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第40课时　平面向量基本定理及坐标表示
[考试要求]　1．了解平面向量基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示平面向量共线的条件．
知识点1　平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，________一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：若e1，e2________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
知识点2　平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝______________，a－b＝____________，λa＝____________，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝____________________________，
||＝．
知识点3　平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b ____________．
[常用结论]
1．如果对于一个基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，那么可以得到即基底给定，同一向量的分解形式唯一．特别地，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0．
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为．
3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为．
1．(人教A版必修第二册P60复习参考题6T2(6))在下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
2．(北师大版必修第二册P100例1)如图，在 ABCD中，点E，F分别为BC，DC的中点，＝a，＝b，则＝______，＝________．(用a，b表示)
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3．(人教B版必修第二册P170例5改编)已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为___________________________________________________________________．
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4．(人教A版必修第二册P33练习T2)当x＝__________时，a＝(2，3)与b＝(x，－6)共线．
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5．(用结论)已知＝(5，－2)，＝(－4，－3)，且＝0，其中O为坐标原点，则P点坐标为(　　)
A．(－9，－1)　　 B．
C．(1，－5) D．
考点一　平面向量基本定理的应用
[典例1]　(1)(2025·天津期末)若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是(　　)
A．{e1－2e2，2e2－e1}
B．{2e1＋3e2，3e1＋2e2}
C．{2e2＋3e1，6e1＋4e2}
D．
(2)(2025·宿迁期末)如图，在△ABC中，D为BC的中点，E是线段AD上的一点，若＝x＋(1－2x)，则x＝(　　)
A． B．
C． D．
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[母题探究]
(变结论)本例(2)中条件不变，试以{}为基底表示．
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易错提醒：(1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量．因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量．
(2)同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．
考点二　平面向量的坐标运算
[典例2]　(1)(2025·郑州期末)已知A(3，5)，B(1，－2)，C(2，1)，则＝(　　)
A．(3，11) B．(－3，－11)
C．(9，9) D．(－9，－9)
(2)(2026·遵义模拟)已知向量w，v，u在正方形网格中的位置如图所示，将w绕着起点顺时针方向旋转90°后得到向量a，若u＝ma－nv，则m＋n＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
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通性通法：利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．
考点三　平面向量共线的坐标表示
[典例3]　(1)(2025·天津和平区期末)已知a＝(2，1)，|b|＝5，若a与b共线且方向相反，则b的坐标为(　　)
A．(－2，－1) B．(－1，－2)
C．(－2，－) D．(－，－2)
(2)(多选)(2025·常德期末)以A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标可以是(　　)
A．(2，3) B．(2，－1)
C．(4，1) D．(－2，－1)
(3)(2025·春季上海卷)已知a＝(2，1)，b＝(1，x)，若a∥b，则实数x＝________．
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通性通法：平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1．
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
1．(链接考点二)(2025·北京丰台区期末)已知向量＝(1，2)，＝(3，5)，则的坐标为(　　)
