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湖南省岳阳市2026年初中学业水平考试适应性测试（二）数学试题
1．有理数2026的相反数是（　　）
A．-2026 B．2026 C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2026的相反数是 2026．
故答案为：A．
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
2．下列精美的剪纸图案中，是中心对称图形的是 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，不符合题意；
C．不是中心对称图形，不符合题意；
D．是中心对称图形，符合题意．
故答案为：D .
【分析】根据中心对称图形的定义“绕一点旋转180°后能够和自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断解答即可.
3．下列计算正确的是 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意．
故答案为：A .
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、单项式乘以多项式的法则逐项判断解答即可.
4．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 （　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
故答案为： .
【分析】解不等式组的解集，再把不等式组的解集表示在数轴上逐项判断解答即可．
5．试估算 在哪两个整数之间 （　　）
A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴在3与4之间．
故答案为：C .
【分析】对无理数估算解答即可.
6．湖南境内主要河流有湘江、资水、沅江和澧水，这四条河流构成了湖南水系的骨架，并最终都汇入洞庭湖.如图所示，图中阴影部分表示常德市，有两条河流经过该市汇入洞庭湖.现有一艘游轮从洞庭湖出发，随机进入一条河流，则游轮经过常德市的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可知，共有湘江、资水、沅江、澧水4条河流，其中经过常德市的河流有2条．
根据概率公式，P（游轮经过常德市）
故选：A．
【分析】根据概率公式计算即可．
7．如图，把一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放置在直尺的对边上，若，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
，
直尺的两边平行，
．
故答案为：D .
【分析】根据角的和差求出∠3的度数，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可.
8．等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为 （　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．21
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
情况1：当为腰长时，三角形三边长为3，3，7，
∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，
∴此情况舍去；
情况2：当为腰长时，三角形三边长为3，7，7，
∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形，
∴三角形的周长为．
故答案为：B .
【分析】分为腰长或为腰长两种情况，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，然后计算周长即可．
9．《九章算术》卷七“盈不足”中记载：今有童子分桃，人得四桃，则余二桃；人得六桃，则缺八桃，问童子与桃各几何？翻译为：现在有一群儿童分桃子，如果每人分4个桃子，就会多出2个桃子；如果每人分6个桃子，就还差8个桃子，求儿童和桃子分别有多少.设儿童有x人，根据桃子总数不变，所列方程正确的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设儿童有人，
根据题意得，．
故答案为：B .
【分析】设儿童有人，根据“ 每人分4个桃子，就会多出2个桃子；如果每人分6个桃子，就还差8个桃子 ”列方程即可解答.
10．如图，在Rt中，，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交AB， AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于为半径画弧.两弧在内相交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，下列结论正确的是 （　　）
A． B．
C．点G到AB的距离为4 D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图得，平分，
∵，
∴点到的距离，故C正确；
根据题意无法得到，，，故A，B，D错误．
故答案为：C .
【分析】根据作图可知AG是的平分线，然后根据角平分线的性质判断选项解答即可.
11．某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练.已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为(单位： 个)： 5， 6， 7， 8， 8， 9， 10.则这组数据的中位数是　 　.
【答案】8
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，，，
这组数据共有个，为奇数个，位于最中间的数为第个数，
因此这组数据的中位数是．
故答案为：8 .
【分析】根据中位线的定义“把一组数据从小到大排列后，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数”解答即可.
12．平面直角坐标系中，点A(3，2)关于x轴的对称点A1的坐标为　 　.
【答案】(3，-2)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系中，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点关于轴的对称点的坐标为．
故答案为： .
【分析】根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可．
13．如图，要测算池塘两端A，B之间的距离，先在地面上取一点C，然后通过测量分别找到AC和BC的中点D，E，并测得DE的长，就可测算池塘两端A，B之间的距离.若DE的为10米，则池塘两端A，B之间的距离是　 　米.
【答案】20
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵和的中点分别为点，，
∴是的中位线
∴（米）．
故答案为：20 .
【分析】根据三角形中位线的性质解答即可.
14．已知 ，则代数式 的值为　 　.
【答案】-1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由 得到，
∴，
故答案为：-1 .
【分析】由已知可得，然后把代数式化为，然后整体代入计算即可.
15．如图，菱形ABCD的对角线AC， BD交于点O，若AB=5， BD=6，则菱形ABCD的面积为　 　.
