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第39课时　平面向量的概念及线性运算
[考试要求]　1．理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．2．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
知识点1　向量的有关概念
(1)向量：既有______又有______的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量的大小称为向量的________(或称模)，记作________．
(2)零向量：长度为________的向量，记作0．
(3)单位向量：长度等于________长度的向量．
(4)平行向量(共线向量)：方向________或________的非零向量．向量a与b平行，记作a∥b．
规定：零向量与任意向量________．
(5)相等向量：长度________且方向________的向量．
(6)相反向量：长度________且方向________的向量．
知识点2　向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律： a＋b＝________ 结合律： (a＋b)＋c＝________
减法 求两个向量差的运算 几何意义 a－b＝a＋(－b)
数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa |λa|＝__________________________； 当λ>0时，λa的方向与a的方向________；当λ<0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝__________________ λ(μa)＝____________； (λ＋μ)a＝____________； λ(a＋b)＝____________
知识点3　共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________．
[常用结论]
1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点 ＝)．
2．若＝v＋μ(μ，v为常数)，O不在直线AB上，则P，A，B三点共线的充要条件是μ＋v＝1．
3．若G为△ABC的重心，则有
(1)＝0；(2)＝)．
4．对于任意两个向量a，b，都有
(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式)；
(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．
5．如图，在△ABC中，BD＝m，CD＝n，则＝．特别地，当D为BC的中点时(m＝n)，＝．
1．(多选)(人教A版必修第二册P5习题6.1T3改编)下列说法错误的是(　　)
A．非零向量与是两平行向量
B．若a＝b，b＝c，则a＝c
C．若a与b都是单位向量，则a＝b
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
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2．(北师大版必修第二册P89例6)如图，点O是 ABCD外一点，用表示＝________．
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3．(人教A版必修第二册P16例8)已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，a－b共线，则实数t＝________．
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4．(人教A版必修第二册P23习题6.2T10(1))若a，b满足|a|＝2，|b|＝3，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．
考点一　平面向量的概念
[典例1]　(1)(多选)(2025·上海宝山区期末)下列命题正确的是(　　)
A．方向相反的两个非零向量一定共线，单位向量都是共线向量
B．零向量是唯一没有方向的向量
C．若a，b都为非零向量，则使＝0成立的条件是a与b反向共线
D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
(2)(多选)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则(　　)
A．＝ B．
C．||＝|| D．＝
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通性通法：向量有关概念的四个关注点
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的．
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量不可以比较大小，但向量的模可以比较大小．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
(4)是与非零向量a同方向的单位向量．
考点二　平面向量的线性运算
[典例2]　(1)如图，在平行四边形ABCD中，＝(　　)
A． B．
C． D．
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(2)(2026·邵东市模拟)如图，在△ABC中，设＝a，＝b，＝2＝3，则＝(　　)
A．a＋b B．－a＋b
C．a－b D．－a－b
(3)(2025·安阳市期末)在△ABC中，＝＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A． B．
