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人教版（2024）八年级下册 21.2 平行四边形 分层练行四边形性质求边长或周长
1如图，在?ABCD中，点A，B，C的坐标分别为（2，0），（0，1），（1，2），则?ABCD的周长为（　　）
A. B. C. D.
2在 ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为(　　)
A.3 B.5 C.2或3 D.3或5
3一根8米长的铜丝围成一个平行四边形，使长边和短边的比是5∶3，则长边的长是____________米．
4如图，在 ABCD中，已知AD＝8 cm，AB＝6 cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE＝________ cm.
5如图，A，B两点被大山阻隔，为了改善山区的交通，现拟开凿一个贯穿A，B的隧道，修建一条高速公路．请你设计出一个方案，利用平移的有关知识测量出A，B之间的距离和隧道开凿的方向．
用平行四边形性质求面积
1嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（ ）
A.甲对，乙、丙错 B.甲、丙对，乙错 C.甲、乙对，丙错 D.乙、丙对，甲错
2如图， ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为(　　)
A.3 B.6 C.12 D.24
3如图，过平行四边形ABCD的对角线BD上一点M，分别作平行四边形两边AD，AB的平行线EF，GH．若图中平行四边形AEMG的面积S1为10，则平行四边形HCFM的面积S2的值为（　　）
A.12 B.10 C.8 D.6
4如图， ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥AB，已知AC＝10，BD＝26，那么 ABCD的面积为________．
5如图，在?ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于F．
（1）若∠F＝28°，求∠A的度数；
（2）若AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求?ABCD的面积．
6如图，在平面直角坐标系中，的顶点落在轴上，点的坐标为，，点分别是线段和上的两个动点，满足，记，连接、．
(1)点坐标：______；点坐标：______．
(2)若是以为腰的等腰三角形，求的值．
(3)连接交于点，连接，记四边形的面积为，的面积为．当时，求的值．
用平行四边形性质求角度
1已知 ABCD中，∠B＝4∠A，则∠D等于(　　)
A.18° B.36° C.72° D.144°
2如图，E是平行四边形ABCD的边BC上一点，且AB＝BE，连接AE并延长，与DC的延长线交于点F，若∠D＝40°，则∠F的度数是（　　）
A.30° B.40° C.50° D.70°
3若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较小的内角是(　　)
A.120° B.90° C.60° D.45°
4如图，将平行四边形的ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠DCE＝______.
5如图，如果 ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求 ABCD的内角∠D、∠BAD的度数．
6如图，点E是 ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求∠AGB的度数．
用平行四边形性质证明
1如图，在?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，则添加①BE＝DF；②AE∥CF；③AE＝CF；④∠1＝∠2中任意一个条件，能够使△ABE≌△CDF的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2下列性质中，平行四边形不一定具备的是(　　)
A.邻角互补 B.对角互补 C.对边相等 D.对角线互相平分
3平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过 变换可使它们互相重合．
4有以下四个命题：
（1）平行四边形是中心对称图形
（2）四边形中只有平行四边形才是中心对称图形
（3）平行四边形不是轴对称图形
（4）若一条直线将平行四边形的面积平分，则该直线必过平行四边形的对称中心其中正确的命题有 ．
5如图，CD是?CEDF的对角线，点A、点B是直线CD上的两点，且满足AC＝BD，求证：∠A＝∠B．
6如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的任意一条直线与边AD相交于点E，与边BC相交于点F，求证：OE＝OF.
用平行四边形性质求点的坐标
1在平面直角坐标系中，?ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是A（0，0），B（4，0），C（5，3），则顶点D的坐标是（　　）
A.（﹣1，﹣3） B.（﹣1，3 ） C.（ 1，﹣3） D.（1，3）
2如图，已知平行四边形ABCD中A,C,D三点的坐标，则点B的坐标为（　　）
A.（﹣3，﹣2） B.（﹣2，﹣2） C.（﹣3，﹣1） D.（﹣2，﹣1）
3如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C的坐标是________．
4如图，在平面直角坐标系中，点A是直线在第一象限内的一个动点，点在轴正半轴上．以为边构造，点关于直线的对称点为．连接，线段与轴的交点为．
(1)求证：；
(2)当时，求．
(3)若点坐标为，直接写出当是等腰三角形时点的坐标．
用平行四边形性质解决折叠问题
1在 ABCD中，∠ACB＝25°，现将 ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数(　　)
A.135° B.120° C.115° D.100°
2如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A 落在点 处，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
3如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，，则平行四边形的面积为 ．
4如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．
平行四边形性质与尺规作图综合
1如图，已知□ABCD的顶点A（0，3），D（﹣1，0），按以下步骤作图：
①以D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F；
②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G；
③作射线DG，交边AB于点H，
则点H的坐标为（　　）
A. B.（﹣3，3） C.（3，3） D.
2在□ABCD中，AB＜BC，用无刻度的直尺和圆规在□ABCD的边上找一点E，使△ABE为等腰三角形，下列作法不正确的是（　　）
A. B. C. D.
3如图，在 ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是(　　)
A.AG平分∠DAB B.AD＝DH C.DH＝BC D.CH＝DH
4如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交AD于点F，交CD于点Q，分别以点F，Q为圆心，大于 的长为半径画弧交于点M，连接DM并延长，交BC于点E，连接AE，恰好有AE⊥BC，则AE的长为 　 　．
5学行四边形后，爱探究的小巴同学发现：平行四边形对角线的交点到任意一组对边的距离相等．于是他想出了如下证明方法，请根据他的思路完成以下作图与填空．
如图，四边形是平行四边形．
(1)用直尺和圆规作图：连接交于点O，过点O作的垂线交于点N，交于点M．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：．
证明：四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴
∵
②
∵
∴ ( ③ )
∴

∵
∴
小巴同学进一步研究发现，过平行四边形对角线交点的直线被任意一组对边（或对边所在直线）截得的线段，被对角线的交点 ⑤
6如图，在中，连接．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点E，与交于点F，连接：
(2)在（1）所作的图形中，若，求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴① ，，
∴，
∵的角平分线交于点E，
∴，
∴②
∴，
∴③
∵，
∴，
∵
∴
∴④
在和中，
∴．
求平行线间的距离
1已知，点E，F分别为，上的点，连接，，若，则两直线与间的距离是（　　）
A.5 B.6 C. D.
2下列说法正确的有（ ）
①有公共顶点且相等的角是对顶角
②两条平行线的所有公垂线段都相等
③由，可得
④正方形是轴对称图形，且有4条对称轴
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3在平面中，我们称一组平行直线为“平行线族”．对于“平行线族”中的任意两条直线，它们之间的“线距”是指这两条直线之间的垂直距离．已知“平行线族”中有三条直线、、，已知直线与的线距为5，直线与的线距为2，那么直线与的线距是 ．
4如图，已知，请完成下列问题：
(1)请用直尺和圆规作出的平分线，交于点P；
(2)过点C作直线AB的垂线，交直线AB于点D；过点C作直线AB的平行线EF；
(3)那么直线AB与直线EF之间的距离是线段________的长度．
5如图，，平分，平分，．
(1)问：与平行吗？试说明理由．
(2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离．
平行线间距离的应用
1如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线m∥n.对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是(　　)
A.∠APB的大小 B.线段PA的长度 C.△APB的周长 D.△APB的面积
2如图，在7×7的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，网格线的交点称格点，点A，点B是方格纸中的两个格点，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.8个
3如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则的面积为 ．
4如图，，是线段上任意一点，与相交于点，若的面积是5，的面积是1，则的面积是 ．
5梯形中，平行于，对角线交于点，平行于，交腰于点，如果三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是多少平方厘米．
在网格中画平行四边形
1如图，在平面直角坐标系中，以A(－1,0)，B(2,0)，C(0,1)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　)
A.(3,1) B.(－4,1) C.(1，－1) D.(－3,1)
2在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（ ）
A.个 B.个 C.个 D.个
3在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是（1，3），点A的坐标是（5，0），点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 　 　．
4在平面直角坐标系中，已知三点O(0,0)，A(1，－2)，B(3,1)，若以A、B、C、O为顶点的四边形是平行四边形，则C点不可能在第__________象限．
5如图，将一个长为8，宽为6的大长方形分割成如图所示24个全等的小长方形，它们的顶点称为格点．请按要求画出以为边的格点四边形．
(1)在图1中画出四边形，使，，点P在四边形外部（不包括四边形的边界）；
(2)在图2中画出，使点P到的三个顶点的距离相等．
添加一个条件成为平行四边形
1如图，给出了四边形的部分数据，再添加一条线段长为9的条件，可得此四边形是平行四边形，则这条线段是（ ）
A.① B.② C.③ D.④
2已知一个凸四边形的一条对角线被另一条对角线平分，请你从下列四个条件中再选取一个作为已知条件，使得这个四边形一定是平行四边形．你的选择是（ ）
A.一组对边平行； B.一组对角相等； C.一组邻边相等； D.一组对边相等．
3如图，已知AB∥DC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需增加条件____________．(只填写一个条件即可，不再在图形中添加其它线段)．
4在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD 中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD＝BC”，小红说“添加AB＝DC”．你同意__________的观点，理由是_________________．