【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD＝3，OA＝OC，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
根据勾股定理，得：，
∴AC＝2OA＝8，
∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×6×8＝24.
故答案为：24.
【分析】根据菱形的性质得到OB＝OD＝3，OA＝OC，AC⊥BD，根据勾股定理求出OA长，即可求出AC长，然后利用菱形的面积公式计算即可．
16．令 ，其中m为整数，a为常数且.
（1）若m=0时，y是关于x的反比例函数，则 　 　.
（2）下列结论正确的是　 　.(填写正确结论的序号)
①若y是关于x的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限.
②若y是关于x的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限.
③若y是关于x的二次函数，则其与一次函数 的图象一定有两个不同的交点.
【答案】（1）-1
（2）①②
【知识点】一次函数的概念；反比例函数的概念；二次函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）当时，，
∵是反比例函数，
∴，
解得；
故答案为：-1；
（2）①若是关于的一次函数，
∵，
∴，
∴，
当时，即时，，
∴函数恒过定点，该点在第二象限，
∴函数图象一定经过第二象限，故①正确；
②若是关于的二次函数，
∴，
∴，
当时，，
∴函数过点，
∴函数图象一定经过第二象限，故②正确；
③联立得，，
整理得：，
∴当时，，此时方程有两个相同的实数根
∴此时只有一个交点，故③错误．
综上所述，正确的结论是①②．
故答案为：①② .
【分析】（1）根据反比例函数定义解答即可；
（2）分别根据一次函数、二次函数的定义，求出m的值，然后逐项判断解答即可．
17．计算：
【答案】解：原式 =
=1-1+3
=3
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算零次幂、化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可.
18．先化简， 再求值： ，其中
【答案】解：
=
=
当x=2时， 原式 === 1
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把括号内的分式通分，然后把分子、分母分解因式，约分化简，然后代入x的值计算即可.
19．每年4月23日是世界读书日.为传承先贤文脉，厚植校园读书氛围，引导全体师生“爱读书、读好书、善读书”，某校开展了“书香阅读周”的活动，王老师针对学生的阅读打卡积分进行了调查，他分别从A班和B班各随机抽取10名学生，收集了他们的打卡积分数据：
A班：10名学生的积分通过条形统计图展示(见下图)
B班： 10名学生的积分直接以数据形式给出(单位： 分)： 7， 8， 8， 8， 8， 9， 9， 9， 10， 10.
王老师对所抽取学生成绩进行了整理与分析，并汇总得到了如下表所示的相关数据：
A班 B班
平均数 8.2 a
中位数 8 8.5
众数 b 8
方差 1.56 0.84
根据以上信息，解答下列问题.
（1）补全条形统计图，并直接写出表中a，b的值： ▲ ， ▲ ；
（2）若9分及9分以上为班级“阅读小达人”，若B班共50人，请估计B班的“阅读小达人”有多少人
（3）为了让更多同学坚持阅读、爱上阅读，学校将给阅读氛围更好的班级颁发奖状，请根据统计结果，说明A班与B班哪个班级阅读氛围更好.(写出一条理由即可)
【答案】（1）a= 8.6 ， b= 8 ；
补全条形统计图如图所示：
（2）解：（名）．
（3）解：B班阅读氛围更好，学生可以从平均数、中位数、方差等方面说明，言之有理即可.
【知识点】条形统计图；加权平均数及其计算；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）成绩为10分的人数，
由图可知，得8分的学生最多，故众数为8分，即，
．
故答案为：8.6；8；
【分析】（1）解：先求出成绩为10分的人数，再补画出条形统计图即可，然后根据加权平均数的计算公式和众数的定义解答即可；
（2）用样本中“阅读小达人”人数占比乘以班级人数解答即可；
（3）比较两班平均分、中位数、方差，得到阅读氛围更好的班级即可．
20．为弘扬传统文化，某中学计划开展“戏曲广播体操”活动，为此采购了A、B两种花鼓戏风格的表演服.已知采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元.
（1）求A、B两款服装的单价.
（2）学校计划用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件.问：最多能采购A款服装多少件
【答案】（1）解：设A款服装的单价为x元，B款服装的单价为y元，
根据题意得
解得
答：A款服装的单价为70元，B款服装的单价为60元；
（2）解：设采购A款服装a件，则采购B款服(200-a)件，根据题意得
70a+60(200-a)≤13500
解得a≤150
因为a整数，所以a的最大值为150.
