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沪科版（2024）八年级下册 19.2 平行四边形 分层练行四边形及其相关概念
1、如图所示，四边形是平行四边形，那么下列说法正确的有( )
四边形是平行四边形，记做四边形是
把四边形分成两个全等的三角形
，且
四边形是平行四边形，可以记做“”
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
给定平面上不在同一直线上的三点、、，过这三点分别作对边的平行线，分别交于、、，图中的平行四边形有 个．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3、在四边形中，若， ，则四边形为平行四边形．
4、在所给的方格中，每个小正方形的边长都是，按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．
在图中画一个平行四边形，使它的周长是整数．
在图中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．
由平行四边形的性质求边
1、如图， ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（　　）
A.1 B.1.5 C.2 D.3
2、如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为（　　）
A.4 B.3 C.2 D.不确定
3、如图，在中，，，点是上一点，将四边形沿翻折得到四边形，点正好落在延长线上的点处．
（1）的长为 ；
（2）若，则的长为 ．
4、如图，中，对角线、相交于点，，，，则的长为 ．
5、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BE平分∠ABC交CD边于点E，且DE＝2，求BC的长．
6、如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到点E，使AE＝AO，延长OC到点F，使CF＝OC，连接DE，BF．
（1）求证：DE∥BF．
（2）若DB平分∠ADC，AB＝5，CF＝3，求DE的长．
由平行四边形的性质求角
1、已知中，对角线和相交于点，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
2、如图，将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠FGD的度数为（　　）
A.60° B.50° C.40° D.30°
3、若平行四边形中两个内角的度数之比是1：2，则较小内角的度数是 　 　．
4、如图，E为 ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠A＝110°，则∠E的度数为 　 　．
5、如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，求平行四边形各个内角的度数．
平行四边形性质的综合应用
1、如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），则顶点D的坐标是（　　）
A.（﹣8，2） B.（8，﹣4） C.（4，2） D.（8，2）
2、如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是（　　）
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
3、如图在平面直角坐标系中将 ABCD向右平移得到 A1B1C1D1，其中点A坐标为（2，3），点C坐标（2，1），点D坐标（1，1），点C1坐标（5，1），则 ABCD在平移过程扫过的面积即四边形ADC1B1的面积为 　　．
4、如图，在 ABCD中，AB＝5，∠ABC与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为 　 　．
两平行线之间的距离
1、如图，两把直尺的长分别为，，宽分别为，，纸上画有，将两把直尺的一边缘沿的边摆放，两直尺的另一边的边缘的交点在的平分线上，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
2、如图，把剪成三部分，边放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（　　）
A.70° B.75° C.80° D.85°
3、平行四边形ABCD中，AB、BC长分别为12和26，边AD与BC之间的距离为8，则AB与CD间的距离为　 　．
4、 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AC＝26，∠ADB＝90°，则AD与BC间的距离为 　 　．
5、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC＝21cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE＝5cm，AD＝7cm，求AD和BC之间的距离．
6、如图，平行四边形的顶点G在平行四边形的边上，平行四边形的顶点B在平行四边形的边上．求证：．
添加条件判断是否为平行四边形
1、如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A.BC＝AD B.AB∥CD C.AB＝CD D.∠A+∠D＝180°
2、在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则添加的条件不能是（　　）
A.AD∥BC B.∠B＝∠D C.AB＝CD D.AD＝BC
3、如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线BD所在的直线上，且BE=DF，AE∥CF，请再添加一个条件（不要在图中再增加其它线段和字母），能证明四边形ABCD是平行四边形，并证明你的想法.
