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第74课时　二项式定理
[考试要求]　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
知识点1　二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝________________(n∈N*)；
(2)通项：Tk＋1＝an－kbk(k＝0，1，2，…，n，n∈N*)，表示展开式的第________项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为．
知识点2　二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即________
增减性 二项式 系数 当k＜(n∈N*)时，是________的
当k＞(n∈N*)时，是________的
二项式 系数的 最大值 当n为偶数时，中间的一项________取得最大值
当n为奇数时，中间的两项________与________相等，且同时取得最大值
知识点3　二项式系数和与项的系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数的和：＝________．
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即＋…＝＋…＝________．
(3)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，得(1＋x)n＝xn．
(4)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则
①各项系数和为a0＋a1＋a2＋…＋an＝f (1)．
②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝．
③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝．
[常用结论]
(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1；
(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项增1直到n；
(4)二项式系数从，一直到．
1．(苏教版选择性必修第二册P85练习T2)(x－2y)7的展开式中第3项的二项式系数是(　　)
　　
D
2．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T5(3)改编)的展开式的中间项为(　　)
A．－40 B．－40x2
C．40 D．40x2
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3．(人教A版选择性必修第三册P35习题6.3T8改编)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么此展开式中二项式系数最大的项为(　　)
A．252x3 B．210x4
C．252x5 D．210x6
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4．(北师大版选择性必修第一册P178习题5－4 B组T1改编)化简：＝________．
考点一　二项展开式的通项的应用
　形如(a＋b)n的展开式问题
[典例1]　(2026·泰州模拟)若的展开式的常数项为60，则实数a的值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
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[母题探究]
1．(变结论)本例条件不变，展开式共________项．
2．(变结论)本例条件不变，展开式的中间项为________．
3．(变结论)本例条件不变，二项展开式中x3的系数为________．
4．(变结论)本例条件不变，展开式中的有理项共________项．
　两项之积与三项展开式问题
[典例2]　(1)(2025·济宁一模)(2x－1)11的展开式中的常数项为(　　)
A．18 B．20
C．22 D．24
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(2)(2026·萍乡模拟)(x＋y－z)5的展开式中含x2y2z项的系数为(　　)
A．60 B．30
C．－30 D．－60
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通性通法：(1)求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
考点二　二项式系数与项的系数的问题
　二项式系数和与项的系数和
[典例3]　(多选)(人教B版选择性必修第二册P35习题3－3C T2改编)已知(1－2x)2 026＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025＋a2 026x2 026，则(　　)
A．展开式中二项式系数和为1
B．展开式中所有项的系数和为1
C．＋…＋＝－1
D．a1＋2a2＋3a3＋…＋2 025a2 025＋2 026a2 026＝4 052
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[多维变迁]
在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数与第3项的系数；
(2)二项式系数的和；
(3)各项系数的和；
(4)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(5)奇数项系数和与偶数项系数和；
(6)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
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　项的系数与二项式系数的最值
[典例4]　已知的展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是(　　)
A．展开式中各项系数之和为37
B．展开式中二项式系数最大的项为
C．展开式中无常数项
D．展开式中系数最大的项为240x3
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通性通法：(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)二项展开式系数最大项的求法：设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解得k．
[多维变迁]
已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．
考点三　二项式定理的应用
[典例5]　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 025＋a能被13整除，则a＝(　　)
A．0 B．1
C．11 D．12
(2)1.026的近似值(精确到0.01)为(　　)
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.20
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通性通法：(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式(数)的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx．
杨辉三角
　杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，它是由二项式系数组成的三角形数表(如图)，它将二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散的数与形的结合．
杨辉三角的常用性质如下表：
序号 语言描述 公式表示
1 对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等 ＝
2 递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和 ＝
3 第n行奇数项之和与偶数项之和相等 ＋…＝＋…
4 第n行数的和为 ＝2n
5 第n行各数平方和等于第2n行中间的数 2＝
6 自腰上的某个1开始平行于左腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数 ＝
[典例6]　(多选)(2025·西安期末)“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的一种几何排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，如图所示．下列关于“杨辉三角”的说法中正确的是(　　)
＝
＝2n
＝126
D．第10行中从左往右第5个数与第6个数之比为5∶6
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1．(链接考点一考向2)(2025·长沙月考)(2x－y)5的展开式中x2y3的系数为(　　)
A．20 B．40
C．－40 D．120
2．(链接考点二)(多选)(2025·郑州质检)关于(a－b)11的说法，正确的是(　　)
A．展开式中的二项式系数之和为2 048
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
3．(链接考点一考向1)(多选)已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶14，则下列结论成立的是(　　)
A．n＝10
B．展开式中的常数项为45
C．含x5的项的系数为210
D．展开式中的有理项有5项
4．(链接考点三)用二项式定理估算1.0110＝________．(精确到0.001)
第74课时　二项式定理
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)an＋an-1b1＋…＋an-kbk＋…＋bn　(2)k＋1
知识点2　　递增　递减　　　
知识点3　(1)2n　(2)2n-1
链教材·夯基固本
1．A　[二项式系数是指，
故第3项的二项式系数为．故选A．]
2．B　[(2x)3·＝－40x2．故选B．]
3．C　[由题意可得，二项式的展开式满足Tk+1＝xk，且有，因此n＝10．故二项式系数最大的项为x5＝252x5．故选C．]
4.0　[由(1＋x)n＝x0＋x1＋x2＋…＋xn，
令x＝－1，得(1－1)n＝＋…＋(－1)n＝0．]
考点深研·题型突破
考点一
考向1　典例1　B　[∵的展开式的通项为Tk+1＝·(－)k·x6-3k，令6－3k＝0，得k＝2，
可得它的常数项为·a＝60，∴a＝4．
故选B．]
母题探究
1.7　[由题意可得，展开式共有7项．]
2．－160x-3　[中间项为·(－2)3·x-3＝－160x-3．]
3．－12　[由本例解答知的展开式的通项为Tk+1＝·(－2)k·x6-3k，k＝0，1，…，6，
令6－3k＝3，得k＝1，所以x3的系数为－12．]
4.7　[由6－3k为整数，k∈N，k≤6，可知有理项共有7项．]
考向2　典例2　(1)B　(2)C　[(1)·(2x－1)11＝2(2x－1)11＋(2x－1)11，
(2x－1)11的展开式的通项为Tk+1＝(2x)11-k·(－1)k＝(－1)k·211-kx11-k，k＝0，1，…，11，
∴2(2x－1)11＝(－1)k212-kx11-k①，
(2x－1)11＝(－1)k211-kx10-k②，
在①式中，令11－k＝0，得k＝11，故2(2x－1)11的展开式中的常数项为(－1)1121＝－2，
在②式中，令10－k＝0，得k＝10，则(2x－1)11的展开式中的常数项为(－1)1021＝22，
故(2x－1)11的展开式中的常数项为－2＋22＝20．
故选B．
(2)法一：(x＋y－z)5的展开式的通项为Tr+1＝x5-r(y－z)r(0≤r≤5，r∈N)，(y－z)r的展开式的通项为Tk+1＝yr-k(－z)k＝(－1)kyr-kzk(0≤k≤r≤5，k，r∈N)，
可得(x＋y－z)5的展开式的通项为(－1)kx5-ryr-kzk(0≤k≤r≤5，k，r∈N)，
由
故(x＋y－z)5的展开式中含x2y2z项的系数为－＝－10×3＝－30．
故选C．
法二：(x＋y－z)5表示5个因式(x＋y－z)之积，
∴x2y2z可从两个因式中取x，剩余的3个因式中2个取y，其余一个因式取z，因此x2y2z的系数为(－1)＝－30．故选C．]
考点二
考向1　典例3　BCD　[二项展开式中的二项式系数和为22 026，故A错误；
令x＝1，可得(1－2)2 026＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＋a2 026＝1，即展开式中所有项的系数和为1，故B正确；
令x＝0，可得a0＝1，令x＝＝a0＋＋…＋＝0，所以＋…＋＝－1，故C正确；
将等式(1－2x)2 026＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025＋a2 026x2 026两边同时求导可得，
2 026×(－2)×(1－2x)2 025＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 025a2 025x2 024＋2 026a2 026x2 025，
再令x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 025a2 025＋2 026a2 026＝4 052，故D正确．故选BCD．]
多维变迁
　解：(1)(2x－3y)10的展开式的通项为Tk+1＝(2x)10-k(－3y)k＝210-k·(－3)kx10-kyk(k∈N且0≤k≤10)．
第3项的二项式系数为＝45，第3项的系数为210-2×(－3)2＝103 680．
(2)二项式系数的和为＋…＋＝210＝1 024．
(3)令x＝y＝1，得各项系数的和为(2－3)10＝(－1)10＝1．
(4)奇数项的二项式系数和为＝29＝512，偶数项的二项式系数和为＝29＝512．
(5)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1①．
令x＝1，y＝－1，得
a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510②．
①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝1＋510，
所以奇数项系数和为．
①－②，得2(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝1－510，
所以偶数项系数和为．
(6)由(5)知x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝；x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝．
考向2　典例4　D　[因为的展开式中二项式系数之和为64，所以2n＝64，则n＝6，
所以的展开式的通项为Tk+1＝(2x)6-k26-k．
令x＝1，可得展开式中各项系数之和为36，故A错误；
第4项的二项式系数最大，此时k＝3，则二项展开式中二项式系数最大的项为T4＝26-3＝160，故B错误；