答：最多采购A款服装150件.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元，根据“ 采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元 ”列出二元一次方程组解答即可；
（2）设采购A款服装a件，则采购B款服装件，根据“ 用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件 ”列一元一次不等式，求出a的最大值解答即可．
21．如图， 是的外接圆，AC是的直径，P是AC延长线上一点，连接PB，使.
（1） 求证： PB是的切线.
（2） 过点C作，垂足为D，若，，求CD的长.
【答案】（1）证明：连接 ，
是 的直径，
即：
又
是的切线．
（2）解：，
即

【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到即可得到，根据等边对等角得出，即可得到，证明结论即可；
（2）根据余弦的定义求出AC长，再根据勾股定理求出，利用正弦的定义解答即可．
22．综合与实践：岳阳文庙历史悠久，是传承中华优秀传统文化的重要场所.庙前古银杏挺拔苍劲，孔子像庄严肃穆，承载着深厚的人文内涵.为了在真实情境中运用数学知识解决实际问题感受数学与生活、数学与文化的紧密联系，某校数学社团的同学们想要利用所学的知识测量文庙前银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表.
课题 测量银杏树AB的高度
测量工具 测量角度的仪器、皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案示意图
说明 点C，D在点B的正西方向， AB⊥BC. GH是银杏树旁的房屋，AB⊥BH，GH⊥BH，GE∥HB. EF是银杏树正西方向的孔子像，借助EF进行测量，使P，E，A三点在一条直线上，点P，F在点B的正西方向，AB⊥BP，EF⊥BP.
测量数据 ， ， CD=33m. ， ， GH=18m. ， .
（1）第　 　小组的数据无法计算出银杏树AB的高度；
（2）请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树AB的高度. (结果精确到0.1m，参考数据：， ， ， )
【答案】（1）三
（2）解：选择一：设 BD 为 米，所以 AB 为 米，
设BD为 米，所以AB 为 米
在 中，
答：银杏树 AB 高 23.2 米
选择二：
过G作GF∥HB， 交AB于点F
∵GF∥BH，GH∥AB， AB⊥BH，
∴四边形GHBF是矩形，
∴GF=HB，GH=FB，
∵GF∥BH，∠BGF=60°，
∴∠HBG=60°，
在Rt△GHB中， GH =18， ∠GBH=60°，
，
，
，
在Rt△AGF中， ， ，
，
，
，
，
答： 银杏树AB高23.2米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】（1）解：第三小组的数据无法计算出银杏树的高度，因为数据中只给出了的度数，虽然能证明，但还缺少如的度数，的长度等信息；
故答案为：三.
【分析】（1）根据已知数据判断即可；
（2）选择一：先根据正切的定义设，即可得到，再在 根据正切的定义列方程求出x的值解答即可；选择二：延长交于点，即可得到四边形GHBF是矩形，即可得到GF=HB，GH=FB，再在Rt△GHB和Rt△AGF中，根据正切的定义求出BH和AF长，根据线段的和差解答即可．
23．【问题情境】 在矩形ABCD中，点O为线段BC上一点，连接AO，将沿AO所在的直线翻折，得到，延长AP交线段CD边于点E，射线AO与射线DC交于点F，如图(1).
（1）【问题解决】 若， .
①当点O是BC的中点时，求OP的长；
②当时，求AE的长；
（2）【问题探究】 连接OE，如图(2).若为直角三角形，且满足，试探究线段AB与线段BC的数量关系.
【答案】（1）解：①∵四边形为矩形，
∴，，，，
∵点O是的中点，
∴，
根据折叠可得：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据折叠可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
（2）解：情形Ⅰ： 当∠OEF=90°， 点E与C重合时， △OEF为直角三角形， 如图，由(1)中证明可知AC=CF.
