋c2＝8，因为外接球O的直径即为长方体的体对角线，则球O的半径为，所以球O的表面积为4π×()2＝8π．]2.3 [依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3×＝6，高为＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3．]类型二典例3 (1)D (2)B [(1)圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，由题意得，扇形的弧长l＝3×＝2π，所以该圆锥的底面圆的半径r＝＝1，所以该圆锥的高h＝＝2．设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示，所以S△ABC＝×2×2×(3＋3＋2)×R，所以R＝，所以该球的体积V的最大值是πR3＝π．故选D．(2)作出示意图如图所示．设正四棱锥内切球球心为O，底面正方形的中心为O'，则O在PO'上，设内切球半径为r，取AB中点E，CD中点F，则正四棱锥P-ABCD内切球半径即为△PEF的内切圆半径，因为底面边长为3，所以EF＝3，O'F＝EF＝，因为高为，即PO'＝，则PE＝PF＝3，所以OF＝OP＝PO'－OO'＝－r，在Rt△OO'F中，O'O2＋O'F2＝OF2，即r2＋，解得r＝，所以正四棱锥P-ABCD内切球的体积为πr3＝π．故选B．]微点突破10技法1 典例4 (16＋24) [如图，取半球的球心为O，三个小球的球心分别为O1，O2，O3，连接OO1，OO2，OO3，O1O2，O1O3，O2O3，则有O1O2＝O2O3＝O1O3＝2，取△O1O2O3的重心H，连接OH，O1H，则OH＝．在△O1O2O3中，易求得O1H＝×2×sin ＝2，则OO1＝＝，所以半球的半径R＝，所以半球的容积V＝×π()3＝(3＋9＋21＋7)＝(16＋24)．]技法2 典例5 A [AB＝，设PB＝h，则由PA＝2PB，可得＝2h，解得h＝1，可将三棱锥P-ABC还原成如图所示的长方体，则三棱锥P-ABC的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为R，则2R＝2，R＝1，所以其外接球的体积V＝R3＝．故选A．]1 / 7(共69张PPT)第七章 立体几何与空间向量*第51课时 与球有关的切、接问题(进阶课)[总体概览]一、研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或转化为特殊几何体的切、接问题来解决．二、特殊几何体与球1．正方体与球(1)内切球：内切球直径2R＝正方体棱长a．(2)棱切球：棱切球直径2R＝正方体的面对角线长a．(3)外接球：外接球直径2R＝正方体体对角线长a．2．长方体与球外接球：外接球直径2R＝体对角线长(a，b，c分别为长方体的长、宽、高)．3．正棱锥与球(1)内切球：V正棱锥＝S表·r＝S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高．(2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2＝(h－R)2＋r2(正棱锥外接球半径为R，高为h)．4．正四面体与球若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则h＝a，R＝a，r＝a，R∶r＝3∶1．5．直棱柱的外接球球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心．R2＝＋r2(直棱柱的外接球半径是R，高是h，底面外接圆半径是r)．6．圆柱的外接球R＝(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径)．7．圆锥的外接球R2＝(h－R)2＋r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径)．类型一 简单几何体的外接球考向1 柱体的外接球问题[典例1] (1)(2025·宁波月考)已知一个正方体的顶点都在球面上，该球的体积为36π，则正方体的棱长为( )A． B．2C．2 D．(2)(2025·乌鲁木齐期末)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝，AA1＝2，且∠BAC＝，则该三棱柱的外接球的体积为 _______． √(1)C (2) [(1)设球的半径为r，所以球的体积为πr3＝36π，所以r＝3，因为正方体的顶点都在球面上，正方体的棱长为a，所以3a2＝(2r)2＝36，解得a＝2．故选C．(2)第1步 补形：若为棱柱或圆柱，则无需补形；若棱锥中有侧棱垂直于底面，则补形为棱柱．根据题意及正弦定理可得上、下底面三角形的外接圆的半径为＝1，又AA1＝2，第2步 定外心、定球心：确定上、下底面的外心及外接球球心，连出直角三角形．且其外接球的球心为上、下底面三角形外心连线的中点．第3步 用勾股定理：R2＝r2＋(r为底面外接圆半径，h为柱体高，R为外接球半径)．设外接球的半径为R，则根据勾股定理可得12＋()2＝R2，所以R＝2，所以该三棱柱的外接球的体积为πR3＝π×8＝．][母题探究]若将本例(2)的条件“BC＝，AA1＝2，且∠BAC＝”换为“AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12”，其他条件不变，则球O的半径为______________． [如图所示，过球心O作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M．易得BC＝5，又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝．] 思维建模：柱体外接球模型第1步 补形：若为棱柱或圆柱，则无需补形；若棱锥中有侧棱垂直于底面，则补形为棱柱．第2步 定外心、定球心：确定上、下底面的外心及外接球球心，连出直角三角形．