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第73课时　两个计数原理、排列与组合
[考试要求]　1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．会用两个计数原理及排列组合分析和解决一些简单的实际问题．
知识点1　两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
知识点2　排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照________排成一列
组合 作为一组
知识点3　排列数、组合数的定义、公式、性质
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．
(3)排列数、组合数的公式、性质
公式 ＝________＝(n，m∈N*，且 ＝＝(n，m∈N*，且m≤n)
性质 ①0！＝________；＝________ ＝1；＝；＝
[常用结论]
解排列组合问题的基本策略
(1)相邻问题捆绑策略，不相邻问题插空策略．
(2)多排问题单排策略，定位问题优先策略．
(3)定序问题消序策略，有序分配分步策略．
(4)多元问题分类策略，交叉问题集合策略．
(5)至少(至多)问题间接策略，选排问题先取后排策略．
1．(苏教版选择性必修第二册P63练习T6)若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有(　　)
A．34种　　　 B．43种
C．3×2×1种 D．4×3×2种
2．(北师大版选择性必修第一册P162习题5－1T1)在1，2，3，…，200中，被5除余1的数共有________个．
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3．(人教A版选择性必修第三册P37复习参考题6T1(3))安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是________．
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4．(苏教版选择性必修第二册P69练习T4)下列各式中，不等于n！的是(　　)
A. B.
C. D.n
5.(人教B版选择性必修第二册P23练习BT1(1))++++=　　　　.
考点一　两个计数原理
[典例1]　(1)椭圆＝1(m>0，n>0)的焦点在x轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为(　　)
A．10 B．12
C．20 D．35
(2)(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T17改编)如图，用4种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域区分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　)
A．144种 B．73种
C．48种 D．32种
(3)(多选)现安排大三年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是(　　)
A．共有43种不同的安排方法
B．若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
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通性通法：两个计数原理的应用技巧
(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．
(2)对于复杂的两个计数原理的综合应用问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
[多维变迁]
(2025·天津月考)已知0，1，2，3，4，5这六个数字．
(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？
(2)可以组成多少个无重复数字的三位奇数？
(3)可以组成多少个无重复数字的小于1 000的自然数？
(4)可以组成多少个无重复数字的大于3 000且小于5 421的四位数？
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考点二　排列、组合的基本问题
[典例2]　(1)(多选)有3名男生、4名女生，下列不同的排列方法数正确的是(　　)
A．选5人排成一排，有种排法
B．排成前后两排，前排3人，后排4人，有种排法
C．全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边，有3 600种排法
D．全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，共有3 000种排法
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
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思维建模：特元特位模型(有特殊要求的排列问题)
第1步　特殊优先：先排特殊元素或特殊位置．
第2步　排其他，得结论：再排其他元素，并得出结论．
考点三　排列、组合的综合问题
　分组分配问题
[典例3]　按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本．
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通性通法　1．分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
(1)相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
(2)不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
(3)有限制条件的分配问题，采用分类求解．
2．定序问题消序(倍缩)处理，n个元素中有k个元素顺序一定，则总排列数为．
[多维变迁]
1．(2025·喀什期末)某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则调整方法有(　　)
A．150种 B．300种
C．450种 D．225种
2．把9个入团名额分给6个班级，每班至少一人，不同的分法种数为(　　)
A．41 B．56
C．156 D．252
　相邻、相间问题
[典例4]　(多选)(2026·咸阳模拟)某大熊猫繁育基地对该基地大熊猫幼崽进行体检，体检后将体重各不相同的A，B，C，D，E，F六只幼崽排成一排晒太阳，则下列说法正确的是(　　)
A．若将A，C，D三只幼崽从左到右按照体重递增的顺序排列，则共有120种排法
B．若E与F两只幼崽不相邻，则共有480种排法
C．若A，B，C三只幼崽排在一起，且A只能在B与C的中间，则共有72种排法
D．若幼崽D不在排头，F不在排尾，则共有480种排法
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　思维建模：相邻、相间模型(相邻、不相邻排队问题)
第1步　相邻捆绑：若有相邻，则将相邻元素捆绑看作一个无要求元素(求内部顺序)；若没有相邻，则跳过此步．
