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四川省巴中市2024—2025学年下学期期末考试八年级数学试题
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1．传统建筑中的窗格设计精巧，样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵，下列窗格图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．在平行四边形中，，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．已知点与点关于原点对称，则的值为（　　）
A． B．5 C． D．1
5．如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱．春耕时节，某播种队承接了长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植的面积为，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，一次函数与的图象相交于点，下列说法错误的是（　　）
A．
B．关于的方程的解是
C．关于的不等式的解集是
D．关于的不等式的解集是
8．如图，在中，过点作的角平分线的垂线，垂足为，为的中点，连接，已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始都放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向2秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（　　）
A．4 B． C．2 D．0
10．已知关于x、y的方程组，其中，给出下列结论：
①是方程组的一组解；②若，则；
③若，则的最大值为10；④若，则．
其中正确的结论有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．要使代数式有意义，则需满足的条件是　 　．
12．已知，则的值为　 　．
13．若关于x的方程有增根，则值为　 　．
14．如图，在中，平分，若，则的长为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在坐标原点，点是对角线上一动点（不包含端点），过点作，交于，点在线段上．若，，点的横坐标为，则的取值范围是　 　．
三、解答题（95分）
16．（1）解不等式：；
（2）先化简，再求值：，其中．
17．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）．
（1）在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积；
（2）在图2的边上画点E，使．
18．如图，在中，D，E分别是线段的中点．连结并延长至点，使，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，求四边形的面积．
19．已知
（1）若，求代数式；
（2）在（1）的条件下，是否存在的值使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
21．如图，在中，点为边上一点，．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若点在的平分线上，求的长．
22．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将分解因式．
【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法：
原式
【类比】
（1）请用以上方法将分解因式；
【挑战】
（2）请用以上方法将分解因式；
【应用】
（3）已知的三边长a、b、c满足条件：，判断的形状，并说明理由
23．根据下面材料解决问题．
【材料一】
，若，则．由此得出以下不等式：，当且仅当时有最小值．这个不等式在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】
已知，求的最小值．
解：令，则由，得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为4．
【材料二】
分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．同理，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】
如：这样的分式就是真分式；这样的分式就是假分式．
假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如：
【初步尝试】
（1）已知，当为____________时，式于的最小值为____________；
【类比运用】
（2）已知，且
①将化为带分数形式．
②当x为何值时，y有最小值，最小值为多少？
【拓展提升】
（3）已知．当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
24．在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接．取的中点为点，连接．
【特例感知】
（1）如图1，已知是等腰直角三角形．，，．延长AC至点，使，连接．
①求证：；
②与有什么关系？请说明理由．
【类比迁移】
（2）如图2，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论．
【拓展应用】
（3）如图3，已知在中，，，，．在点的运动过程中，求线段的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】利用平移设计图案；图形的平移
【解析】【解答】解：由平移的性质得，A选项符合题意，
B、D可看作由一个“基本图案”经过旋转得到，
C可看作由一个“基本图案”经过翻折得到，
故选：A．
【分析】
平移不改变图形的大小和形状，且平移前后对应点的连线平行或在同一条直线上．
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由可得，原不等式不成立，不符合题意；
B、当时，满足，但是不满足，原不等式不成立，不符合题意；
C、由可得，则可得到，原不等式成立，符合题意；
D、由可得，原不等式不成立，不符合题意；
故选C．
【分析】
不等式的性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
不等式的性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
不等式的性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】
本题考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题关键.
根据平行四边形的性质：对角相等，对边平行可得：，，再根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补可得：，等量代换可得：可解得：，即，由此可得出答案．
4．【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】∵点与点关于原点对称，
∴点与点的横纵坐标均互为相反数，
∴，．
将和代入，得：
故选D．
【分析】
关于原点对称的点的坐标特征，即横纵坐标都互为相反数．
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，，由“一组对边平行，另一边相等的四边形”无法判断四边形是平行四边形，∴A不符合题意；
B、，，由“两组邻边相等的四边形”无法判定四边形是平行四边形，∴B不符合题意；
C、，，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形，∴C符合题意；
D、若，，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断四边形是平行四边形，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）分析求解即可.
