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广东省惠州市惠州一中教育集团2024-2025学年下学期七年级数学期末质量监测试题
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，木盘还有最后一块没有拼完，小明想用平移的方式移动拼木拼满木盘，小明应该选择的拼木是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　）
A．了解一批导弹的使用寿命
B．了解全国九年级学生的视力状况
C．考察人们保护海洋的意识
D．了解全班同学的身高的现状
3．若方程是二元一次方程，则“◆”可能是（　　）
A．y B．x C．xy D．
4．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，有三种不同的小球，质量分别如下图所示，放置在天平的托盘中，结果天平右侧倾斜，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．若点在平面直角坐标系中的第二象限，m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．不存在
7．利用如图所示的方法（图下方的①，②，③，④表示折的顺序），可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线．关于其中的原理，下列说法错误的是（　　）
A．对顶角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
8．在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（ ）
A． B． C．2 D．1
9．如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）
A．b的值为6
B．a为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．a的值小于3
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．“坚持不懈”的英语翻译是Persevere in doing，短语中“e”出现的频数为　 　．
12．已知点，点N为x轴上一动点，则线段的最小值为　 　．
13．关于x的不等式组 有解，则实数m的取值范围是　 　．
14．如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为 　 　 ．
15．如图，从标注的圆圈开始，顺时针方向按的规律（表示前一个圆圈中的数字，，是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，例如：从“”得，则标注“？”的圆圈中的数是　 　．
三、解答题(共8个小题，共75分)
16．（1）计算∶；
（2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点A，B，C的坐标分别为，，，按要求画图，并回答下列问题：
（1）画出三角形；
（2）将线段平移至，使点B的对应点为点A，并写出点F的坐标；
（3）仅用无刻度的直尺，在x轴上画一点D，使．
18．中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．
这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如下表所示：
服务器类型 每台所需技术人员 每台成本（万元）
型号 3 10
型号 5 15
公司共有技术人员65人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为200万元．问和服务器的安装数量各是多少台？
19．仰卧起坐是湖北省体育中考女生选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，图1是柯乐同学做仰卧起坐时的一个状态，图2，图3是示意图，已知，．
（1）如图2，求证：；
（2）如图3，当柯乐同学在做仰卧起坐的某个瞬间，她腿部的某个位置M与脚后跟D的连线恰好平分，若，求的度数．
20．如今很多人都是“手机不离手”．有的人手机使用时间比以前更长了，也有人养成了健康有节制的手机使用习惯．记者随机调查了一部分人每天使用手机的时长，并绘制成以下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求接受记者调查的一共有多少人？
（2）求每天使用手机在5小时以上的人数，并补全条形图；
（3）求扇形图中“5小时以上”部分的圆心角的度数；
（4）的受调查者坦言：最近手机使用时间增长了，主要用手机刷短视频、上网课和沟通工作．由于长时间观看手机屏幕会使眼睛疲劳、干涩，引发视力下降，请给出一条合理使用手机的建议．
21．阅读材料：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为．解答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）设的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知m是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分．
①m的取值范围是 ．
② 当m是6的倍数时，且，求出的值．
22．数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）；
（2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
（3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
23．已知直线，在三角形纸板中，，．
（1）将三角形按如图1放置，点和点分别在直线上，若，则 °， °；
（2）将三角形按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求之间的数量关系；
（3）在图2中，若，将三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒．当三角形的一条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出答案）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由图可知，应该选择的拼木是：
故选D．
【分析】本题考查图形平移的核心性质，平移只改变图形的位置，图形的形状、大小和方向均保持不变，结合木盘空缺部分的形状与方向特征，即可选出匹配的拼木。
2．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A. 了解一批导弹的使用寿命，采用抽样调查；
B. 了解全国九年级学生的视力状况，采用抽样调查；
C. 考察人们保护海洋的意识，采用抽样调查；
D. 了解全班同学的身高的现状，采用全面调查；
故选：D．
【分析】根据调查的方式即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：原方程为，若方程为二元一次方程，则“◆”需引入第二个未知数且次数为1，只有A选项符合题意，
故选：A
【分析】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程需满足含有两个不同未知数，且所有未知数的次数都为1，因此“◆”需引入第二个次数为1的未知数，据此判断正确选项。
4．【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当时，满足，但是不满足，
当时，不满足条件；
当或时，满足，也满足，
故选：B．
【分析】举反例即所举的例子符合条件，但是不符合结论，据此判断解答即可．
5．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
，
解得，
故选：C．
【分析】本题考查实际问题中的不等关系与不等式性质，根据天平倾斜的条件列出不等式，再依据不等式的基本性质化简计算，即可得出小球质量的正确结论。
6．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在平面直角坐标中位于第二象限，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：
不等式组的解集为：．
故选：B．
【分析】根据第二象限内点的坐标特征建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
由题图（2）的操作可得：∠PEB+∠PEA=180°，∠PEB=∠PEA，
∴∠PEA=90°，
同理，由题图（3）的操作可得∠NPE=90°，
∴，
∴MN//AB.