你所添加的条件： ；
证明：
4、如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO＝CO，添加条件 　，可得四边形ABCD为平行四边形（只需添加一个条件）．
根据给出的条件判断是否为平行四边形
1、已知四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，则下列选项中不能证明四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A.AB∥CD，AB＝CD B.AB＝CD，BC＝AD C.AB∥CD，AC＝BD D.OA＝OC，OB＝OD
2、□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A.BE=DF B.AE=CF C.AF//CE D.∠BAE=∠DCF
3、下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A.， B.， C.， D.，
4、小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是 　 　．
5、下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 　　（填序号）．
①AB＝CD，AD＝BC；②AD＝BC，AD∥BC；③AB＝CD，∠B＝∠D；④OA＝OC，OB＝OD．
6、如图，在四边形ABCD中，BC＝12，OA＝OC＝13，BD＝10，∠CBD＝90°，求证：四边形ABCD为平行四边形．
7、如图：在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，且AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
（2）四边形ABCF是平行四边形吗？请说明理由．
动点问题中判断平行四边形
1、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形
A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2
2、如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l1、l2上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成 ABCD，则对角线AC长度的最小值是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝6cm，点P在AD边上以每秒2cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C向点B运动，几秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形？（　　）
A.2秒 B.2秒或3秒 C.2秒或4秒 D.4秒
4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4cm，BC＝9cm．动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1cm/s的速度向终点A运动，点Q以2cm/s的速度向终点C运动，　
　 秒时四边形CDPQ是平行四边形？
5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动：点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当运动时间t为 　 　时，P、Q与四边形ABCD中任意两个顶点构成平行四边形．
6、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝30cm，点P自点A向点D以3cm/s的速度运动，到点D即停止，点Q自点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止，直线PQ截这个四边形为两个四边形，问：当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？
7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AC的中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P运动的时间为t秒．
（1）求AB与CE之间的距离；
（2）t为何值时，四边形PBCF是平行四边形？
坐标系中的平行四边形
1、在平面直角坐标系中，以A（1，1），B（3，0），C（﹣1，0）为顶点构造平行四边形，下列各点不能作为平行四边形顶点的是（　　）
A.（5，1） B.（0，﹣2） C.（﹣3，1） D.（1，﹣1）
2、如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　）
A.（3，﹣1） B.（﹣1，﹣1） C.（1，1） D.（﹣2，﹣1）
3、如图，平面直角坐标系xOy中，点A（2，3），B（3，0），C（m，n）其中m＞0，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为　 　．
4、四边形ABCD在坐标系中的坐标为A（8，0），B（6，4），C（0，4），O（0，0），P点在CB上从C点向B点运动，运动速度为每秒2个单位；Q点在AO上从A点向O点运动，运动速度为每秒3个单位，P点和Q点同时运动，其中一点达到终点另一点随即停止运动，设运动时间为t秒
（1）当t为何值时四边形ABPQ为平行四边形？
（2）当t为何值时，△AQP是以AQ为底边的等腰三角形？
平行四边形的判定和性质的综合运用
1、如图，在平行四边形ABCD中，E、G是AD的三等分点，F、H是BC的三等分点，则图中平行四边形共有（　　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2、如图，AB＝CD＝3，∠A＝75°，∠B＝45°，∠D＝15°，则线段AD的长为（　　）
A.4 B.2 C.2 D.2
3、如图，在正方形中，分别是正方形各边的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
4、如图，四边形，，，，，点E为中点，则的长为 ．
5、已知：如图，在 ABCD中，点E是CD的中点，联结AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：△AED≌△FEC；
（2）求证：四边形ACFD是平行四边形．
根据三角形中位线定理求边长
1、如图，在等边中，，，，垂足分别为点D、E．G为中点，H为中点连接，则的值为（ ）
A. B.1 C. D.2
2、如图所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，且AB＝10，AC＝14，BC＝16，则DE等于（　　）
A.5 B.7 C.8 D.12
3、如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线．设AB、BC的中点分别为M、N．如果MN＝3米，那么AC＝　 　米．
4、如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D、E分别是边AB、AC的中点，那么四边形DBCE的周长为 　 　．
5、如图，要测出池塘两岸A、B两地的距离，小强在池塘边上取一个能直接到达A、B的点C，量得AC＝20m，BC＝25m．又取AC的中点D，BC的中点E，量得DE＝12m．求A、B两地的距离．
根据三角形中位线定理求角的度数
1、如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，若∠A＝60°，∠B＝45°，则∠EDF的度数为（　　）
A.45° B.60° C.75° D.80°
2、如图，在四边形中，E，F分别是边，的中点，若，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
3、如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，且∠1＝70°，∠B＝50°，则∠A的度数为（　　）
A.40° B.50° C.60° D.70°
4、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE，连接CD，DE，点M，N，P分别是DE，BC，CD的中点，∠PMN＝34°，则∠MPN的度数是 　 　．