第2步　排其他：将无要求元素全排列．
第3步　不相邻插空：若没有不相邻，则得结论；若有不相邻，则将不相邻元素插空，得结论．
[多维变迁]
(2026·重庆模拟)现有A，B，C，D，E五人站成一排，则A，B相邻且C，D不相邻的排法种数共有(　　)
A．6 B．12
C．24 D．48
计数原理中的创新探究问题
　计数原理中的创新探究问题，是近几年高考中的热点问题．这类问题情境新颖，着重考查学生的运算求解能力、逻辑推理能力和创新应用能力．解决这类问题，除了推理严谨、计算准确外，还要注意利用题目可能具备的开放性，从不同角度分析问题、发现规律，这常常能减少一些不必要的讨论．
[典例5]　(2024· 新高考Ⅱ卷)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法．在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．
11 21 31 40
12 22 33 42
13 22 33 43
15 24 34 44
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[母题探究]
1．(变结论)本题条件不变，求在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是________．
2．(综合变式)在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，且4个数之和为正，则共有________种选法；在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是________．
－1 2 －3 4
4 －1 2 －3
－3 4 －1 2
2 －3 4 －1
1．(链接考点一)(人教A版选择性必修第三册P11习题6.1T2改编)如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．则从甲地到丁地的不同路线共有(　　)
A．12条 B．15条
C．18条 D．72条
2．(链接考向1)(2025·西安期末)将5名同学分配到三个班，每班至少1名同学，则不同的分配方法有(　　)
A．60种 B．180种
C．150种 D．300种
3．(链接考向2)(多选)(2026·眉山模拟)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　)
A．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种
C．甲、乙不相邻的排法种数为70
D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
4．(链接考点二)(2025·上海卷)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为________．
第73课时　两个计数原理、排列与组合
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)m＋n　(2)m×n
知识点2　一定的顺序
知识点3　(3)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　1　n！
链教材·夯基固本
1．A　[4名学生中每人有3种可选方案，根据分步乘法计数原理，4人共有3×3×3×3＝34(种)报名方式，故选A．]
2．40　[根据分类加法计数原理分两类：
第一类，末位为1，有1，11，21，…，191，
共＋1＝20(个)；
第二类，末位为6，有6，16，26，…，196，
共＋1＝20(个)，
综上，共20＋20＝40(个)．]
3．480　[先考虑该歌手的位置，不是第一个出场，也不是最后一个出场，则该歌手有4种位置可以选，共有＝4种结果，剩下5人在5个不同位置，共有＝120(种)结果，
所以不同安排方法有＝4×120＝480(种)．]
4．C　[＝(n＋1)n(n－1)…3·2＝(n＋1)！，其他选项可化简为n！．故选C．]
5．330　[＝330．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)A　(2)C　(3)ABD　[(1)因为焦点在x轴上，所以m>n，以m的值为标准分类，由分类加法计数原理，可分为四类，第一类：当m＝5时，n有4种选择；第二类：当m＝4时，n有3种选择；第三类：当m＝3时，n有2种选择；第四类：当m＝2时，n有1种选择．故符合条件的椭圆共有10个．故选A．
(2)第一步，给A区域涂色，有4种涂法；第二步，给B区域涂色，有3种涂法；第三步，给C区域涂色，有2种涂法；第四步，给D区域涂色，有2种涂法．所以共有4×3×2×2＝48(种)涂法．故选C．
(3)对于A，A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名学生有4种选法，则三名学生有4×4×4＝43(种)选法，故A正确；
对于B，三人到四个工厂，有43＝64(种)情况，其中甲工厂没有人去，即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有33＝27(种)，则甲工厂必须有同学去的安排方法有64－27＝37(种)，故B正确；
对于C，若同学A必须去甲工厂，剩下2名同学安排到4个工厂即可，有42＝16(种)安排方法，故C错误；
对于D，若三名同学所选工厂各不相同，有4×3×2＝24(种)安排方法，故D正确．故选ABD．]
多维变迁
　解：(1)分3步：
①先选百位数字有5种选法；
②再选十位数字有5种选法；
③最后选个位数字有4种选法．
由分步乘法计数原理知，所求三位数共有5×5×4＝100(个)．
(2)分3步：
①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；
②再选百位数字有4种选法；
③最后选十位数字有4种选法．
由分步乘法计数原理知，所求三位数共有3×4×4＝48(个)．
(3)分3类：
①一位数，共有6个；
②两位数，先选十位数字，有5种选法，再选个位数字，也有5种选法，共有5×5＝25(个)；
③三位数，先选百位数字，有5种选法，再选十位数字，有5种选法，最后选个位数字，有4种选法，共有5×5×4＝100(个)．
因此，比1 000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个)．
(4)分4类：
①千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有2×5×4×3＝120(个)；
②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3＝48(个)；
③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共有2×3＝6(个)；
④5 420也满足条件．
故所求四位数共有120＋48＋6＋1＝175(个)．
考点二
典例2　(1)ABC　(2)64　[(1)对于A，从7人中选5人排列，有种排法，故A正确．
对于B，分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有种排法，故B正确．
对于C，法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有5×＝3 600(种)排法，故C正确．