平行四边形的判定
1依据所标数据，下列图形中一定为平行四边形的是（　　）
A. B. C. D.
2四边形的部分数据如图所示（其中度数为对应角的大小，数字为对应边的边长），在①或②处添加恰当的数据，使得四边形是平行四边形，两同学给出了如下回答．嘉嘉：①处应添加数据3，②处无须添加；淇淇：②处应添加数据4，①处无须添加．对于两位同学的回答，下列判断正确的是（ ）
A.只有嘉嘉的回答正确 B.只有淇淇的回答正确 C.两人的回答都正确 D.两人的回答都不正确
3四边形ABCD的对角线相交于O点，在下列条件中：①AB＝CD，BC＝AD；②AC＝BD，AB∥DC；③AB∥CD，BC∥AD；④AB∥DC，∠A＝∠C；⑤∠A＝∠C，∠B＝∠D；⑥AO＝CO，BO＝DO；⑦AB＝DC，∠A＝∠C；能使四边形ABCD是平行四边形的是____________．(只填序号)
4如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AO＝CO，④∠ABC＝∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是________．(填写一组序号即可)
5如图，四边形ABCD中AC，BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC．
（1）求证：O是线段AC的中点；
（2）连接AF，EC，证明四边形AFCE是平行四边形．
利用性质与判定求解
1如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，点E是BC边上任意一点，过点E分别作AB，AC的平行线，交AC于点F，交AB于点D，则四边形ADEF的周长是（　　）
A.32 B.24 C.16 D.8
2已知平面直角坐标系中A、B、C三点的坐标分别为，，，在直线下方的y轴上有一条长为1的线段（E在上F在下），当线段在y轴上滑动时四边形的周长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
3如图，AD∥BC，AB∥CD，AD＝5，BE＝8，则CE的长为（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
4如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6．当BC＝　 　时，AC与BD互相平分．
5如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC.
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．
利用性质与判定证明
1如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（ ）
A.mn B. C. D.
2在 ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是(　　)
A.AF＝CE B.AE＝CF C.∠BAE＝∠FCD D.∠BEA＝∠FCE
3如图，，．把，剪下来，用它们拼图，使边BC与边重合，点A与点不重合，连接．所有拼图中，与的关系：①；②与互相平分；③与互相垂直；④，存在的是 ．
4如图，E、F是 ABCD对角线AC上两点，AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接DE，BF，求证：四边形DEBF是平行四边形．
性质和判定与尺规作图的综合
1如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，分别以点为圆心大于长为半作弧，两弧交于点，作交于点，连接，若，则的长为（　　）
A. B. C. D.
2如图，已知的一组邻边AB，BC，用尺规作图作，下列4个作图中，作法与理论依据都正确的有几个（　　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3如图，AD∥BC，AB＝BD，以B为圆心，AD长为半径的圆弧交射线BC于点E，连接DE．若∠BED＝55°，则∠DBC的度数为 　 　．
4如图，在?ABCD中，AE⊥BD于点E．老师给出了如下尺规作图步骤：
（1）以点C为圆心，画弧交BD于点M，N；
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，交于点P；
（3）连接CP并延长，交BD于点F；
（4）连接CE，AF．
请根据以上步骤，证明：四边形AECF是平行四边形．
5如图，已知平行四边形．
(1)用尺规完成以下基本作图：在的延长线上取点E，使，连接交于点F，作的平分线交于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在第（1）问所作的图形中，求证：四边形为平行四边形．
证明：平分，
．
四边形为平行四边形，
．
，，
___①___．
．
，，
，即___②___．
，
___③___．
，，
___④___，
．
，，
___⑤___．
，，
四边形为平行四边形．
性质与判定的实际应用
1在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
2如图，两条宽度分别为1和2的长方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB·BC＝5，则四边形ABCD的面积是(　　)
A.2.5 B.5 C.3.5 D.
3已知，求作的中线，两位同学给出了如图所示的两种方案，对于方案、，说法正确的是（ ）
A.可行、不可行 B.不可行、可行 C.、都可行 D.、都不可行
4如图，两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD．若AD＝8cm，则BC＝　 　cm．
5如图，在平行四边形绘图工具中，量角器的零刻度线与的边在同一条直线上，当时，的度数为 ．
6在的正方形网格中，网格线的交点叫做格点，其中点，，均为格点，只用无刻度的直尺在网格中完成下列作图．
(1)画出格点，连接，，使四边形为平行四边形；
(2)画的角平分线；
(3)画 ．
7（教材改编）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的∠1是72°15′，那么光线与纸板左上方所成的∠2是多少度？为什么？
用性质和判定解决最值问题
1如图，在中，，，，点D是上一动点，连接，以，为边作，则对角线的最小值是 ．
2如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为，、、，若P是x轴上的一动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为 ，的最大值为 ．
3问题探究
（1）如图1，已知等边的边长为4，则点到的距离为______；
（2）如图2，在和中，连接、、，求证：；
问题解决
（3）如图3，某农业观光园中有一块等边三角形的蔬菜种植基地．经测量，，、分别是边、上的点，且满足，是边上的动点（不与端点重合），下方有一块空地（空地足够大），为了增加蔬菜种植基地的面积，管理员计划以、为邻边构造区域，用来种植新品有机蔬菜，扩建后沿修一条灌溉水渠．为节约成本，要求水渠的长度尽可能的短，请求出水渠的最小长度．
4（1）如图①，已知，点、分别在边、上，沿将折叠，点恰好落在边上的处，若，那么的长为___________；
（2）如图②，在四边形中，对角线，相交于点，且，若，，求的最小值；
（3）如图③，在Rt中，，点、分别在边、上运动，若满足，连接，求的最小值．
用性质和判定解决动点问题
1如图，在四边形中，，，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动：点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当运动时间t为 时，P、Q与四边形中任意两个顶点构成平行四边形．
2如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是 秒．
3如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5cm，BC＝9cm.M是CD的中点，P是BC边上的一动点(P与B，C不重合)，连接PM并延长交AD的延长线于Q.
(1)试说明△PCM≌△QDM.