令6－k＝0，则k＝4，
所以展开式中的常数项为26-4＝60，故C错误；
令第k＋1项的系数最大，
则
解得≤k≤，
因为k∈N，所以k＝2．
所以展开式中系数最大的项为T3＝24x3＝240x3，故D正确．故选D．]
多维变迁
　－8 064　－15 360x4　[由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5．由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝(2x)5＝－8 064．
设第k＋1项的系数的绝对值最大，
则Tk+1＝·(2x)10-k·＝(－1)k·210-k·x10-2k，
令
得
即≤k≤．
∵k∈N，∴k＝3．
故系数的绝对值最大的项是第4项，
T4＝－×27×x4＝－15 360x4．]
考点三
典例5　(1)B　(2)B　[(1)因为a∈Z，且0≤a≤13，
所以512 025＋a＝(52－1)2 025＋a
＝522 025－522 024＋522 023－…＋52－＋a，因为512 025＋a能被13整除，结合选项，所以－＋a＝－1＋a能被13整除，所以a＝1．
(2)1.026＝(1＋0.02)6＝1＋×0.02＋×0.022＋×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13．]
教材拓展15
典例6　AD　[根据组合数性质可知，，A正确；
根据二项式定理可知，＋…＋＝2n，故B错误；
根据选项A的等式，＝126，故C错误；
第10行中从左往右第5个数与第6个数分别为，比值为5∶6，故D正确．
故选AD．]
随堂·对点检测
1．B　[(2x－y)5的展开式的通项为Tk+1＝(2x)5-k(－y)k，k＝0，1，…，5，
则(2x－y)5的展开式中x2y3的系数为－22＋23＝40．故选B．]
2．ACD　[由二项式系数的性质知，(a－b)11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确；
因为(a－b)11的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故C正确，B错误；
因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故D正确．故选ACD．]
3．ABC　[二项展开式的通项为
Tk+1＝x2n-2k(－1)k＝(－1)k，
由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，
则，
故，
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确；
则Tk+1＝(－1)k，
令20－＝0，解得k＝8，
则展开式中的常数项为(－1)8＝45，故B正确；
令20－＝5，解得k＝6，
则含x5的项的系数为(－1)6＝210，故C正确；
令20－∈Z，则k为偶数，
此时k＝0，2，4，6，8，10，故有6项为有理项，故D错误．故选ABC．]
4.1．105　[1.0110＝(1＋0.01)10＝1＋×0.01＋×0.012＋×0.013＋…≈1＋0.1＋0.004 5＝1.104 5≈1.105．]
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第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布
第74课时　二项式定理
[考试要求]　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
理法先行·题练固本
知识点1　二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝__________________________________ (n∈N*)；
(2)通项：Tk+1＝an-kbk(k＝0，1，2，…，n，n∈N*)，表示展开式的第____项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为．
an＋an-1b1＋…＋an-kbk＋…＋bn
k＋1
知识点2　二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即__________
增减性 二项式 系数 当k<(n∈N*)时，是____的
当k>(n∈N*)时，是____的
二项式 系数的 最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项________相等，且同时取得最大值
递增
递减
知识点3　二项式系数和与项的系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数的和：＝__．
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即＋…＝_____．
(3)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，得(1＋x)n＝xn．
2n
2n-1
(4)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则
①各项系数和为a0＋a1＋a2＋…＋an＝f (1)．
②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝．
③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝．
[常用结论]
(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1；
(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项增1直到n；
(4)二项式系数从．
1．(苏教版选择性必修第二册P85练习T2)(x－2y)7的展开式中第3项的二项式系数是(　　)
A． B．
C．4 D．
√
A　[二项式系数是指，
故第3项的二项式系数为．
故选A．]
2．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T5(3)改编)的展开式的中间项为(　　)
A．－40 B．－40x2
C．40 D．40x2
√
B　[(2x)3·＝
－40x2．故选B．]
3．(人教A版选择性必修第三册P35习题6.3T8改编)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么此展开式中二项式系数最大的项为(　　)
A．252x3 B．210x4
C．252x5 D．210x6
√
C　[由题意可得，二项式的展开式满足Tk+1＝xk，且有，因此n＝10．故二项式系数最大的项为x5＝252x5．故选C．]
4．(北师大版选择性必修第一册P178习题5－4 B组T1改编)化简：＝______________．
0　[由(1＋x)n＝x2＋…＋xn，
令x＝－1，得(1－1)n＝＋…＋(－1)n＝0．]
0　
考点深研·题型突破
考点一　二项展开式的通项的应用
考向1　形如(a＋b)n的展开式问题
[典例1]　(2026·泰州模拟)若的展开式的常数项为60，则实数a的值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
√
B　[∵的展开式的通项为Tk+1＝·(－)k·x6-3k，令6－3k＝0，得k＝2，
可得它的常数项为·a＝60，∴a＝4．
故选B．]
[母题探究]
1．(变结论)本例条件不变，展开式共______________项．
7　[由题意可得，展开式共有7项．]
7
2．(变结论)本例条件不变，展开式的中间项为______________．
－160x-3　[中间项为·(－2)3·x-3＝－160x-3．]
－160x-3　