C． D．2
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通性通法：平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
[多维变迁]
1．(2025·忻州开学考试)设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则＋2＋2＝(　　)
A． B．
C．2 D．
2．(多选)(2025·揭阳期末)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有(　　)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
考点三　共线向量定理的应用
[典例3]　(1)(2025·阜阳月考)设a，b是两个不共线的向量，若向量ka－b与－2a＋kb的方向相同，则k＝(　　)
A． B．－
C．2 D．－2
(2)(2025·眉山市期末)已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3a－3b，则(　　)
A．A，B，D三点共线
B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线
D．A，C，D三点共线
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[母题探究]
1．(变条件)本例(1)中“方向相同”改为“共线”，则k为何值？
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2．(变条件)本例(2)中“＝－2a＋8b”改为“＝a＋kb”，则k为何值，A，B，D三点共线？
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通性通法：(1)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0．
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 共线．
1．(链接考点二)(2025·北京西城区期末)(a＋2b－3c)－3(a－2b－c)＝(　　)
A．－a－4c B．－a＋4b－2c
C．－a＋7b＋c D．－a－5b－c
2．(链接考点一)(2025·简阳市月考)下列说法正确的是(　　)
A．若|a|＞|b|，则a＞b
B．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
C．若a∥b，b∥c，则a∥c
D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且＝” “四边形ABCD是平行四边形”
3．(链接考点二)(2025·深圳期中)在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，＝3，点F是线段DE的中点，若＝λ＋μ，则μ＝(　　)
A． B．1
C． D．
4．(链接考点三)(2025·淄博月考)已知a与b不共线，若a－xb与3a＋2b共线，则实数x的值为________．
第39课时　平面向量的概念及线性运算
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)大小　方向　长度　||
(2)0　(3)1个单位　(4)相同　相反　平行　(5)相等　相同　(6)相等　相反
知识点2　b＋a　a＋(b＋c)　|λ||a|　相同　相反　0　(λμ)a　λa＋μa　λa＋λb　
知识点3　b＝λa
链教材·夯基固本
1．CD　[易知A，B正确；
单位向量a与b的方向均不确定，故C错误；
两个单位向量平行，它们的方向可能相反，两个向量不相等，故D错误．故选CD．]
2．　[因为，
而，
故＋()＝．]
3．　[由题意知，存在实数λ，使得
b－ta＝λ
解得t＝．]
4.5　1　[|a＋b|≤|a|＋|b|＝2＋3＝5，当且仅当a，b同向时取等号，所以|a＋b|max＝5．
又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－2|＝1，
当且仅当a，b反向时取等号，所以|a＋b|min＝1．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)CD　(2)ABC　[(1)方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，单位向量的模相等，但方向不确定，不一定是共线向量，故A错误；
零向量是有方向的，其方向是任意的，故B错误；
因为是相反向量，即a与b反向共线时，＝0才成立，故C正确；
向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小，但它们的模能比较大小，故D正确．故选CD．
(2)由正六边形的结构特征，知，故A正确；
∥，故B正确；
由正六边形的性质，知||＝||，故C正确；不共线，故D错误．故选ABC．]
考点二
典例2　(1)D　(2)B　(3)B　[(1))＝－)＝．故选D．
(2)由已知得，
＝)－
＝
＝
＝－＝－a＋b．
故选B．
(3)如图，在△ABC中，，
根据向量的运算法则，可得＝－＝－)＋×)＝，
所以λ＋μ＝．故选B．]
多维变迁
1．A　[∵四边形ABCD为平行四边形，∴M是AC，BD的中点，
∴＝0，＝0，
∴＋2＋2)＝)＝)＝．
故选A．]
2．ABD　[对于A，由题意知，E，F分别是CD边上的两个三等分点，且方向相同，||＝||，则，故A正确；
对于B，)＝，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选ABD．]
考点三
典例3　(1)B　(2)A　[(1)由题意知ka－b＝λ(－2a＋kb)，λ>0，即解得λ＝，k＝－．
故选B．