6．【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设原计划每天种植的面积为，
由题意得，，
故选：D．
【分析】
由题意知实际工作效率提高，即每天种植面积为，再根据相等关系“实际完成时间比原计划少2天”列分式方程即可．
7．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，把交点代入一次函数中得，
，解得，，
∴，
把点代入一次函数图象得，，
根据一次函数的图象可得，，故A选项正确，不符合题意；
当时，，故B选项正确，不符合题意；
当时，，故C选项错误，符合题意；
由图可知，当时，，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、对于一次函数，当时直线过一、二、三象限；
B、由直线上点的坐标特征知当时；
C、关于的不等式的解集即直线在直线下方时对应的自变量x的取值范围，即；
D、由于直线呈上升趋势，即关于的不等式的解集是.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长，交于点
，
∵平分，，
∴，，
∴，
∴，，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴．
故选．
【分析】
由于AD平分，且AD垂直BD，则延长BD交AC于点F，则可利用ASA证明，则AF＝AB，BD＝FD，再利用三角形中位线定理即可．
9．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；多边形内角与外角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴经过秒后，红跳棋落在点处，黑跳棋落在点处，
如图，连接，，过点作于点，
∵，在正六边形中，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【分析】
由题意知，红棋每秒走2个单位长度，6秒走完一圈；黑棋每秒走1个单位长度，12秒走完一圈；则1002秒后，红棋恰好走了167圈即回到顶点A处，黑棋走了83圈余半圈，即落到点D处，此时可连接AE、AD，由正六边形的性质可得是直角三角形且，再过点F作AE的垂线段FG，则由等腰三角形三线合一并结合勾股定理可依次得AE和AD的长．
10．【答案】A
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式；一次函数的性质；加减消元法解二元一次方程组；判断是否为二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：解得，
①将代入得，
即，满足，故①正确；
②∵，
∴，
解得：，故②错误；
③，
∵，
∴当时有最大值，为，故③错误；
④∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，故④错误；
综上，仅①正确，正确个数为1，
故选A．
【分析】
先利用加减消元法求出原方程组的解，
A、再把代入到解中可得m的值并与已知进行比较即可；
B、若则可得关于m的一元一次方程并求解，再把解与进行比较即可；
C、把方程组的解代入指定代数式中可得N关于m的一次函数，且一次项系数为正，则N随m的增大而增大，即N的最大值为12；
D、先由可得关于m的一元一次不等式可得m的取值范围，则x的取值范围可得．
11．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴且，
∴且．
故答案为：且．
【分析】
分式有意义的条件是分母不等于0，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
；
故答案为：
【分析】
利用因式分解求解代数式的值，即先利用提公因式法和公式法可把原式化为，再整体代入计算即可.
13．【答案】
【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
，
，
∵关于的分式方程有增根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
先去分母把分式方程化成整式方程，再解整式方程，再利用增根的概念（使最简公分母值为0的未知数的值）可得关于n的方程并求解即可．
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点M，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
【分析】
先利用平行四边形的性质结合角平分线的概念可得，再由等角对等边可得AD＝ED，再过点D作AE的垂线段DM，则由 三角形的内角和可得，再由等腰三角形三线合一可得、，再利用勾股定理求出AM即可．
15．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图所示，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴（负值舍去），
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点在线段上，
∴点的横坐标为，
同理，设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点在线段上，
∴点的横坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴点的横坐标为，即，
∵点是对角线上一动点（不包含端点），
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】
由于，则点A的坐标可得，再过点C作x轴的垂线段CD，则CD＝OD，再利用勾股定理可得点C坐标，则利用待定系数法可得直线AC和OC的解析式，再利用平行四边形的性质可得直线AB的解析式，由于点F在直线AB上，可利用直线上点的坐标特征设出点F的坐标即，由于EF平行BC，则E、F两点的纵坐标相同，再利用直线上点的坐标特征可得点E的坐标，由于EP＝4PF，即PF等于EF的五分之一，则可利用点F的横坐标得点P的横坐标，即m是关于y的一次函数，由于E在线段AC上且不包含端点，即y的取值范围可得，则m的取值范围可得．
16．【答案】解：（1），
，
，
，
．
（2）
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；解一元一次不等式
【解析】【分析】
（1）解一元一次不等式的基本步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；
（2）分式的化简求值，先对括号内的异分母分式通分再作减法运算，再化除法为乘法并分别对分子、分母分解因式，再约分化结果为整式或最简分式，最后再代值计算即可．
17．【答案】（1）解：如图，连接AC，则线段AC即为所求作；
（2）解：如图，取格点M，连接BM交CD于点E，则点E即为所求作.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；同侧一线三垂直全等模型；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】
（1）
解：如图，连接.