3．(变结论)本例条件不变，二项展开式中x3的系数为__________．
－12　[由本例解答知的展开式的通项为Tk+1＝·(－2)k
·x6-3k，k＝0，1，…，6，
令6－3k＝3，得k＝1，所以x3的系数为－12．]
－12
4．(变结论)本例条件不变，展开式中的有理项共______________项．
7　[由6－3k为整数，k∈N，k≤6，可知有理项共有7项．]
7　
考向2　两项之积与三项展开式问题
[典例2]　(1)(2025·济宁一模)(2x－1)11的展开式中的常数项为(　　)
A．18 B．20
C．22 D．24
(2)(2026·萍乡模拟)(x＋y－z)5的展开式中含x2y2z项的系数为(　　)
A．60 B．30
C．－30 D．－60
√
√
(1)B　(2)C　[(1)(2x－1)11＝2(2x－1)11＋(2x－1)11，
(2x－1)11的展开式的通项为Tk+1＝(2x)11-k·(－1)k＝(－1)k·211-kx11-k，k＝0，1，…，11，
∴2(2x－1)11＝(－1)k212-kx11-k①，
(2x－1)11＝(－1)k211-kx10-k②，
在①式中，令11－k＝0，得k＝11，故2(2x－1)11的展开式中的常数项为(－1)1121 ＝－2，
在②式中，令10－k＝0，得k＝10，则(2x－1)11的展开式中的常数项为(－1)1021 ＝22，
故(2x－1)11的展开式中的常数项为－2＋22＝20．
故选B．
(2)法一：(x＋y－z)5的展开式的通项为Tr+1＝x5-r(y－z)r(0≤r≤5，r∈N)，
(y－z)r的展开式的通项为Tk+1＝yr-k(－z)k＝(－1)kyr-kzk(0≤k≤r≤5，k，r∈N)，
可得(x＋y－z)5的展开式的通项为(－1)kx5-ryr-kzk(0≤k≤r≤5，k，r∈N)，
由
故(x＋y－z)5的展开式中含x2y2z项的系数为－＝－10×3＝
－30．
故选C．
法二：(x＋y－z)5表示5个因式(x＋y－z)之积，
∴x2y2z可从两个因式中取x，剩余的3个因式中2个取y，其余一个因式取z，因此x2y2z的系数为(－1)＝－30．故选C．]
通性通法：(1)求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
考点二　二项式系数与项的系数的问题
考向1　二项式系数和与项的系数和
[典例3]　(多选)(人教B版选择性必修第二册P35习题3－3C T2改编)已知(1－2x)2 026＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025＋a2 026x2 026，则(　　)
A．展开式中二项式系数和为1
B．展开式中所有项的系数和为1
C．＝－1
D．a1＋2a2＋3a3＋…＋2 025a2 025＋2 026a2 026＝4 052
√
√
√
BCD　[二项展开式中的二项式系数和为22 026，故A错误；
令x＝1，可得(1－2)2 026＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＋a2 026＝1，即展开式中所有项的系数和为1，故B正确；
令x＝0，可得a0＝1，令x＝＋…＋＝0，所以＋…＋＝－1，故C正确；
将等式(1－2x)2 026＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025＋a2 026x2 026两边同时求导可得，
2 026×(－2)×(1－2x)2 025＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 025a2 025x2 024＋
2 026a2 026x2 025，
再令x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 025a2 025＋2 026a2 026＝4 052，故D正确．
故选BCD．]
[多维变迁]
在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数与第3项的系数；
(2)二项式系数的和；
(3)各项系数的和；
(4)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(5)奇数项系数和与偶数项系数和；
(6)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
[解]　(1)(2x－3y)10的展开式的通项为Tk+1＝(2x)10-k(－3y)k＝210-k(－3)kx10-kyk(k∈N且0≤k≤10)．
第3项的二项式系数为＝45，第3项的系数为210-2×(－3)2＝103 680．
(2)二项式系数的和为＋…＋＝210＝1 024．
(3)令x＝y＝1，得各项系数的和为(2－3)10＝(－1)10＝1．
(4)奇数项的二项式系数和为＝29＝512，偶数项的二项式系数和为＝29＝512．
(5)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1①．
令x＝1，y＝－1，得
a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510②．
①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝1＋510，
所以奇数项系数和为．
①－②，得2(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝1－510，
所以偶数项系数和为．
(6)由(5)知x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝；x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝．
考向2　项的系数与二项式系数的最值
[典例4]　已知的展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是(　　)
A．展开式中各项系数之和为37
B．展开式中二项式系数最大的项为90
C．展开式中无常数项
D．展开式中系数最大的项为240x3
√
D　[因为的展开式中二项式系数之和为64，所以2n＝64，则n＝6，
所以的展开式的通项为Tk+1＝(2x)6-k．
令x＝1，可得展开式中各项系数之和为36，故A错误；
第4项的二项式系数最大，此时k＝3，则二项展开式中二项式系数最大的项为T4＝，故B错误；
令6－k＝0，则k＝4，
所以展开式中的常数项为＝60，故C错误；
令第k＋1项的系数最大，
则≤k≤，
因为k∈N，所以k＝2．
所以展开式中系数最大的项为T3＝24x3＝240x3，故D正确．故选D．]
通性通法：(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)二项展开式系数最大项的求法：设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An+1，且第k项系数最大，应用从而解得k．
[多维变迁]
已知(x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则的展开式中，二项式系数最大的项为______________，系数的绝对值最大的项为______________．
－8 064　
－15 360x4　
－8 064　－15 360x4　[由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5．由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝(2x)5＝－8 064．
设第k＋1项的系数的绝对值最大，
则Tk+1＝·(2x)10-k·＝(－1)k·210-k·x10-2k，
令
即≤k≤．
∵k∈N，∴k＝3．
故系数的绝对值最大的项是第4项，
T4＝－×27×x4＝－15 360x4．]
