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几何压轴题（三角形、四边形和圆） 高频考点预测练
2026年初中数学中考复习备考
1．问题发现：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，．
(1)探究发现：分别取，的中点，，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明；
(2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点时，求的长；
(3)拓展探究：如图4，，是直线上一点，以为斜边在左侧作等腰，直接写出线段的最小值．
2．如图，在中，点是边上一点（不与端点重合），连接．
(1)如图1，，，线段的垂直平分线交于点，连接，若，求的度数；
(2)如图2，若点是的中点，将线段绕点逆时针旋转至，使得，连接．以为斜边在上方作，且满足，连接，交的延长线于点．用等式表示线段、、的数量关系并证明；
(3)如图3，，，，点是的中点，点是直线上一动点，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值．
3．在学习特殊四边形的过程中．同学们积累了一定的研究经验．
某班数学兴趣小组尝试定义了一种新的四边形，并结合所学知识对其展开进一步探究．
定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点．
例如：在四边形中，边上存在一点O，使得且，则四边形是可等垂四边形，点O为四边形的等垂点．
根据定义可得出特殊的可等垂四边形的一些性质．
【初步探索】
(1)如图1，矩形是可等垂四边形，点O是它的等垂点，则和的数量关系是__________．
【类比探究】
(2)如图2，四边形是可等垂四边形，且，，点P是它的等垂点．
①四边形的边，和之间的数量关系是___________；
②在图2中取边的中点Q，并连接，，则点Q是四边形的等垂点吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由（若需使用①中的结论，可直接使用，不必另行证明）．
【拓展应用】
(3)如图3，在中，，，，点B，C为中不同边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C，D两点之间的距离．
4．综合与实践
【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线．
【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个三角形和的面积相等．
【操作】（1）请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法）
【探究】（2）结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由：
【拓展】（3）如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值．
【应用】（4）如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长．
5．在中，点，分别在边，上，将沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，四边形是正方形，边长为8，当为的中点时，求的长；
(3)如图3，四边形是矩形，连接，当，时，求的值．
6．如图1，在中，，，，分别是，边上的动点，将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，其中点始终落在边上．
(1)如图2，当点恰好落在直线上，且时，求的长；
(2)如图3，当点与点重合时，求的值；
(3)当直角三角形时，求的值．
7．如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，过点E作分别交于点H，N．
①求证：四边形为正方形；
②求证：；
③若，请直接写出的取值范围．
8．【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略．
【问题情境】
如图1，在正方形中，、，分别是，，上的点，于点．求证：小明在分析解题思路时想到了两种平移法：
方法1：平移线段使点与点重合，构造全等三角形；
方法2：平移线段使点与点重合，构造全等三角形；
【尝试应用】
(1)请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；
(2)如图2，正方形网格中，点，，，为格点，交于点则：的值为_________；
(3)如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．
①求的度数；
②连接交于点，直接写出的值．
9．如图，为直径，C为圆O上一动点，且C在直径上方，连接，，点M为中点，连接，与相交于点N．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，连接，，当时，求的值；
(3)如图3，作于H，，与交于点K（点K在下方），与交于点E．若，，求：
①的直径；
②的长．
10．已知：内接于，，点D在圆上，弧弧，连接，
(1)如图①，求证：
(2)如图②，点E在上，点G在延长线上，连接，，作，，，求证：；
(3)如图③，在②的条件下，作交延长线于点F，连接，四边形的面积为，，求的长．
11．探究不同情况下圆上一点与圆外一点之间距离的关系，并完成以下问题
【问题提出】
(1)如图①，是的弦，，点，分别是优弧和劣弧上的点，则的度数为___________，的度数为___________；
(2)如图②，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求线段的最小值；
【问题解决】
(3)如图③是布景搭建区域的示意图，其中，，．为实现布景视觉平衡，作关于的对称图形，形成四边形区域．布景师在边，上分别设置道具摆放点E，F，使得，并在道具牵引线与的交点P处设置定位标记．为保障布景牵引装置的运行安全，需知道标记P到顶点C的最短距离．请根据以上信息，求标记P到顶点C的最短距离．
12．问题提出
(1)如图①，在中，，，求面积的最大值______．
问题探究
(2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值；
问题解决
(3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值．
13．如图，C是以为直径的上一点，于点D，过点B作的切线，与的延长线相交于点E，F是的中点，连接并延长与相交于点G，连接并延长与的延长线相交于点H，的半径为3．