第3步 用勾股定理：R2＝r2＋(r为底面外接圆半径，h为柱体高，R为外接球半径)．【教用·备选题】(2026·合肥模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且∠BAC＝，AA1＝BC＝2，则球O的体积为( )A．4π B．8πC．12π D．20π√A [在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的外接圆的半径为r＝，则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径为R＝，则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的体积为πR3＝4π．故选A．]考向2 锥体(台体)的外接球问题[典例2] (1)已知圆锥底面半径为3，体积为3π，若圆锥底面圆周和顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为( )A．100π B．40πC． D．(2)(2025·邵阳期末)在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝，BC＝2，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为( )A．6π B．8πC．10π D．12π√√(3) (多选)某正四棱台的上、下底面边长分别为3和4，若该正四棱台所有的顶点均在表面积为100π的球面上，则该正四棱台的体积可能为( )A． B．C． D．√√(1)A (2)B (3)BD [(1)设圆锥的高为h，因为圆锥的体积为3π，所以π×32×h＝3π，解得h＝1，设圆锥的外接球的半径为R，可得R2＝r2＋(R－h)2，即R2＝32＋(R－1)2，解得R＝5，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π．故选A．(2)第1步 将几何体放入长方体中：几何体的顶点作为长方体的顶点．因为在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝，BC＝2，第2步 确定长方体的长、宽、高的长度．所以三棱锥S-ABC的外接球的直径2R即为长、宽、高分别为，2的长方体的体对角线长，如图所示．第3步 求长方体的外接球半径．(2R)2＝a2＋b2＋c2．所以(2R)2＝2＋2＋4＝8，所以三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝8π．故选B．(3)设该正四棱台外接球的球心为O，半径为R，则4πR2＝100π，解得R＝5．设上底面正方形ABCD的中心为M，下底面正方形EFGH的中心为N．如图1，若球心在正四棱台的内部，连接OA，OE，AM，EN，OM，ON，则MN为正四棱台的高，OA＝OE＝5，可得AM＝AC＝＝3，同理NE＝4．由勾股定理得OM＝＝4，ON＝＝3，可得正四棱台的高h＝MN＝4＋3＝7，正四棱台的体积V＝×(18＋32＋)×7＝．如图2，若球心在正四棱台的外部，可得正四棱台的高h＝OM－ON＝4－3＝1，所以正四棱台的体积V＝×(18＋32＋)×1＝．故选BD．][母题探究]1．若将本例(2)条件改为“SA＝BC＝2，SB＝AC＝，SC＝AB＝”，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积等于________． 8π 8π [将三棱锥S-ABC放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，如图所示，则所以a2＋b2＋c2＝8，因为外接球O的直径即为长方体的体对角线，则球O的半径为，所以球O的表面积为4π×()2＝8π．]2．若将本例(2)的条件改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥的各顶点都在以O为球心的球面上”，则其外接球的半径为______________． 3 [依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3＝6，高为＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3．]3 思维建模：长方体外接球模型第1步 将几何体放入长方体中：几何体的顶点作为长方体的顶点．第2步 确定长方体的长、宽、高的长度．第3步 求长方体的外接球半径．【教用·通性通法】求解外接球问题的方法(1)解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点的情况确定球心的准确位置．(2)对于特殊的多面体还可通过补成正方体、长方体或直棱柱的方法找到球心的位置．【教用·备选题】(2021·天津卷)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为( )A．3π B．4πC．9π D．12π√B [如图，设两个圆锥的底面圆圆心为点D．∵两个圆锥的高之比为1∶3，∴AD＝3BD．设球的半径为R，则，解得R＝2，∴AB＝AD＋BD＝4BD＝4，∴BD＝1，AD＝3．∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD．又∠ADC＝∠BDC，∴△ACD∽△CBD．∴，∴CD＝．因此，这两个圆锥的体积之和为π×CD2×(AD＋BD)＝π×3×4＝4π．]类型二 简单几何体的内切球[典例3] (1)(2025·湛江一模)一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是( )A．2π B．πC．π D．π√(2)(2025·石家庄月考)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为3，高为，则其内切球体积是( )A．π B．C． D．