故答案为：A．
【分析】先根据折叠的性质得到∠PEA=90°，∠NPE=90°，根据平行线的判定方法即可求解．
8．【答案】A
【知识点】无理数的概念；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：当输入的值是64时，取算术平方根得，
8是有理数，再取立方根得，
2是有理数，再取算术平方根得，
由于是无理数，
所以输出的值是．
故选：A．
【分析】本题考查实数的算术平方根、立方根运算与有理数、无理数的判断，按照运算程序逐步计算64的算术平方根、立方根，直至结果为无理数时输出，即可得到的值。
9．【答案】B
【知识点】点的坐标；三角形的面积；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵a，b满足，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
如图，
∴，
解得：，
∵P在y轴的正半轴上，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查绝对值与平方的非负性、坐标系中三角形面积计算，先由非负数和为0求出、确定、坐标，算出长度后求面积，再根据面积相等列方程求点纵坐标，结合位置确定坐标。
10．【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，
∴，
∴，
∴D正确；
∴，
∴B正确，D不正确；
∴乘积结果可以表示为．
∴C正确．
故选：D．
【分析】
本题考查了新定义运算（铺地锦乘法）、有理数的乘法和一元一次方程组．理解“铺地锦‘是两位数乘法（各位数字相乘，斜行相加），结合格子中数字建立等式，分析选项.
11．【答案】4
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：在“坚持不懈”的英语翻译是Persevere in doing，短语中“e”出现了4次，
∴短语中“e”出现的频数为4，
故答案为：4．
【分析】本题考查频数的定义，频数是指某个元素在数据中出现的次数，统计短语中字母“e”的出现次数，即可得到其频数。
12．【答案】2
【知识点】点的坐标；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据垂线段最短，轴时，线段为最小值，如图
∴．
故答案为：2．
【分析】本题考查垂线段最短的性质，点到轴的所有连线中垂线段最短，当轴时，的长度等于点纵坐标的绝对值，据此计算最小值。
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组有解，
，
故答案为：．
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法与参数范围确定，分别解出两个不等式的解集，结合不等式组有解的条件，即可确定的取值范围。
14．【答案】
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，
所以，，
所以．
因为平分，
所以．
故答案为：．
【分析】本题考查垂直定义、角平分线性质与角度计算，由得，结合角度比例求出，再利用邻补角求出，最后根据角平分线定义计算。
15．【答案】23
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得，
∴顺时针方向按的规律转换后得到下一个圆圈中的数，
∴当时，，
故标注“？”的圆圈中的数是，
故答案为：．
【分析】本题考查新定义运算与二元一次方程组求解，根据数字转换规律列出关于、的方程组，解出、确定转换公式，代入对应数值即可算出“？”处的数字。
16．【答案】（1）
；
（2）
数轴表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据题意先计算算术平方根、立方根、实数的绝对值，进而即可求解；
（2）根据题意解不等式，进而得到解集，再表示在数轴上即可。
17．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
∴；
（3）解：如图，点D即为所求，
根据平移的性质得，
∴．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）本题考查坐标系描点画图，根据三点坐标在坐标系中描出对应点，顺次连接各点即可画出；
（2）本题考查平移的坐标变化规律，先确定到的平移方式，将点按相同方式平移得到，连接并写出坐标；
（3）本题考查平移与平行线性质，由平移得，连接交轴于，利用平行线内错角相等满足。
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
∴；
（3）解：如图，点D即为所求，
根据平移的性质得，
∴．
18．【答案】解：设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台．
根据题意可列：
解得：
答：服务器的安装数量是5台，服务器的安装数量是10台．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设Alpha、Beta服务器数量为、台，根据技术人员总数和总投入资金两个等量关系列方程组，求解即可得到安装数量。
19．【答案】（1）证明：∵，
∴
∵，
∴，
∴
（2）解：由（1）得，
∴
∵平分，
∴
设，则，，
∴
∴，解得：，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得，根据角平分线定义可得，设，则，，根据角之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴
∵，
∴，
∴
（2）由（1）得，
∴
∵平分，
∴
设，则，，
∴
∴，解得：，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：，
答：接受调查的一共有2000人
（2）每天使用手机5小时以上的人数为：（人），
补全条形图，如图
（3）扇形图中“5小时以上”部分占全部接受调查人数的百分比为：，则扇形图中“5小时以上”部分的圆心角的度数为：．
（4）①尽量少使用手机；②控制手机使用的时长等．（答案不唯一）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）本题考查统计图数据计算，用1~3小时的人数除以其对应百分比，即可算出调查总人数；
（2）本题考查条形统计图补全，用总人数减去其他时长人数，得到5小时以上人数并补全图形；
（3）本题考查扇形圆心角计算，用5小时以上人数占比乘，得到对应圆心角度数；