(2)当点P在点B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．
4如图，点E为的边上的动点，点G为上的动点，连接并延长交于点F，连接．
(1)如图①，已知，，．
①若，试求出的度数；
②连接．当点F为的中点，时，求证：．
(2)如图②，在的延长线上取一点P，使得．当，点G是的中点时，试写出线段、、之间存在的数量关系，并说明理由．
用三角形中位线求解
1如图每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，则线段DE的长为（　　）
A. B. C.5 D.
2如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.1＋3
3如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为__________．
4如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7.点A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点；点A3，B3，C3分别是边B2C2，A2C2，A2B2的中点；…；以此类推，则△A4B4C4的周长是________，△AnBnCn的周长是________．
5问题背景：学习了几何变换旋转知识时，同学们总能想到我们熟悉的“手拉手”模型．
问题提出：（1）如图1，和都是等腰直角三角形，，．求证：．
尝试应用：（2）如图2，在（1）的条件下，点在同一条直线上，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点，若，求证：．
问题拓展：（3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，连接，取的中点，取的中点，连接，求的长．
用三角形中位线证明
1如图，，交于点，分别是的中点，选择图中的四个点为顶点画四边形，其中能画出的平行四边形有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2如图，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，P是BC上的动点，E，F分别是AD，DP的中点，当点P在BC上从C向B移动时，那么下列结论成立的是（　　）
A.线段EF的长先减小后增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长逐渐增大
3数学课上，大家一起探究三角形中位线定理的证明方法．
已知：D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且．
嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　）
A.嘉嘉的辅助线作法不可以，淇淇的可以 B.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以 C.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 D.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
4如图，矩形中，，E为线段延长线上一点，且，对角线，相交于点O，过O点作于点G，连接交于点F，连接．则下列结论：①；②；③当时，；④当时，是等腰三角形．其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
5在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．
三角形中位线的实际应用
1如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E，F分别为AB，AC的中点），若EF＝35cm，则点B距离地面的高度为（　　）
A.80cm B.70cm C.60cm D.50cm
2某社区公园计划将如图所示的花坛分成两个区域，用于种植不同的观赏花卉，园艺师分别找到边，的中点，，沿将三角形花坛分为区域①和区域②．已知花坛的边长为10米，则两区域的分界线的长度为（　　）
A.5米 B.10米 C.15米 D.20米
3如图，A，B两地被古城墙阻隔，为测量A，B两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达A，B两地的点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，连接DE．若DE的长为27m，则A，B两地间的距离为 　 　m．
4如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为 ．
5如图，在四边形中，，．
(1)求证：四边形是平行四边形
(2)点在上，点在上，连接、，若，，求证：
(3)在（2）的条件下，连接，过点作分别交、于、两点，过点作交的延长线于点，若，，求的面积
6[问题背景]（1）如图1，在与中，与交于点O，求证：；
[应用迁移]（2）如图2，在与中，，M，N分别为的中点，若，求的值；
[拓展创新]（3）如图3，在中， B为内一点，，直接写出的长．
人教版（2024）八年级下册 21.2 平行四边形 分层练习（参考答案）
1用平行四边形性质求边长或周长
1如图，在?ABCD中，点A，B，C的坐标分别为（2，0），（0，1），（1，2），则?ABCD的周长为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：过C作CE⊥y轴于E，如图，
∵点A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），
∴OA＝2，OB＝1，
∴由勾股定理得，
∵点C的坐标为（1，2），
∴CE＝1，OE＝2，
∴BE＝1,
同理，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴?ABCD的周长，
2在 ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为(　　)
A.3 B.5 C.2或3 D.3或5
【答案】D
【解析】
解：①如图1，在 ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，∵EF＝2，
∴BC＝BE＋CF－EF＝2AB－EF＝8，
∴AB＝5；
②在 ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE＋CF＝2AB＋EF＝8，∴AB＝3；
综上所述：AB的长为3或5.
故选D.
3一根8米长的铜丝围成一个平行四边形，使长边和短边的比是5∶3，则长边的长是____________米．
【答案】
2.5
【解析】
设长边和短边长分别为5xm,3x m，
∴2(5x＋3x)＝8，解得x＝0.5，
∴长边的长是2.5米．
4如图，在 ABCD中，已知AD＝8 cm，AB＝6 cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE＝________ cm.
【答案】
2
【解析】
解：∵ ABCD中，AD∥BC,
∴∠ADE＝∠DEC,
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE＝∠CDE,
∴∠DEC＝∠CDE,∴CD＝CE,
∵CD＝AB＝6cm,
∴CE＝6cm,
∵BC＝AD＝8cm,
∴BE＝BC－EC＝8－6＝2(cm).
5如图，A，B两点被大山阻隔，为了改善山区的交通，现拟开凿一个贯穿A，B的隧道，修建一条高速公路．请你设计出一个方案，利用平移的有关知识测量出A，B之间的距离和隧道开凿的方向．
【答案】
解：可以设法将线段“平移”出来，便于测量．如图，分别沿A，B两点向同一个方向行走相同距离得到点，测量线段即可，这是其中一种方法．
2用平行四边形性质求面积
1嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（ ）
A.甲对，乙、丙错 B.甲、丙对，乙错 C.甲、乙对，丙错 D.乙、丙对，甲错
【答案】B
【解析】
解：∵平行四边形为中心对称图形，
∴过对称中心的任意一条直线平分四边形的面积，
甲方案：直线既平分的面积，也平分的面积，符合题意；正确；
乙方案：直线平分的面积，所以下面阴影部分的面积大于上面的阴影部分的面，不符合题意；错误；
丙方案：直线既平分的面积，也平分，所以直线上方和下方的阴影部分面积也相等，符合题意；正确．
故选B．
2如图， ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为(　　)
A.3 B.6 C.12 D.24
【答案】A
【解析】
解：∵ ABCD中，AC.BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，
∴S ABCD＝3×2＝6，AD∥BC，
∴OA＝OC，∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，∠OAE＝∠OCF，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴S△AOE＝S△COF，
同理：S△EOG＝S△FOH，S△DOG＝S△BOH，
∴S阴影＝S△ABD＝S ABCD＝×6＝3.
故选A.
3如图，过平行四边形ABCD的对角线BD上一点M，分别作平行四边形两边AD，AB的平行线EF，GH．若图中平行四边形AEMG的面积S1为10，则平行四边形HCFM的面积S2的值为（　　）
A.12 B.10 C.8 D.6
【答案】B
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形HBEM，GMFD是平行四边形，
在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S2＝S1＝10．
4如图， ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥AB，已知AC＝10，BD＝26，那么 ABCD的面积为________．
【答案】
120
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝5，OB＝BD＝13，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴AB＝＝＝12，
∴ ABCD的面积＝AB·AC＝12×10＝120；
5如图，在?ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于F．
（1）若∠F＝28°，求∠A的度数；
（2）若AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求?ABCD的面积．
【答案】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，CD＝AB，AB∥CD，
∴∠AEB＝∠CBF，∠ABE＝∠F＝28°，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴∠AEB＝∠ABE＝28°，
∴AE＝AB，∠A＝（180°﹣28°﹣28°）＝124°.
（2）∵AE＝AB＝5，AD＝BC＝8，CD＝AB＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝3，
∵CE⊥AD，
∴CE＝＝＝4，
∴?ABCD的面积＝AD CE＝8×4＝32．
6如图，在平面直角坐标系中，的顶点落在轴上，点的坐标为，，点分别是线段和上的两个动点，满足，记，连接、．
(1)点坐标：______；点坐标：______．
(2)若是以为腰的等腰三角形，求的值．
(3)连接交于点，连接，记四边形的面积为，的面积为．当时，求的值．
【答案】
（1）解：∵四边形是平行四边形，，
∴轴，，
∵点的坐标为，
∴，，则；
∵，
∴，则，
∴；
（2）解：如图，过Q作轴于H，则，，
∵，，
∴，，，
若是以为腰的等腰三角形，则分两种情况：
当时，，又，
∴，解得；
当时，则，整理，得，
解得，
综上，满足条件的x值为或；
（3）解：过Q作轴于H，过C作轴于T，则，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，则，解得，
∴，
∵轴，
∴，则，
∴，
∴．
3用平行四边形性质求角度
1已知 ABCD中，∠B＝4∠A，则∠D等于(　　)
A.18° B.36° C.72° D.144°
【答案】D
【解析】
解：∵四边形BCDA是平行四边形，
∴AD∥CB，∠B＝∠D，
∴∠A＋∠B＝180°，
∵∠B＝4∠A，
∴∠A＋4∠A＝180°，解得∠A＝36°，
∴∠B＝144°，
∴∠D＝144°，
故选D.