【教用·备选题】
(湘教版选择性必修第一册P201习题4.4T4)在(3x－2y)20的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项．
[解]　(1)二项式系数最大的项是第11项，
T11＝310(－2)10x10y10＝610x10y10．
(2)设系数绝对值最大的项是第k＋1项，
则
化简得解得7≤k≤8．因为k∈N，
所以k＝8，即T9＝312·28·x12y8是系数绝对值最大的项．
(3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第2k－1(k∈N*)项系数最大，
则
化简得
所以k＝5，即第2×5－1＝9项系数最大，T9＝·312·28·x12y8．
考点三　二项式定理的应用
[典例5]　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 025＋a能被13整除，则a＝
(　　)
A．0 B．1
C．11 D．12
(2)1.026的近似值(精确到0.01)为(　　)
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.20
√
√
(1)B　(2)B　[(1)因为a∈Z，且0≤a≤13，
所以512 025＋a＝(52－1)2 025＋a＝522 025－522 024＋522 023－…＋＋a，因为512 025＋a能被13整除，结合选项，
所以－＋a＝－1＋a能被13整除，所以a＝1．
(2)1.026＝(1＋0.02)6＝1＋×0.02＋×0.022＋×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13．]
通性通法：(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式(数)的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx．
教材拓展15　杨辉三角
杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，它是由二项式系数组成的三角形数表(如图)，它将二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散的数与形的结合．
杨辉三角的常用性质如下表：
序号 语言描述 公式表示
1 对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等
2 递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和
3 第n行奇数项之和与偶数项之和相等 ＋…＝＋…
序号 语言描述 公式表示
4 第n行数的和为2n ＋…＋＝2n
5 第n行各数平方和等于第2n行中间的数 ()2＋()2＋()2＋…＋()2＝
6 自腰上的某个1开始平行于左腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数 ＋…＋
[典例6]　(多选)(2025·西安期末)“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的一种几何排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，如图所示．下列关于“杨辉三角”的说法中正确的是(　　)
A．
B．＝2n
C．＝126
D．第10行中从左往右第5个数与第6个数之比为5∶6
√
√
AD　[根据组合数性质可知，，A正确；
根据二项式定理可知，＋…＋＝2n，故B错误；
根据选项A的等式，＝126，故C错误；
第10行中从左往右第5个数与第6个数分别为，比值为5∶6，故D正确．
故选AD．]
1．(链接考点一考向2)(2025·长沙月考)·(2x－y)5的展开式中x2y3的系数为(　　)
A．20 B．40
C．－40 D．120
√
B　[(2x－y)5的展开式的通项为Tk+1＝(2x)5-k(－y)k，k＝0，1，…，5，
则(2x－y)5的展开式中x2y3的系数为－23＝40．故选B．]
2．(链接考点二)(多选)(2025·郑州质检)关于(a－b)11的说法，正确的是(　　)
A．展开式中的二项式系数之和为2 048
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
√
√
√
ACD　[由二项式系数的性质知，(a－b)11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确；
因为(a－b)11的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故C正确，B错误；
因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故D正确．故选ACD．]
3．(链接考点一考向1)(多选)已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶14，则下列结论成立的是(　　)
A．n＝10
B．展开式中的常数项为45
C．含x5的项的系数为210
D．展开式中的有理项有5项
√
√
√
ABC　[二项展开式的通项为
Tk+1＝x2n-2k(－1)k＝(－1)k，
由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，
则，
故，
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确；
则Tk+1＝(－1)k，
令20－＝0，解得k＝8，
则展开式中的常数项为(－1)8＝45，故B正确；
令20－＝5，解得k＝6，
则含x5的项的系数为(－1)6＝210，故C正确；
令20－∈Z，则k为偶数，
此时k＝0，2，4，6，8，10，故有6项为有理项，故D错误．故选ABC．]
4．(链接考点三)用二项式定理估算1.0110＝______________．(精确到0.001)
1.105　[1.0110＝(1＋0.01)10＝1＋×0.01＋×0.012＋×0.013＋…≈1＋0.1＋0.004 5＝1.104 5≈1.105．]
1.105　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．函数f (x)＝x4－x＋1的图象的对称轴方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
课时作业(七十四)　二项式定理
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[由题意，f (x)＝x4－x4·(－1)0＋x3·(－1)1＋x2·(－1)2＋x·(－1)3＋x0·(－1)4＝(x－1)4，
其图象可由偶函数y＝x4的图象向右平移1个单位长度得到，所以函数f (x)的图象的对称轴方程为x＝1．
故选A．]
√
2．(人教B版选择性必修第二册P39复习题B组T10改编)的展开式中的常数项为(　　)
A．924 B．－924
C．252 D．－252
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[，其展开式的通项为Tk+1＝x12-k
·＝(－1)kx12-2k，0≤k≤12，k∈N，由12－2k＝0，得k＝6，则的展开式中的常数项为(－1)6×＝924．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T9改编)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　)
A．74 B．121
C．－74 D．－121
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8中，含x3的项为()(－x)3，所以含x3的项的系数是－()＝－(10＋20＋35＋56)＝－121．]