(1)若，求点C和点B间的距离；
(2)求证：是的切线；
(3)当时，请判断下列结论哪个成立？①，②，③，并说明理由．
参考答案
1．(1)，证明见解析
(2)
(3)
（1）由题意可得，解直角三角形得出，结合，的中点分别为，，得出，为的中位线，从而可得，，求出，得到，证明出，从而可得，由相似三角形的性质计算即可得出结果；
（2）由题意可得，解直角三角形得出，证明，由相似三角形的性质得出，，由勾股定理计算出的长，即可得出结果；
（3）连接、，由题意可得，解直角三角形得出，由等腰直角三角形的性质可得，，证明得出，作于点，由垂线段最短可得，当点运动到点时，此时的长最短，由直角三角形的性质求出的长的最小值为，即可得出结果．
（1）解：，证明如下：
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，的中点分别为，，
∴，为的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解： ∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵所在直线首次经过点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接、，
，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
作于点，
由垂线段最短可得，当点运动到点时，此时的长最短，
∵，
∴的长的最小值为，
∴的长的最小值为．
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；旋转前、后图形的大小、形状没有改变．
2．(1)
(2)
(3)
（1）根据垂直平分线的性质结合等腰三角形底角相等，以及三角形内角和定理即可求出；
（2）延长构造，结合直角三角形斜边中线等性质，导出，从而得到，最后即可得出；
（3）先确定点M的轨迹为直线，又注意到线段到的几何变换为绕点D逆时针旋转并且放大倍，因此构造辅助线得出点H轨迹为直线，结合锐角三角函数与勾股定理计算得出取最小值时，再根据三角形三边关系确定的最大值，即可求解出答案为．
（1）解：设，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
故．
（2）解：如图，延长至点H，使得，连接、，
在与中，
，
，
，，
D为的中点，
在中，，，
，
，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图，过点D作，在上取点F，使得，连接、、、，
，，
，
，，
，
与均为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
点在直线上，
当时，取得最小值，
点为中点，，
，
，，
，，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，，
，
在中，，
当且仅当点D、A、三点共线时取得最大值，
最大值为．
3．(1)
(2)①；②点Q是四边形的等垂点，理由见解析
(3)或
（1）由可等垂四边形的定义可证明，即可进一步得到，从而可证明，同理可得，即可得出结论；
（2）①先证明，可得，，即可得出结论；
②延长，相交于点E，先证明，得到，，可进一步证明，再根据等腰三角形的三线合一性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论；
（3）当点B在上，点C在上时，设点O为等垂点，连接，，过点C作于点E，设，即可根据相似三角形的判定与性质列方程求解；
当点B在上，点C在上时，设点O为等垂点，连接，，过点B作于点F，设，即可根据相似三角形的判定与性质列方程求解．
（1）解：；
理由如下：
矩形是可等垂四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
同理可得，
；
（2）解：①；
理由如下：
四边形是可等垂四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
②点Q是四边形的等垂点；
证明：延长，相交于点E，
，
，，
点Q是的中点，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
点Q是四边形的等垂点；
（3）解：或．理由如下：
当点B在上，点C在上时， ，
设点O为等垂点，连接，，过点C作于点E，
设，
四边形是可等垂四边形，
且，
由（2）可知，，
，，
，
，
，
，
，
解得，
，，
在中，；
当点B在上，点C在上时， ，
设点O为等垂点，连接，，过点B作于点F，
设，
，
，
，
，
，，
由（2）可知，，
，，
，
解得，
，
在中，；
在第（2）小问中，利用中点倍长添加辅助线，构造全等三角形是常用的解题方法；第三小问中，作出符合条件的图形，是解这类图形变换问题的关键，同时还要注意分类解答．
4．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）；（4）
（1）作线段的垂直平分线交于点，连接交于点，则是的中线，和的面积相等；
（2）连接，则是的中位线，再证明即可得出结果；
（3）连接，则是的中位线，再证明，从而可得，再证明，设，则，求出，由勾股定理可得，，最后由正弦的定义即可得出结果；
（4）由直角三角形的性质可得，由（3）得，求出
，由点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，得出点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，，最后再由勾股定理计算即可得出结果．
解：（1）如图：线段，点即为所求，
（2），理由如下：
如图，连接，
∵为边上的中线，为边上的中线，
∴，，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∴,
∴；
（3）如图，连接，
∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（4）∵在中，，点为的中点，，
∴，
由（3）得：，
∴，
∵，，
∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，
点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，
如图，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，，
∴，
即当最大时，的长为．
5．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）设，由平行四边形的性质可得，，由折叠的性质可得，．由角的关系可计算出，，命题得证；