法二(特殊位置优先法)：左、右两边位置可安排另6人中的两人，有＝3 600(种)排法，故C正确．
对于D，法一(特殊元素优先法)：甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有种，而乙可在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个，有＝3 720(种)排法，故D错误．
法二(间接法)：7人全排列，有－2＝3 720(种)排法，故D错误．
故选ABC．
(2)法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案．综上，不同的选课方案共有＝64(种)．
法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有＝16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有＝48(种)选课方案．综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种)．]
考点三
考向1　典例3　解：(1)无序不均匀分组问题．先选1本有种选法；再从余下的5本中选2本有种选法；最后余下3本全选有＝60(种)分配方法．
(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有＝360(种)分配方法．
(3)无序均匀分组问题．先分三组，则应有种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，该种方法记为(AB，CD，EF)，则种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共＝15(种)．
(4)有序均匀分组问题．在第(3)问的基础上，还应考虑再分配，共有15＝90(种)分配方法．
(5)无序部分均匀分配问题．共有＝15(种)分配方法．
(6)有序部分均匀分配问题．在第(5)问的基础上，还应考虑再分配，共有15＝90(种)分配方法．
多维变迁
1．C　[先从后排6人中抽出两名同学，有种方法．然后与前排4人排列，有种排法．因为其他同学的相对顺序不变，所以前排4人不再排，共有＝450(种)调整方法．故选C．]
2．B　[问题可转化为将9个入团名额排成一列，再分成6组，每组至少一个，求其方法数．事实上，只需在上述9个入团名额所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入挡板，即产生符合要求的方法，有＝56(种)．故选B．]
考向2　典例4　AB　[已知将体重各不相同的A，B，C，D，E，F六只幼崽排成一排晒太阳，
对于A，6只幼崽全排列有种方法，A，C，D全排列有种方法，
则A，C，D从左到右按照体重递增的顺序排列有＝120(种)方法，故A正确；
对于B，先排列除E与F外的4只幼崽，有种方法，4只幼崽排列共有5个空，
利用插空法将E和F插入5个空，有＝480(种)方法，故B正确；
对于C，A，B，C三只幼崽排在一起，且A只能在B与C的中间有2种排法，
将这3只幼崽看作一个整体，再与其余3只幼崽全排列，有种方法，
则共有2＝48(种)方法，故C错误；
对于D，6只幼崽全排列有种方法，
当D在排头时，有种方法，当F在排尾时，有种方法，
当D在排头且F在排尾时，有种方法，
则D不在排头，F不在排尾的情况共有－2＝504(种)，故D错误．
故选AB．]
多维变迁
　C　[已知A，B，C，D，E五人站成一排，要求A，B相邻且C，D不相邻，
将A，B看成一个整体，
则A，B的排列方法有种方法，
然后将这个整体与E进行全排列，
则不同的排列方法有种，
最后将C，D插入到三个空中的两个中，有种方法，
根据分步乘法计数原理，可知排法种数为＝24．
故选C．]
微点突破15
典例5　24　112　[第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法；第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共有3种不同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法．
由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2×1＝24．
先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4．再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大．故选中方格中的4个数之和的最大值为21＋33＋43＋15＝112．]
母题探究
1．108　[由本例解析知所选方格中，40，12，22，34的和最小，选中方格中的4个数之和的最小值为108．]
2．12　4　[根据题意可得所有情况如图所示．
则满足4个数之和为正的有12个，其中最小值为4．]
随堂·对点检测
1．C　[若路线为甲、乙、丁，则有3×2＝6(条)；若路线为甲、丙、丁，则有3×4＝12(条)，故共有6＋12＝18(条)．故选C．]
2．C　[将5名同学分配到三个班，每班至少1名同学，
则可将5名同学分为1，2，2或1，1，3三组，再分到三个班，
则不同的分配方法有＝150(种)．
故选C．]
3．AD　[对于A，因为甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，
所以将甲、乙看成一个整体，再与丙、丁、戊全排列，有＝24(种)排法，故A正确；
对于B，若甲站在最左端，乙和丙、丁、戊全排列，有＝24(种)排法；若乙站在最左端，有＝18(种)排法，共有24＋18＝42(种)排法，故B错误；
对于C，因为甲、乙不相邻，所以先将丙、丁、戊三人排成一排，
再将甲、乙安排在三人的空位中，有＝72(种)排法，故C错误；
对于D，甲、乙、丙、丁、戊五人全排列有＝120(种)排法，
甲、乙、丙全排列有＝6(种)排法，
所以甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有＝20(种)，故D正确．
故选AD．]
4.288　[先选2个家长排在队列的头和尾的排法数为＝12，剩下的家长和儿童全排的排法种数为＝24，则不同的排列种数为12×24＝288．]
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第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布
第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布
第73课时　两个计数原理、排列与组合
[考试要求]　1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．会用两个计数原理及排列组合分析和解决一些简单的实际问题．
理法先行·题练固本
知识点1　两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法．
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____种不同的方法．
m＋n
m×n
知识点2　排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照__________排成一列
组合 作为一组
一定的顺序
知识点3　排列数、组合数的定义、公式、性质