A．(4，7) B．(－4，－7)
C．(2，3) D．(－2，－3)
2．(链接考点一)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
3．(链接考点一)(2025·眉山期末)如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AE＝AD，FC＝AC，若＝x＋y，则x＋y＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．
4．(链接考点三)(2025·伊犁州期中)已知a＝(3，1)，b＝(－1，1)，(a＋b)∥(a＋kb)，则实数k＝________．
第40课时　平面向量基本定理及坐标表示
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)不共线　有且只有　(2)不共线
知识点2　(1)(x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)　(λx1，λy1)　(2)(x2－x1，y2－y1)　
知识点3　x1y2－x2y1＝0
链教材·夯基固本
1．B　[对于A，因为零向量与任何向量平行，所以选项A中的两个向量不可以作为基底；对于B，e1＝(－1，2)与e2＝(5，7)对应坐标不成比例，两向量不共线，可以作为基底；对于C，e1＝(3，5)，e2＝(6，10)，e1＝e2，两向量共线，不可以作为基底；对于D，e1＝(2，－3)，e2＝，e1＝4e2，两向量共线，不可以作为基底．故选B．]
2．b－a　a－b　[根据题意，得＝b，＝－＝－a，
所以＝b－a．
同理＝a－b．]
3．(1，5)　[设D(x，y)，则，
得(3－(－1)，－1－(－2))＝(4，1)＝(5－x，6－y)，
即即D(1，5)．]
4．－4　[因为a＝(2，3)，b＝(x，－6)，a∥b，所以2×(－6)－3x＝0，解得x＝－4，所以当x＝－4时，a与b共线．]
5．B　[由题意得，P是△OAB的重心，
又A(5，－2)，B(－4，－3)，O(0，0)，
所以P点坐标为．故选B．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)B　(2)C　[(1)因为e1－2e2＝－(2e2－e1)，所以{e1－2e2，2e2－e1}不能作为平面向量的基底，A错误；因为不存在实数λ，使得2e1＋3e2＝λ(3e1＋2e2)，所以2e1＋3e2，3e1＋2e2不共线，所以{2e1＋3e2，3e1＋2e2}能作为平面向量的基底，B正确；
因为6e1＋4e2＝2(2e2＋3e1)，所以{2e2＋3e1，6e1＋4e2}不能作为平面向量的基底，C错误；因为e1－2e2＝－2不能作为平面向量的基底，D错误．故选B．
(2)由题意，D为BC的中点，E是线段AD上的一点，设＝m，
则＋m＋m()＝＋m＝(1－m)，
又＝x＋(1－2x)，
则故选C．]
母题探究
　解：由本例(2)解析可知，，即3，①
由D为BC的中点，可得＝2＝2()，②
将②代入①得，－2，
所以＝4＝4．
考点二
典例2　(1)B　(2)A　[(1)由题意得＝(－2，－7)，＝(－1，－4)，
所以＝(－3，－11)．
故选B．
(2)如图所示，由题意可得a＝，以A为原点，AC为y轴，AE为x轴建立平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1，
则C(0，3)，A(0，0)，E(3，0)，B(3，1)，D(3，2)，G(5，－2)，
所以a＝(2，－2)，u＝＝(3，1)，v＝＝(3，－1)，
因为u＝ma－nv，即(3，1)＝m(2，－2)－n(3，－1)＝(2m－3n，－2m＋n)，
所以解得m＝－，n＝－2，
所以m＋n＝－．
故选A．]
考点三
典例3　(1)C　(2)ACD　(3)　[(1)因为a＝(2，1)，a与b共线且方向相反，
所以b＝λa＝(2λ，λ)(λ<0)，
又因为|b|＝5，所以|b|＝＝5，
解得λ＝－，
所以b＝(2λ，λ)＝(－2，－)．
故选C．
(2)因为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，
以A，B，C三个点为顶点作平行四边形，如图所示．
设第四个顶点D的坐标为(x，y)，
若，则(1，－1)＝(3－x，2－y)，
即所以D(2，3)，选项A正确；
若，则(3，1)＝(x－1，y)，
即所以D(4，1)，选项C正确；
若，则(x，y－1)＝(－2，－2)，
即
所以D(－2，－1)，选项D正确．
故选ACD．
(3)因为a＝(2，1)，b＝(1，x)，a∥b，
则2x＝1，解得x＝．]
随堂·对点检测
1．C　[因为向量＝(1，2)，＝(3，5)，
所以＝(2，3)．故选C．]
2．B　[因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2＝2(＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n．
故选B．]
3．A　[由已知得，)－＝x＋y，则x＝，y＝，x＋y＝1．故选A．]
4.1　[由题可得a＋b＝(2，2)，a＋kb＝(3－k，1＋k)，
又(a＋b)∥(a＋kb)，
则2(1＋k)＝2(3－k)，解得k＝1．]
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第五章　平面向量、复数
第40课时　平面向量基本定理及坐标表示
[考试要求]　1．了解平面向量基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示平面向量共线的条件．
理法先行·题练固本
知识点1　平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的任一向量a，________一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：若e1，e2______，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
不共线
有且只有
不共线
知识点2　平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝__________________，a－b＝__________________，λa＝____________，|a|＝．