由题意知，，
∴四边形是平行四边形
（2）
解：如图，取格点M、N，连接交于E，点即为所求；
证明：
．
【分析】
（1）由于平行四边形的任一条对角线分四边形所得的两个三角形全等，即连接AC即可；
（2）如图，点向右4个格点，向下3个格点为，连接，则是等腰直角三角形，则，与的交点即为所求；
（1）解：由题意知，，，，
∴四边形是平行四边形；
则连接，交于O，做一条过O的线段即可；
（2）解：如图，取格点M，连接交于E，点即为所求；
证明：由勾股定理可知：，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即．
18．【答案】（1）证明是线段的中点，
∴是的中位线，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于点，
为中点，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
，
，
在中，
平行四边形的面积为：．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
（1）先由中位线定理可得DE平行BC且等于BC的一半，即DF与BC平行且相等，则四边形DFCB是平行四边形；
（2）由平行四边形的对角相等可得，则过点D作BC的垂线段DM，由中点的概念结合直角三角形两锐角互余及直角三角形中30度的性质可得BM的长，再利用勾股定理求出DM，再利用平行四边形的面积公式计算即可．
（1）证明是线段的中点，
∴是的中位线，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于点，
为中点，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
，
，
在中，
平行四边形的面积为：．
19．【答案】（1）解：，
，
去分母得：，
化简得：；
（2）解：不存在，理由如下：
由（1）可知：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
是分式方程的增根，分式方程无解．
不存在的值使得．
【知识点】分式的加减法；去分母法解分式方程
【解析】【分析】
（1）先去分母，再移项并合并同类项即可；
（2）由题意可解关于x的分式方程，再验根即可．
（1）解：，
，
去分母得：，
化简得：，
（2）解：不存在，理由如下：
由（1）可知：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
是分式方程的增根，分式方程无解．
不存在的值使得．
20．【答案】（1）解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
（2）解：设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出，再解方程求解即可；
（2）根据题意求出w的函数解析式： ， 再根据一次函数的性质计算求解即可。
21．【答案】（1）解：在中，，
，
，
，
设，则，
在Rt中，，
，
；
（2）解：过点作于点，
，
平分，
，
在与中，
，
（），
，
，
设，则，
在中，，
，
.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）先利用勾股定理求出AB的长，再利用等角对等边可得PA＝PC，则设PA的长为x，则PC=x、PB＝8－x，再在直角三角形PBC中应用勾股定理即可；
（2）由于角平分线上的点到角两边距离相等，可过点P作AC的垂线段PD，则PB＝PD、CB＝CD，设AP＝m，则PD＝8-m，AD＝4，再在直角三角形APD中应用勾股定理即可.
（1）解：在中，，
，
，
，
设，则，
在Rt中，，
，
；
（2）解：过点作于点，
，
平分，
，
在与中，
，
（），
，
，
设，则，
在中，，
，
.