π√(1)D (2)B [(1)圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，由题意得，扇形的弧长l＝3×＝2π，所以该圆锥的底面圆的半径r＝＝1，所以该圆锥的高h＝＝2．设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示，所以S△ABC＝×2×2×(3＋3＋2)×R，所以R＝，所以该球的体积V的最大值是πR3＝π．故选D．(2)作出示意图如图所示．设正四棱锥内切球球心为O，底面正方形的中心为O'，则O在PO'上，设内切球半径为r，取AB中点E，CD中点F，则正四棱锥P-ABCD内切球半径即为△PEF的内切圆半径，因为底面边长为3，所以EF＝3，O'F＝EF＝，因为高为，即PO'＝，则PE＝PF＝3，所以OF＝OP＝PO'－OO'＝－r，在Rt△OO'F中，O'O2＋O'F2＝OF2，即r2＋，解得r＝，所以正四棱锥P-ABCD内切球的体积为πr3＝π．故选B．]通性通法：1．多面体内切球的球心与半径的确定(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等．(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合．(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合．(4)体积分割是求内切球半径的通用做法．2．正四面体的内切球的半径r＝a，其半径是外接球半径的三分之一(a为该正四面体的棱长)．【教用·备选题】1．(2025·郴州模拟)已知球O内切于一个棱长为6的正方体，则球O的表面积为( )A．9π B．27πC．36π D．108πC [由已知，棱长为6的正方体的内切球半径为3，所以球O的表面积为4π×32＝36π．故选C．]√2．(多选)已知三棱锥P-ABC的底面ABC是直角三角形，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝AC＝2，则( )A．三棱锥P-ABC外接球的表面积为12πB．三棱锥P-ABC外接球的表面积为48πC．三棱锥P-ABC内切球的半径为D．三棱锥P-ABC内切球的半径为√√AC [由题意可知AB，AC，AP两两垂直，且PA＝AB＝AC＝2，∴三棱锥P-ABC外接球的半径R满足(2R)2＝AB2＋AC2＋AP2＝12，∴三棱锥P-ABC外接球的表面积为4πR2＝12π，∴A选项正确，B选项错误；由题意可得三棱锥P-ABC的体积V＝×2×2×2＝，三棱锥P-ABC的表面积S＝×2×2×3＋×(2)2＝6＋2，设三棱锥P-ABC内切球的半径为r，根据等体积法可得V＝Sr，∴r＝，∴C选项正确，D选项错误．故选AC．]微点突破10 简单几何体外接球球心的确定方法简单几何体的外接球与内切球问题是立体几何的重点，也是历年高考考查的一个热点．研究多面体的外接球问题，关键是确定球心．技法1 定义法确定球心[典例4] (2025·湖南衡阳模拟)某冷饮店为了吸引顾客，特推出一款蛋仔冰激凌，其底座造型如图所示，外部为半球形蛋壳，内有三个特制的球形蛋仔，蛋仔两两相切，且都与蛋壳相切，蛋仔的顶端正好与半球形的蛋壳的上沿处于同一水平面．如果球形蛋仔的半径为，则这个蛋壳形的半球的容积为_____________________． (16＋24) (16＋24) [如图，取半球的球心为O，三个小球的球心分别为O1，O2，O3，连接OO1，OO2，OO3，O1O2，O1O3，O2O3，则有O1O2＝O2O3＝O1O3＝2，取△O1O2O3的重心H，连接OH，O1H，则OH＝．在△O1O2O3中，易求得O1H＝×2×sin ＝2，则OO1＝ ，所以半球的半径R＝，所以半球的容积V＝π()3＝(3＋9＋21＋7)＝(16＋24)．]通性通法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据球心到其他顶点的距离也是球的半径，列关系式求解即可．技法2 补形法找球心[典例5] 已知在三棱锥P-ABC中，AC＝，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，则其外接球体积为( )A． B．4πC． D．4π√A [AB＝，设PB＝h，则由PA＝2PB，可得＝2h，解得h＝1，可将三棱锥P-ABC还原成如图所示的长方体，则三棱锥P-ABC的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为R，则2R＝2，R＝1，所以其外接球的体积V＝R3＝．故选A．]通性通法：补形法的解题策略(1)侧面为直角三角形或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解．(2)直三棱锥补成三棱柱求解．题号135246879一、单项选择题1．(2026·枣庄模拟)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为( )A．4π B．6πC．8π D．10π√课时作业(五十一) 与球有关的切、接问题(进阶课)题号135246879C [由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为r，则r＝，故该球的表面积为4πr2＝8π．]√题号1352468792．(2025·开封二模)已知正方体的内切球的体积为4π，则该正方体的外接球的表面积为( )A．12π B．36πC．9π D．12π题号135246879B [设正方体的棱长为a，则正方体内切球的半径为π×＝4π，解得a＝2a＝6，所以正方体外接球的半径等于a＝3，则外接球的表面积等于4π×32＝36π．故选B．]题号1352468793．(2026·大连模拟)已知一个圆锥的底面半径为，侧面积为6π，则该圆锥的外接球体积为( )A． B．6πC．8π D．√题号135246879A [设圆锥的母线长为l，则×2π·l＝6π，解得l＝2，故其高h＝＝3，设该圆锥的外接球的半径为R，则(3－R)2＋3＝R2，解得R＝2，故其体积V＝πR3＝．