√
4．(2024·北京卷)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　)
A．6 B．－6
C．12 D．－12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[(x－)4的展开式的通项为Tk+1＝x4-k·(－)k＝(－1)k (k＝0，1，2，3，4)，
令4－＝3，
解得k＝2，
故所求即为(－1)2＝6．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2026·德阳模拟)已知(1＋ax)(2－x)4(a∈R)的展开式中x4的系数为17，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[(2－x)4的展开式的通项为Tk+1＝24-k·(－x)k，k＝0，1，2，3，4，
所以(1＋ax)(2－x)4的展开式中含x4的项为1×24-4(－x)4＋ax×24-3 (－x)3＝x4－8ax4＝(1－8a)x4，
则1－8a＝17，解得a＝－2．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2026·成都模拟)已知(3x＋2)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则
(　　)
A．a0＝210
B．a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝－1
C．a0＋a2＋a4＋…＋a10＝1
D．展开式中二项式系数最大的项为第5项
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[对于A，令x＝0，可得a0＝210，故A正确；
对于B，令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝1①，故B错误；
对于C，令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a10＝510②，
联立①②可得a0＋a2＋a4＋…＋a10＝，故C错误；
对于D，展开式共有11项，则第6项的二项式系数最大，故D错误．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(2025·周口月考)在的展开式中，下列结论正确的是
(　　)
A．展开式共有6项　
B．常数项为240　
C．没有含x4的项
D．二项式系数最大的项是－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
BC　[由题意可得，展开式共有7项，故A错误；
展开式的通项为Tk+1＝(x2)6-k＝(－2)kx12-3k，k＝0，1，…，6，令12－3k＝0，得k＝4，则T5＝(－2)4×＝240，故B正确；
令12－3k＝4，得k＝，不符合题意，故没有含x4的项，则C正确；
由二项式系数的性质可知最大，
故T4＝(－2)3x3＝－160x3，故D错误．
故选BC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(2026·无锡模拟)若f (x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x－1，则(　　)
A．f (x)可以被(x－1)3整除
B．f (x＋y＋1)可以被(x＋y)4整除
C．f (30)被27除的余数为6
D．f (29)的个位数为6
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
AB　[∵f (x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x－1＝(x－1)5，∴f (x)可以被(x－1)3整除，故A正确；
∵f (x＋y＋1)＝(x＋y)5，∴f (x＋y＋1)可以被(x＋y)4整除，故B正确；
∵f (30)＝(30－1)5＝(27＋2)5＝×275＋×274×2＋…＋×27×24＋×25＝×275＋×274×2＋…＋×27×24＋27＋5，∴f (30)被27除的余数为5，故C错误；
∵f (29)＝(29－1)5＝(30－2)5＝×305＋×304×(－2)＋…＋×30×(－2)4＋(－2)5＝×305＋×304×(－2)＋…＋×30×(－2)4－32，∴个位数为10－2＝8，故D错误．
故选AB．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
9．已知(n∈N*)的展开式中共有8项，则关于该展开式结论正确的是(　　)
A．所有项的二项式系数和为128　
B．所有项的系数和为
C．系数最大项为第3项
D．有理项共有4项
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ACD　[对于A，因为的展开式共有8项，所以n＝7，
故所有项的二项式系数和为27＝128，故A正确；
对于B，令x＝1，可得所有项的系数和为，故B错误；
展开式的通项为Tk+1＝·x7-k·(k＝0，1，2，…，7)，
对于C，设第k＋1项系数最大，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
由
解得则k＝2，故第3项的系数最大，故C正确；
对于D，由7－为整数，且k＝0，1，2，…，7可知，k的值可以为0，2，4，6，
所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确．
故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
10．(2025·天津卷)在(x－1)6的展开式中，x3项的系数为_______．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
－20　[(x－1)6的展开式的通项为Tk+1＝x6-k(－1)k＝(－1)kx6-k，令6－k＝3，得k＝3，所以x3项的系数为(－1)3＝－20．]
－20
11．在的展开式中，y6项的系数为______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
1 260　[把x＋的展开式的通项为Tk+1＝(－y)k．令k＝6，则T7＝y6，的展开式的通项为Tr+1＝x4-2r．令4－2r＝0，则r＝2，所以在的展开式中，只含y6的项的系数为＝1 260．]
1 260　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为______________．
5　[的展开式的通项为Tk+1＝xk，0≤k≤10且k∈N，
设展开式中第k＋1项系数最大，
5　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
则
解得
即≤k≤，又k∈N，故k＝8，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为＝5．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(2025·吕梁月考)如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为(　　)
A．5 B．7
C．8 D．12
阶段检测(十六)　第73～74课时
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为2×1＋2×3＝8．
故选C．]
√
2．(2026·如皋模拟)已知(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则a2的值为(　　)
A．60 B．80