22．【答案】解：（1）
（2）
（3）是等腰三角形或者直角三角形，理由如下：
或
当时，
即不符合题意，舍去)
此时是等腰三角形
当时，
此时是直角三角形
综上，是等腰三角形或者直角三角形.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-分组分解法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【分析】
（1）先分组，再分别利用公式法和提公因式法分解因式，最后再提公因式分解因式即可；
（2）先分组，再利用公式法可将原式转化为平方差公式并分解因式即可；
（3）先分组，再分别利用平方差公式和提公因式法分别分解因式，最后再提公因式分解因式，最后再分类讨论并结合题意进行判断即可．
23．【答案】（1）4；8；
解：（2）①，
②由①得
当，即时，有最小值，最小值为8
（3）．
当，即时，有最小值，最小值为5．
当时有最大值，最大值为．
【知识点】分式的加减法；求算术平方根；基本不等式
【解析】【解答】（1）由得，，
当且仅当，即时，有最小值，最小值为8．
故答案为：4；8
【分析】
（1）由基本不等式得；
（2）①根据带分式的定义把原式化为带分式即可；
②先化带分式为，再利用基本不等式求出的最小值即可；
（3）同上先把原分式化为带分式，再把带分式化成，再利用基本不等式求出的最小值即可．
24．【答案】（）①证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又由旋转可知，，
∴；
②，理由如下：
解：∵，
∴，即，
∵是的中点，，
∴为的中位线，
∴，
∴；
（2）解：．
证明： 如图2， 延长至点， 使得， 连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由旋转得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
，
；
（3）解： 如图3， 在线段上作， 连接， 延长至点， 使得， 连接，
∴，，
由旋转得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，，
，
∵点在线段上运动，
∴当时，最短， 此时取得最小值，
如图4， ∵，，，
∴，
，
，
∴线段长度的最小值为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）①由于中、且，则结合题意可利用旋转全等三角形证明结论成立；
（2）如图2，同理可延长至点， 使得， 连接，先利用旋转全等模型证明，即EF＝BD，再利用三角形中位线定理即可；
（3）如图3， 先在线段CB上截取CA`＝CA，再延长AC到于，使FC＝AC，再连接A`D、EF，则由（2）知CG等于EF等于A`D的一半，由于点A`是定点，则当A`D垂直AB时A`D有最小值，即此时CG的值也最小，再利用直角三角形中30度角的性质求出A`D的长即可．
1 / 1四川省巴中市2024—2025学年下学期期末考试八年级数学试题
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1．传统建筑中的窗格设计精巧，样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵，下列窗格图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用平移设计图案；图形的平移
【解析】【解答】解：由平移的性质得，A选项符合题意，
B、D可看作由一个“基本图案”经过旋转得到，
C可看作由一个“基本图案”经过翻折得到，
故选：A．
【分析】
平移不改变图形的大小和形状，且平移前后对应点的连线平行或在同一条直线上．
2．若，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由可得，原不等式不成立，不符合题意；
B、当时，满足，但是不满足，原不等式不成立，不符合题意；
C、由可得，则可得到，原不等式成立，符合题意；
D、由可得，原不等式不成立，不符合题意；
故选C．
【分析】
不等式的性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
不等式的性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
不等式的性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．在平行四边形中，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】
本题考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题关键.
根据平行四边形的性质：对角相等，对边平行可得：，，再根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补可得：，等量代换可得：可解得：，即，由此可得出答案．
4．已知点与点关于原点对称，则的值为（　　）
A． B．5 C． D．1
【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】∵点与点关于原点对称，
∴点与点的横纵坐标均互为相反数，
∴，．
将和代入，得：
故选D．
【分析】
关于原点对称的点的坐标特征，即横纵坐标都互为相反数．
5．如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，，由“一组对边平行，另一边相等的四边形”无法判断四边形是平行四边形，∴A不符合题意；
B、，，由“两组邻边相等的四边形”无法判定四边形是平行四边形，∴B不符合题意；
C、，，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形，∴C符合题意；
D、若，，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断四边形是平行四边形，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）分析求解即可.