5、如图，在中，，，点D，E分别是，的中点，连接，，若，则：
（1）的度数为 ；
（2）的周长是 ．

6、如图，在△ABC中，DE是中位线
（1）∠ADE＝60°，求∠B的度数
（2）若BC＝8cm，求DE的长度．
根据三角形中位线定理求面积
1、如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足OE＝2OF，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（　　）
A.2：1 B.3：2 C.5：3 D.3：1
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是△ABC中边AB的中线，MH⊥BC，垂足为点H，连接AH，若△AHB的面积为3，AC＝3，则AB的长为（　　）
A.4 B.6 C.5 D.8
3、中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG．若DE＝5，AF＝3，则△ABC的面积是（　　）
A.20 B.25 C.30 D.35
4、如图，EF是△ABC的中位线，O是EF上一点，且满足OE＝2OF．则△ABC的面积与△AOC的面积之比为 　　．
5、如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
沪科版（2024）八年级下册 19.2 平行四边形 分层练习（参考答案）
1平行四边形及其相关概念
1、如图所示，四边形是平行四边形，那么下列说法正确的有( )
四边形是平行四边形，记做四边形是
把四边形分成两个全等的三角形
，且
四边形是平行四边形，可以记做“”
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】四边形是平行四边形，记做“四边形是”，错误．
把四边形分成两个全等的三角形，正确；
，且，正确；
四边形是平行四边形，可以记做“”，应该为：记做“”，错误．
故选B．
2、给定平面上不在同一直线上的三点、、，过这三点分别作对边的平行线，分别交于、、，图中的平行四边形有 个．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】共有三个平行四边形： ， ， ．故选：．
3、在四边形中，若， ，则四边形为平行四边形．
【答案】
【解析】由两组对边分别平行得四边形是平行四边形，得．故答案为：
4、在所给的方格中，每个小正方形的边长都是，按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．
在图中画一个平行四边形，使它的周长是整数．
在图中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．
【答案】解：画图如下图，画一个长为，宽为的矩形，此平行四边形的周长为，周长是整数；答案不唯一画图如下图，画一个两邻边长为和的平行四边形，此平行四边形的周长为，周长不是整数答案不唯一
2由平行四边形的性质求边
1、如图， ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（　　）
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝3，AB＝5，
∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝5，CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝3，
∴EC＝CD﹣DE＝5﹣3＝2，
故选：C．
2、如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为（　　）
A.4 B.3 C.2 D.不确定
【答案】B
【解析】如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝6．
∵M，N分别为BE，CE的中点，
∴MN是△EBC的中位线，
∴MNBC＝3．
故选：B．
3、如图，在中，，，点是上一点，将四边形沿翻折得到四边形，点正好落在延长线上的点处．
（1）的长为 ；
（2）若，则的长为 ．
【答案】 2
【解析】解：（1）∵四边形是平行四边形，，，
∴，
∴，
由折叠可得，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2
（2）如图，连接，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴在中，由（1）得到，
，
故答案为：
4、如图，中，对角线、相交于点，，，，则的长为 ．
【答案】
【解析】解：作交的延长线于点，于点，则，
四边形是平行四边形，，，
，，
，
，，
，
在上取一点，连接，使，
则，
，
，
，
，且，
，
解得或（不符合题意，舍去），
，，
，
故答案为：
5、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BE平分∠ABC交CD边于点E，且DE＝2，求BC的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝5，
∴CD＝AB＝5，CD∥AB，
∴∠ABE＝∠CEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CEB＝∠CBE，
∴BC＝CE，
又∵DE＝2，
∴BC＝CE＝CD﹣DE＝5﹣2＝3．
6、如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到点E，使AE＝AO，延长OC到点F，使CF＝OC，连接DE，BF．
（1）求证：DE∥BF．
（2）若DB平分∠ADC，AB＝5，CF＝3，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，OB＝OD．
∵AE＝AO，CF＝OC，
∴OE＝OF．
∵∠EOD＝∠FOB，
∴△DOE≌△BOF（SAS），
∴∠EDO＝∠FBO，
∴DE∥BF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠ADB＝∠CBD．
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴C B＝C D＝A B＝A D＝5，
∴AC⊥BD于点O．
∵O C＝C F＝3，
∴．
∵O F＝2 O C＝6，
∴．
∵△DOE≌△BOF，
∴．
3由平行四边形的性质求角
1、已知中，对角线和相交于点，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，作于点，连接，
，
则，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故选：B．
2、如图，将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠FGD的度数为（　　）
A.60° B.50° C.40° D.30°
【答案】C
【解析】∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，
∴∠GEF＝90°﹣∠EGF＝90°﹣60°＝30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠AEF＝50°，
∴DC∥AB，
∴∠FGD+∠EGF+∠GEF+∠AEF＝∠AEG+∠DGE＝180°，
∴∠FGD+60°+30°+50°＝180°，
∴∠FGD＝40°，
故选：C．
3、若平行四边形中两个内角的度数之比是1：2，则较小内角的度数是 　 　．
【答案】60°．
【解析】∵平行四边形的对角相等，且两个内角的比是1：2，
∴该平行四边形的两个邻角的比是1：2，
设这两个内角中较小内角的度数是x°，则2x+2×2x＝360，
解得x＝60，
∴较小内角的度数是60°，
故答案为：60°．
4、如图，E为 ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠A＝110°，则∠E的度数为 　 　．
【答案】70°．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝110°，
∴∠C＝∠A＝110°，
∵EB⊥BC，ED⊥CD，
∴∠CBE＝∠CDE＝90°，