(2)对于A，因为＝a＋5b，
所以，所以A，B，D三点共线，故A正确；
对于B，因为＝－2a＋8b，＝a＋5b，
所以不存在λ∈R，使得＝λ，
所以A，B，C三点不共线，故B错误；
对于C，因为＝3a－3b，＝－2a＋8b，
所以不存在λ∈R，使得＝λ，
所以B，C，D三点不共线，故C错误；
对于D，因为＝3a－3b，＝－a＋13b，
所以不存在λ∈R，使得＝λ，
所以A，C，D三点不共线，故D错误．
故选A．]
母题探究
1．解：由题意知ka－b＝λ(－2a＋kb)，即(2λ＋k)a－(kλ＋1)b＝0，因为a，b是两个不共线的向量，所以解得k＝或k＝－．
2．解：＝(a＋kb)＋3(a－b)＝4a＋(k－3)b，a，b不共线，
若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ，
即4a＋(k－3)b＝λ(a＋5b)，
所以解得k＝23．
随堂·对点检测
1．C　[(a＋2b－3c)－3(a－2b－c)
＝－a＋7b＋c．故选C．]
2．D　[对于选项A，两个向量不能比较大小，故A错误；
对于选项B，若a＝b，则可得|a|＝|b|且a∥b，所以必要性成立，
当|a|＝|b|且a∥b时，则可得a＝b或a＝－b，故充分性不成立，故B错误；
对于选项C，当b＝0时，因为零向量与任意向量都平行，对于任意向量a和c，都有a∥b且b∥c，但a与c不一定平行，故C错误；
对于选项D，A，B，C，D是不共线的四点，，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，故D正确．故选D．]
3．
A　[由点F是线段DE的中点，得，
由＝3，且四边形ABCD为平行四边形，
得＝－＝－，
则)＝＝λ＋μ，
故μ＝．
故选A．]
4．－　[由a与b不共线，a－xb与3a＋2b共线，
可设a－xb＝λ(3a＋2b)，
所以解得x＝－．]
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第五章　平面向量、复数
第五章　平面向量、复数
第39课时　平面向量的概念及线性运算
[考试要求]　1．理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．2．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
理法先行·题练固本
知识点1　向量的有关概念
(1)向量：既有____又有____的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量的大小称为向量的____(或称模)，记作______．
大小
方向
长度
||
(2)零向量：长度为___的向量，记作0．
(3)单位向量：长度等于_______长度的向量．
(4)平行向量(共线向量)：方向____或____的非零向量．向量a与b平行，记作a∥b．
规定：零向量与任意向量____．
(5)相等向量：长度____且方向____的向量．
(6)相反向量：长度____且方向____的向量．
0
1个单位
相同
相反
平行
相等
相同
相等
相反
知识点2　向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律：
a＋b＝____
结合律：
(a＋b)＋c＝___________
b＋a
a＋(b＋c)
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
减法 求两个向量差的运算 几何意义 a－b＝a＋(－b)
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa |λa|＝__________； 当λ>0时，λa的方向与a的方向____；当λ<0时，λa的方向与a的方向____；当λ＝0时，λa＝__ λ(μa)＝_________；
(λ＋μ)a＝______；
λ(a＋b)＝______
|λ||a|
相同
相反
0
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb　
知识点3　共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使_____．
[常用结论]
1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点 ＝)．
2．若＝v＋μ(μ，v为常数)，O不在直线AB上，则P，A，B三点共线的充要条件是μ＋v＝1．
b＝λa
3．若G为△ABC的重心，则有
(1)＝0；(2)＝)．
4．对于任意两个向量a，b，都有
(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式)；
(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．
5．如图，在△ABC中，BD＝m，CD＝n，则．特别地，当D为BC的中点时(m＝n)，．
1．(多选)(人教A版必修第二册P5习题6.1T3改编)下列说法错误的是
(　　)
A．非零向量与是两平行向量
B．若a＝b，b＝c，则a＝c
C．若a与b都是单位向量，则a＝b
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
√
√
CD　[易知A，B正确；
单位向量a与b的方向均不确定，故C错误；
两个单位向量平行，它们的方向可能相反，两个向量不相等，故D错误．
故选CD．]
2．(北师大版必修第二册P89例6)如图，点O是 ABCD外一点，用，，表示＝______________．
　[因为，
而，
故＋()＝．]
3．(人教A版必修第二册P16例8)已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，a－b共线，则实数t＝______________．
　[由题意知，存在实数λ，使得
b－ta＝λ，
则