，
故设OC=2k， CF=3k， 设BO=2x
∵AB∥DF，
∴△ABO∽△FCO，
， 即 ，
解得AB=3x，
∴BC=BO+OC=2x+2k，
在Rt△ACD中，
， ( 舍)
；
情形Ⅱ： 当∠EOF=90°时， △OEF为直角三角形， 如图，
，
故设OC=2k， CF=3k， 设OB=2x，
∵AD∥BC，
∴△ABO∽△FCO，
∴AB=3x
由(1)中证明可知AE=EF， 且OE⊥AF
∴AO=OF
∴∴
∴ AB=3x ， BC=OB+OC=2x+2k=4x
故
综上： 或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的性质和折叠的性质得到BO=CO=OP，据此解答即可；
②根据两直线平行得到，根据对应边成比例求出，根据线段的和差得到，然后根据折叠的性质和平行线的性质得到，在中根据勾股定理求出x的值解答即可；
（2）分两种情况：当，当，根据正切的定义设OC=2k， CF=3k， 设BO=2x，根据平行线得到△ABO∽△FCO，根据对应边成比例求出AB=3x，然后根据勾股定理求出x和k的关系，解答即可．
24．如图：已知抛物线 ： 与x轴交于原点O、点B，其顶点为点A，抛物线 ： 过点A，与y轴交于点C，点M(m， 0)与点N(n， 0)是x轴上的两个动点，且，过点M作直线轴，分别交 ， 于点P与点Q，过点N作直线 轴，分别交 ， 于点R与点S：
（1）求抛物线 的函数表达式；
（2） 如图(1)，请证明： 若 ，则 ；
（3） 如图(2)，连接PR， OA 交于点T，设面积为 ，连接TN， AN，设， 面积分别为 ， ，当 且 时，请求出m的值.
【答案】（1）解：∵ 的顶点 A(1 ， 1)，
又∵ 经过点 A，
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为：
（2）证明：由题意得： ， ， ，
∴
∴
∵ n ＋ m= 2
∴
∵
∴，但根据题意 且 ，则
故
（3）解：∵ n = m + 1
∴，
设直线 PR 的解析式为： ，
代入P、R坐标解得： ，
∴ 直线 PR 的解析式为 ：
直线 OA 的解析式为 ：
联立
解得 ，
过 R 作 RH//x 轴，交 OA 于点 H ，
化简得：
解得 或 (舍去，因为 )

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质；几何图形的面积计算-割补法；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】
（1）先求出点，然后代入求出b的值解答即可；
（2）先得到，， ，，即可得到，，即可得到，然后把代入得到，根据一次函数的增减性利用求出最大值解答即可；
（3）先利用待定系数法求出直线和PR解析式，然后联立求出点T的坐标，从而可以求得，，，代入求出m的值解答即可．
1 / 1湖南省岳阳市2026年初中学业水平考试适应性测试（二）数学试题
1．有理数2026的相反数是（　　）
A．-2026 B．2026 C． D．
2．下列精美的剪纸图案中，是中心对称图形的是 （　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是 （　　）
A． B．
C． D．
4．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 （　　）
A．
B．
C．
D．
5．试估算 在哪两个整数之间 （　　）
A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5
6．湖南境内主要河流有湘江、资水、沅江和澧水，这四条河流构成了湖南水系的骨架，并最终都汇入洞庭湖.如图所示，图中阴影部分表示常德市，有两条河流经过该市汇入洞庭湖.现有一艘游轮从洞庭湖出发，随机进入一条河流，则游轮经过常德市的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，把一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放置在直尺的对边上，若，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为 （　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．21
9．《九章算术》卷七“盈不足”中记载：今有童子分桃，人得四桃，则余二桃；人得六桃，则缺八桃，问童子与桃各几何？翻译为：现在有一群儿童分桃子，如果每人分4个桃子，就会多出2个桃子；如果每人分6个桃子，就还差8个桃子，求儿童和桃子分别有多少.设儿童有x人，根据桃子总数不变，所列方程正确的是 （　　）
A． B． C． D．
10．如图，在Rt中，，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交AB， AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于为半径画弧.两弧在内相交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，下列结论正确的是 （　　）
A． B．
C．点G到AB的距离为4 D．
11．某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练.已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为(单位： 个)： 5， 6， 7， 8， 8， 9， 10.则这组数据的中位数是　 　.
12．平面直角坐标系中，点A(3，2)关于x轴的对称点A1的坐标为　 　.
13．如图，要测算池塘两端A，B之间的距离，先在地面上取一点C，然后通过测量分别找到AC和BC的中点D，E，并测得DE的长，就可测算池塘两端A，B之间的距离.若DE的为10米，则池塘两端A，B之间的距离是　 　米.
14．已知 ，则代数式 的值为　 　.
15．如图，菱形ABCD的对角线AC， BD交于点O，若AB=5， BD=6，则菱形ABCD的面积为　 　.
16．令 ，其中m为整数，a为常数且.
（1）若m=0时，y是关于x的反比例函数，则 　 　.
（2）下列结论正确的是　 　.(填写正确结论的序号)
①若y是关于x的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限.