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．
(3)排列数、组合数的公式、性质
公式 ①＝______________________________＝(n，m∈N*，且m≤n)．
②(n，m∈N*，且m≤n)．
性质 ①0！＝__；＝____．
②
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
1
　n！
[常用结论]
解排列组合问题的基本策略
(1)相邻问题捆绑策略，不相邻问题插空策略．
(2)多排问题单排策略，定位问题优先策略．
(3)定序问题消序策略，有序分配分步策略．
(4)多元问题分类策略，交叉问题集合策略．
(5)至少(至多)问题间接策略，选排问题先取后排策略．
【教用·常用结论】
重要恒等式
(1)．
(2)．
(3)(n＋1)！－n！＝n·n！．
(4)k．
(5)．
1．(苏教版选择性必修第二册P63练习T6)若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有(　　)
A．34种 B．43种
C．3×2×1种 D．4×3×2种
√
A　[4名学生中每人有3种可选方案，根据分步乘法计数原理，4人共有3×3×3×3＝34(种)报名方式，故选A．]
2．(北师大版选择性必修第一册P162习题5－1T1)在1，2，3，…，200中，被5除余1的数共有______________个．
40　[根据分类加法计数原理分两类：
第一类，末位为1，有1，11，21，…，191，
共＋1＝20(个)；
第二类，末位为6，有6，16，26，…，196，
共＋1＝20(个)，
综上，共20＋20＝40(个)．]
40　
3．(人教A版选择性必修第三册P37复习参考题6T1(3))安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是______________．
480　[先考虑该歌手的位置，不是第一个出场，也不是最后一个出场，则该歌手有4种位置可以选，共有＝4种结果，剩下5人在5个不同位置，共有＝120(种)结果，所以不同安排方法有＝4×120＝480(种)．]
480　
4．(苏教版选择性必修第二册P69练习T4)下列各式中，不等于n！的是(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
C　[＝(n＋1)n(n－1)…3·2＝(n＋1)！，其他选项可化简为n！．故选C．]
√
5．(人教B版选择性必修第二册P23练习BT1(1))＝______________．
330　[＝330．]
330　
考点深研·题型突破
考点一　两个计数原理
[典例1]　(1)椭圆＝1(m>0，n>0)的焦点在x轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为
(　　)
A．10 B．12
C．20 D．35
√
(2)(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T17改编)如图，用4种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域区分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　)
A．144种 B．73种
C．48种 D．32种
√
(3)(多选)现安排大三年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是(　　)
A．共有43种不同的安排方法
B．若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
√
√
√
(1)A　(2)C　(3)ABD　[(1)因为焦点在x轴上，所以m>n，以m的值为标准分类，由分类加法计数原理，可分为四类，第一类：当m＝5时，n有4种选择；第二类：当m＝4时，n有3种选择；第三类：当m＝3时，n有2种选择；第四类：当m＝2时，n有1种选择．故符合条件的椭圆共有10个．故选A．
(2)第一步，给A区域涂色，有4种涂法；第二步，给B区域涂色，有3种涂法；第三步，给C区域涂色，有2种涂法；第四步，给D区域涂色，有2种涂法．所以共有4×3×2×2＝48(种)涂法．故选C．
(3)对于A，A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名学生有4种选法，则三名学生有4×4×4＝43(种)选法，故A正确；
对于B，三人到四个工厂，有43＝64(种)情况，其中甲工厂没有人去，即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有33＝27(种)，则甲工厂必须有同学去的安排方法有64—27＝37(种)，故B正确；
对于C，若同学A必须去甲工厂，剩下2名同学安排到4个工厂即可，有42＝16(种)安排方法，故C错误；
对于D，若三名同学所选工厂各不相同，有4×3×2＝24(种)安排方法，故D正确．
故选ABD．]
通性通法：两个计数原理的应用技巧
(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．
(2)对于复杂的两个计数原理的综合应用问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
[多维变迁]
(2025·天津月考)已知0，1，2，3，4，5这六个数字．
(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？
(2)可以组成多少个无重复数字的三位奇数？
(3)可以组成多少个无重复数字的小于1 000的自然数？
(4)可以组成多少个无重复数字的大于3 000且小于5 421的四位数？
[解]　(1)分3步：
①先选百位数字有5种选法；
②再选十位数字有5种选法；
③最后选个位数字有4种选法．
由分步乘法计数原理知，所求三位数共有5×5×4＝100(个)．
(2)分3步：
①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；
②再选百位数字有4种选法；
③最后选十位数字有4种选法．
由分步乘法计数原理知，所求三位数共有3×4×4＝48(个)．
(3)分3类：
①一位数，共有6个；
②两位数，先选十位数字，有5种选法，再选个位数字，也有5种选法，共有5×5＝25(个)；
③三位数，先选百位数字，有5种选法，再选十位数字，有5种选法，最后选个位数字，有4种选法，共有5×5×4＝100(个)．
因此，比1 000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个)．
(4)分4类：
①千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有2×5×4×3＝120(个)；
②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3＝48(个)；
③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共有2×3＝6(个)；
④5 420也满足条件．
故所求四位数共有120＋48＋6＋1＝175(个)．
考点二　排列、组合的基本问题
[典例2]　(1)(多选)有3名男生、4名女生，下列不同的排列方法数正确的是(　　)
A．选5人排成一排，有种排法
B．排成前后两排，前排3人，后排4人，有种排法