∵∠E＝360°﹣∠C﹣∠CBE﹣∠CDE＝360°﹣110°﹣90°﹣90°＝70°，
故答案为：70°．
5、如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，求平行四边形各个内角的度数．
【答案】解：在四边形AECF中，因为AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，
所以∠C＝120°
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，∠B+∠C＝180°
∴∠BAD＝120°；∠B＝60°；∠C＝120°；∠D＝60°．
4平行四边形性质的综合应用
1、如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），则顶点D的坐标是（　　）
A.（﹣8，2） B.（8，﹣4） C.（4，2） D.（8，2）
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵ ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣4，﹣4）、（4，﹣4），
∴BC＝8，OA＝2，
∴顶点D的坐标为（8，2）．
故选：D．
2、如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是（　　）
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
【答案】C
【解析】设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高，
∴S△EAD+S△ECB
AD h1CB h2AD（h1+h2）
S四边形ABCD
＝4．
故答案为：C．
3、如图在平面直角坐标系中将 ABCD向右平移得到 A1B1C1D1，其中点A坐标为（2，3），点C坐标（2，1），点D坐标（1，1），点C1坐标（5，1），则 ABCD在平移过程扫过的面积即四边形ADC1B1的面积为 　　．
【答案】8．
【解析】∵点C（2，1），点C1（5，1），
∴平移距离5﹣2＝3，
∵点A（2，3），
∴点A1的坐标为（5，3），
∵点C（2，1），点D坐标（1，1），
∴点B的坐标为（3，3），
∴B1（6，3），
由平移性质得四边形ADC1B1是平行四边形，
∴四边形ADC1B1的面积＝（3﹣1）×（6﹣2）＝8，
故答案为：8．
4、如图，在 ABCD中，AB＝5，∠ABC与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为 　 　．
【答案】100．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝5，
∴DC＝AB＝3，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AEB＝∠CBE，∠DEC＝∠DCE，∠ABC+∠DCB＝180°，
∵∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，点E恰好在AD边上，
∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠DCE＝∠BCE∠DCB，
∴∠AEB＝∠ABE，∠DEC＝∠DCE，∠CBE+∠BCE（∠ABC+∠DCB）＝90°，
∴AE＝AB＝5，DE＝DC＝5，∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝90°，
∴BC＝AD＝AE+DE＝5+5＝10，
∴CE2+BE2＝BC2＝102＝100，
故答案为：100．
5两平行线之间的距离
1、如图，两把直尺的长分别为，，宽分别为，，纸上画有，将两把直尺的一边缘沿的边摆放，两直尺的另一边的边缘的交点在的平分线上，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵点在的平分线上，
∴，
由平行线间间距相等可知，，，
∴，
由于和的长度未知，故二者不一定相等，
故选：．
2、如图，把剪成三部分，边放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（　　）
A.70° B.75° C.80° D.85°
【答案】C
【解析】解：过点分别作于，于，于，如图所示：
∵直线，
∴，
∴点是的内心，即点为三个内角平分线的交点，
∴，
∴，
故选：C．
3、平行四边形ABCD中，AB、BC长分别为12和26，边AD与BC之间的距离为8，则AB与CD间的距离为　 　．
【答案】．
【解析】如图，过点A作AE⊥BC于点E、AF⊥CD于点F．
由题意得，S四边形ABCD＝AE×BC＝CD×AF，
∵AB＝12，BC＝26，AE＝8，
∴26×8＝12×AF，
∴AF，
即AB与CD间的距离为．
故答案为：．
4、 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AC＝26，∠ADB＝90°，则AD与BC间的距离为 　 　．
【答案】10．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝13，
在Rt△ADO中，由勾股定理得，
DO5，
∴BD＝10，
∴AD与BC间的距离为10，
故答案为：10．
5、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC＝21cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE＝5cm，AD＝7cm，求AD和BC之间的距离．
【答案】解：设AD和BC之间的距离为x，
则平行四边形ABCD的面积等于AD x，
∵S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝2AC BE＝AC BE，
∴AD x＝AC BE，
即：7x＝21×5，
x＝15（cm），
答：AD和BC之间的距离为15cm．
6、如图，平行四边形的顶点G在平行四边形的边上，平行四边形的顶点B在平行四边形的边上．求证：．
【答案】解：连接，，作，垂足M，作，垂足N．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴ ，
∵，
∴，
∴，
同理，
∴．
6添加条件判断是否为平行四边形
1、如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A.BC＝AD B.AB∥CD C.AB＝CD D.∠A+∠D＝180°
【答案】C
【解析】∵BC∥AD，BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
B．∵BC∥AD，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
C．AB＝CD，BC∥AD
不能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项符合题意；
D．∵∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
∵BC∥AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
故选：C．
2、在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则添加的条件不能是（　　）
A.AD∥BC B.∠B＝∠D C.AB＝CD D.AD＝BC
【答案】D
【解析】A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故不符合题意；
B、∵AB∥CD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠A＝∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C、∵AB∥CD，AB＝CD
∴四边形ABCD为平行四边形，故不符合题意；
D、由AB∥CD，AD＝BC，不能证明四边形ABCD为平行四边形，故符合题意；
故选：D．
3、如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线BD所在的直线上，且BE=DF，AE∥CF，请再添加一个条件（不要在图中再增加其它线段和字母），能证明四边形ABCD是平行四边形，并证明你的想法.