②若y是关于x的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限.
③若y是关于x的二次函数，则其与一次函数 的图象一定有两个不同的交点.
17．计算：
18．先化简， 再求值： ，其中
19．每年4月23日是世界读书日.为传承先贤文脉，厚植校园读书氛围，引导全体师生“爱读书、读好书、善读书”，某校开展了“书香阅读周”的活动，王老师针对学生的阅读打卡积分进行了调查，他分别从A班和B班各随机抽取10名学生，收集了他们的打卡积分数据：
A班：10名学生的积分通过条形统计图展示(见下图)
B班： 10名学生的积分直接以数据形式给出(单位： 分)： 7， 8， 8， 8， 8， 9， 9， 9， 10， 10.
王老师对所抽取学生成绩进行了整理与分析，并汇总得到了如下表所示的相关数据：
A班 B班
平均数 8.2 a
中位数 8 8.5
众数 b 8
方差 1.56 0.84
根据以上信息，解答下列问题.
（1）补全条形统计图，并直接写出表中a，b的值： ▲ ， ▲ ；
（2）若9分及9分以上为班级“阅读小达人”，若B班共50人，请估计B班的“阅读小达人”有多少人
（3）为了让更多同学坚持阅读、爱上阅读，学校将给阅读氛围更好的班级颁发奖状，请根据统计结果，说明A班与B班哪个班级阅读氛围更好.(写出一条理由即可)
20．为弘扬传统文化，某中学计划开展“戏曲广播体操”活动，为此采购了A、B两种花鼓戏风格的表演服.已知采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元.
（1）求A、B两款服装的单价.
（2）学校计划用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件.问：最多能采购A款服装多少件
21．如图， 是的外接圆，AC是的直径，P是AC延长线上一点，连接PB，使.
（1） 求证： PB是的切线.
（2） 过点C作，垂足为D，若，，求CD的长.
22．综合与实践：岳阳文庙历史悠久，是传承中华优秀传统文化的重要场所.庙前古银杏挺拔苍劲，孔子像庄严肃穆，承载着深厚的人文内涵.为了在真实情境中运用数学知识解决实际问题感受数学与生活、数学与文化的紧密联系，某校数学社团的同学们想要利用所学的知识测量文庙前银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表.
课题 测量银杏树AB的高度
测量工具 测量角度的仪器、皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案示意图
说明 点C，D在点B的正西方向， AB⊥BC. GH是银杏树旁的房屋，AB⊥BH，GH⊥BH，GE∥HB. EF是银杏树正西方向的孔子像，借助EF进行测量，使P，E，A三点在一条直线上，点P，F在点B的正西方向，AB⊥BP，EF⊥BP.
测量数据 ， ， CD=33m. ， ， GH=18m. ， .
（1）第　 　小组的数据无法计算出银杏树AB的高度；
（2）请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树AB的高度. (结果精确到0.1m，参考数据：， ， ， )
23．【问题情境】 在矩形ABCD中，点O为线段BC上一点，连接AO，将沿AO所在的直线翻折，得到，延长AP交线段CD边于点E，射线AO与射线DC交于点F，如图(1).
（1）【问题解决】 若， .
①当点O是BC的中点时，求OP的长；
②当时，求AE的长；
（2）【问题探究】 连接OE，如图(2).若为直角三角形，且满足，试探究线段AB与线段BC的数量关系.
24．如图：已知抛物线 ： 与x轴交于原点O、点B，其顶点为点A，抛物线 ： 过点A，与y轴交于点C，点M(m， 0)与点N(n， 0)是x轴上的两个动点，且，过点M作直线轴，分别交 ， 于点P与点Q，过点N作直线 轴，分别交 ， 于点R与点S：
（1）求抛物线 的函数表达式；
（2） 如图(1)，请证明： 若 ，则 ；
（3） 如图(2)，连接PR， OA 交于点T，设面积为 ，连接TN， AN，设， 面积分别为 ， ，当 且 时，请求出m的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2026的相反数是 2026．
故答案为：A．
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
2．【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，不符合题意；
C．不是中心对称图形，不符合题意；
D．是中心对称图形，符合题意．
故答案为：D .
【分析】根据中心对称图形的定义“绕一点旋转180°后能够和自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断解答即可.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意．
故答案为：A .
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、单项式乘以多项式的法则逐项判断解答即可.
4．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
故答案为： .