2如图，E是平行四边形ABCD的边BC上一点，且AB＝BE，连接AE并延长，与DC的延长线交于点F，若∠D＝40°，则∠F的度数是（　　）
A.30° B.40° C.50° D.70°
【答案】D
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝40°，
∴∠B＝D＝40°，
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠BAE+∠BEA＝2∠BAE＝180°﹣40°＝140°，
∴∠BAE＝70°，
∵DC∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝70°.
3若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较小的内角是(　　)
A.120° B.90° C.60° D.45°
【答案】C
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，
∵∠B∶∠C＝1∶2，
∴∠B＝×180°＝60°，
故选C.
4如图，将平行四边形的ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠DCE＝______.
【答案】
70°
【解析】
解：∵平行四边形ABCD的∠A＝110°，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠DCE＝180°－∠BCD＝180°－110°＝70°.
5如图，如果 ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求 ABCD的内角∠D、∠BAD的度数．
【答案】
解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，
∵EA平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝∠AEB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B＝∠D＝60°，∠C＝∠BAD＝120°.
6如图，点E是 ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求∠AGB的度数．
【答案】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，
又∵BG＝DE，
在△ABG和△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，BG＝DE，
∴△ABG≌△CDE，
∴∠AGB＝∠CED，
∵∠CED＝∠AEF＝70°，
∴∠AGB＝70°.
4用平行四边形性质证明
1如图，在?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，则添加①BE＝DF；②AE∥CF；③AE＝CF；④∠1＝∠2中任意一个条件，能够使△ABE≌△CDF的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
当BE＝DF时，由SAS可证△ABE≌△CDF，所以①符合题意；
当AE∥CF时，可得∠AEF＝∠EFC，即∠AEB＝∠CFD，由AAS可证△ABE≌△CDF，所以②符合题意；
当AE＝CF时，不能判定△ABE≌△CDF，所以③不符合题意；
当∠1＝∠2时，由ASA可证△ABE≌△CDF，所以④符合题意．
∴满足题意的有3个．
2下列性质中，平行四边形不一定具备的是(　　)
A.邻角互补 B.对角互补 C.对边相等 D.对角线互相平分
【答案】B
【解析】
解：A.平行四边形邻角互补，正确，不合题意；
B.平行四边形对角不一定互补，错误，符合题意；
C.平行四边形对边相等，正确，不合题意．
D.平行四边形对角线互相平分，正确，不合题意；
故选B.
3平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过 变换可使它们互相重合．
【答案】
旋转
【解析】
平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过旋转变换可使它们互相重合．
故答案为：旋转．
4有以下四个命题：
（1）平行四边形是中心对称图形
（2）四边形中只有平行四边形才是中心对称图形
（3）平行四边形不是轴对称图形
（4）若一条直线将平行四边形的面积平分，则该直线必过平行四边形的对称中心其中正确的命题有 ．
【答案】
（1）（3）（4）
【解析】
（1）平行四边形是中心对称图形，说法正确，符合题意；
（2）四边形中不仅仅平行四边形是中心对称图形，菱形，矩形，正方形也是中心对称图形，原说法错误，不符合题意；
（3）平行四边形不是轴对称图形，说法正确，符合题意；
（4）若一条直线将平行四边形的面积平分，则该直线必过平行四边形的对称中心说法正确，符合题意；
综上，正确的命题有（1）（3）（4）；
故答案为：（1）（3）（4）．
5如图，CD是?CEDF的对角线，点A、点B是直线CD上的两点，且满足AC＝BD，求证：∠A＝∠B．
【答案】
证明：∵四边形CEDF是平行四边形，
∴EC∥DF，EC＝DF，
∴∠ECD＝∠FDC，
∴∠ACE＝∠BDF，
在△ACE和△BDF中，
∴△ACE≌△BDF（SAS），
∴∠A＝∠B．
6如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的任意一条直线与边AD相交于点E，与边BC相交于点F，求证：OE＝OF.
【答案】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC.
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，OA＝OC，
∴△AEO≌△CFO(AAS)，
∴OE＝OF.
5用平行四边形性质求点的坐标
1在平面直角坐标系中，?ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是A（0，0），B（4，0），C（5，3），则顶点D的坐标是（　　）
A.（﹣1，﹣3） B.（﹣1，3 ） C.（ 1，﹣3） D.（1，3）
【答案】D
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵A（0，0），B（4，0），
∴AB＝4，
∴CD＝4，
∴D（1，3）.
2如图，已知平行四边形ABCD中A,C,D三点的坐标，则点B的坐标为（　　）
A.（﹣3，﹣2） B.（﹣2，﹣2） C.（﹣3，﹣1） D.（﹣2，﹣1）
【答案】D
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵A（﹣1，2），D（3，2），
∴AD＝4＝BC，
∵C（2，﹣1），
∴B（﹣2，﹣1）.
3如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C的坐标是________．
【答案】
(7,3)
【解析】
解：因CD∥AB，
所以C点纵坐标与D点相同，为3.
又因AB＝CD＝5，
故可得C点横坐标为7.故答案为(7,3)．
4如图，在平面直角坐标系中，点A是直线在第一象限内的一个动点，点在轴正半轴上．以为边构造，点关于直线的对称点为．连接，线段与轴的交点为．
(1)求证：；
(2)当时，求．
(3)若点坐标为，直接写出当是等腰三角形时点的坐标．
【答案】
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点关于直线的对称点为，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作轴于点，如图所示：
在中，，，则，
，轴，
，
，
则，
在中，，，
∵，
∴，
设点坐标，
∴，，
∵，
∴，，，，，
，
，
∴；
（3）解：过点作轴于点，如图所示：
设，，则，
由于点A是直线在第一象限内的一个动点，当是等腰三角形时，分三种情况讨论如下：
①当时，，，，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理可得，即，
解得，（舍去），
∴；
②当时，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理可得，即，
解得，
∴；
③当时，
，
∴，，
∴在中，由勾股定理可得，即，
解得（舍去），，
∴；
综上所述，点坐标，，．
6用平行四边形性质解决折叠问题
1在 ABCD中，∠ACB＝25°，现将 ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数(　　)
A.135° B.120° C.115° D.100°
【答案】C
【解析】
解：由折叠可得：∠EAC＝∠ECA＝25°，∠FEC＝∠AEF，∠DFE＝∠GFE，
∵∠EAC＋∠ECA＋∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝130°，
∴∠FEC＝65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE＋∠FEC＝180°，
∴∠DFE＝115°，
∴∠GFE＝115°，
故选C.
2如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A 落在点 处，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：∵平行四边形中，，
∴．
由折叠可得．
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴中，．
∴．
故选：C．
3如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，，则平行四边形的面积为 ．
【答案】
【解析】
解：∵将沿折叠，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积，
故答案为：．
4如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．
【答案】
36°
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得∠D′＝∠D＝52°，
∠EAD′＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，
∠AED′＝180°－∠EAD′－∠D′＝108°，
∴∠FED′＝108°－72°＝36°.
7平行四边形性质与尺规作图综合
1如图，已知□ABCD的顶点A（0，3），D（﹣1，0），按以下步骤作图：
①以D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F；
②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G；
③作射线DG，交边AB于点H，
则点H的坐标为（　　）
A. B.（﹣3，3） C.（3，3） D.
【答案】A
【解析】
解：∵A（0，3），D（﹣1，0），
∴OA＝3，OD＝1，
∵∠AOD＝90°，
∴AD＝＝＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，
∴AB∥x轴，
由作图得DH平分∠ADC，
∴∠ADH＝∠CDH，
∵AB∥CD，
∴∠AHD＝∠CDH，
∴∠ADH＝∠AHD，
∴AH＝AD＝，
∵AH∥x轴，
∴H（，3）.