故选A．]√题号1352468794．(2025·万州区月考)如图，三棱锥P-ABC的底面△ABC的斜二测直观图为△A'B'C'，已知PB⊥底面ABC，PB＝6，A'D'＝D'C'，A'O'＝O'B'＝O'D'＝2，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )A．96π B．116πC．136π D．144π题号135246879B [由题意得O'D' ∥B'C'，且O'D'＝B'C'，根据斜二测画法得，在原图△ABC中，∠ABC＝，AB＝A'B'＝4，BC＝2B'C'＝4O'D'＝8，三棱锥P-ABC的高为PB＝6，所以外接球的半径为R＝，所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×29＝116π．故选B．]√题号1352468795．(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A．100π B．128πC．144π D．192π题号135246879A [由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为×3＝3，×4＝4．设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2(图略)，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋O＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋O＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π．故选A．]题号135246879二、多项选择题6．某公司设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V1，包装盒的体积为V2，则( )A．R＝3r B．R＝4rC．V2＝9V1 D．2V2＝27V1√√题号135246879AD [由题图知R＝3r，故A正确，B错误；易知包装盒的高为2r，故V2＝πR2×2r＝18πr3，又V1＝πr3，所以2V2＝27V1，故C错误，D正确．故选AD．]题号135246879三、填空题7．(2026·广州模拟)已知球O内切于圆台(即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切)，且圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝4r1＝4，则圆台的体积与球的体积之比为______________． 题号135246879 [如图，为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，设圆O与梯形的腰相切于点E，与上、下底面分别切于点O1，O2，设球的半径为r，圆台上、下底面的半径为r1＝1，r2＝4．注意到OD与OA均为角平分线，因此∠DOA＝90°，从而△AO2O∽△OO1D，故r2＝r1r2＝4．设圆台的体积为V1，球的体积为V2，则＝．]题号1352468798．(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝______________． 2 题号1352468792 [法一：如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝×3＝．将三棱锥S-ABC补形为正三棱柱SB1C1-ABC，由题意知SA为侧棱，设球心为O，连接OO1，OA，则OO1⊥平面ABC，且OO1＝SA．又球的半径R＝OA＝2，OA2＝O＋O1A2，所以4＝SA2＋3，得SA＝2．题号135246879法二：如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝×3＝．设三棱锥S-ABC的外接球球心为O，连接OO1，则OO1⊥平面ABC．又SA⊥平面ABC，所以OO1 ∥SA，连接OS，OA，由题意知OS＝OA＝2．过O作SA的垂线，设垂足为H，则四边形AO1OH为矩形，所以OO1＝AH，由OS＝OA可知H为SA的中点，则OO1＝AH＝SA．所以在Rt△OO1A中，由勾股定理可得OA2＝O＋O1A2，即4＝SA2＋3，得SA＝2．]题号1352468799．(2025·全国二卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______________cm． 2.52.5 [设铁球半径为r cm，若两个铁球的球心在竖直方向上，且分别与两个底面相切，则铁球球心与圆柱上、下底面的距离均为r，此时铁球的半径为 cm．题号135246879当两球球心不在竖直方向上时，设两个铁球的球心分别为O1，O2，此种情况下，当铁球半径最大时，如图1所示，圆柱与两铁球的轴截面如图2所示，其中ABCD为圆柱的轴截面，O2P⊥AB，O1P⊥AD，则有O2P＝9－2r，O1P＝8－2r，O1O2＝2r，则有(2r)2＝(8－2r)2＋(9－2r)2，即4r2－68r＋145＝0，即(2r－29)(2r－5)＝0，解得r1＝14.5(舍去)或r2＝2.5．因为2.5>＝2.25，所以铁球半径的最大值为2.5 cm．]谢谢！课时作业(五十一) 与球有关的切、接问题(进阶课)一、单项选择题1．(2026·枣庄模拟)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为( )A．4π B．6πC．8π D．10π2．(2025·开封二模)已知正方体的内切球的体积为4π，则该正方体的外接球的表面积为( )A．12π B．36πC．9π D．12π3．(2026·大连模拟)已知一个圆锥的底面半径为，侧面积为6π，则该圆锥的外接球体积为( )A． B．6πC．8π D．4．