【分析】解不等式组的解集，再把不等式组的解集表示在数轴上逐项判断解答即可．
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴在3与4之间．
故答案为：C .
【分析】对无理数估算解答即可.
6．【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可知，共有湘江、资水、沅江、澧水4条河流，其中经过常德市的河流有2条．
根据概率公式，P（游轮经过常德市）
故选：A．
【分析】根据概率公式计算即可．
7．【答案】D
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
，
直尺的两边平行，
．
故答案为：D .
【分析】根据角的和差求出∠3的度数，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
情况1：当为腰长时，三角形三边长为3，3，7，
∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，
∴此情况舍去；
情况2：当为腰长时，三角形三边长为3，7，7，
∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形，
∴三角形的周长为．
故答案为：B .
【分析】分为腰长或为腰长两种情况，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，然后计算周长即可．
9．【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设儿童有人，
根据题意得，．
故答案为：B .
【分析】设儿童有人，根据“ 每人分4个桃子，就会多出2个桃子；如果每人分6个桃子，就还差8个桃子 ”列方程即可解答.
10．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图得，平分，
∵，
∴点到的距离，故C正确；
根据题意无法得到，，，故A，B，D错误．
故答案为：C .
【分析】根据作图可知AG是的平分线，然后根据角平分线的性质判断选项解答即可.
11．【答案】8
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，，，
这组数据共有个，为奇数个，位于最中间的数为第个数，
因此这组数据的中位数是．
故答案为：8 .
【分析】根据中位线的定义“把一组数据从小到大排列后，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数”解答即可.
12．【答案】(3，-2)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系中，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点关于轴的对称点的坐标为．
故答案为： .
【分析】根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可．
13．【答案】20
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵和的中点分别为点，，
∴是的中位线
∴（米）．
故答案为：20 .
【分析】根据三角形中位线的性质解答即可.
14．【答案】-1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由 得到，
∴，
故答案为：-1 .
【分析】由已知可得，然后把代数式化为，然后整体代入计算即可.
15．【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD＝3，OA＝OC，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
根据勾股定理，得：，
∴AC＝2OA＝8，
∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×6×8＝24.
故答案为：24.
【分析】根据菱形的性质得到OB＝OD＝3，OA＝OC，AC⊥BD，根据勾股定理求出OA长，即可求出AC长，然后利用菱形的面积公式计算即可．
16．【答案】（1）-1
（2）①②
【知识点】一次函数的概念；反比例函数的概念；二次函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）当时，，
∵是反比例函数，
∴，
解得；
故答案为：-1；
（2）①若是关于的一次函数，
∵，
∴，
∴，
当时，即时，，
∴函数恒过定点，该点在第二象限，
∴函数图象一定经过第二象限，故①正确；
②若是关于的二次函数，
∴，
∴，
当时，，
∴函数过点，
∴函数图象一定经过第二象限，故②正确；
③联立得，，
整理得：，
∴当时，，此时方程有两个相同的实数根
∴此时只有一个交点，故③错误．
综上所述，正确的结论是①②．
故答案为：①② .
【分析】（1）根据反比例函数定义解答即可；
（2）分别根据一次函数、二次函数的定义，求出m的值，然后逐项判断解答即可．
17．【答案】解：原式 =
=1-1+3
=3
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算零次幂、化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可.
18．【答案】解：
=
=
当x=2时， 原式 === 1
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把括号内的分式通分，然后把分子、分母分解因式，约分化简，然后代入x的值计算即可.
19．【答案】（1）a= 8.6 ， b= 8 ；
补全条形统计图如图所示：
（2）解：（名）．
（3）解：B班阅读氛围更好，学生可以从平均数、中位数、方差等方面说明，言之有理即可.
【知识点】条形统计图；加权平均数及其计算；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）成绩为10分的人数，
由图可知，得8分的学生最多，故众数为8分，即，
．
故答案为：8.6；8；
【分析】（1）解：先求出成绩为10分的人数，再补画出条形统计图即可，然后根据加权平均数的计算公式和众数的定义解答即可；
（2）用样本中“阅读小达人”人数占比乘以班级人数解答即可；
（3）比较两班平均分、中位数、方差，得到阅读氛围更好的班级即可．
20．【答案】（1）解：设A款服装的单价为x元，B款服装的单价为y元，
根据题意得
解得
答：A款服装的单价为70元，B款服装的单价为60元；
（2）解：设采购A款服装a件，则采购B款服(200-a)件，根据题意得
70a+60(200-a)≤13500
解得a≤150
因为a整数，所以a的最大值为150.