（4）本题结合实际提出合理建议，围绕控制使用时长、减少不必要使用即可。
（1）解：，
答：接受调查的一共有2000人
（2）每天使用手机5小时以上的人数为：（人），
补全条形图，如图
（3）扇形图中“5小时以上”部分占全部接受调查人数的百分比为：，
则扇形图中“5小时以上”部分的圆心角的度数为：．
（4）①尽量少使用手机；②控制手机使用的时长等．（答案不唯一）
21．【答案】（1）3，
（2）解：∵，，
∴的小数部分为，
的整数部分为6，
即
∴．
（3）解①
②∵，m是6的倍数，
∴，
由，得
，
解得，
∴.
【知识点】无理数的估值；求有理数的绝对值的方法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】
（1）
解：∵，
∴的整数部分是3，小数部分是．
故答案为：3；．
（3）
①∵m是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分，
∴的整数部分为5，
∴．
∴
即答案为：．
【分析】
（1）由于13介于9和16之间，则介于3和4之间，即的整数部分为3，小数部分为；
（2）同上，，则等于6-2等于4；
（3）
①由题意知介于5和6之间，即m介于25和36之间；
②由于m是介于25和36之间且能被6整除的数，则，再由题意知，由于，则．
（1）解：∵，
∴的整数部分是3，小数部分是．
故答案为：3，．
（2）∵，，
∴的小数部分为，的整数部分为6，
即
∴．
（3）①∵m是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分，
∴的整数部分为5，小数部分为，
∴．
∴
即答案为：．
②∵，m是6的倍数，
∴，
由，得
，
解得，
∴．
22．【答案】（1）解：根据题意，可得
1.2+0.2（n-1）
=1.2+0.2n-0.2
=1+0.2n（m）
答：当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为（1+0.2n）m
（2）解：当L=2.6时，0.2n+1=2.6
解得，n=8
2×8=16（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
解得：
因为x为正整数，
所以x=3，4，5，
所以共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次。
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据图①可知，一辆购物车车身长1.2m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m，列出函数关系式；
（2）把L=2.6代入（1）中的解析式，求出n的值即可；
（3）设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次，根据题意得到，求出m的取值范围，然后再根据x的取值，最后再确定据此方案即可
（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，
所以辆购物车叠放时长，
故答案为：．
（2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，
因此由（1）可得，
解得，
（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
，
解得：，
为正整数，
，4，5，
共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次．
23．【答案】（1），55
（2）解：过F点作，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：；
（3）或或或
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】（1）解：过F点作，如图所示：
∵，，，
∴，
∴，，，
∴；
故答案为：；55．
（3）解：∵，，
∴，
时，如图所示：
此时：，
旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：，
旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：，
旋转角度为：，
∴；
综上所述：的值为：或或或．
【分析】（1）本题考查平行线与角度计算，过作，利用平行线内错角相等，结合直角三角形角度计算、；
（2）本题考查平行线性质，过作，利用同旁内角互补与平角定义，推导；
（3）本题考查旋转与平行线，分四种情况讨论旋转角度，用角度÷/秒得值。
（1）解：过F点作，如图所示：
∵，，，
∴，
∴，，，
∴；
故答案为：；55．
（2）解：过F点作，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：；
（3）解：∵，，
∴，
时，如图所示：
此时：，
旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：，
旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：，
旋转角度为：，
∴；
综上所述：的值为：或或或．
1 / 1广东省惠州市惠州一中教育集团2024-2025学年下学期七年级数学期末质量监测试题
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，木盘还有最后一块没有拼完，小明想用平移的方式移动拼木拼满木盘，小明应该选择的拼木是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由图可知，应该选择的拼木是：
故选D．
【分析】本题考查图形平移的核心性质，平移只改变图形的位置，图形的形状、大小和方向均保持不变，结合木盘空缺部分的形状与方向特征，即可选出匹配的拼木。
2．下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　）
A．了解一批导弹的使用寿命
B．了解全国九年级学生的视力状况
C．考察人们保护海洋的意识
D．了解全班同学的身高的现状
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A. 了解一批导弹的使用寿命，采用抽样调查；
B. 了解全国九年级学生的视力状况，采用抽样调查；
C. 考察人们保护海洋的意识，采用抽样调查；
D. 了解全班同学的身高的现状，采用全面调查；
故选：D．
【分析】根据调查的方式即可求出答案.