6．长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱．春耕时节，某播种队承接了长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植的面积为，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设原计划每天种植的面积为，
由题意得，，
故选：D．
【分析】
由题意知实际工作效率提高，即每天种植面积为，再根据相等关系“实际完成时间比原计划少2天”列分式方程即可．
7．如图，一次函数与的图象相交于点，下列说法错误的是（　　）
A．
B．关于的方程的解是
C．关于的不等式的解集是
D．关于的不等式的解集是
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，把交点代入一次函数中得，
，解得，，
∴，
把点代入一次函数图象得，，
根据一次函数的图象可得，，故A选项正确，不符合题意；
当时，，故B选项正确，不符合题意；
当时，，故C选项错误，符合题意；
由图可知，当时，，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、对于一次函数，当时直线过一、二、三象限；
B、由直线上点的坐标特征知当时；
C、关于的不等式的解集即直线在直线下方时对应的自变量x的取值范围，即；
D、由于直线呈上升趋势，即关于的不等式的解集是.
8．如图，在中，过点作的角平分线的垂线，垂足为，为的中点，连接，已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长，交于点
，
∵平分，，
∴，，
∴，
∴，，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴．
故选．
【分析】
由于AD平分，且AD垂直BD，则延长BD交AC于点F，则可利用ASA证明，则AF＝AB，BD＝FD，再利用三角形中位线定理即可．
9．如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始都放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向2秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（　　）
A．4 B． C．2 D．0
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；多边形内角与外角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴经过秒后，红跳棋落在点处，黑跳棋落在点处，
如图，连接，，过点作于点，
∵，在正六边形中，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【分析】
由题意知，红棋每秒走2个单位长度，6秒走完一圈；黑棋每秒走1个单位长度，12秒走完一圈；则1002秒后，红棋恰好走了167圈即回到顶点A处，黑棋走了83圈余半圈，即落到点D处，此时可连接AE、AD，由正六边形的性质可得是直角三角形且，再过点F作AE的垂线段FG，则由等腰三角形三线合一并结合勾股定理可依次得AE和AD的长．
10．已知关于x、y的方程组，其中，给出下列结论：
①是方程组的一组解；②若，则；
③若，则的最大值为10；④若，则．
其中正确的结论有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式；一次函数的性质；加减消元法解二元一次方程组；判断是否为二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：解得，
①将代入得，
即，满足，故①正确；
②∵，
∴，
解得：，故②错误；
③，
∵，
∴当时有最大值，为，故③错误；
④∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，故④错误；
综上，仅①正确，正确个数为1，
故选A．
【分析】
先利用加减消元法求出原方程组的解，
A、再把代入到解中可得m的值并与已知进行比较即可；
B、若则可得关于m的一元一次方程并求解，再把解与进行比较即可；
C、把方程组的解代入指定代数式中可得N关于m的一次函数，且一次项系数为正，则N随m的增大而增大，即N的最大值为12；
D、先由可得关于m的一元一次不等式可得m的取值范围，则x的取值范围可得．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．要使代数式有意义，则需满足的条件是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴且，
∴且．
故答案为：且．
【分析】
分式有意义的条件是分母不等于0，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
12．已知，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
；
故答案为：
【分析】
利用因式分解求解代数式的值，即先利用提公因式法和公式法可把原式化为，再整体代入计算即可.