答：最多采购A款服装150件.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元，根据“ 采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元 ”列出二元一次方程组解答即可；
（2）设采购A款服装a件，则采购B款服装件，根据“ 用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件 ”列一元一次不等式，求出a的最大值解答即可．
21．【答案】（1）证明：连接 ，
是 的直径，
即：
又
是的切线．
（2）解：，
即

【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到即可得到，根据等边对等角得出，即可得到，证明结论即可；
（2）根据余弦的定义求出AC长，再根据勾股定理求出，利用正弦的定义解答即可．
22．【答案】（1）三
（2）解：选择一：设 BD 为 米，所以 AB 为 米，
设BD为 米，所以AB 为 米
在 中，
答：银杏树 AB 高 23.2 米
选择二：
过G作GF∥HB， 交AB于点F
∵GF∥BH，GH∥AB， AB⊥BH，
∴四边形GHBF是矩形，
∴GF=HB，GH=FB，
∵GF∥BH，∠BGF=60°，
∴∠HBG=60°，
在Rt△GHB中， GH =18， ∠GBH=60°，
，
，
，
在Rt△AGF中， ， ，
，
，
，
，
答： 银杏树AB高23.2米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】（1）解：第三小组的数据无法计算出银杏树的高度，因为数据中只给出了的度数，虽然能证明，但还缺少如的度数，的长度等信息；
故答案为：三.
【分析】（1）根据已知数据判断即可；
（2）选择一：先根据正切的定义设，即可得到，再在 根据正切的定义列方程求出x的值解答即可；选择二：延长交于点，即可得到四边形GHBF是矩形，即可得到GF=HB，GH=FB，再在Rt△GHB和Rt△AGF中，根据正切的定义求出BH和AF长，根据线段的和差解答即可．
23．【答案】（1）解：①∵四边形为矩形，
∴，，，，
∵点O是的中点，
∴，
根据折叠可得：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据折叠可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
（2）解：情形Ⅰ： 当∠OEF=90°， 点E与C重合时， △OEF为直角三角形， 如图，由(1)中证明可知AC=CF.
，
故设OC=2k， CF=3k， 设BO=2x
∵AB∥DF，
∴△ABO∽△FCO，
， 即 ，
解得AB=3x，
∴BC=BO+OC=2x+2k，
在Rt△ACD中，
， ( 舍)
；
情形Ⅱ： 当∠EOF=90°时， △OEF为直角三角形， 如图，
，
故设OC=2k， CF=3k， 设OB=2x，
∵AD∥BC，
∴△ABO∽△FCO，
∴AB=3x
由(1)中证明可知AE=EF， 且OE⊥AF
∴AO=OF
∴∴
∴ AB=3x ， BC=OB+OC=2x+2k=4x
故
综上： 或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的性质和折叠的性质得到BO=CO=OP，据此解答即可；
②根据两直线平行得到，根据对应边成比例求出，根据线段的和差得到，然后根据折叠的性质和平行线的性质得到，在中根据勾股定理求出x的值解答即可；
（2）分两种情况：当，当，根据正切的定义设OC=2k， CF=3k， 设BO=2x，根据平行线得到△ABO∽△FCO，根据对应边成比例求出AB=3x，然后根据勾股定理求出x和k的关系，解答即可．
24．【答案】（1）解：∵ 的顶点 A(1 ， 1)，
又∵ 经过点 A，
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为：
（2）证明：由题意得： ， ， ，
∴
∴
∵ n ＋ m= 2
∴
∵
∴，但根据题意 且 ，则
故
（3）解：∵ n = m + 1
∴，
设直线 PR 的解析式为： ，
代入P、R坐标解得： ，
∴ 直线 PR 的解析式为 ：
直线 OA 的解析式为 ：
联立
解得 ，
过 R 作 RH//x 轴，交 OA 于点 H ，
化简得：
解得 或 (舍去，因为 )

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质；几何图形的面积计算-割补法；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】
（1）先求出点，然后代入求出b的值解答即可；
（2）先得到，， ，，即可得到，，即可得到，然后把代入得到，根据一次函数的增减性利用求出最大值解答即可；
（3）先利用待定系数法求出直线和PR解析式，然后联立求出点T的坐标，从而可以求得，，，代入求出m的值解答即可．
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