3．若方程是二元一次方程，则“◆”可能是（　　）
A．y B．x C．xy D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：原方程为，若方程为二元一次方程，则“◆”需引入第二个未知数且次数为1，只有A选项符合题意，
故选：A
【分析】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程需满足含有两个不同未知数，且所有未知数的次数都为1，因此“◆”需引入第二个次数为1的未知数，据此判断正确选项。
4．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当时，满足，但是不满足，
当时，不满足条件；
当或时，满足，也满足，
故选：B．
【分析】举反例即所举的例子符合条件，但是不符合结论，据此判断解答即可．
5．如图，有三种不同的小球，质量分别如下图所示，放置在天平的托盘中，结果天平右侧倾斜，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
，
解得，
故选：C．
【分析】本题考查实际问题中的不等关系与不等式性质，根据天平倾斜的条件列出不等式，再依据不等式的基本性质化简计算，即可得出小球质量的正确结论。
6．若点在平面直角坐标系中的第二象限，m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．不存在
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在平面直角坐标中位于第二象限，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：
不等式组的解集为：．
故选：B．
【分析】根据第二象限内点的坐标特征建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
7．利用如图所示的方法（图下方的①，②，③，④表示折的顺序），可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线．关于其中的原理，下列说法错误的是（　　）
A．对顶角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
由题图（2）的操作可得：∠PEB+∠PEA=180°，∠PEB=∠PEA，
∴∠PEA=90°，
同理，由题图（3）的操作可得∠NPE=90°，
∴，
∴MN//AB.
故答案为：A．
【分析】先根据折叠的性质得到∠PEA=90°，∠NPE=90°，根据平行线的判定方法即可求解．
8．在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【知识点】无理数的概念；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：当输入的值是64时，取算术平方根得，
8是有理数，再取立方根得，
2是有理数，再取算术平方根得，
由于是无理数，
所以输出的值是．
故选：A．
【分析】本题考查实数的算术平方根、立方根运算与有理数、无理数的判断，按照运算程序逐步计算64的算术平方根、立方根，直至结果为无理数时输出，即可得到的值。
9．如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；三角形的面积；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵a，b满足，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
如图，
∴，
解得：，
∵P在y轴的正半轴上，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查绝对值与平方的非负性、坐标系中三角形面积计算，先由非负数和为0求出、确定、坐标，算出长度后求面积，再根据面积相等列方程求点纵坐标，结合位置确定坐标。
10．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）
A．b的值为6
B．a为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．a的值小于3
【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，
∴，
∴，
∴D正确；
∴，
∴B正确，D不正确；
∴乘积结果可以表示为．
∴C正确．
故选：D．
【分析】
本题考查了新定义运算（铺地锦乘法）、有理数的乘法和一元一次方程组．理解“铺地锦‘是两位数乘法（各位数字相乘，斜行相加），结合格子中数字建立等式，分析选项.