解得t＝．]
　
4．(人教A版必修第二册P23习题6.2T10(1))若a，b满足|a|＝2，|b|＝3，则|a＋b|的最大值为______________，最小值为______________．
5　1　[|a＋b|≤|a|＋|b|＝2＋3＝5，当且仅当a，b同向时取等号，
所以|a＋b|max＝5．
又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－2|＝1，
当且仅当a，b反向时取等号，
所以|a＋b|min＝1．]
5　
1　
考点深研·题型突破
考点一　平面向量的概念
[典例1]　(1)(多选)(2025·上海宝山区期末)下列命题正确的是(　　)
A．方向相反的两个非零向量一定共线，单位向量都是共线向量
B．零向量是唯一没有方向的向量
C．若a，b都为非零向量，则使＝0成立的条件是a与b反向共线
D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
√
√
(2)(多选)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则(　　)
A．　　　　 B．∥
C．||＝|| D．
√
√
√
(1)CD　(2)ABC　[(1)方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，单位向量的模相等，但方向不确定，不一定是共线向量，故A错误；
零向量是有方向的，其方向是任意的，故B错误；
因为是相反向量，即a与b反向共线时，＝0才成立，故C正确；
向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小，但它们的模能比较大小，故D正确．故选CD．
(2)由正六边形的结构特征，知，故A正确；
∥，故B正确；
由正六边形的性质，知||＝||，故C正确；
不共线，故D错误．
故选ABC．]
通性通法：向量有关概念的四个关注点
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的．
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量不可以比较大小，但向量的模可以比较大小．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
(4)是与非零向量a同方向的单位向量．
考点二　平面向量的线性运算
[典例2]　(1)如图，在平行四边形ABCD中，＝(　　)
A．
B．
C．
D．
√
(2)(2026·邵东市模拟)如图，在△ABC中，设＝a，＝b，＝2，＝3，则＝(　　)
A．a＋b
B．－a＋b
C．a－b
D．－a－b
√
(3)(2025·安阳市期末)在△ABC中，，，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A． B．
C． D．2
√
(1)D　(2)B　(3)B　[(1))＝－)＝．故选D．
(2)由已知得，＝)－
＝＝
＝－＝－a＋b．
故选B．
(3)如图，在△ABC中，，
根据向量的运算法则，可得＝－＝－)＋)＝，
所以λ＋μ＝．
故选B．]
通性通法：平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
[多维变迁]
1．(2025·忻州开学考试)设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则＋2＋2＝(　　)
A． B．
C．2 D．
√
A　[∵四边形ABCD为平行四边形，∴M是AC，BD的中点，
∴＝0，＝0，
∴＋2＋2)＝)＝)＝．故选A．]
2．(多选)(2025·揭阳期末)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有(　　)
A．
B．
C．
D．
√
√
√
ABD　[对于A，由题意知，E，F分别是CD边上的两个三等分点，且方向相同，||＝|，则，故A正确；
对于B，)＝，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选ABD．]
考点三　共线向量定理的应用
[典例3]　(1)(2025·阜阳月考)设a，b是两个不共线的向量，若向量ka－b与－2a＋kb的方向相同，则k＝(　　)
A． B．－
C．2 D．－2
√
(2)(2025·眉山市期末)已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3a－3b，则(　　)
A．A，B，D三点共线
B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线
D．A，C，D三点共线
√
(1)B　(2)A　[(1)由题意知ka－b＝λ(－2a＋kb)，λ>0，即解得λ＝，k＝－．
故选B．
(2)对于A，因为＝a＋5b，
所以，所以A，B，D三点共线，故A正确；
对于B，因为＝－2a＋8b，＝a＋5b，
所以不存在λ∈R，使得＝λ，
所以A，B，C三点不共线，故B错误；
对于C，因为＝3a－3b，＝－2a＋8b，
所以不存在λ∈R，使得＝λ，
所以B，C，D三点不共线，故C错误；
对于D，因为＝3a－3b，＝－a＋13b，
所以不存在λ∈R，使得＝λ，
所以A，C，D三点不共线，故D错误．
故选A．]
[母题探究]
1．(变条件)本例(1)中“方向相同”改为“共线”，则k为何值？
[解]　由题意知ka－b＝λ(－2a＋kb)，即(2λ＋k)a－(kλ＋1)b＝0，因为a，b是两个不共线的向量，所以解得k＝或k＝
－．
2．(变条件)本例(2)中“＝－2a＋8b”改为“＝a＋kb”，则k为何值，A，B，D三点共线？
[解]　＝(a＋kb)＋3(a－b)＝4a＋(k－3)b，a，b不共线，
若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ，
即4a＋(k－3)b＝λ(a＋5b)，