13．若关于x的方程有增根，则值为　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
，
，
∵关于的分式方程有增根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
先去分母把分式方程化成整式方程，再解整式方程，再利用增根的概念（使最简公分母值为0的未知数的值）可得关于n的方程并求解即可．
14．如图，在中，平分，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点M，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
【分析】
先利用平行四边形的性质结合角平分线的概念可得，再由等角对等边可得AD＝ED，再过点D作AE的垂线段DM，则由 三角形的内角和可得，再由等腰三角形三线合一可得、，再利用勾股定理求出AM即可．
15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在坐标原点，点是对角线上一动点（不包含端点），过点作，交于，点在线段上．若，，点的横坐标为，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图所示，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴（负值舍去），
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点在线段上，
∴点的横坐标为，
同理，设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点在线段上，
∴点的横坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴点的横坐标为，即，
∵点是对角线上一动点（不包含端点），
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】
由于，则点A的坐标可得，再过点C作x轴的垂线段CD，则CD＝OD，再利用勾股定理可得点C坐标，则利用待定系数法可得直线AC和OC的解析式，再利用平行四边形的性质可得直线AB的解析式，由于点F在直线AB上，可利用直线上点的坐标特征设出点F的坐标即，由于EF平行BC，则E、F两点的纵坐标相同，再利用直线上点的坐标特征可得点E的坐标，由于EP＝4PF，即PF等于EF的五分之一，则可利用点F的横坐标得点P的横坐标，即m是关于y的一次函数，由于E在线段AC上且不包含端点，即y的取值范围可得，则m的取值范围可得．
三、解答题（95分）
16．（1）解不等式：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1），
，
，
，
．
（2）
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；解一元一次不等式
【解析】【分析】
（1）解一元一次不等式的基本步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；
（2）分式的化简求值，先对括号内的异分母分式通分再作减法运算，再化除法为乘法并分别对分子、分母分解因式，再约分化结果为整式或最简分式，最后再代值计算即可．
17．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）．
（1）在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积；
（2）在图2的边上画点E，使．
【答案】（1）解：如图，连接AC，则线段AC即为所求作；
（2）解：如图，取格点M，连接BM交CD于点E，则点E即为所求作.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；同侧一线三垂直全等模型；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】
（1）
解：如图，连接.
由题意知，，
∴四边形是平行四边形
（2）
解：如图，取格点M、N，连接交于E，点即为所求；
证明：
．
【分析】
（1）由于平行四边形的任一条对角线分四边形所得的两个三角形全等，即连接AC即可；
（2）如图，点向右4个格点，向下3个格点为，连接，则是等腰直角三角形，则，与的交点即为所求；
（1）解：由题意知，，，，
∴四边形是平行四边形；
则连接，交于O，做一条过O的线段即可；
（2）解：如图，取格点M，连接交于E，点即为所求；
证明：由勾股定理可知：，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即．
18．如图，在中，D，E分别是线段的中点．连结并延长至点，使，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明是线段的中点，
∴是的中位线，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于点，
为中点，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
，
，
在中，
平行四边形的面积为：．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
（1）先由中位线定理可得DE平行BC且等于BC的一半，即DF与BC平行且相等，则四边形DFCB是平行四边形；
（2）由平行四边形的对角相等可得，则过点D作BC的垂线段DM，由中点的概念结合直角三角形两锐角互余及直角三角形中30度的性质可得BM的长，再利用勾股定理求出DM，再利用平行四边形的面积公式计算即可．
（1）证明是线段的中点，
∴是的中位线，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于点，
为中点，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
，
，
在中，
平行四边形的面积为：．
19．已知
（1）若，求代数式；
（2）在（1）的条件下，是否存在的值使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，
，
去分母得：，
化简得：；
（2）解：不存在，理由如下：
由（1）可知：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
是分式方程的增根，分式方程无解．
不存在的值使得．
【知识点】分式的加减法；去分母法解分式方程
【解析】【分析】
（1）先去分母，再移项并合并同类项即可；
（2）由题意可解关于x的分式方程，再验根即可．
（1）解：，
，
去分母得：，
化简得：，
（2）解：不存在，理由如下：
由（1）可知：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
是分式方程的增根，分式方程无解．
不存在的值使得．
20．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
【答案】（1）解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
（2）解：设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出，再解方程求解即可；
（2）根据题意求出w的函数解析式： ， 再根据一次函数的性质计算求解即可。
21．如图，在中，点为边上一点，．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若点在的平分线上，求的长．
【答案】（1）解：在中，，
，
，
，
设，则，
在Rt中，，
，
；
（2）解：过点作于点，
，
平分，
，
在与中，
，
（），
，
，
设，则，
在中，，
，
.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）先利用勾股定理求出AB的长，再利用等角对等边可得PA＝PC，则设PA的长为x，则PC=x、PB＝8－x，再在直角三角形PBC中应用勾股定理即可；
（2）由于角平分线上的点到角两边距离相等，可过点P作AC的垂线段PD，则PB＝PD、CB＝CD，设AP＝m，则PD＝8-m，AD＝4，再在直角三角形APD中应用勾股定理即可.