2在□ABCD中，AB＜BC，用无刻度的直尺和圆规在□ABCD的边上找一点E，使△ABE为等腰三角形，下列作法不正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：A选项中，AB＝AE，则△ABE为等腰三角形，不符合题意；
B选项中，作的是AC的垂直平分线，EA＝EC，则△AEC是等腰三角形，无法推导△ABE是等腰三角形，符合题意；
C选项中，作的是AB的垂直平分线，EA＝EB，则△ABE为等腰三角形，不符合题意；
D选项中，AE是∠BAD的角平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BA＝BE，
则△ABE是等腰三角形，不符合题意.
3如图，在 ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是(　　)
A.AG平分∠DAB B.AD＝DH C.DH＝BC D.CH＝DH
【答案】D
【解析】
根据作图的方法可得AG平分∠DAB，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAH＝∠BAH，
∵CD∥AB，
∴∠DHA＝∠BAH，
∴∠DAH＝∠DHA，
∴AD＝DH，
∴BC＝DH，故选D.
4如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交AD于点F，交CD于点Q，分别以点F，Q为圆心，大于 的长为半径画弧交于点M，连接DM并延长，交BC于点E，连接AE，恰好有AE⊥BC，则AE的长为 　 　．
【答案】
4
【解析】
解：由作图可知，DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE＝5，
∴BE＝BC﹣EC＝8﹣5＝3，
∵AE⊥BE，
∴AE＝＝＝4，
5学行四边形后，爱探究的小巴同学发现：平行四边形对角线的交点到任意一组对边的距离相等．于是他想出了如下证明方法，请根据他的思路完成以下作图与填空．
如图，四边形是平行四边形．
(1)用直尺和圆规作图：连接交于点O，过点O作的垂线交于点N，交于点M．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：．
证明：四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴
∵
②
∵
∴ ( ③ )
∴

∵
∴
小巴同学进一步研究发现，过平行四边形对角线交点的直线被任意一组对边（或对边所在直线）截得的线段，被对角线的交点 ⑤
【答案】
（1）解：如图，直线即为所求．
（2）证明：四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴
∵
(垂直的定义)
∵
∴ (两直线平行，内错角相等)
∴
∵
∴
小巴同学进一步研究发现，过平行四边形对角线交点的直线被任意一组对边（或对边所在直线）截得的线段，被对角线的交点平分．
故答案为：；垂直的定义；两直线平行，内错角相等；；平分．
6如图，在中，连接．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点E，与交于点F，连接：
(2)在（1）所作的图形中，若，求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴① ，，
∴，
∵的角平分线交于点E，
∴，
∴②
∴，
∴③
∵，
∴，
∵
∴
∴④
在和中，
∴．
【答案】
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵的角平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴
在和中，
∴．
8求平行线间的距离
1已知，点E，F分别为，上的点，连接，，若，则两直线与间的距离是（　　）
A.5 B.6 C. D.
【答案】D
【解析】
解：如下图，作于H，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：D．
2下列说法正确的有（ ）
①有公共顶点且相等的角是对顶角
②两条平行线的所有公垂线段都相等
③由，可得
④正方形是轴对称图形，且有4条对称轴
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】
解：①错误：对顶角需满足两边互为反向延长线，仅公共顶点且相等不充分．例如，同一顶点的相等角可能为同位角而非对顶角．
②正确：平行线间距离处处相等，所有公垂线段长度均相等．
③错误：由无法确定．若，如，，则成立，但，故不等式不恒成立．
④正确：正方形对称轴包括两条对角线和两条对边中点连线，共4条．
故选：B．
3在平面中，我们称一组平行直线为“平行线族”．对于“平行线族”中的任意两条直线，它们之间的“线距”是指这两条直线之间的垂直距离．已知“平行线族”中有三条直线、、，已知直线与的线距为5，直线与的线距为2，那么直线与的线距是 ．
【答案】
3或7/7或3
【解析】
解：当直线c在直线a与b之间时，如图所示：
∵直线与的线距为5，直线与的线距为2，
∴直线与的线距为；
当直线c在直线a与b外侧时，如图所示：
∵直线与的线距为5，直线与的线距为2，
∴直线与的线距为；
综上分析可知：直线与的线距是3或7．
故答案为：3或7．
4如图，已知，请完成下列问题：
(1)请用直尺和圆规作出的平分线，交于点P；
(2)过点C作直线AB的垂线，交直线AB于点D；过点C作直线AB的平行线EF；
(3)那么直线AB与直线EF之间的距离是线段________的长度．
【答案】
（1）解：如图所示，为的平分线；
（2）解：如图所示，，；
（3）解：直线与直线之间的距离是线段的长度．
5如图，，平分，平分，．
(1)问：与平行吗？试说明理由．
(2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离．
【答案】
（1）解：，理由如下：
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
设，所在的直线之间的距离为，
，
即，
，
即，所在的直线之间的距离为．
9平行线间距离的应用
1如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线m∥n.对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是(　　)
A.∠APB的大小 B.线段PA的长度 C.△APB的周长 D.△APB的面积
【答案】D
【解析】点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线m∥n.
由题意可得，点P与直线n的距离保持不变，
因为A，B是直线n上的两个定点，
所以点P到AB的距离不变，
所以△APB的面积不变，故D正确.
2如图，在7×7的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，网格线的交点称格点，点A，点B是方格纸中的两个格点，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.8个
【答案】C
【解析】
解：如图，
使△ABC的面积为3的点C有6个，与网格的所有交点就是．
故答案为：C．
3如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则的面积为 ．
【答案】
8
【解析】
解：在△ABD中，当BD为底时，设高为h，在△AEC中，当AE为底时，设高为h′.
∵AE∥BD，
∴h=h′，
∵△ABD的面积为16，BD=8，
∴h=4．
则△ACB的面积==8．
4如图，，是线段上任意一点，与相交于点，若的面积是5，的面积是1，则的面积是 ．
【答案】
4
【解析】
解：∵AD∥BC，
∴S△CBE与S△ABC均以BC为底，且高相等.
∴S△CBE=S△ABC=5，
∵S△EOC=1，
∴S△BOC = S△CBE - S△EOC =5-1=4，
故答案为：4．
5梯形中，平行于，对角线交于点，平行于，交腰于点，如果三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是多少平方厘米．
【答案】
解：根据题意可知，，
∵，
∴平行线间的距离相等，即三角形的高相等，
∴在梯形中，；在梯形中，；在梯形中，，且，
∴，
∴，
∴三角形的面积是平方厘米．
10在网格中画平行四边形
1如图，在平面直角坐标系中，以A(－1,0)，B(2,0)，C(0,1)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　)
A.(3,1) B.(－4,1) C.(1，－1) D.(－3,1)
【答案】B
【解析】
解：如图所示：
①以AC为对角线，可以画出 AFCB，F(－3,1)；
②以AB为对角线，可以画出 ACBE，E(1，－1)；
③以BC为对角线，可以画出 ACDB，D(3,1)；
故选B.
2在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（ ）
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】C
【解析】
解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示：
当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示：
∴符合要求的点有个，
故选：．
3在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是（1，3），点A的坐标是（5，0），点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 　 　．
【答案】
（﹣4，3）或（4，﹣3）．
【解析】
解：如图，点B1，B2即为所求．
B1（﹣4，3），B2（4，﹣3）．
故答案为：（﹣4，3）或（4，﹣3）．
4在平面直角坐标系中，已知三点O(0,0)，A(1，－2)，B(3,1)，若以A、B、C、O为顶点的四边形是平行四边形，则C点不可能在第__________象限．
【答案】
二
【解析】
解：如图所示：以A、B、C、O为顶点的四边形是平行四边形，则C点不可能在第二象限．
5如图，将一个长为8，宽为6的大长方形分割成如图所示24个全等的小长方形，它们的顶点称为格点．请按要求画出以为边的格点四边形．
(1)在图1中画出四边形，使，，点P在四边形外部（不包括四边形的边界）；
(2)在图2中画出，使点P到的三个顶点的距离相等．
【答案】
解：（1）如图，四边形即为所求（答案不唯一）；
（2）如图中，平行四边形即为所求．
11添加一个条件成为平行四边形
1如图，给出了四边形的部分数据，再添加一条线段长为9的条件，可得此四边形是平行四边形，则这条线段是（ ）
A.① B.② C.③ D.④
【答案】D
【解析】
如图，根据题意，判断AB∥CD，只需AB=CD就可以判断四边形ABCD是平行四边形，
∵CD=9,
∴AB=9，
∴D正确，其余都是错误的，
故选D．
2已知一个凸四边形的一条对角线被另一条对角线平分，请你从下列四个条件中再选取一个作为已知条件，使得这个四边形一定是平行四边形．你的选择是（ ）
A.一组对边平行； B.一组对角相等； C.一组邻边相等； D.一组对边相等．
【答案】A
【解析】
解：如图，OA=OC，
∵BC∥AD，
∴∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，
∵OA=OC，
∴△OBC△ODA（AAS），
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项可以使得这个四边形一定是平行四边形．
选项B、C、D均不能证明这个四边形一定是平行四边形．
故选：A．
3如图，已知AB∥DC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需增加条件____________．(只填写一个条件即可，不再在图形中添加其它线段)．
【答案】
AB＝DC或AD∥BC
【解析】
解：根据平行四边形的判定，可添加条件：AB＝DC或AD∥BC.故答案为AB＝DC或AD∥BC.