所以解得k＝23．
通性通法：(1)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0．
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 共线．
【教用·教材拓展】
等和(高)线定理
如图，由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k，k∈R，使得＝k＝k＝kλ＋kμ＝x＋y(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立．
平面内一个基底{＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P'在直线AB上或在与AB平行的直线A'B'上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线A'B'称为等和(高)线．等和(高)线有如下6个性质：
①当等和线A'B'恰为直线AB时，k＝1；
②当等和线A'B'在点O和直线AB之间时，k∈(0，1)；
③当直线AB在点O和等和线A'B'之间时，k∈(1，＋∞)；
④当等和线A'B'过点O时，k＝0；
⑤若两等和线关于点O对称，则它们对应的定值k1，k2互为相反数；
⑥定值k的绝对值与点O到等和线的距离成正比．
[典例]　如图，△BCD与△ABC的面积的比值为2，P是区域ABDC内的任一点(含边界)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围是(　　)
A．[0，1]
B．[0，2]
C．[0，3]
D．[0，4]
√
C　[如图，过点P作GH∥BC，分别交AC，AB或其延长线于点G，H．
设＝x＋y，则x＋y＝1．当点P位于点D时，G，H分别位于点C'，点B'．
因为△BCD与△ABC的面积比值为2，所以AC'＝3AC，AB'＝3AB．
所以＝x＋y＝3x＋3y＝λ＋μ．所以λ＝3y，μ＝3x．
所以λ＋μ＝3x＋3y＝3．
当点P位于点A时，显然有λ＋μ＝0．
综上，λ＋μ的取值范围是[0，3]．
故选C．]
1．(链接考点二)(2025·北京西城区期末)(a＋2b－3c)－3(a－2b－c)＝(　　)
A．－a－4c B．－a＋4b－2c
C．－a＋7b＋c D．－a－5b－c
√
C　[(a＋2b－3c)－3(a－2b－c)＝－a＋7b＋c．故选C．]
2．(链接考点一)(2025·简阳市月考)下列说法正确的是(　　)
A．若|a|>|b|，则a>b
B．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
C．若a∥b，b∥c，则a∥c
D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且” “四边形ABCD是平行四边形”
√
D　[对于选项A，两个向量不能比较大小，故A错误；
对于选项B，若a＝b，则可得|a|＝|b|且a∥b，所以必要性成立，
当|a|＝|b|且a∥b时，则可得a＝b或a＝－b，故充分性不成立，故B错误；
对于选项C，当b＝0时，因为零向量与任意向量都平行，对于任意向量a和c，都有a∥b且b∥c，但a与c不一定平行，故C错误；
对于选项D，A，B，C，D是不共线的四点，，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，故D正确．故选D．]
3．(链接考点二)(2025·深圳期中)在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，＝3，点F是线段DE的中点，若＝λ＋μ，则μ＝(　　)
A． B．1
C． D．
√
A　[由点F是线段DE的中点，得，
由＝3，且四边形ABCD为平行四边形，得＝－＝－，
则)＝＝λ＋μ，
故μ＝．
故选A．]
4．(链接考点三)(2025·淄博月考)已知a与b不共线，若a－xb与3a＋2b共线，则实数x的值为______________．
－　[由a与b不共线，a－xb与3a＋2b共线，
可设a－xb＝λ(3a＋2b)，
所以解得x＝－．]
－　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(2025·渭南期末)下列命题中一定正确的是(　　)
A． B．＝0
C．0－＝0 D．＝0
课时作业(三十九)　平面向量的概念及线性运算
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为，故A错误；
因为＝0，故B错误；
因为0－＝－，故C错误；
根据向量加法的三角形法则可知＝0，故D正确．故选D．]
√
2．给出下列命题，正确的命题为(　　)
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．|a|＋|b|＝|a－b| a与b方向相反
D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[对于A，向量的长度相等，方向相反，故正确；
对于B，当a或b为零向量时，零向量与任意向量平行，但是方向任意，故错误；
对于C，若a与b方向相反时，有|a|＋|b|＝|a－b|，若|a|＋|b|＝|a－b|，则当a或b为零向量时，不能推出a与b方向相反，故错误；
对于D，当a＋b＝0时，因为零向量的方向任意，所以这时a＋b的方向不与a，b的方向相同，故错误．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
√
3．(2025·茂名期末)已知e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则a∥b的是(　　)
A．a＝2e1－e2，b＝－e1＋e2
B．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋e2
C．a＝e1－2e2，b＝e1＋2e2