（1）解：在中，，
，
，
，
设，则，
在Rt中，，
，
；
（2）解：过点作于点，
，
平分，
，
在与中，
，
（），
，
，
设，则，
在中，，
，
.
22．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将分解因式．
【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法：
原式
【类比】
（1）请用以上方法将分解因式；
【挑战】
（2）请用以上方法将分解因式；
【应用】
（3）已知的三边长a、b、c满足条件：，判断的形状，并说明理由
【答案】解：（1）
（2）
（3）是等腰三角形或者直角三角形，理由如下：
或
当时，
即不符合题意，舍去)
此时是等腰三角形
当时，
此时是直角三角形
综上，是等腰三角形或者直角三角形.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-分组分解法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【分析】
（1）先分组，再分别利用公式法和提公因式法分解因式，最后再提公因式分解因式即可；
（2）先分组，再利用公式法可将原式转化为平方差公式并分解因式即可；
（3）先分组，再分别利用平方差公式和提公因式法分别分解因式，最后再提公因式分解因式，最后再分类讨论并结合题意进行判断即可．
23．根据下面材料解决问题．
【材料一】
，若，则．由此得出以下不等式：，当且仅当时有最小值．这个不等式在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】
已知，求的最小值．
解：令，则由，得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为4．
【材料二】
分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．同理，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】
如：这样的分式就是真分式；这样的分式就是假分式．
假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如：
【初步尝试】
（1）已知，当为____________时，式于的最小值为____________；
【类比运用】
（2）已知，且
①将化为带分数形式．
②当x为何值时，y有最小值，最小值为多少？
【拓展提升】
（3）已知．当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
【答案】（1）4；8；
解：（2）①，
②由①得
当，即时，有最小值，最小值为8
（3）．
当，即时，有最小值，最小值为5．
当时有最大值，最大值为．
【知识点】分式的加减法；求算术平方根；基本不等式
【解析】【解答】（1）由得，，
当且仅当，即时，有最小值，最小值为8．
故答案为：4；8
【分析】
（1）由基本不等式得；
（2）①根据带分式的定义把原式化为带分式即可；
②先化带分式为，再利用基本不等式求出的最小值即可；
（3）同上先把原分式化为带分式，再把带分式化成，再利用基本不等式求出的最小值即可．
24．在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接．取的中点为点，连接．
【特例感知】
（1）如图1，已知是等腰直角三角形．，，．延长AC至点，使，连接．
①求证：；
②与有什么关系？请说明理由．
【类比迁移】
（2）如图2，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论．
【拓展应用】
（3）如图3，已知在中，，，，．在点的运动过程中，求线段的最小值．
【答案】（）①证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又由旋转可知，，
∴；
②，理由如下：
解：∵，
∴，即，
∵是的中点，，
∴为的中位线，
∴，
∴；
（2）解：．
证明： 如图2， 延长至点， 使得， 连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由旋转得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
，
；
（3）解： 如图3， 在线段上作， 连接， 延长至点， 使得， 连接，
∴，，
由旋转得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，，
，
∵点在线段上运动，
∴当时，最短， 此时取得最小值，
如图4， ∵，，，
∴，
，
，
∴线段长度的最小值为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）①由于中、且，则结合题意可利用旋转全等三角形证明结论成立；
（2）如图2，同理可延长至点， 使得， 连接，先利用旋转全等模型证明，即EF＝BD，再利用三角形中位线定理即可；
（3）如图3， 先在线段CB上截取CA`＝CA，再延长AC到于，使FC＝AC，再连接A`D、EF，则由（2）知CG等于EF等于A`D的一半，由于点A`是定点，则当A`D垂直AB时A`D有最小值，即此时CG的值也最小，再利用直角三角形中30度角的性质求出A`D的长即可．
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