(2025·万州区月考)如图，三棱锥P-ABC的底面△ABC的斜二测直观图为△A′B′C′，已知PB⊥底面ABC，PB＝6，A′D′＝D′C′，A′O′＝O′B′＝O′D′＝2，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )A．96π B．116πC．136π D．144π5．(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为3 和4 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A．100π B．128πC．144π D．192π二、多项选择题6．某公司设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V1，包装盒的体积为V2，则( )A．R＝3r B．R＝4rC．V2＝9V1 D．2V2＝27V1三、填空题7．(2026·广州模拟)已知球O内切于圆台(即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切)，且圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝4r1＝4，则圆台的体积与球的体积之比为______．8．(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________．9．(2025·全国二卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________cm．课时作业(五十一)1．C [由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为r，则r＝，故该球的表面积为4πr2＝8π．]2．B [设正方体的棱长为a，则正方体内切球的半径为π×＝4π，解得a＝2，所以正方体的体对角线长等于a＝6，所以正方体外接球的半径等于×a＝3，则外接球的表面积等于4π×32＝36π．故选B．]3．A [设圆锥的母线长为l，则×2π·l＝6π，解得l＝2，故其高h＝＝3，设该圆锥的外接球的半径为R，则(3－R)2＋3＝R2，解得R＝2，故其体积V＝πR3＝．故选A．]4．B [由题意得O'D'∥B'C'，且O'D'＝B'C'，根据斜二测画法得，在原图△ABC中，∠ABC＝，AB＝A'B'＝4，BC＝2B'C'＝4O'D'＝8，三棱锥P-ABC的高为PB＝6，所以外接球的半径为R＝××＝，所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×29＝116π．故选B．]5．A [由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4．设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2(图略)，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋O＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋O＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π．故选A．]6．AD [由题图知R＝3r，故A正确，B错误；易知包装盒的高为2r，故V2＝πR2×2r＝18πr3，又V1＝πr3，所以2V2＝27V1，故C错误，D正确．故选AD．]7． [如图，为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，设圆O与梯形的腰相切于点E，与上、下底面分别切于点O1，O2，设球的半径为r，圆台上、下底面的半径为r1＝1，r2＝4．注意到OD与OA均为角平分线，因此∠DOA＝90°，从而△AO2O∽△OO1D，故r2＝r1r2＝4．设圆台的体积为V1，球的体积为V2，则＝．]8．2 [法一：如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝××3＝．将三棱锥S-ABC补形为正三棱柱SB1C1-ABC，由题意知SA为侧棱，设球心为O，连接OO1，OA，则OO1⊥平面ABC，且OO1＝SA．又球的半径R＝OA＝2，OA2＝O＋O1A2，所以4＝SA2＋3，得SA＝2．法二：如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝××3＝．设三棱锥S-ABC的外接球球心为O，连接OO1，则OO1⊥平面ABC．又SA⊥平面ABC，所以OO1∥SA，连接OS，OA，由题意知OS＝OA＝2．过O作SA的垂线，设垂足为H，则四边形AO1OH为矩形，所以OO1＝AH，由OS＝OA可知H为SA的中点，则OO1＝AH＝SA．所以在Rt△OO1A中，由勾股定理可得OA2＝O＋O1A2，即4＝SA2＋3，得SA＝2．]9．2.5 [设铁球半径为r cm，若两个铁球的球心在竖直方向上，且分别与两个底面相切，则铁球球心与圆柱上、下底面的距离均为r，此时铁球的半径为 cm．当两球球心不在竖直方向上时，设两个铁球的球心分别为O1，O2，此种情况下，当铁球半径最大时，如图1所示，圆柱与两铁球的轴截面如图2所示，其中ABCD为圆柱的轴截面，O2P⊥AB，O1P⊥AD，则有O2P＝9－2r，O1P＝8－2r，O1O2＝2r，则有(2r)2＝(8－2r)2＋(9－2r)2，即4r2－68r＋145＝0，即(2r－29)(2r－5)＝0，解得r1＝14.5(舍去)或r2＝2.5．因为2.5>＝2.25，所以铁球半径的最大值为2.5 cm．]1 / 3 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第七章 第51课时 与球有关的切、接问题(进阶课).docx 第七章 第51课时 与球有关的切、接问题(进阶课).pptx 课时作业51 与球有关的切、接问题(进阶课).docx
资源列表