C．全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边，有3 600种排法
D．全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，共有3 000种排法
√
√
√
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______________种(用数字作答)．
64
(1)ABC　(2)64　[(1)对于A，从7人中选5人排列，有种排法，故A正确．
对于B，分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有种排法，故B正确．
对于C，法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有5×＝3 600(种)排法，故C正确．
法二(特殊位置优先法)：左、右两边位置可安排另6人中的两人，有＝3 600(种)排法，故C正确．
对于D，法一(特殊元素优先法)：甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有种，而乙可在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个，有＝3 720(种)排法，故D错误．
法二(间接法)：7人全排列，有＝3 720(种)排法，故D错误．
故选ABC．
(2)法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案．综上，不同的选课方案共有＝64(种)．
法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有＝16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有＝48(种)选课方案．综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种)．]
思维建模：特元特位模型(有特殊要求的排列问题)
第1步　特殊优先：先排特殊元素或特殊位置．
第2步　排其他，得结论：再排其他元素，并得出结论．
考点三　排列、组合的综合问题
考向1　分组分配问题
[典例3]　按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本．
[解]　(1)无序不均匀分组问题．先选1本有种选法；再从余下的5本中选2本有种选法；最后余下3本全选有＝60(种)分配方法．
(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有＝360(种)分配方法．
(3)无序均匀分组问题．先分三组，则应有种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，该种方法记为(AB，CD，EF)，则种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共＝15(种)．
(4)有序均匀分组问题．在第(3)问的基础上，还应考虑再分配，共有15＝90(种)分配方法．
(5)无序部分均匀分配问题．共有＝15(种)分配方法．
(6)有序部分均匀分配问题．在第(5)问的基础上，还应考虑再分配，共有15＝90(种)分配方法．
通性通法　1．分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
(1)相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
(2)不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
(3)有限制条件的分配问题，采用分类求解．
2．定序问题消序(倍缩)处理，n个元素中有k个元素顺序一定，则总排列数为．
【教用·通性通法】
对于不同元素的分配问题，可以按需分配(即定人又定数可直接取)，也可按先分组后分配的方式处理，分组时应注意整体均匀分组与部分均匀分组的区别．
(1)整体均匀分组：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)部分均匀分组：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
(3)不均匀分组：解答本类题，只需先分组，后排列，注意分组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
[多维变迁]
1．(2025·喀什期末)某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则调整方法有(　　)
A．150种 B．300种
C．450种 D．225种
√
C　[先从后排6人中抽出两名同学，有种方法．然后与前排4人排列，有种排法．因为其他同学的相对顺序不变，所以前排4人不再排，共有＝450(种)调整方法．故选C．]
2．把9个入团名额分给6个班级，每班至少一人，不同的分法种数为
(　　)
A．41 B．56
C．156 D．252
√
B　[问题可转化为将9个入团名额排成一列，再分成6组，每组至少一个，求其方法数．事实上，只需在上述9个入团名额所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入挡板，即产生符合要求的方法，有＝56(种)．故选B．]
考向2　相邻、相间问题
[典例4]　(多选)(2026·咸阳模拟)某大熊猫繁育基地对该基地大熊猫幼崽进行体检，体检后将体重各不相同的A，B，C，D，E，F六只幼崽排成一排晒太阳，则下列说法正确的是(　　)
A．若将A，C，D三只幼崽从左到右按照体重递增的顺序排列，则共有120种排法
B．若E与F两只幼崽不相邻，则共有480种排法
C．若A，B，C三只幼崽排在一起，且A只能在B与C的中间，则共有72种排法
D．若幼崽D不在排头，F不在排尾，则共有480种排法
√
√
AB　[已知将体重各不相同的A，B，C，D，E，F六只幼崽排成一排晒太阳，
对于A，6只幼崽全排列有种方法，A，C，D全排列有种方法，
则A，C，D从左到右按照体重递增的顺序排列有＝120(种)方法，故A正确；
对于B，先排列除E与F外的4只幼崽，有种方法，4只幼崽排列共有5个空，
利用插空法将E和F插入5个空，有＝480(种)方法，故B正确；
对于C，A，B，C三只幼崽排在一起，且A只能在B与C的中间有2种排法，
将这3只幼崽看作一个整体，再与其余3只幼崽全排列，有种方法，
则共有2＝48(种)方法，故C错误；
对于D，6只幼崽全排列有种方法，
当D在排头时，有种方法，当F在排尾时，有种方法，
当D在排头且F在排尾时，有种方法，
则D不在排头，F不在排尾的情况共有＝504(种)，故D错误．
故选AB．]
思维建模：相邻、相间模型(相邻、不相邻排队问题)
第1步　相邻捆绑：若有相邻，则将相邻元素捆绑看作一个无要求元素(求内部顺序)；若没有相邻，则跳过此步．
第2步　排其他：将无要求元素全排列．
第3步　不相邻插空：若没有不相邻，则得结论；若有不相邻，则将不相邻元素插空，得结论．
[多维变迁]
(2026·重庆模拟)现有A，B，C，D，E五人站成一排，则A，B相邻且C，D不相邻的排法种数共有(　　)
A．6 B．12
C．24 D．48
√
C　[已知A，B，C，D，E五人站成一排，要求A，B相邻且C，D不相邻，
将A，B看成一个整体，
则A，B的排列方法有种方法，
然后将这个整体与E进行全排列，