4在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD 中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD＝BC”，小红说“添加AB＝DC”．你同意__________的观点，理由是_________________．
【答案】
小明；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解析】
解：四边形ABCD 中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形，应添加AD＝BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此小明说的对；小红添加的条件，也可能是等腰梯形，因此小红错误，
12平行四边形的判定
1依据所标数据，下列图形中一定为平行四边形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形，因此图中的四边形不可能是平行四边形，
故A不符合题意；
B．一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，
故B不符合题意；
C．两组对边相等能判断四边形是平行四边形，
故C符合题意；
D．一组对边平行但不相等的四边形不是平行四边形，
故D不符合题意．
故选：C．
2四边形的部分数据如图所示（其中度数为对应角的大小，数字为对应边的边长），在①或②处添加恰当的数据，使得四边形是平行四边形，两同学给出了如下回答．嘉嘉：①处应添加数据3，②处无须添加；淇淇：②处应添加数据4，①处无须添加．对于两位同学的回答，下列判断正确的是（ ）
A.只有嘉嘉的回答正确 B.只有淇淇的回答正确 C.两人的回答都正确 D.两人的回答都不正确
【答案】B
【解析】
观察图形可得，，，，
∴，
嘉嘉：①处应添加数据3，②处无须添加时，有，不能得到四边形是平行四边形，因此嘉嘉的回答不正确；
淇淇：②处应添加数据4，①处无须添加．有，利用一组对边平行且相等，可得四边形是平行四边形，因此淇淇的回答是正确的．
故选：B.
3四边形ABCD的对角线相交于O点，在下列条件中：①AB＝CD，BC＝AD；②AC＝BD，AB∥DC；③AB∥CD，BC∥AD；④AB∥DC，∠A＝∠C；⑤∠A＝∠C，∠B＝∠D；⑥AO＝CO，BO＝DO；⑦AB＝DC，∠A＝∠C；能使四边形ABCD是平行四边形的是____________．(只填序号)
【答案】
①③④⑤⑥
【解析】
解：根据平行四边形的判定可得：①③④⑤⑥能使四边形ABCD是平行四边形，
4如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AO＝CO，④∠ABC＝∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是________．(填写一组序号即可)
【答案】
①③
【解析】
解：可选条件①③，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠OCB，∠ADO＝∠CBO，在△AOD和△COB中，∠ADO＝∠OBC，∠DAO＝∠OCB，AO＝CO，∴△AOD≌△COB(AAS)，∴DO＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形．
5如图，四边形ABCD中AC，BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC．
（1）求证：O是线段AC的中点；
（2）连接AF，EC，证明四边形AFCE是平行四边形．
【答案】
证明：（1）∵∠E＝∠F，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC，BD互相平分，
即O是线段AC的中点．
（2）∵AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF（ASA）．
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形．
13利用性质与判定求解
1如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，点E是BC边上任意一点，过点E分别作AB，AC的平行线，交AC于点F，交AB于点D，则四边形ADEF的周长是（　　）
A.32 B.24 C.16 D.8
【答案】A
【解析】
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵ED∥AF，EF∥AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE＝AF，EF＝AD，
∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠C，
∴∠B＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴四边形ADEF的周长＝2（DE+DA）＝2（DB+DA）＝2AB＝32．
故选：A．
2已知平面直角坐标系中A、B、C三点的坐标分别为，，，在直线下方的y轴上有一条长为1的线段（E在上F在下），当线段在y轴上滑动时四边形的周长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：如图，作，且，连接交y轴于点E，连接，，
∵，，
∴是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴
∴四边形的周长，
即E在线段上时四边形的周长最小.
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的周长
．
∴四边形的周长的最小值为．
故选：C．
3如图，AD∥BC，AB∥CD，AD＝5，BE＝8，则CE的长为（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】A
【解析】
解：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝5，
∵BE＝8，
∴CE＝BE﹣BC＝3，
故选：A．
4如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6．当BC＝　 　时，AC与BD互相平分．
【答案】
6．
【解析】
解：当BC＝6＝AD，而AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分，
故答案为：6．
5如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC.
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．
【答案】
(1)证明：∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，
∴AE∥BD，∵∠ADE＝∠BAD，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形；
(2)解：∵DA平分∠BDE，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴AB＝BD＝5，
设BF＝x，则52－x2＝62－(5－x)2，
解得x＝，
∴AF＝＝，
∴AC＝2AF＝.
14利用性质与判定证明
1如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（ ）
A.mn B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：过A作于H，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
设，，
，，
定值，
故选：B
2在 ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是(　　)
A.AF＝CE B.AE＝CF C.∠BAE＝∠FCD D.∠BEA＝∠FCE
【答案】B
【解析】
解：A.错误．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥EC，∵AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形．∴选项A错误．
B．正确．根据AE＝CF，所以四边形AECF可能是平行四边形，有可能是等腰梯形，故选项B正确．
C．错误．由∠BAE＝∠FCD，∠B＝∠D，AB＝CD可以推出△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∵AD＝BC，∴AF＝EC，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．故选项C错误．
D．错误．∵∠BEA＝∠FCE，∴AE∥CF，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．
故选项D错误．故选B.