你所添加的条件： ；
证明：
【答案】AE=CF
【解析】答案不唯一，例如：添加AE＝CF．
证明如下：
∵AE∥CF，
∴∠E＝∠F，
又BE＝DF，AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
4、如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO＝CO，添加条件 　，可得四边形ABCD为平行四边形（只需添加一个条件）．
【答案】DO＝BO．
【解析】添加条件DO＝BO，
证明：∵AO＝CO，DO＝BO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故答案为：DO＝BO．
7根据给出的条件判断是否为平行四边形
1、已知四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，则下列选项中不能证明四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A.AB∥CD，AB＝CD B.AB＝CD，BC＝AD C.AB∥CD，AC＝BD D.OA＝OC，OB＝OD
【答案】C
【解析】解：A、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝CD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AB∥CD，AC＝BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
2、□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A.BE=DF B.AE=CF C.AF//CE D.∠BAE=∠DCF
【答案】B
【解析】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；
C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AF//CE，
∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEO=∠CFO，
∴AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，
故选B．
3、下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A.， B.， C.， D.，
【答案】A
【解析】解：A、若AB＝CD，∠A＝∠B，不可以判定四边形ABCD是平行四边形；
B、∵AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A＋∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B可以判定四边形ABCD是平行四边形；
C、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知C可以判定四边形ABCD是平行四边形；
D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知D可以判定四边形ABCD是平行四边形；
故选A．
4、小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是 　 　．
【答案】有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解析】∵将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，
∴A1B1＝AB，A1B1∥AB，
∴四边形ABB1A1是平行四边形，
∴小明这样做的依据是有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故答案为：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
5、下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 　　（填序号）．
①AB＝CD，AD＝BC；②AD＝BC，AD∥BC；③AB＝CD，∠B＝∠D；④OA＝OC，OB＝OD．
【答案】③．
【解析】①∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
②∵AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
③AB＝CD，∠B＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
④∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故答案为：③．
6、如图，在四边形ABCD中，BC＝12，OA＝OC＝13，BD＝10，∠CBD＝90°，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【答案】证明：∵∠CBD＝90°，BC＝12，OA＝OC＝13，
∴BO5，
∵BD＝10，
∴DO＝10﹣5＝5，
∴BO＝DO，
又∵AO＝CO，
∴四边形ABCD为平行四边形．
7、如图：在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，且AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
（2）四边形ABCF是平行四边形吗？请说明理由．
【答案】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形；
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠1＝∠2＝90°，
∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
即：BE＝DF，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），
∴∠ABE＝∠CDF，
∴AB∥CD，
又∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）四边形ABCF不是平行四边形；
∵∠EFC＞∠BDC，∠ABE＝∠CDF
∴∠ABE≠∠BFC，
∴AB与CF不平行，
∴四边形ABCF不是平行四边形．
8动点问题中判断平行四边形
1、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形
A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2
【答案】C
【解析】∵E是BC的中点，