（2）设，结合正方形的性质和折叠的性质可得，，，使用勾股定理构造方程解出，则．容易证明，则，从而计算出，因此；
（3）延长、交于点，连接，设，则，，由平行可判定，则，因此，．由折叠的性质可得，，，进而得到，则，因此，．结合可计算出，利用勾股定理计算出，进一步计算出，，，最后求出的值即可．
（1）证明：设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
由折叠的性质可得，，，
∴，，
∴；
（2）解：设，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
由折叠的性质可得，，，，
∵点P为的中点，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长、交于点，连接，设，
∵，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形由四边形沿着翻折得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
6．(1)
(2)
(3)或
（1）由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，，，求出，作交于点，则，解直角三角形得出，由勾股定理可得，从而得出，即可得出结果；
（2）设，则，连接，作交于点，设，则，由勾股定理可得，从而得出，，由勾股定理可得，由题意可得点、关于对称，从而可得，进而得出，求解可得，从而可得，，即可得出结果；
（3）分两种情况：当时，延长交的延长线于点；当时，延长交于点，分别结合平行四边形的性质、折叠的性质、解直角三角形、相似三角形的性质以及勾股定理计算即可得出结果．
（1）解：∵在中，，，
∴，，
∴，
∵将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
如图，作交于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵在中，，
∴设，则，
如图，连接，作交于点，
，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，，
由勾股定理可得：，
∵将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，点与点重合，
∴点、关于对称，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴；
（3）解：∵直角三角形时，
∴当时，如图，延长交的延长线于点，
，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴设，则，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，
∴由折叠的性质可得，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，延长交于点，
，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴设，则，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得：，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的值为或．
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
7．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析；③
（1）根据正方形的性质及垂直的性质得到，根据等角的补角相等得到，根据即可证明；
（2）①根据，得到，根据正方形的性质得到，根据得到，进而得到，即可证明四边形为正方形；
②延长交于点K，根据正方形的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，进而得到，证明，得到，即可证明；
③取中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，延长交于P，则四边形是矩形，得到，，根据正方形的性质得到，进而得到，证明，得到，可知，根据得到，即可得到的取值范围．
（1）解：∵正方形，
∴
∵
∴
∵
∴
在和中，
∴；
（2）①证明：∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵四边形为正方形，
∴
∵，
∴，
∴．
∴四边形为正方形；
②证明：延长交于点K，
∵四边形为正方形，
∴．
又∵四边形为正方形，
∴．
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
③解：取中点O，连接，
∵
∴
延长交于P，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴
∴
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
8．(1)见解析
(2)
(3)①；②
（1）方法1：平移线段至交于点，证明四边形是平行四边形，得出，再证明，即可得出结论；
方法2：平移线段至交于点，则四边形是矩形，再证明，即可得出结论；
（2）将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，设正方形网格的边长为单位1，由勾股定理求得，，，得出，则，由即可得出结果；
（3）①平移线段至处，连接，由证得 ，得出，，证明 ，得出 ，即可得出结果；
②证明，得出即可求解．
（1）(1)证明：方法1：平移线段至交于点，如图，
由平移的性质得，
四边形是正方形，
，°，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
方法2：平移线段至交于点，如图，
则四边形是矩形，，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，如图，
，
设正方形网格中小正方形的边长为单位1，
则，，，，，，
由勾股定理可得，，，，
，
即，
为直角三角形，，
；
（3）解：①平移线段至处，连接，如图，
则，四边形是平行四边形，
，
四边形与四边形都是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
；
②如图，
为正方形的对角线，，
，
，
，
，
，
．
本题属于几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)
(3)①；②