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．“坚持不懈”的英语翻译是Persevere in doing，短语中“e”出现的频数为　 　．
【答案】4
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：在“坚持不懈”的英语翻译是Persevere in doing，短语中“e”出现了4次，
∴短语中“e”出现的频数为4，
故答案为：4．
【分析】本题考查频数的定义，频数是指某个元素在数据中出现的次数，统计短语中字母“e”的出现次数，即可得到其频数。
12．已知点，点N为x轴上一动点，则线段的最小值为　 　．
【答案】2
【知识点】点的坐标；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据垂线段最短，轴时，线段为最小值，如图
∴．
故答案为：2．
【分析】本题考查垂线段最短的性质，点到轴的所有连线中垂线段最短，当轴时，的长度等于点纵坐标的绝对值，据此计算最小值。
13．关于x的不等式组 有解，则实数m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组有解，
，
故答案为：．
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法与参数范围确定，分别解出两个不等式的解集，结合不等式组有解的条件，即可确定的取值范围。
14．如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为 　 　 ．
【答案】
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，
所以，，
所以．
因为平分，
所以．
故答案为：．
【分析】本题考查垂直定义、角平分线性质与角度计算，由得，结合角度比例求出，再利用邻补角求出，最后根据角平分线定义计算。
15．如图，从标注的圆圈开始，顺时针方向按的规律（表示前一个圆圈中的数字，，是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，例如：从“”得，则标注“？”的圆圈中的数是　 　．
【答案】23
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得，
∴顺时针方向按的规律转换后得到下一个圆圈中的数，
∴当时，，
故标注“？”的圆圈中的数是，
故答案为：．
【分析】本题考查新定义运算与二元一次方程组求解，根据数字转换规律列出关于、的方程组，解出、确定转换公式，代入对应数值即可算出“？”处的数字。
三、解答题(共8个小题，共75分)
16．（1）计算∶；
（2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）
；
（2）
数轴表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据题意先计算算术平方根、立方根、实数的绝对值，进而即可求解；
（2）根据题意解不等式，进而得到解集，再表示在数轴上即可。
17．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点A，B，C的坐标分别为，，，按要求画图，并回答下列问题：
（1）画出三角形；
（2）将线段平移至，使点B的对应点为点A，并写出点F的坐标；
（3）仅用无刻度的直尺，在x轴上画一点D，使．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
∴；
（3）解：如图，点D即为所求，
根据平移的性质得，
∴．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）本题考查坐标系描点画图，根据三点坐标在坐标系中描出对应点，顺次连接各点即可画出；
（2）本题考查平移的坐标变化规律，先确定到的平移方式，将点按相同方式平移得到，连接并写出坐标；
（3）本题考查平移与平行线性质，由平移得，连接交轴于，利用平行线内错角相等满足。
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
∴；
（3）解：如图，点D即为所求，
根据平移的性质得，
∴．
18．中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．
这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如下表所示：
服务器类型 每台所需技术人员 每台成本（万元）
型号 3 10
型号 5 15
公司共有技术人员65人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为200万元．问和服务器的安装数量各是多少台？
【答案】解：设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台．
根据题意可列：
解得：
答：服务器的安装数量是5台，服务器的安装数量是10台．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设Alpha、Beta服务器数量为、台，根据技术人员总数和总投入资金两个等量关系列方程组，求解即可得到安装数量。
19．仰卧起坐是湖北省体育中考女生选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，图1是柯乐同学做仰卧起坐时的一个状态，图2，图3是示意图，已知，．
（1）如图2，求证：；
（2）如图3，当柯乐同学在做仰卧起坐的某个瞬间，她腿部的某个位置M与脚后跟D的连线恰好平分，若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴
∵，
∴，
∴
（2）解：由（1）得，
∴
∵平分，
∴
设，则，，
∴
∴，解得：，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得，根据角平分线定义可得，设，则，，根据角之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴
∵，
∴，
∴
（2）由（1）得，
∴
∵平分，
∴
设，则，，
∴
∴，解得：，
∴，
∴．
20．如今很多人都是“手机不离手”．有的人手机使用时间比以前更长了，也有人养成了健康有节制的手机使用习惯．记者随机调查了一部分人每天使用手机的时长，并绘制成以下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求接受记者调查的一共有多少人？
（2）求每天使用手机在5小时以上的人数，并补全条形图；
（3）求扇形图中“5小时以上”部分的圆心角的度数；
（4）的受调查者坦言：最近手机使用时间增长了，主要用手机刷短视频、上网课和沟通工作．由于长时间观看手机屏幕会使眼睛疲劳、干涩，引发视力下降，请给出一条合理使用手机的建议．
【答案】（1）解：，
答：接受调查的一共有2000人
（2）每天使用手机5小时以上的人数为：（人），
补全条形图，如图
（3）扇形图中“5小时以上”部分占全部接受调查人数的百分比为：，则扇形图中“5小时以上”部分的圆心角的度数为：．