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)　
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝__________________，||＝．
知识点3　平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b _____________．
(x2－x1，y2－y1)
x1 y2－x2 y1＝0
[常用结论]
1．如果对于一个基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，那么可以得到即基底给定，同一向量的分解形式唯一．特别地，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0．
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为．
3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为．
1．(人教A版必修第二册P60复习参考题6T2(6))在下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
√
B　[对于A，因为零向量与任何向量平行，所以选项A中的两个向量不可以作为基底；对于B，e1＝(－1，2)与e2＝(5，7)对应坐标不成比例，两向量不共线，可以作为基底；对于C，e1＝(3，5)，e2＝(6，10)，e1＝e2，两向量共线，不可以作为基底；对于D，e1＝(2，－3)，e2＝，e1＝4e2，两向量共线，不可以作为基底．故选B．]
2．(北师大版必修第二册P100例1)如图，在 ABCD中，点E，F分别为BC，DC的中点，＝a，＝b，则＝______________，＝______________．(用a，b表示)
b－a　
a－b　
b－a　a－b　[根据题意，得＝b，＝－＝－a，
所以＝b－a．
同理＝a－b．]
3．(人教B版必修第二册P170例5改编)已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为______________．
(1，5)
(1，5)　[设D(x，y)，则，
得(3－(－1)，－1－(－2))＝(4，1)＝(5－x，6－y)，
即即D(1，5)．]
4．(人教A版必修第二册P33练习T2)当x＝______________时，a＝(2，3)与b＝(x，－6)共线．
－4　[因为a＝(2，3)，b＝(x，－6)，a∥b，所以2×(－6)－3x＝0，解得x＝－4，所以当x＝－4时，a与b共线．]
－4
5．已知＝(5，－2)，＝(－4，－3)，且＝0，其中O为坐标原点，则P点坐标为(　　)
A．(－9，－1)　　　　 B．
C．(1，－5) D．
√
B　[由题意得，P是△OAB的重心，
又A(5，－2)，B(－4，－3)，O(0，0)，
所以P点坐标为．故选B．]
考点深研·题型突破
考点一　平面向量基本定理的应用
[典例1]　(1)(2025·天津期末)若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是(　　)
A．{e1－2e2，2e2－e1} B．{2e1＋3e2，3e1＋2e2}
C．{2e2＋3e1，6e1＋4e2} D．
√
(2)(2025·宿迁期末)如图，在△ABC中，D为BC的中点，E是线段AD上的一点，若＝x＋(1－2x)，则x＝(　　)
A． B．
C． D．
√
(1)B　(2)C　[(1)因为e1－2e2＝－(2e2－e1)，所以{e1－2e2，2e2－e1}不能作为平面向量的基底，A错误；因为不存在实数λ，使得2e1＋3e2＝λ(3e1＋2e2)，所以2e1＋3e2，3e1＋2e2不共线，所以{2e1＋3e2，3e1＋2e2}能作为平面向量的基底，B正确；
因为6e1＋4e2＝2(2e2＋3e1)，所以{2e2＋3e1，6e1＋4e2}不能作为平面向量的基底，C错误；因为e1－2e2＝－2，所以不能作为平面向量的基底，D错误．故选B．
(2)由题意，D为BC的中点，E是线段AD上的一点，设＝m，
则＋m＋m()＝＋m＝(1－m)，
又＝x＋(1－2x)，
则故选C．]
[母题探究]
(变结论)本例(2)中条件不变，试以{，}为基底表示．
[解]　由本例(2)解析可知，，即3，①
由D为BC的中点，可得＝2＝2()，②
将②代入①得，－2，
所以＝4＝4．
易错提醒：(1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量．因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量．
(2)同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．
【教用·通性通法】
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
考点二　平面向量的坐标运算
[典例2]　(1)(2025·郑州期末)已知A(3，5)，B(1，－2)，C(2，1)，则＝(　　)
A．(3，11) B．(－3，－11)
C．(9，9) D．(－9，－9)
√
(2)(2026·遵义模拟)已知向量w，v，u在正方形网格中的位置如图所示，将w绕着起点顺时针方向旋转90°后得到向量a，若u＝ma－nv，则m＋n＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
√
(1)B　(2)A　[(1)由题意得＝(－2，－7)，＝(－1，－4)，
所以＝(－3，－11)．
故选B．
(2)如图所示，由题意可得a＝，以A为原点，
AC为y轴，AE为x轴建立平面直角坐标系，
设每个小正方形的边长为1，
则C(0，3)，A(0，0)，E(3，0)，B(3，1)，D(3，2)，G(5，－2)，
所以a＝(2，－2)，u＝＝(3，1)，v＝＝(3，－1)，
因为u＝ma－nv，即(3，1)＝m(2，－2)－n(3，－1)＝(2m－3n，
－2m＋n)，
所以解得m＝－，n＝－2，
所以m＋n＝－．
故选A．]
通性通法：利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．
考点三　平面向量共线的坐标表示
[典例3]　(1)(2025·天津和平区期末)已知a＝(2，1)，|b|＝5，若a与b共线且方向相反，则b的坐标为(　　)
A．(－2，－1) B．(－1，－2)
C．(－2，－) D．(－，－2)