则不同的排列方法有种，
最后将C，D插入到三个空中的两个中，有种方法，
根据分步乘法计数原理，可知排法种数为＝24．
故选C．]
微点突破15 　计数原理中的创新探究问题
计数原理中的创新探究问题，是近几年高考中的热点问题．这类问题情境新颖，着重考查学生的运算求解能力、逻辑推理能力和创新应用能力．解决这类问题，除了推理严谨、计算准确外，还要注意利用题目可能具备的开放性，从不同角度分析问题、发现规律，这常常能减少一些不必要的讨论．
[典例5]　(2024· 新高考Ⅱ卷)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有______________种选法．在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是______________．
11 21 31 40
12 22 33 42
13 22 33 43
15 24 34 44
24　
112
24　112　[第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法；第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共有3种不同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法．
由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2×1＝24．
先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4．再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大．故选中方格中的4个数之和的最大值为21＋33＋43＋15＝112．]
[母题探究]
1．(变结论)本题条件不变，求在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是______________．
108　[由本例解析知所选方格中，40，12，22，34的和最小，选中方格中的4个数之和的最小值为108．]
108　
2．(综合变式)在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，且4个数之和为正，则共有______________种选法；在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是______________．
－1 2 －3 4
4 －1 2 －3
－3 4 －1 2
2 －3 4 －1
12　
4　
12　4　[根据题意可得所有情况如图所示．
则满足4个数之和为正的有12个，其中最小值为4．]
1．(链接考点一)(人教A版选择性必修第三册P11习题6.1T2改编)如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．则从甲地到丁地的不同路线共有(　　)
A．12条 B．15条
C．18条 D．72条
√
C　[若路线为甲、乙、丁，则有3×2＝6(条)；若路线为甲、丙、丁，则有3×4＝12(条)，故共有6＋12＝18(条)．故选C．]
2．(链接考向1)(2025·西安期末)将5名同学分配到三个班，每班至少1名同学，则不同的分配方法有(　　)
A．60种 B．180种
C．150种 D．300种
√
C　[将5名同学分配到三个班，每班至少1名同学，
则可将5名同学分为1，2，2或1，1，3三组，再分到三个班，
则不同的分配方法有＝150(种)．
故选C．]
3．(链接考向2)(多选)(2026·眉山模拟)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　)
A．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种
C．甲、乙不相邻的排法种数为70
D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
√
√
AD　[对于A，因为甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，
所以将甲、乙看成一个整体，再与丙、丁、戊全排列，有＝24(种)排法，故A正确；
对于B，若甲站在最左端，乙和丙、丁、戊全排列，有＝24(种)排法；若乙站在最左端，有＝18(种)排法，共有24＋18＝42(种)排法，故B错误；
对于C，因为甲、乙不相邻，所以先将丙、丁、戊三人排成一排，
再将甲、乙安排在三人的空位中，有＝72(种)排法，故C错误；
对于D，甲、乙、丙、丁、戊五人全排列有＝120(种)排法，
甲、乙、丙全排列有＝6(种)排法，
所以甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有＝20(种)，故D正确．
故选AD．]
4．(链接考点二)(2025·上海卷)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为______________．
288　[先选2个家长排在队列的头和尾的排法数为＝12，剩下的家长和儿童全排的排法种数为＝24，则不同的排列种数为12×24＝288．]
288　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．若，则n＝(　　)
A．6 B．7
C．12 D．13
课时作业(七十三)　两个计数原理、排列与组合
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[若＝10×，
整理得，
所以1＝，
解得n＝7．
故选B．]
√
2．(2025·荆州期末)7名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为(　　)
A．240 B．3 600
C．960 D．1 920
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[7名同学排成一排照相，
则甲、乙不相邻的不同排法种数为＝3 600．
故选B．]
√
3．(2025·绵阳期末)用数字0，2，3，4，5组成没有重复数字的三位奇数的个数为(　　)
A．30 B．24
C．18 D．12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[根据题意，个位从3和5中选择一个，百位不能选0，
若含0，则有＝6(个)；
若不含0，则有＝12(个)．
故符合条件的三位奇数的个数为12＋6＝18．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(2025·武汉期末)高二某班为了准备校园文化节活动的展示牌，计划用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法数为
(　　)
A．120 B．160
C．180 D．240
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[由题意，区域A有5种涂法，B有4种涂法，
C，A不同色，C有3种，D有2种涂法，有5×4×3×2＝120(种)，
C，A同色，D有3种涂法，有5×4×3＝60(种)，