∴BE＝CEBC＝8，
由题意可知：AP＝t，则DP＝6﹣t，CQ＝3t，
①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，
∴3t﹣8＝6﹣t，
解得：t＝3.5；
②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，
∴8﹣3t＝6﹣t，
解得：t＝1，
∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
故选：C．
2、如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l1、l2上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成 ABCD，则对角线AC长度的最小值是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】如图，连接AB，AD，BD，取BD中点O，连接AO，延长AO作OC＝AO，连接CD，CB，如图做三角形OAN，使∠ANO＝90°，
此时四边形ABCD是平行四边形，
∵直线l1∥l2，它们间的距离为2，
∴O到l1l2的距离均为1，
∵点A到l1的距离为1
∴ON＝2，
由图可知AO≥ON，
∴AOmin＝ON＝2，
∴ACmin＝2AO＝4，
故选：B．
3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝6cm，点P在AD边上以每秒2cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C向点B运动，几秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形？（　　）
A.2秒 B.2秒或3秒 C.2秒或4秒 D.4秒
【答案】B
【解析】设点P、Q运动的时间为t秒，依题意得，
CQ＝t，BQ＝6﹣t，AP＝2t，
PD＝9﹣2t，
①当BQ＝AP时，四边形APQB是平行四边形，
即6﹣t＝2t，
解得t＝2．
②当CQ＝PD时，四边形CQPD是平行四边形，即t＝9﹣2t，
解得，t＝3，
所以经过2秒或3秒后，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．
故选：B．
4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4cm，BC＝9cm．动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1cm/s的速度向终点A运动，点Q以2cm/s的速度向终点C运动，　
　 秒时四边形CDPQ是平行四边形？
【答案】3
【解析】设t秒后，四边形CDPQ是平行四边形，
∴PD＝t cm，CQ＝（9﹣2t）cm，
∵AD∥BC，
∴当PD＝CQ时，四边形CDPQ是平行四边形，
∴t＝9﹣2t，
∴t＝3，
∴3秒时四边形CDPQ是平行四边形．
故答案为：3．
5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动：点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当运动时间t为 　 　时，P、Q与四边形ABCD中任意两个顶点构成平行四边形．
【答案】4或5或．
【解析】∵点P以与秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D动：点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，
∴AP＝t，PD＝6﹣t，CQ＝3t，BQ＝16﹣3t，
∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ或PD＝CQ或PD＝BQ时，P、Q与四边形ABCD中任意两个顶点构成平行四边形．
当AP＝BQ时，则t＝16﹣3t，
解得：t＝4，
当PD＝CQ时，则6﹣t＝3t，
解得：t，
当PD＝BQ时，则6﹣t＝16﹣3t，
解得：t＝5，
综上所述：t的值为4或5或，
故答案为：4或5或．
6、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝30cm，点P自点A向点D以3cm/s的速度运动，到点D即停止，点Q自点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止，直线PQ截这个四边形为两个四边形，问：当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？
【答案】解：设当P，Q同时出发，t秒后其中一个四边形为平行四边形，
则AP＝3tcm，DP＝（24﹣3t）cm，CQ＝2tcm，BQ＝（30﹣2t）cm，
①当ABQP是平行四边形时，
AP＝BQ，
即3t＝30﹣2t，
解得：t＝6；
②当CDPQ是平行四边形时，
DP＝CQ，
即24﹣3t＝2t，
解得：t＝4.8；
即当当P，Q同时出发，6秒或4.8秒后其中一个四边形为平行四边形．
7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AC的中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P运动的时间为t秒．
（1）求AB与CE之间的距离；
（2）t为何值时，四边形PBCF是平行四边形？
【答案】解：（1）如图，作CH⊥AB于点H，
∵BC＝3，AC＝4，
∴根据勾股定理得：AB5，
∴AB CHAC BC，即5×CH4×3，
∴CH，
则AB与CE间的距离为；
（2）∵D是AC中点，
∴当P为AB中点时，PD∥BC，
又∵CE∥BA，
∴四边形PBCF为平行四边形，
此时PBAB，即t．
9坐标系中的平行四边形
1、在平面直角坐标系中，以A（1，1），B（3，0），C（﹣1，0）为顶点构造平行四边形，下列各点不能作为平行四边形顶点的是（　　）
A.（5，1） B.（0，﹣2） C.（﹣3，1） D.（1，﹣1）
【答案】B
【解析】如图所示：
①以AC为对角线，可以画出 AFCB，F（﹣3，1）；
②以AB为对角线，可以画出 ACBE，E（5，1）；
③以BC为对角线，可以画出 ACDB，D（1，﹣1）；
故选：B．
2、如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　）
A.（3，﹣1） B.（﹣1，﹣1） C.（1，1） D.（﹣2，﹣1）
【答案】D
【解析】A、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为（3，﹣1）时，
∴BO＝AC1＝2，
∵A，C1，两点纵坐标相等，
∴BO∥AC1，
∴四边形OAC1B是平行四边形；故此选项正确；