C．84 D．120
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，
所以a2＝＋…＋＋…＋＋…＋＝120．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有
(　　)
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[先将丙和丁捆绑在一起，有种排法，再将其与乙、戊排列，排法，最后将甲插入中间两空，有种排法，根据分步乘法计数原理，共＝24(种)不同的排列方式．故选B．]
√
4．(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　)
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有＝6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有＝20(种)情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20＝120(种)选法，故选C．]
√
5．(2025·南京期中)若的展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为(　　)
A．840 B．－252
C．－210 D．210
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[因为二项式系数只有第6项最大，故n＝10，
因为Tk+1＝(－2x-2)k＝·(－2)kx30-5k (0≤k≤10，k∈N)，
令30－5k＝0，则k＝6，
故T7＝×(－2)6＝840．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　)
A．120种 B．60种
C．30种 D．20种
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有＝60(种)．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(2025·怒江州一模)在的展开式中，下列说法中正确的是(　　)
A．所有奇数项的二项式系数和为210
B．所有项的系数和为310
C．二项式系数最大的项为第5项或第6项
D．展开式中的常数项是第9项
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
BD　[在＝29，A错误；
令x＝1，则所有项的系数和为310，B正确；
二项式系数最大的项为第6项，C错误；
Tk+1＝x20-2k·，
令20－＝0，则k＝8，即展开式中的常数项是第9项，D正确．
故选BD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(2025·厦门月考)用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是(　　)
A．可组成300个不重复的四位数
B．可组成156个不重复的四位偶数
C．可组成120个能被5整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数字为2 301
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABD　[A选项，0不能当首位，所以有＝300(个)，故A正确；
B选项，分为两类：0在末位，则有＝60(个)；
0不在末位，则有＝96(个)，
所以共有60＋96＝156(个)，故B正确；
C选项，分为两类：0在末位，则有＝60(个)；
5在末位，则有＝48(个)，
所以共有60＋48＝108(个)，故C错误；
D选项，首位为1的有＝60(个)；前两位为20的有＝12(个)；前两位为21的有＝12个，所以第85个数字是前两位为23的最小数，即为2 301，故D正确．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
9．(2024·上海卷)在(x＋1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10　
10　[令x＝1，所以(1＋1)n＝32，即2n＝32，解得n＝5，
所以(x＋1)5的展开式的通项为Tk+1＝·x5-k，令5－k＝2，则k＝3，
所以T4＝x2＝10x2．
故x2的系数为10．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．(2025·北京卷)已知(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0＝______________；a1＋a2＋a3＋a4＝______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
1　15　[因为(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，所以令x＝0，可得a0＝1．再令x＝－，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝24＝16，所以a1＋a2＋a3＋a4＝16－a0＝16－1＝15．]
1　
15　
四、 解答题
11．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13)从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛．
(1)如果4人中男生、女生各选2人，那么有多少种选法？
(2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
(4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)从5名男生和4名女生中选出4人参加创新大赛，则4人中男生和女生各选2人，共有
＝10×6＝60(种)选法．
(2)除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，
则男生中的甲和女生中的乙必须在内有＝21(种)选法．
(3)男生中的甲和女生中的乙不在内的情况，共有＝35(种)选法．
则可得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内有＝126－35＝91(种)选法．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(4)如果4人中必须既有男生又有女生，可以按含有女生的人数分成三类：1男3女；2男2女；3男1女，
则4人中必须既有男生又有女生有
＝20＋60＋40＝120(种)选法．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T5)(1)求(1－2x)5(1＋3x)4的展开式中按x的升幂排列的第3项；
(2)求的展开式的常数项；
(3)已知(1＋)n的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n；
(4)求(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中x4的系数；
(5)求(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)依题意，第3项是含x2的项，其系数是(－2×3)＋(－2)2＝－26．
∴展开式中按x的升幂排列的第3项为－26x2．
(2)由展开式的通项Tk+1＝(9x)18-k
＝，
令18－k＝0，得k＝12，
∴常数项为T13＝18 564．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(3)由题意得2，