(2)(多选)(2025·常德期末)以A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标可以是(　　)
A．(2，3) B．(2，－1)
C．(4，1) D．(－2，－1)
(3)(2025·上海春季卷)已知a＝(2，1)，b＝(1，x)，若a∥b，则实数x＝______________．
√
√
√
√
　
(1)C　(2)ACD　(3)　[(1)因为a＝(2，1)，a与b共线且方向相反，
所以b＝λa＝(2λ，λ)(λ<0)，
又因为|b|＝5，所以|b|＝＝5，解得λ＝－，
所以b＝(2λ，λ)＝(－2，－)．
故选C．
(2)因为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，
以A，B，C三个点为顶点作平行四边形，如图所示．
设第四个顶点D的坐标为(x，y)，
若，则(1，－1)＝(3－x，2－y)，
即
解得
所以D(2，3)，选项A正确；
若，则(3，1)＝(x－1，y)，
即
解得所以D(4，1)，选项C正确；
若，则(x，y－1)＝(－2，－2)，
即
所以D(－2，－1)，选项D正确．
故选ACD．
(3)因为a＝(2，1)，b＝(1，x)，a∥b，
则2x＝1，解得x＝．]
通性通法：平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1．
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
1．(链接考点二)(2025·北京丰台区期末)已知向量＝(1，2)，＝(3，5)，则的坐标为(　　)
A．(4，7) B．(－4，－7)
C．(2，3) D．(－2，－3)
√
C　[因为向量＝(1，2)，＝(3，5)，
所以＝(2，3)．故选C．]
2．(链接考点一)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
√
B　[因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2＝2(＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n．
故选B．]
3．(链接考点一)(2025·眉山期末)如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AE＝AD，FC＝AC，若＝x＋y，则x＋y＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．
√
A　[由已知得，)－＝x＋y，则x＝，y＝，x＋y＝1．故选A．]
4．(链接考点三)(2025·伊犁州期中)已知a＝(3，1)，b＝(－1，1)，(a＋b)∥(a＋kb)，则实数k＝______________．
1　[由题可得a＋b＝(2，2)，a＋kb＝(3－k，1＋k)，又(a＋b)∥(a＋kb)，
则2(1＋k)＝2(3－k)，解得k＝1．]
1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(人教A版必修第二册P31例6改编)已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则a－b＝(　　)
A．(－2，－1)　　　 B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
课时作业(四十)　平面向量基本定理及坐标表示
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，
∴a＝b＝，
∴a－b＝＝(－1，2)．
故选D．]
√
2．(2025·资阳期末)下列各组向量中，能作为基底的是(　　)
A．e1＝(1，3)，e2＝(－2，－6)
B．e1＝(，1)，e2＝(2，)
C．e1＝(1，2)，e2＝(2，－1)
D．e1＝(－3，－4)，e2＝(3，4)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[能作为基底的向量不可以是共线向量，
对于A，因为e1＝(1，3)，e2＝(－2，－6)，所以1×(－6)＝3×(－2)，故e1∥e2，所以不可以作基底，故A错误；
对于B，因为e1＝(，1)，e2＝(2，＝2＝1×2，故e1∥e2，所以不可以作基底，故B错误；
对于C，因为e1＝(1，2)，e2＝(2，－1)，所以1×(－1)≠2×2，故e1，e2不共线，所以可以作基底，故C正确；
对于D，因为e1＝(－3，－4)，e2＝(3，4)，所以－3×4＝－4×3，故e1∥e2，所以不可以作基底，故D错误．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(湘教版必修第二册P28例7改编)若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　)
A．(2，2) B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)
题号
1
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11
12
D　[由题意可知＝(3，－3)．
若，则P点坐标为(2，2)；
若，则P点坐标为(3，1)．
故选D．]
题号
1
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11
12
√
4．(2025·眉山期末)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知＝3，＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[因为＝3，
所以)＝(－)，
所以a＋b．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2026·鹰潭模拟)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝(　　)
A．－　　 B．－
C．－　　 D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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10
11
12
B　[建立如图所示的坐标系，则a＝(－1，1)，