3如图，，．把，剪下来，用它们拼图，使边BC与边重合，点A与点不重合，连接．所有拼图中，与的关系：①；②与互相平分；③与互相垂直；④，存在的是 ．
【答案】
②③④
【解析】
解：无法判断；故①错误；
当点A与点在异侧时，如图，
∵，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分；故②正确；
当点A与点在异侧时，如图，
∵，
∴
又，
∴，
∴即，
∴与互相垂直；故③正确；
当点A与点在同侧时，如图，
∵，
∴
∴，
，
∴，
∴，
∴，故④正确；
∴正确的结论是②③④，
故答案为：②③④．
4如图，E、F是 ABCD对角线AC上两点，AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接DE，BF，求证：四边形DEBF是平行四边形．
【答案】
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
AE＝CF，∠BAE＝∠DCF，AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)连接DE、BF，
如图所示：由(1)，得△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
同理：DE＝BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
15性质和判定与尺规作图的综合
1如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，分别以点为圆心大于长为半作弧，两弧交于点，作交于点，连接，若，则的长为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：如图，过点作交于．
四边形是平行四边形，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
2如图，已知的一组邻边AB，BC，用尺规作图作，下列4个作图中，作法与理论依据都正确的有几个（　　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】
解：图①，由作图可知，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可知，图①作法与理论依据正确；
图②，
由作图可知，作AC的垂直平分线，得到AC的中点O，再连接BO并延长到点D，使，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得，图2作法与理论依据正确；
图③，作同位角相等，得出，再截取，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得，图3作法与理论依据正确；
图④，作同位角相等，得出，再截取，“一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形”，因此图4作法与理论依据不正确；
综上所述，作法与理论依据正确的是图①、图②、图③，共3个．
故选：C．
3如图，AD∥BC，AB＝BD，以B为圆心，AD长为半径的圆弧交射线BC于点E，连接DE．若∠BED＝55°，则∠DBC的度数为 　 　．
【答案】
55°．
【解析】
解：∵AD∥BE，AD＝BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB＝DE，
∵AB＝BD，
∴BD＝DE，
∴∠DEB＝∠DBC＝55°，
故答案为：55°．
4如图，在?ABCD中，AE⊥BD于点E．老师给出了如下尺规作图步骤：
（1）以点C为圆心，画弧交BD于点M，N；
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，交于点P；
（3）连接CP并延长，交BD于点F；
（4）连接CE，AF．
请根据以上步骤，证明：四边形AECF是平行四边形．
【答案】
证明：由题意可知，CF⊥BD，
∴∠CFD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝90°＝∠CFD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
5如图，已知平行四边形．
(1)用尺规完成以下基本作图：在的延长线上取点E，使，连接交于点F，作的平分线交于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在第（1）问所作的图形中，求证：四边形为平行四边形．
证明：平分，
．
四边形为平行四边形，
．
，，
___①___．
．
，，
，即___②___．
，
___③___．
，，
___④___，
．
，，
___⑤___．
，，
四边形为平行四边形．
【答案】
（1）解：如图，
（2）证明：平分，
．
四边形为平行四边形，
．
，，
．
．
，，
，即 ．
，
．
，，
，
．
，，
．
，，
四边形为平行四边形．
16性质与判定的实际应用
1在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：由题意得：
∵
∴
∵；
∴且
∴四边形是平行四边形
∴
∴
故选：C
2如图，两条宽度分别为1和2的长方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB·BC＝5，则四边形ABCD的面积是(　　)
A.2.5 B.5 C.3.5 D.
【答案】D
【解析】
解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，
则四边形ABCD是平行四边形．
如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∴AE＝1，AF＝2，
∴BC·AE＝AB·AF，即BC＝2AB.又AB·BC＝5，
∴AB＝，
∴四边形ABCD的面积是AB·AF＝2AB＝.
故选D.
3已知，求作的中线，两位同学给出了如图所示的两种方案，对于方案、，说法正确的是（ ）
A.可行、不可行 B.不可行、可行 C.、都可行 D.、都不可行
【答案】C
【解析】
解：方案是作已知线段的垂直平分线的基本作法，故方案可行，
方案是先根据对边相等的四边形是平行四边形作出以、为邻边的平行四边形，再连接第二条对角线，根据平行四边形的对角线互相平分可知方案可行，
故选：C．
4如图，两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD．若AD＝8cm，则BC＝　 　cm．
【答案】
8
【解析】
解：由题意可知，DC∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8cm，
故答案为：8．
5如图，在平行四边形绘图工具中，量角器的零刻度线与的边在同一条直线上，当时，的度数为 ．
【答案】
【解析】
解： ，量角器的零刻度线与的边在同一条直线上，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
6在的正方形网格中，网格线的交点叫做格点，其中点，，均为格点，只用无刻度的直尺在网格中完成下列作图．
(1)画出格点，连接，，使四边形为平行四边形；
(2)画的角平分线；
(3)画 ．
【答案】
（1）从A平移到B的平移方式是向左1格再向下3格
∴D向左1格再向下3格即可得到C点，此时四边形即为所求，如图所示：
（2）DC延长线上找一点P使BD=PD，再取BP中点J，根据等腰三角形三线合一可得DJ平分∠BDC，则DJ于BC交点即为E．如图，线段即为所求；
（3）把BC平移使C与P重合，B对应点为Q，DJ平移使D与C重合，J对应点是T，CT与PQ交于点R
∴（ASA）
∴RP=CE
∴四边形RPCE是平行四边形
∴RE∥PD
∴延长RE交AD于F，此时平行四边形即为所求，如图所示．
7（教材改编）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的∠1是72°15′，那么光线与纸板左上方所成的∠2是多少度？为什么？
【答案】
解：∠2=72°15′．理由如下：
∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠2=∠1=72°15′．
17用性质和判定解决最值问题
1如图，在中，，，，点D是上一动点，连接，以，为边作，则对角线的最小值是 ．
【答案】
【解析】
解：如图所示，过点B作与点G，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴当时，最小，最小值为的长，
．
故答案为：．
2如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为，、、，若P是x轴上的一动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为 ，的最大值为 ．
【答案】
；
【解析】
解：连接，如图：
平行四边形的坐标分别为、、、，
，，
若点关于的对称点为，
，
在中，由三角形三边关系可知：，
，即的最小值为，最大值为．
故答案为：，．
3问题探究
（1）如图1，已知等边的边长为4，则点到的距离为______；
（2）如图2，在和中，连接、、，求证：；
问题解决
（3）如图3，某农业观光园中有一块等边三角形的蔬菜种植基地．经测量，，、分别是边、上的点，且满足，是边上的动点（不与端点重合），下方有一块空地（空地足够大），为了增加蔬菜种植基地的面积，管理员计划以、为邻边构造区域，用来种植新品有机蔬菜，扩建后沿修一条灌溉水渠．为节约成本，要求水渠的长度尽可能的短，请求出水渠的最小长度．
【答案】
解：（1）作，垂足为H，
等边的边长为4，
，
在中，，
故答案为：．
（2）四边形、四边形都是平行四边形，
，，，，
，，
，即，
，
．
（3）如图，作交于点，连接、、，
为等边三角形，
，，
，
，
为等边三角形，
，
，即，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
，
，
点在射线上运动，当时，即取最小值，
根据平行线间的距离相等知的最小值就是等边的高，
过点作于点，则，
，
水渠的最小长度为．
4（1）如图①，已知，点、分别在边、上，沿将折叠，点恰好落在边上的处，若，那么的长为___________；
（2）如图②，在四边形中，对角线，相交于点，且，若，，求的最小值；
（3）如图③，在Rt中，，点、分别在边、上运动，若满足，连接，求的最小值．
【答案】
解：（1）∵沿将折叠，点恰好落在边上的处，
∴，∴，
故答案为：14；
（2）如图，平移至，连接、，
由平移的性质可得，，，
四边形是平行四边形，
，，
又
，
，
，
由两点之间线段最短知：，
∴当共线时，有最小值为，即的最小值为；
（3）延长至，使，延长至，使，连接，，，
∵，
∴，，
∵，
∴是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，
∴，，
平移至，连接、，
则四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
由两点之间线段最短知：，
∴当共线时，有最小值为，即的最小值为．
18用性质和判定解决动点问题
1如图，在四边形中，，，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动：点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当运动时间t为 时，P、Q与四边形中任意两个顶点构成平行四边形．
【答案】
4或5或
【解析】
解：∵点P以与秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，
∴，
∵，
∴当或或时，P、Q与四边形中任意两个顶点构成平行四边形．
当时，则，
解得：，
当时，则，
解得：，
当时，则6﹣t＝16﹣3t，
解得：，
综上所述：t的值为4或5或，
故答案为：4或5或．
2如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是 秒．
【答案】
或
【解析】
解：当时，如图：
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，，，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
由得：，
；
当不平行时，如图：
，
四边形是等腰梯形，
，，
是的垂直平分线，
，，
，
，，
在中，，
，
是等边三角形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
解得，
综上所述，为或．
3如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5cm，BC＝9cm.M是CD的中点，P是BC边上的一动点(P与B，C不重合)，连接PM并延长交AD的延长线于Q.
(1)试说明△PCM≌△QDM.
(2)当点P在点B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．
【答案】
(1)证明：∵AD∥BC，
∴∠QDM＝∠PCM，
∵M是CD的中点，
∴DM＝CM，
∵∠DMQ＝∠CMP，
在△PCM和△QDM中，
∵∠QDM＝∠PCM，DM＝CM，∠DMQ＝∠CMP，
∴△PCM≌△QDM(ASA)．
(2)解：当四边形ABPQ是平行四边形时，PB＝AQ，
∵BC－CP＝AD＋QD，
∴9－CP＝5＋CP，
∴CP＝(9－5)÷2＝2.