得n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23．
(4)原式＝(1－x3)(1－x)9＝(1－x3)(1－9x＋x4－…
－x9)，
∴x4的系数为＋9＝135．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(5)原式＝[(x2＋x)＋y]5，
∴其展开式的通项为Tk+1＝(x2＋x)5-kyk，
令k＝2，∴5－k＝3，∴T3＝(x2＋x)3y2．
又(x2＋x)3的展开式的通项为T'r+1＝(x2)3-rxr＝x6-r，
令6－r＝5，∴r＝1，∴T'2＝x5，
∴(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为＝30．
谢谢！课时作业(七十四)　二项式定理
一、单项选择题
1．函数f (x)＝x＋1的图象的对称轴方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
2．(人教B版选择性必修第二册P39复习题B组T10改编)的展开式中的常数项为(　　)
A．924 B．－924
C．252 D．－252
3．(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T9改编)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　)
A．74 B．121
C．－74 D．－121
4．(2024·北京卷)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　)
A．6 B．－6
C．12 D．－12
5．(2026·德阳模拟)已知(1＋ax)(2－x)4(a∈R)的展开式中x4的系数为17，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
6．(2026·成都模拟)已知(3x＋2)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(　　)
A．a0＝210
B．a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝－1
C．a0＋a2＋a4＋…＋a10＝1
D．展开式中二项式系数最大的项为第5项
二、多项选择题
7．(2025·周口月考)在的展开式中，下列结论正确的是(　　)
A．展开式共有6项　
B．常数项为240　
C．没有含x4的项
D．二项式系数最大的项是－
8．(2026·无锡模拟)若f (x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x－1，则(　　)
A．f (x)可以被(x－1)3整除
B．f (x＋y＋1)可以被(x＋y)4整除
C．f (30)被27除的余数为6
D．f (29)的个位数为6
9．已知(n∈N*)的展开式中共有8项，则关于该展开式结论正确的是(　　)
A．所有项的二项式系数和为128　
B．所有项的系数和为
C．系数最大项为第3项
D．有理项共有4项
三、填空题
10．(2025·天津卷)在(x－1)6的展开式中，x3项的系数为________．
11．在的展开式中，y6项的系数为________．
12．(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为________．
课时作业(七十四)
1．A　[由题意，f (x)＝x4－x3＋x2－x＋1＝x4·(－1)0＋x3·(－1)1＋x2·(－1)2＋x·(－1)3＋x0·(－1)4＝(x－1)4，
其图象可由偶函数y＝x4的图象向右平移1个单位长度得到，所以函数f (x)的图象的对称轴方程为x＝1．
故选A．]
2．A　[，其展开式的通项为Tk+1＝x12-k·＝(－1)kx12-2k，0≤k≤12，k∈N，由12－2k＝0，得k＝6，则的展开式中的常数项为(－1)6×＝924．故选A．]
3．D　[因为在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8中，含x3的项为()·(－x)3，所以含x3的项的系数是－()＝－(10＋20＋35＋56)＝－121．]
4．A　[(x－)4的展开式的通项为Tk+1＝x4-k(－)k＝(－1)k(k＝0，1，2，3，4)，
令4－＝3，解得k＝2，
故所求即为(－1)2＝6．故选A．]
5．A　[(2－x)4的展开式的通项为Tk+1＝24-k·(－x)k，k＝0，1，2，3，4，
所以(1＋ax)(2－x)4的展开式中含x4的项为1×24-4(－x)4＋ax×24-3(－x)3＝x4－8ax4＝(1－8a)x4，
则1－8a＝17，解得a＝－2．
故选A．]
6．A　[对于A，令x＝0，可得a0＝210，故A正确；
对于B，令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝1①，故B错误；
对于C，令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a10＝510②，
联立①②可得a0＋a2＋a4＋…＋a10＝，故C错误；
对于D，展开式共有11项，则第6项的二项式系数最大，故D错误．
故选A．]
7．BC　[由题意可得，展开式共有7项，故A错误；
展开式的通项为Tk+1＝(x2)6-k＝(－2)kx12-3k，k＝0，1，…，6，
令12－3k＝0，得k＝4，则T5＝(－2)4×＝240，故B正确；
令12－3k＝4，得k＝，不符合题意，故没有含x4的项，则C正确；
由二项式系数的性质可知最大，故T4＝(－2)3x3＝－160x3，故D错误．
故选BC．]
8．AB　[∵f (x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x－1＝(x－1)5，∴f (x)可以被(x－1)3整除，故A正确；
∵f (x＋y＋1)＝(x＋y)5，∴f (x＋y＋1)可以被(x＋y)4整除，故B正确；
∵f (30)＝(30－1)5＝(27＋2)5＝×275＋×274×2＋…＋×27×24＋×25＝×275＋×274×2＋…＋×27×24＋27＋5，∴f (30)被27除的余数为5，故C错误；
∵f (29)＝(29－1)5＝(30－2)5＝×305＋×304×(－2)＋…＋×30×(－2)4＋(－2)5＝×305＋×304×(－2)＋…＋×30×(－2)4－32，∴个位数为10－2＝8，故D错误．故选AB．]
9．ACD　[对于A，因为的展开式共有8项，所以n＝7，
故所有项的二项式系数和为27＝128，故A正确；
对于B，令x＝1，可得所有项的系数和为≠，故B错误；
展开式的通项为Tk+1＝·x7-k·(k＝0，1，2，…，7)，
对于C，设第k＋1项系数最大，
由
解得则k＝2，故第3项的系数最大，故C正确；
对于D，由7－为整数，且k＝0，1，2，…，7可知，k的值可以为0，2，4，6，
所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确．
故选ACD．]
10．－20　[(x－1)6的展开式的通项为Tk+1＝x6-k(－1)k＝(－1)kx6-k，令6－k＝3，得k＝3，所以x3项的系数为(－1)3＝－20．]
11.1 260　[把x＋的展开式的通项为Tk+1＝(－y)k．令k＝6，则T7＝y6，的展开式的通项为Tr+1＝x4-rx4-2r．令4－2r＝0，则r＝2，所以在的展开式中，只含y6的项的系数为×＝1 260．]
12.5　[的展开式的通项为Tk+1＝xk，0≤k≤10且k∈N，
设展开式中第k＋1项系数最大，则
解得≤k≤，又k∈N，故k＝8，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为＝5．]
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