D．a＝e1－e2，b＝2e1－4e2
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
A　[若a∥b，则a＝λb．
若2e1－e2＝λ，
知e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，
则解得λ＝－2，选项A正确；
若e1＋2e2＝λ(2e1＋e2)，
知e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，
则λ无解，选项B错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
若e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，
知e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，
则λ无解，选项C错误；
若e1－e2＝λ(2e1－4e2)，
知e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，
则λ无解，选项D错误．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(2025·威海月考)设e是单位向量，＝3e，＝－3e，||＝3，则四边形ABCD是(　　)
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
12
B　[∵＝3e，＝－3e，
∴＝－，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵||＝3，∴四边形ABCD是菱形．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2025·安康期末)设m，n是两个不共线的非零向量，且a＝m＋n，b＝m－n，c＝2m－7n，则c＝(　　)
A．－2a＋4b B．－a＋b
C．－3a＋5b D．－a＋b
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[设c＝λa＋μb＝(λ＋μ)m＋(λ－μ)n，
又c＝2m－7n，m，n是两个不共线的非零向量，
所以故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2026·郑州模拟)如图，在△ABC中，＝3，＝2，E是AD的中点，则＝(　　)
A．
B．－
C．
D．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为在△ABC中，＝3，
所以＝3(，
因为＝2，E是AD的中点，
所以．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(2025·江阴月考)下列式子中，化简结果为的有(　　)
A．
B．()＋()
C．
D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
BCD　[对于A，因为，所以A错误；
对于B，因为()＋()＝，所以B正确；
对于C，因为，所以C正确；
对于D，因为，所以D正确．故选BCD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(人教A版必修第二册P23习题6.2T9改编)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．
B．与共线
C．与是相反向量
D．|
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABC　[对于A，因为EF＝BC＝CD，EF∥CD，所以，故A正确；
对于B，因为DE∥AB，所以共线，故B正确；
对于C，因为BD＝CD，所以是相反向量，故C正确；
对于D，，故D错误．故选ABC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
9．(2026·仙桃模拟)在△ABC中，D在AB边上，＝2，E是CD的中点，则(　　)
A．
B．
C．
D．＝2－3
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
CD　[如图所示，
对于A，，故A错误；
对于B，)＝，故B错误；
对于C，)＝)＝，故C正确；
对于D，＝3＝3()－＝2－3，故D正确．
故选CD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
10．(湘教版必修第二册P11例5改编)已知 ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝______________，＝______________．(用a，b表示)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
b－a
－a－b
b－a　－a－b　[如图，
＝b－a，
＝－＝－a－b．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．在△ABC中，已知＝k()，且，则实数k＝______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4　[由＝k()，
可得＝k()，
整理得，
又，
所以－＝－，解得k＝4．]
4　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(2025·渭南期末)已知向量a，b是两个不共线的向量，且＝3a＋5b，＝4a＋7b，＝a＋mb，若A，B，C三点共线，则实数m＝______________．
1　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
1　[∵＝3a＋5b，＝4a＋7b，＝a＋mb，