∴当PC＝2cm时，四边形ABPQ是平行四边形．
4如图，点E为的边上的动点，点G为上的动点，连接并延长交于点F，连接．
(1)如图①，已知，，．
①若，试求出的度数；
②连接．当点F为的中点，时，求证：．
(2)如图②，在的延长线上取一点P，使得．当，点G是的中点时，试写出线段、、之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】
（1）解：①∵四边形是平行四边形，
∴，
，
∵，
∴，
，
；
②设，
由①得，，
由平行四边形的性质可得，，，，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
∴，
；
（2）解：，理由如下：
过C作交于N，
，
为中点F，
，
又，
，
，，
，，
，
，
；
，
，，
，
．
，
又，，
，
．
即．
19用三角形中位线求解
1如图每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，则线段DE的长为（　　）
A. B. C.5 D.
【答案】D
【解析】
解：由勾股定理得BC＝＝，
∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝，
故选：D．
2如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.1＋3
【答案】A
【解析】
解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝2.又∵点D、E分别是BC，AC的中点，∴DE是△ACB的中位线，∴DE＝AB＝1.故选A.
3如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为__________．
【答案】
4n－3
【解析】
解：第①是1个三角形，1＝4×1－3；
第②是5个三角形，5＝4×2－3；
第③是9个三角形，9＝4×3－3；
∴第n个图形中共有三角形的个数是4n－3.
4如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7.点A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点；点A3，B3，C3分别是边B2C2，A2C2，A2B2的中点；…；以此类推，则△A4B4C4的周长是________，△AnBnCn的周长是________．
【答案】
2;
【解析】
解：∵△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7，
∴△A1B1C1的周长是16，
∵A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点，
∴B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的，…，
以此类推，则△A4B4C4的周长是()3×16＝2；
∴△AnBnCn的周长是()n-1×16=.
5问题背景：学习了几何变换旋转知识时，同学们总能想到我们熟悉的“手拉手”模型．
问题提出：（1）如图1，和都是等腰直角三角形，，．求证：．
尝试应用：（2）如图2，在（1）的条件下，点在同一条直线上，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点，若，求证：．
问题拓展：（3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，连接，取的中点，取的中点，连接，求的长．
【答案】
（1）证明：和都是等腰直角三角形，，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：如图，延长至点，使，连接，设交于点，
由（1）得，
．
，，
．
在和中，
，
，
．
，
，即，
．
，
，
．
，
；
（3）证明：如图3，取的中点为，连接，
分别是的中点，，
是的中位线，是的中位线，
，
，．
，
．
，即，
，即．
是等腰三角形，的中点为，
，
，即．
，即，
．
在和中，
，
，
．
是等腰直角三角形，且，
由勾股定理得，．
在中，，
由勾股定理得：．
20用三角形中位线证明
1如图，，交于点，分别是的中点，选择图中的四个点为顶点画四边形，其中能画出的平行四边形有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】C
【解析】
解：如图，连接，，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
∵分别是的中点，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
综上：能画出的平行四边形有4个；故选C
2如图，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，P是BC上的动点，E，F分别是AD，DP的中点，当点P在BC上从C向B移动时，那么下列结论成立的是（　　）
A.线段EF的长先减小后增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长逐渐增大
【答案】B
【解析】
解：∴EF＝AP=，
∵当点P在BC上从C向B移动时，BP减小，
∴线段EF的长逐渐减小．
故选B．
3数学课上，大家一起探究三角形中位线定理的证明方法．
已知：D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且．
嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　）
A.嘉嘉的辅助线作法不可以，淇淇的可以 B.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以 C.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 D.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
【答案】D
【解析】
解：嘉嘉的作法：∵AE＝EC，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD＝CF，AD∥CF，
∵AD＝BD，
∴BD＝CF，BD∥CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，DE＝DF＝BC；
淇淇的作法：∵AF∥BC，
∴∠EAF＝∠C，∠F＝∠CGF，
在△AEF和△CEG中，
∴△AEF≌△CEG（AAS），
∴AF＝CG，EF＝EG，
∵AF∥BG，AB∥FG，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴AB＝FG，
∵BD＝AB，GE＝FG，
∴BD＝EG，AF＝BG，
∵BD∥EG，
∴四边形DBGE是平行四边形，
∴DE∥BG，DE＝BG＝AF＝CG，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以，
故选：D．
4如图，矩形中，，E为线段延长线上一点，且，对角线，相交于点O，过O点作于点G，连接交于点F，连接．则下列结论：①；②；③当时，；④当时，是等腰三角形．其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】
①③④
【解析】
解：①在矩形中，，，，
∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，故结论①正确；
②∵，，
∴，故结论②不正确；
③当时，则，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，故结论③正确；
④当时，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故结论④正确，
综上所述：正确的结论有①③④，
故答案为：①③④．
5在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．
【答案】
解：四边形MNEF是平行四边形．
理由如下：∵BE、CF是中线，
∴E、F分别是AC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC且EF＝BC，
∵M、N分别是BO、CO中点，
∴MN是△OBC的中位线，
∴MN∥BC且MN＝BC，
∴EF∥MN且EF＝MN，
∴四边形MNEF是平行四边形．
21三角形中位线的实际应用
1如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E，F分别为AB，AC的中点），若EF＝35cm，则点B距离地面的高度为（　　）
A.80cm B.70cm C.60cm D.50cm
【答案】B
【解析】
解：∵E，F分别为AB，AC的中点，EF＝35cm，
∴BC＝2EF＝70（cm），
∴点B距离地面的高度为70cm．
故选：B．
2某社区公园计划将如图所示的花坛分成两个区域，用于种植不同的观赏花卉，园艺师分别找到边，的中点，，沿将三角形花坛分为区域①和区域②．已知花坛的边长为10米，则两区域的分界线的长度为（　　）
A.5米 B.10米 C.15米 D.20米
【答案】A
【解析】
解：∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，又米，
∴（米），
故选：A．
3如图，A，B两地被古城墙阻隔，为测量A，B两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达A，B两地的点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，连接DE．若DE的长为27m，则A，B两地间的距离为 　 　m．
【答案】
54．
【解析】
解：∵AD＝DC，BE＝EC，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∵DE＝27m，
∴AB＝54m．
故答案为：54．
4如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为 ．
【答案】
160
【解析】
解：∵点M，N分别是，边的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：160．
5如图，在四边形中，，．
(1)求证：四边形是平行四边形
(2)点在上，点在上，连接、，若，，求证：
(3)在（2）的条件下，连接，过点作分别交、于、两点，过点作交的延长线于点，若，，求的面积
【答案】
（1）证明：∵
∴．
∵，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：如图，作，交于点Ｋ，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵
∴
∴．
∵
∴
∴
∴．
（3）解：如图，延长，交于点J，连接
∵
∴.
∵,
∴．
∴．
∴．
∴．
∵
∴．
∴．
∴．
∴．
过点A作，垂足为M，过点K作，是等腰直角三角形，四边形是平行四边形；
由（2）知，
∴
∴．
∴．
过点A作，交于L，连接，
∵
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴．
∵
∴．
∴．
∴．
设，则，
∴，解得，即
∴．
过点F 作，垂足为O，
∵
∴.
∴.
∵
∴
∴
∴．
∴．
∴．
6[问题背景]（1）如图1，在与中，与交于点O，求证：；
[应用迁移]（2）如图2，在与中，，M，N分别为的中点，若，求的值；
[拓展创新]（3）如图3，在中， B为内一点，，直接写出的长．
【答案】
（1）证明：在与中，
，
∴，
∴
设与交于点F，可得，
∴
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴F为的中点，
∴垂直平分，，
∵M，N是的中点，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点B作，使，连接与交于点F，
由（2）的结论可得：F为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
在中，．

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