所以共有120＋60＝180(种)不同的涂色方法．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2025·泉州期中)甲、乙、丙、丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，则不同的分配方案的种数是(　　)
A．48 B．36
C．24 D．12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[甲、乙、丙、丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，
则可将四人分为1，1，2三组，共有＝6(种)方法，
再分到三所学校有＝6(种)分法，
则不同的分配方案的种数是6×6＝36．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(人教B版选择性必修第二册P38复习题A组T3改编)在数学中，有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，被称为“回文数”．如44，585，2 662等，那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位数的“回文数”的个数为(　　)
A．30 B．36
C．360 D．1 296
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[由题意，可分两类，第一类：由一个数字组成4位数“回文数”，在6个数字中任取1个，有种情况．第二类：由两组相同的数字组成4位数“回文数”，在6个数字中任取2个，这2个数字互换位置又可以组成另一个数，所以有种情况．综上，由数字1，2，3，4，5，6可以组成4位数的“回文数”的个数为＝36．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(人教A版选择性必修第三册P25练习T2改编)下列等式中，正确的是(　　)
A．
B．r
C．
D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABD　[对于A，左边＝＋m·＋m·＝右边，∴A正确；对于B，右边＝＝r·＝左边，∴B正确；对于C，右边＝≠左边，∴C错误；对于D，右边＝＝左边，∴D正确．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．某中学为提升学生的劳动意识和社会实践能力，利用周末进行社区义务劳动，高三一共6个班，其中劳动模范只有1班有2人，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(　　)
A．若1班不再分配名额，则共有种分配方法
B．若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有种分配方法
C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
BD　[对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据挡板法，有种分配方法，故A错误；对于B，若1班有除劳动模范之外的学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据挡板法，有种分配方法，故B正确；对于C，D，若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳动模范，故只需先满足其他每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个挡板即可，故有＝126(种)，故C错误，D正确．故选BD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
9．某产品的加工过程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，现将5道工序按不同的顺序安排流程，则下列说法正确的是(　　)
A．如果甲工序不能放在第一道，共有96种加工顺序
B．如果甲、乙两道工序必须相邻，共有12种加工顺序
C．如果甲、丙两道工序必须不相邻，共有72种加工顺序
D．如果乙、丙两道工序必须乙在前，丙在后，共有40种加工顺序
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
AC　[如果甲工序不能放在第一道，则甲有4种安排方式，根据分步乘法计数原理，共有＝96(种)加工顺序，故A正确；
甲、乙两道工序必须相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序，则共有＝48(种)加工顺序，故B错误；
如果甲、丙两道工序必须不相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的4个空中，安排甲、丙，故共有＝72(种)加工顺序，故C正确；
现将5道不同的工序全排列，再除以乙、丙两道工序的全排列，故共有＝60(种)加工顺序，故D错误．故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
10．(2026·玉溪模拟)2 025的正因数有______________个．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
15　[因为2 025＝34×52，
所以2 025的正因数有(4＋1)×(2＋1)＝15(个)．]
15
11．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13改编)从2名女生、4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有______________种(用数字作答)．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
16　
16　[法一：可分两种情况：第一种情况，只有1名女生入选，不同的选法有＝12(种)；第二种情况，有2名女生入选，不同的选法有＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1名女生入选的不同的选法共有12＋4＝16(种)．
法二：从6人中任选3人的不同的选法共有＝20(种)，从6人中任选3人都是男生的不同的选法有＝4(种)，所以至少有1名女生入选的不同的选法共有20－4＝16(种)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(2025·眉山期末)现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人．
(1)2名老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人，共有______________种不同的站法．
(2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端，共有__________种不同的站法．
96　
1 728
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(1)96　(2)1 728　[(1)由题意可得共＝2×2×24＝96(种)不同的站法．
(2)先排老师和女学生共有种站法，
最后排剩余的3名男学生有＝24×3×24＝1 728(种)不同的站法．]
谢谢！课时作业(七十三)　两个计数原理、排列与组合