∴＝a＋2b，＝－2a＋(m－5)b，
∵A，B，C三点共线，
不妨设＝λ，
∴a＋2b＝λ[－2a＋(m－5)b]＝－2λa＋λ(m－5)b，
∴
解得λ＝－，m＝1．]
谢谢！课时作业(三十九)　平面向量的概念及线性运算
一、单项选择题
1．(2025·渭南期末)下列命题中一定正确的是(　　)
A．＝ B．＝0
C．0－＝0 D．＝0
2．给出下列命题，正确的命题为(　　)
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．|a|＋|b|＝|a－b| a与b方向相反
D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同
3．(2025·茂名期末)已知e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则a∥b的是(　　)
A．a＝2e1－e2，b＝－e1＋e2
B．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋e2
C．a＝e1－2e2，b＝e1＋2e2
D．a＝e1－e2，b＝2e1－4e2
4．(2025·威海月考)设e是单位向量，＝3e，＝－3e，||＝3，则四边形ABCD是(　　)
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
5．(2025·安康期末)设m，n是两个不共线的非零向量，且a＝m＋n，b＝m－n，c＝2m－7n，则c＝(　　)
A．－2a＋4b B．－a＋b
C．－3a＋5b D．－a＋b
6．(2026·郑州模拟)如图，在△ABC中，＝3＝2，E是AD的中点，则＝(　　)
A． B．－
C． D．－
二、多项选择题
7．(2025·江阴月考)下列式子中，化简结果为的有(　　)
A． B．()＋()
C． D．
8．(人教A版必修第二册P23习题6.2T9改编)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．＝ B．与共线
C．与是相反向量 D．＝||
9．(2026·仙桃模拟)在△ABC中，D在AB边上，＝2，E是CD的中点，则(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝2－3
三、填空题
10．(湘教版必修第二册P11例5改编)已知 ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)
11．在△ABC中，已知＝k()，且＝，则实数k＝________．
12．(2025·渭南期末)已知向量a，b是两个不共线的向量，且＝3a＋5b，＝4a＋7b，＝a＋mb，若A，B，C三点共线，则实数m＝________．
课时作业(三十九)
1．D　[因为，故A错误；
因为＝0，故B错误；
因为0－＝－，故C错误；
根据向量加法的三角形法则可知＝0，故D正确．
故选D．]
2．A　[对于A，向量的长度相等，方向相反，故正确；
对于B，当a或b为零向量时，零向量与任意向量平行，但是方向任意，故错误；
对于C，若a与b方向相反时，有|a|＋|b|＝|a－b|，若|a|＋|b|＝|a－b|，则当a或b为零向量时，不能推出a与b方向相反，故错误；
对于D，当a＋b＝0时，因为零向量的方向任意，所以这时a＋b的方向不与a，b的方向相同，故错误．
故选A．]
3．A　[若a∥b，则a＝λb．
若2e1－e2＝λ，
知e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，
则解得λ＝－2，选项A正确；
若e1＋2e2＝λ(2e1＋e2)，
知e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，
则λ无解，选项B错误；
若e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，
知e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，
则λ无解，选项C错误；
若e1－e2＝λ(2e1－4e2)，
知e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，
则λ无解，选项D错误．
故选A．]
4．B　[∵＝3e，＝－3e，∴＝－，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵||＝3，∴四边形ABCD是菱形．故选B．]
5．B　[设c＝λa＋μb＝(λ＋μ)m＋(λ－μ)n，
又c＝2m－7n，m，n是两个不共线的非零向量，
所以故选B．]
6．D　[因为在△ABC中，＝3，
所以＝3(，
因为＝2，E是AD的中点，
所以．
故选D．]
7．BCD　[对于A，因为，所以A错误；
对于B，因为()＋()＝，所以B正确；
对于C，因为，所以C正确；
对于D，因为，所以D正确．故选BCD．]
8．ABC　[对于A，因为EF＝BC＝CD，EF∥CD，所以，故A正确；
对于B，因为DE∥AB，所以共线，故B正确；
对于C，因为BD＝CD，所以是相反向量，故C正确；
对于D，，故D错误．故选ABC．]
9．
CD　[如图所示，
对于A，，故A错误；
对于B，)＝，故B错误；
对于C，)＝)＝，故C正确；
对于D，＝3＝3()－＝2－3，故D正确．
故选CD．]
10．b－a　－a－b　[
如图，＝b－a，
＝－＝－a－b．]
11.4　[由＝k()，
可得＝k()，
整理得，
又，
所以－＝－，解得k＝4．]
12.1　[∵＝3a＋5b，＝4a＋7b，＝a＋mb，
∴＝a＋2b，＝－2a＋(m－5)b，
∵A，B，C三点共线，
不妨设＝λ，
∴a＋2b＝λ[－2a＋(m－5)b]＝－2λa＋λ(m－5)b，
∴解得λ＝－，m＝1．]
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