（4）①尽量少使用手机；②控制手机使用的时长等．（答案不唯一）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）本题考查统计图数据计算，用1~3小时的人数除以其对应百分比，即可算出调查总人数；
（2）本题考查条形统计图补全，用总人数减去其他时长人数，得到5小时以上人数并补全图形；
（3）本题考查扇形圆心角计算，用5小时以上人数占比乘，得到对应圆心角度数；
（4）本题结合实际提出合理建议，围绕控制使用时长、减少不必要使用即可。
（1）解：，
答：接受调查的一共有2000人
（2）每天使用手机5小时以上的人数为：（人），
补全条形图，如图
（3）扇形图中“5小时以上”部分占全部接受调查人数的百分比为：，
则扇形图中“5小时以上”部分的圆心角的度数为：．
（4）①尽量少使用手机；②控制手机使用的时长等．（答案不唯一）
21．阅读材料：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为．解答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）设的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知m是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分．
①m的取值范围是 ．
② 当m是6的倍数时，且，求出的值．
【答案】（1）3，
（2）解：∵，，
∴的小数部分为，
的整数部分为6，
即
∴．
（3）解①
②∵，m是6的倍数，
∴，
由，得
，
解得，
∴.
【知识点】无理数的估值；求有理数的绝对值的方法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】
（1）
解：∵，
∴的整数部分是3，小数部分是．
故答案为：3；．
（3）
①∵m是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分，
∴的整数部分为5，
∴．
∴
即答案为：．
【分析】
（1）由于13介于9和16之间，则介于3和4之间，即的整数部分为3，小数部分为；
（2）同上，，则等于6-2等于4；
（3）
①由题意知介于5和6之间，即m介于25和36之间；
②由于m是介于25和36之间且能被6整除的数，则，再由题意知，由于，则．
（1）解：∵，
∴的整数部分是3，小数部分是．
故答案为：3，．
（2）∵，，
∴的小数部分为，的整数部分为6，
即
∴．
（3）①∵m是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分，
∴的整数部分为5，小数部分为，
∴．
∴
即答案为：．
②∵，m是6的倍数，
∴，
由，得
，
解得，
∴．
22．数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）；
（2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
（3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
【答案】（1）解：根据题意，可得
1.2+0.2（n-1）
=1.2+0.2n-0.2
=1+0.2n（m）
答：当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为（1+0.2n）m
（2）解：当L=2.6时，0.2n+1=2.6
解得，n=8
2×8=16（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
解得：
因为x为正整数，
所以x=3，4，5，
所以共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次。
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据图①可知，一辆购物车车身长1.2m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m，列出函数关系式；
（2）把L=2.6代入（1）中的解析式，求出n的值即可；
（3）设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次，根据题意得到，求出m的取值范围，然后再根据x的取值，最后再确定据此方案即可
（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，
所以辆购物车叠放时长，
故答案为：．
（2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，
因此由（1）可得，
解得，
（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
，
解得：，
为正整数，
，4，5，
共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次．
23．已知直线，在三角形纸板中，，．
（1）将三角形按如图1放置，点和点分别在直线上，若，则 °， °；
（2）将三角形按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求之间的数量关系；
（3）在图2中，若，将三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒．当三角形的一条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出答案）．
【答案】（1），55
（2）解：过F点作，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：；
（3）或或或
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】（1）解：过F点作，如图所示：
∵，，，
∴，
∴，，，
∴；
故答案为：；55．
（3）解：∵，，
∴，
时，如图所示：
此时：，
旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：，
旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：，
旋转角度为：，
∴；
综上所述：的值为：或或或．
【分析】（1）本题考查平行线与角度计算，过作，利用平行线内错角相等，结合直角三角形角度计算、；
（2）本题考查平行线性质，过作，利用同旁内角互补与平角定义，推导；
（3）本题考查旋转与平行线，分四种情况讨论旋转角度，用角度÷/秒得值。
（1）解：过F点作，如图所示：
∵，，，
∴，
∴，，，
∴；
故答案为：；55．
（2）解：过F点作，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：；
（3）解：∵，，
∴，
时，如图所示：
此时：，
旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：，
旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：，
旋转角度为：，
∴；
综上所述：的值为：或或或．
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