（1）由垂径定理可得，再由圆周角定理得出，即可得证；
（2）连接交于点，由垂径定理可得，，证明为的中位线，得出，再由垂径定理可得，由圆周角定理可得，证明，得出，求出，由勾股定理可得，即可得出，最后由正切的定义计算即可得出结果；
（3）①延长交于点，由题意可得，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再证明，得出，最后再由勾股定理计算即可得出结果；
②设，则，证明，求出，，由勾股定理可得，，求出，由①可得，，过点作于点，设，则，，求出，，，由勾股定理可得，，则，连接，则，证明，得出，代入计算即可得出结果
（1）证明：∵点M为中点，
∴，
∵为直径，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，连接交于点，
∵点M为中点，
∴，，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①延长交于点，
∵点M为中点，
∴，
∵，且为直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②设，则，
∵为直径，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，，
∴，
由①可得：，，
∵，
∴，
过点作于点，
设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）连接，根据题意得，，再利用勾股定理求解即可求证结论；
（2）设，根据题意证，再结合即可求证结论；
（3）作交延长线于点M，作于点N，证，得，四边形为矩形，根据，求出，设交于点K，在上截取，根据角的关系求得，设，根据列方程求解得，，，
，求出可解答．
（1）证明：连接
∴为的直径
，
弧弧
在中
（2）证明：设
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：作交延长线于点M，作于点N，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
又∵，
，
，
，
四边形为矩形
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图设交于点K，在上截取
为的直径，
，
，
，
，
，
，
设，
，，
，
，
， ， ，
，
∴，
，
11．(1)，
(2)
(3)
（1）直接利用圆周角定理与圆的内接四边形的性质求解即可．
（2）如图②，取的中点E，连接，交半圆于点，在上任取一点，连接，，结合，可得是的最小值，再进一步求解即可．
（3）如图③，连接，求解，．证明，作的外接圆，可得点P的路径为劣弧，在优弧上任意取一点Q，连接，，再进一步求解即可．
（1）解：∵是的弦，，
∴，
∴．
（2）解：如图②，取的中点E，连接，交半圆于点，在上任取一点，连接，，
，即是的最小值．
在中，，，，
．
，
，
即的最小值为．
（3）解：如图③，连接．
在中，，，，
，，．
与关于对称，
，，．
，．
是等边三角形．
，．
，
．
．
，
．
．
作的外接圆，则点P的路径为劣弧．
在优弧上任意取一点Q，连接，，
．
，
即点A是外接圆的圆心．
设与劣弧交于点，点即为的长度最小时，点P的位置．
，
即标记P到顶点C的最短距离为．
12．(1)
(2)
(3)
本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大，如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，得出为等边三角形，则，，求出，则由三角形面积公式可得出答案；
（2）如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解．
（3）如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
（1）解：作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大，
如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
即面积的最大值.
（2）解：如图所示，以为边作等边，连接，

∵是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，且，，
∴，
∴，
∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上且在点的上方时，的面积取得最大值，
∴在中，，，，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
（3）解：∵，，
∴，，
如图，连接，作，使得，，则，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即（定长），
∵点是定点，是定长，
∴点在半径为的上，
过点作，交于点，则当点D在点的上方时，的面积取得最大值，
∵，
∴，
∴．
13．(1)
(2)见解析
(3)②成立，见解析
（1）结合勾股定理求出，即可作答．
（2）先根据，过点B作的切线，与的延长线相交于点E，得出，再分别证明，，故，结合F是的中点，得出，再运用等边对等角，以及，得，故，即是的切线；
（3）过点G作于点K，则，根据切线的性质得到，证明四边形为矩形，得到，，，，证明，，，进而证明，得到，可知，证明为线段的垂直平分线，得到，由（2）可知，即．
（1）解：∵的半径为3，
∴，
连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∴，
即点C和点B间的距离为的长度，即为；
（2）解：连接，如图所示：
∵过点B作的切线，与的延长线相交于点E，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
则，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴是的中线，
∵是的直径，
∴，
∵是的中线
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故，
∵是半径，
∴是的切线；
（3）解：②成立．
理由如下：
如图，过点G作于点K，则．
∵是的切线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
∵的半径为3，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴点K为中点．
∵于点K，
∴为线段的垂直平分线，
∴．
由（2）可知，
∴成立．
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