b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，∴∴λ＝－2，μ＝－，∴λ＋μ＝－．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2025·肇庆期末)在△ABC中，D为BC边上靠近点C的三等分点，E为线段AD(含端点)上一动点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则
(　　)
A．λ＋μ＝1 B．μ＝2λ
C．μ＝3λ D．λ－μ＝－
题号
1
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4
6
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10
11
12
B　[因为D为BC边上靠近点C的三等分点，E为线段AD(含端点)上一动点，
所以当E，D不重合时，)＝，
因为＝λ＋μ(λ，μ∈R)，所以
当E，D重合时，＝0，此时0＝＝k＋2k，k∈Z，则必有μ＝2λ成立，
综上，都有μ＝2λ成立，即只有选项B始终成立．
故选B．]
题号
1
3
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6
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11
12
√
二、多项选择题
7．(2025·西安月考)已知a＝(1，3)，b＝(－2，1)，下列计算正确的是(　　)
A．a＋b＝(－1，4) B．a－b＝(3，2)
C．b－a＝(1，2) D．－a－b＝(1，2)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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10
11
12
√
AB　[∵a＝(1，3)，b＝(－2，1)，∴a＋b＝(－1，4)，a－b＝(3，2)，
b－a＝(－3，－2)，－a－b＝－(a＋b)＝(1，－4)．故选AB．]
√
8．(2025·福州月考)已知A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，则下列结论正确的是(　　)
A．直线OC与直线BA平行
B．
C．
D．－2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ACD　[对于A，因为＝(－2，1)，＝(2，－1)，所以＝
－，
又直线OC，BA不重合，所以直线OC与BA平行，选项A正确；
对于B，因为，所以选项B错误；
对于C，因为＝(0，2)＝，所以选项C正确；
对于D，因为＝(－4，0)，－2＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以选项D正确．故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
9．(2025·哈尔滨道里区期中)在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点，下列说法正确的是(　　)
A．－2＝0
B．＝0
C．若，则||＝||
D．若，则AD为∠BAC的平分线
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ACD　[对于A，∵E为AC边的中点，∴－2＝2－2＝0，A正确；
对于B，＝2≠0，B错误；
对于C，∵，∴)＝)，
∴，
∴，∴||＝||，C正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
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10
11
12
对于D，同向的单位向量，
∴表示∠BAC的平分线的向量，
∵，∴AD为∠BAC的平分线．故选ACD．]
题号
1
3
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2
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6
8
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10
11
12
三、填空题
10．在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为______________．
题号
1
3
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10
11
12
(2，4)　
(2，4)　[∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，
∴＝2，
设点D的坐标为(x，y)，
则＝(4－x，2－y)，
又＝(1，－1)，
∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
即∴
∴点D的坐标为(2，4)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
11．(2025·厦门思明区期中)已知A(－1，2)，B(3，5)，则与向量方向相同的单位向量为______________．
题号
1
3
5
2
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6
8
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10
11
12
　[∵＝(4，3)，∴与向量(4，3)＝．]
　
题号
1
3
5
2
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10
11
12
12．(2026·化州市模拟)如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则实数m＝ ________．
　
题号
1
3
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2
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6
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10