一、单项选择题
1．若＝，则n＝(　　)
A．6 B．7
C．12 D．13
2．(2025·荆州期末)7名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为(　　)
A．240 B．3 600
C．960 D．1 920
3．(2025·绵阳期末)用数字0，2，3，4，5组成没有重复数字的三位奇数的个数为(　　)
A．30 B．24
C．18 D．12
4．(2025·武汉期末)高二某班为了准备校园文化节活动的展示牌，计划用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法数为(　　)
A．120 B．160
C．180 D．240
5．(2025·泉州期中)甲、乙、丙、丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，则不同的分配方案的种数是(　　)
A．48 B．36
C．24 D．12
6．(人教B版选择性必修第二册P38复习题A组T3改编)在数学中，有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，被称为“回文数”．如44，585，2 662等，那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位数的“回文数”的个数为(　　)
A．30 B．36
C．360 D．1 296
二、多项选择题
7．(人教A版选择性必修第三册P25练习T2改编)下列等式中，正确的是(　　)
＝ B.＝
＝ D.＝
8．某中学为提升学生的劳动意识和社会实践能力，利用周末进行社区义务劳动，高三一共6个班，其中劳动模范只有1班有2人，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(　　)
A．若1班不再分配名额，则共有种分配方法
B．若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有种分配方法
C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
9．某产品的加工过程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，现将5道工序按不同的顺序安排流程，则下列说法正确的是(　　)
A．如果甲工序不能放在第一道，共有96种加工顺序
B．如果甲、乙两道工序必须相邻，共有12种加工顺序
C．如果甲、丙两道工序必须不相邻，共有72种加工顺序
D．如果乙、丙两道工序必须乙在前，丙在后，共有40种加工顺序
三、填空题
10．(2026·玉溪模拟)2 025的正因数有________个．
11．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13改编)从2名女生、4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
12．(2025·眉山期末)现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人．
(1)2名老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人，共有________种不同的站法．
(2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端，共有________种不同的站法．
课时作业(七十三)
1．B　[若＝10
＝10×，
整理得，
所以1＝，解得n＝7．
故选B．]
2．B　[7名同学排成一排照相，
则甲、乙不相邻的不同排法种数为＝3 600．
故选B．]
3．C　[根据题意，个位从3和5中选择一个，百位不能选0，
若含0，则有＝6(个)；
若不含0，则有＝12(个)．
故符合条件的三位奇数的个数为12＋6＝18．
故选C．]
4．C　[由题意，区域A有5种涂法，B有4种涂法，
C，A不同色，C有3种，D有2种涂法，有5×4×3×2＝120(种)，
C，A同色，D有3种涂法，有5×4×3＝60(种)，
所以共有120＋60＝180(种)不同的涂色方法．
故选C．]
5．B　[甲、乙、丙、丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，
则可将四人分为1，1，2三组，共有＝6种方法，
再分到三所学校有＝6(种)分法，
则不同的分配方案的种数是6×6＝36．
故选B．]
6．B　[由题意，可分两类，第一类：由一个数字组成4位数“回文数”，在6个数字中任取1个，有种情况．第二类：由两组相同的数字组成4位数“回文数”，在6个数字中任取2个，这2个数字互换位置又可以组成另一个数，所以有种情况．综上，由数字1，2，3，4，5，6可以组成4位数的“回文数”的个数为＝36．故选B．]
7．ABD　[对于A，左边＝＋m·＋m·＝右边，∴A正确；对于B，右边＝＝r·＝左边，∴B正确；对于C，右边＝≠左边，∴C错误；对于D，右边＝·
＝
＝
＝左边，∴D正确．故选ABD．]
8．BD　[对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据挡板法，有种分配方法，故A错误；对于B，若1班有除劳动模范之外的学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据挡板法，有种分配方法，故B正确；对于C，D，若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳动模范，故只需先满足其他每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个挡板即可，故有＝126(种)，故C错误，D正确．故选BD．]
9．AC　[如果甲工序不能放在第一道，则甲有4种安排方式，根据分步乘法计数原理，共有＝96(种)加工顺序，故A正确；
甲、乙两道工序必须相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序，则共有＝48(种)加工顺序，故B错误；
如果甲、丙两道工序必须不相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的4个空中，安排甲、丙，故共有＝72(种)加工顺序，故C正确；
现将5道不同的工序全排列，再除以乙、丙两道工序的全排列，故共有＝60(种)加工顺序，故D错误．故选AC．]
10．15　[因为2 025＝34×52，所以2 025的正因数有(4＋1)×(2＋1)＝15(个)．]
11．16　[法一：可分两种情况：第一种情况，只有1名女生入选，不同的选法有＝12(种)；第二种情况，有2名女生入选，不同的选法有＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1名女生入选的不同的选法共有12＋4＝16(种)．
法二：从6人中任选3人的不同的选法共有＝20(种)，从6人中任选3人都是男生的不同的选法有＝4(种)，所以至少有1名女生入选的不同的选法共有20－4＝16(种)．]
12．(1)96　(2)1 728　[(1)由题意可得共＝2×2×24＝96(种)不同的站法．
(2)先排老师和女学生共有种站法，
最后排剩余的3名男学生有＝24×3×24＝1 728(种)不同的站法．]
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