B、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为（﹣1，﹣1）时，
∴BO＝AC2＝2，
∵A，C2，两点纵坐标相等，
∴BO∥AC2，
∴四边形OC2AB是平行四边形；故此选项正确；
C、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为（1，1）时，
∴BO＝AC1＝2，
∵A，C1，两点纵坐标相等，
∴C3O＝BC3，
同理可得出AO＝AB，
进而得出C3O＝＝AB，BC3＝AO，
∴四边形OABC3是平行四边形；故此选项正确；
D、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为（﹣1，﹣1）时，四边形OC2AB是平行四边形；
∴当第四个点为（﹣2，﹣1）时，四边形OC2AB不可能是平行四边形；
故此选项错误．
故选：D．
3、如图，平面直角坐标系xOy中，点A（2，3），B（3，0），C（m，n）其中m＞0，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为　 　．
【答案】（5，3）或（1，﹣3）．
【解析】①当四边形OACB是平行四边形时，OC交AB于E．则AE＝EB，OE＝EC．
∵点A（2，3），B（3，0），
∴E（，），
∴C（5，3），
②当四边形OABC′是平行四边形时，OB交AC′于F，则OF＝FB，FA＝FC′，
∵B（3，0），
∴F（，0），
∴，0，
∴m＝1，n＝﹣3，
∴C（1，﹣3），
故答案为（5，3）或（1，﹣3）．
4、四边形ABCD在坐标系中的坐标为A（8，0），B（6，4），C（0，4），O（0，0），P点在CB上从C点向B点运动，运动速度为每秒2个单位；Q点在AO上从A点向O点运动，运动速度为每秒3个单位，P点和Q点同时运动，其中一点达到终点另一点随即停止运动，设运动时间为t秒
（1）当t为何值时四边形ABPQ为平行四边形？
（2）当t为何值时，△AQP是以AQ为底边的等腰三角形？
【答案】解：（1）如图1：由题意得：CP＝2t，AQ＝3t，则PB＝6﹣2t，
当PB＝AQ时，四边形ABPQ为平行四边形，
故6﹣2t＝3t，
解得：t，
答：t为四边形ABPQ为平行四边形；
（2）过P作PD⊥AO，过Q作QF⊥BC，
∵△AQP是以AQ为底边的等腰三角形，
∴DQ＝ADQA，
∵AQ＝3t，
∴DQ＝1.5t，QO＝8﹣3t，
∵CP＝2t，
∴FP＝2t﹣（8﹣3t）＝5t﹣8，
∴5t﹣8＝1.5t，
解得：t．
10平行四边形的判定和性质的综合运用
1、如图，在平行四边形ABCD中，E、G是AD的三等分点，F、H是BC的三等分点，则图中平行四边形共有（　　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】D
【解析】∵E、G是AD的三等分点，F、H是BC的三等分点，
∴AE＝EG＝GD，BF＝FH＝HC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AE＝EG＝GD＝BF＝FH＝HC，
∴图中的平行四边形共有6个，它们分别为：平行四边形ABCD，平行四边形ABFE，平行四边形ABHG，平行四边形EFHG，平行四边形EFCD，平行四边形GHCD．
故选：D．
2、如图，AB＝CD＝3，∠A＝75°，∠B＝45°，∠D＝15°，则线段AD的长为（　　）
A.4 B.2 C.2 D.2
【答案】C
【解析】过点D作DE∥AB，且DE＝AB，连接CE、BE，如图所示：
则四边形ABED是平行四边形，∠A+∠ADE＝180°，
∴DE＝AB＝3，AD＝BE，∠ABE＝∠ADE＝180°﹣75°＝105°，∠BED＝∠A＝75°，
∵∠ADC＝15°，
∴∠CDE＝90°，
∵AB＝CD，
∴DE＝CD，
∴CECD＝3，
∵∠ABC＝45°，
∴∠CBE＝60°，
∴∠BCD＝135°，
∴∠BCE＝90°，
∴BE2，
∴AD＝BE＝2；
故选：C．
3、如图，在正方形中，分别是正方形各边的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵是正方形，
∴
∵分别是正方形各边的中点
∴
∴，故A正确；
∵且
∴四边形是平行四边形
∴，故B正确；
∵
∴
∴
即：
同理得
∵
∴
∴
∴，故C正确；
由以上推理过程可同理得：
由C得：
∵为的中点，
∴
∴
同理得：
∴
∴，故D错误；
故选：D．
4、如图，四边形，，，，，点E为中点，则的长为 ．
【答案】13
【解析】解：取的中点F，连接，
∵分别是的中点，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∴．
中，，
∴，．
∴．
∴．
故答案为：13
5、已知：如图，在 ABCD中，点E是CD的中点，联结AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：△AED≌△FEC；
（2）求证：四边形ACFD是平行四边形．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AD∥BF，
∴∠ADE＝∠FCE，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△AED和△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（ASA）；
（2）由（1）得：△AED≌△FEC，
∴AE＝FE，
又∵DE＝CE，
∴四边形ACFD是平行四边形．
11根据三角形中位线定理求边长
1、如图，在等边中，，，，垂足分别为点D、E．G为中点，H为中点连接，则的值为（ ）
A. B.1 C. D.2
【答案】C
【解析】解：取中点，连接，
∵G为中点，H为中点，
∴，
∵等边中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故选C．
2、如图所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，且AB＝10，AC＝14，BC＝16，则DE等于（　　）
A.5 B.7 C.8 D.12
【答案】C
【解析】∵D，E分别是AB，AC的中点
∴DEBC＝8．
故选：C．
3、如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线．设AB、BC的中点分别为M、N．如果MN＝3米，那么AC＝　 　米．
【答案】6．
【解析】∵点M、N分别为AB、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴AC＝2MN＝2×3＝6（米），
故答案为：6．
4、如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D、E分别是边AB、AC的中点，那么四边形DBCE的周长为 　 　．