11
12
　[由题意得)＝m，
因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以＝m，
又B，P，N三点共线，所以＋m＝1，则m＝．]
谢谢！课时作业(四十)　平面向量基本定理及坐标表示
一、单项选择题
1．(人教A版必修第二册P31例6改编)已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则a－b＝(　　)
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
2．(2025·资阳期末)下列各组向量中，能作为基底的是(　　)
A．e1＝(1，3)，e2＝(－2，－6) B．e1＝(，1)，e2＝(2，)
C．e1＝(1，2)，e2＝(2，－1) D．e1＝(－3，－4)，e2＝(3，4)
3．(湘教版必修第二册P28例7改编)若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　)
A．(2，2) B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)
4．(2025·眉山期末)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知＝3＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
5．(2026·鹰潭模拟)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．
6．(2025·肇庆期末)在△ABC中，D为BC边上靠近点C的三等分点，E为线段AD(含端点)上一动点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则(　　)
A．λ＋μ＝1 B．μ＝2λ
C．μ＝3λ D．λ－μ＝－
二、多项选择题
7．(2025·西安月考)已知a＝(1，3)，b＝(－2，1)，下列计算正确的是(　　)
A．a＋b＝(－1，4) B．a－b＝(3，2)
C．b－a＝(1，2) D．－a－b＝(1，2)
8．(2025·福州月考)已知A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，则下列结论正确的是(　　)
A．直线OC与直线BA平行 B．＝
C．＝ D．＝－2
9．(2025·哈尔滨道里区期中)在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点，下列说法正确的是(　　)
A．－2＝0
B．＝0
C．若＝，则||＝||
D．若＝，则AD为∠BAC的平分线
三、填空题
10．在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
11．(2025·厦门思明区期中)已知A(－1，2)，B(3，5)，则与向量方向相同的单位向量为________．
12．(2026·化州市模拟)如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若＝，则实数m＝ ________．
课时作业(四十)
1．D　[∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，
∴a＝b＝，
∴a－b＝＝(－1，2)．
故选D．]
2．C　[能作为基底的向量不可以是共线向量，
对于A，因为e1＝(1，3)，e2＝(－2，－6)，所以1×(－6)＝3×(－2)，故e1∥e2，所以不可以作基底，故A错误；
对于B，因为e1＝(，1)，e2＝(2，×＝2＝1×2，故e1∥e2，所以不可以作基底，故B错误；
对于C，因为e1＝(1，2)，e2＝(2，－1)，所以1×(－1)≠2×2，故e1，e2不共线，所以可以作基底，故C正确；
对于D，因为e1＝(－3，－4)，e2＝(3，4)，所以－3×4＝－4×3，故e1∥e2，所以不可以作基底，故D错误．
故选C．]
3．D　[由题意可知＝(3，－3)．
若，则P点坐标为(2，2)；
若，则P点坐标为(3，1)．
故选D．]
4．A　[因为＝3，
所以)＝(－)，
所以a＋b．
故选A．]
5．B　[
建立如图所示的坐标系，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
∴∴λ＝－2，μ＝－，
∴λ＋μ＝－．故选B．]
6．B　[
因为D为BC边上靠近点C的三等分点，E为线段AD(含端点)上一动点，
所以当E，D不重合时，)＝，
因为＝λ＋μ(λ，μ∈R)，
所以
当E，D重合时，＝0，此时0＝＝k＋2k，k∈Z，则必有μ＝2λ成立，
综上，都有μ＝2λ成立，即只有选项B始终成立．
故选B．]
7．AB　[∵a＝(1，3)，b＝(－2，1)，∴a＋b＝(－1，4)，a－b＝(3，2)，
b－a＝(－3，－2)，－a－b＝－(a＋b)＝(1，－4)．故选AB．]
8．ACD　[对于A，因为＝(－2，1)，＝(2，－1)，所以＝－，
又直线OC，BA不重合，所以直线OC与BA平行，选项A正确；
对于B，因为≠，所以选项B错误；
对于C，因为＝(0，2)＝，所以选项C正确；
对于D，因为＝(－4，0)，－2＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以选项D正确．故选ACD．]
9．ACD　[对于A，∵E为AC边的中点，
∴－2＝2－2＝0，A正确；
对于B，＝2≠0，B错误；
对于C，∵，∴)＝)，
∴，
∴，∴||＝||，C正确；
对于D，同向的单位向量，
∴表示∠BAC的平分线的向量，
∵，∴AD为∠BAC的平分线．
故选ACD．]
10．(2，4)　[∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，∴＝2，
设点D的坐标为(x，y)，
则＝(4－x，2－y)，
又＝(1，－1)，
∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
即
∴点D的坐标为(2，4)．]
11．　[∵＝(4，3)，∴与向量方向相同的单位向量为
(4，3)＝．]
12．　[由题意得)＝m，
因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以＝m，
又B，P，N三点共线，所以＋m＝1，则m＝．]
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