【答案】11
【解析】∵D、E分别是边AB、AC的中点，AB＝AC＝5，
∴DE是△ABC的中位线，DBAB＝2.5，ECAC＝2.5，
∴DEBC，
∵BC＝4，
∴DE＝2，
∴四边形DBCE的周长＝DB+BC+EC+DE＝2.5+4+2.5+2＝11，
故答案为：11．
5、如图，要测出池塘两岸A、B两地的距离，小强在池塘边上取一个能直接到达A、B的点C，量得AC＝20m，BC＝25m．又取AC的中点D，BC的中点E，量得DE＝12m．求A、B两地的距离．
【答案】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，DE＝12m，
∴AB＝2DE＝24m．
12根据三角形中位线定理求角的度数
1、如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，若∠A＝60°，∠B＝45°，则∠EDF的度数为（　　）
A.45° B.60° C.75° D.80°
【答案】C
【解析】∵在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴∠EDF＝∠C＝75°．
故选：C．
2、如图，在四边形中，E，F分别是边，的中点，若，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：连接，

∵E、F分别是边，的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
3、如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，且∠1＝70°，∠B＝50°，则∠A的度数为（　　）
A.40° B.50° C.60° D.70°
【答案】C
【解析】∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝50°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
故选：C．
4、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE，连接CD，DE，点M，N，P分别是DE，BC，CD的中点，∠PMN＝34°，则∠MPN的度数是 　 　．
【答案】112°．
【解析】∵点M，N，P分别是DE，BC，CD的中点，
∴PM是△CDE的中位线，PN是△CDB的中位线，
∴PMCE，PNBD，
∵BD＝CE，
∴PM＝PN，
∴∠PNM＝∠PMN＝34°，
∴∠MPN＝180°﹣∠PMN﹣∠PNM＝112°，
故答案为：112°．
5、如图，在中，，，点D，E分别是，的中点，连接，，若，则：
（1）的度数为 ；
（2）的周长是 ．

【答案】/90度
【解析】解：（1）∵点D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
又∵，，
∴
∴
又∵
∴
（2）∵即是直角三角形，点D是的中点，
∴，
的周长是：．
故答案为：（1）（2）
6、如图，在△ABC中，DE是中位线
（1）∠ADE＝60°，求∠B的度数
（2）若BC＝8cm，求DE的长度．
【答案】解：（1）∵DE是中位线，
∴DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE＝60°；
（2）∵DE是中位线，
∴DEBC＝4cm．
13根据三角形中位线定理求面积
1、如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足OE＝2OF，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（　　）
A.2：1 B.3：2 C.5：3 D.3：1
【答案】D
【解析】∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EFBC，
∵OE＝2OF，
∴OEBCBC，
设点A到BC的距离为h，
则S△ABCBC h，S△AOCOE hBC hBC h，
∴△ABC的面积与△AOC的面积之比＝3：1．
故选：D．
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是△ABC中边AB的中线，MH⊥BC，垂足为点H，连接AH，若△AHB的面积为3，AC＝3，则AB的长为（　　）
A.4 B.6 C.5 D.8
【答案】C
【解析】∵MH⊥BC，垂足为点H，∠ACB＝90°，
∴MH∥AC，
∵CM是△ABC中边AB的中线，
∴CH＝HB，
∵△AHB的面积为3，
∴△AHC的面积为3，
∴△ACB的面积为6，
∵AC＝3，
∴BC＝4，
∴由勾股定理得：AB＝5，
故选：C．
3、中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG．若DE＝5，AF＝3，则△ABC的面积是（　　）
A.20 B.25 C.30 D.35
【答案】C
【解析】∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，AD＝DB，
∴BC＝2DE＝2×5＝10，
在△AFD和△BGD中，
，
∴△AFD≌△BGD（AAS），
∴BG＝AF＝3，
∴长方形BCHG的面积为：3×10＝30，
∴△ABC的面积是30，
故选：C．
4、如图，EF是△ABC的中位线，O是EF上一点，且满足OE＝2OF．则△ABC的面积与△AOC的面积之比为 　　．
【答案】3．
【解析】∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EFBC，
∵OE＝2OF，
∴OEEFBCBC，
设点A到BC的距离为h，
则S△ABCBC h，S△AOCOE hBC hBC h，
∴△ABC的面积与△AOC的面积之比＝3：1＝3．
故答案为：3．
5、如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
【答案】解：（1）在△ABC中，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DEBC，
∵CFBC，
∴DE＝CF．
（2）∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∵BC＝4，BD＝2，
∴CD2，
∵DE∥CF，DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF＝CD＝2．
（3）过点D作DH⊥BC于H．
∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，
∴DHDC，
∵DE＝CF＝2，
∴S四边形DEFC＝CF DH＝22．

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