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人教版（2024）七年级下册 7.2 平行线 分层练行线的概念
1、在同一个平面内，直线a，b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是（　　）
A.平行 B.相交 C.重合 D.平行或相交
2、小明与小刚在讨论数学问题时，有如下对话：
小明：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m平行.
小刚：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m垂直.
你认为小明与小刚中说法正确的是
A.小明 B.小刚 C.小明与小刚 D.都不正确
3、同一平面内的两条线段，下列说法正确的是(　　)
A.一定平行
B.一定相交
C.可以既不平行又不相交
D.不平行就相交
4、观察如图所示的长方体，回答问题.
(1)用符号表示下列两条棱的位置关系：
A1B1　　　　　AB，A1A　　　　　　AB，A1D1　　　　　　C1D1，AD　　　　　　BC；
(2)A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们　　　　　　(填“是”或“不是”)平行线，由此可知，在　　　　　　内，两条不相交的直线才能叫作平行线.
5、一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放.如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题：
(1)找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来；
(2)找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来；
(3)找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数.(不包括直角尺自身所成的角)
6、在图中，分别找出三组互相平行的线段，并用符号表示出来．
平行线的画法
1、按下列要求画图，只能画出一条直线的是
A.①②③ B.②③ C.①② D.①③
2、下列语句正确的有(　　)
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b；
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3、如图，根据要求填空．
(1)过A作AE∥BC，交______于点E；
(2)过B作BF∥AD，交______于点F；
(3)过C作CG∥AD，交__________于点G；
(4)过D作DH∥BC，交BA的__________于点H.
4、如图，在三角形外求作一点D，使，且的长最短．
5、已知平面上三点A、B、C．请按下列要求画出图形：
①画直线，射线，线段；
②过点C画直线，使；
③画出点到直线的垂线段．
立体图形中平行的棱或面
1、如图所示，在长方体中，与棱既不相交也不平行的棱有（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
2、已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（　　　）
A.棱EA； B.棱AB； C.棱GH； D.棱GF．
3、如图，在长方体中，与棱AB平行的棱有 条．

4、如图，是一个长方体，用符号表示下列两棱的位置关系，A1B1 AB，AA1 AB．
5、在如图所示的长方体中：
（1）在面ADHE中，互相平行的棱分别有哪些？
（2）在面ABFE中，与EF垂直的棱分别有哪几条？
（3）在长方体中，与棱EF平行的棱有哪几条？
平行公理
1、下面说法正确的个数为（ ）
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（3）两角之和为，这两个角一定邻补角；
（4）同一平面内不平行的两条直线一定相交．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、过直线外一点作的平行线，可以作（ ）条．
A. B. C. D.或以上
3、下列说法正确的是（ ）
A.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
B.相等的角是对顶角
C.直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
D.互补的两个角是邻补角
4、如图，在直线a的同侧有P、Q、R三点，若PQ∥a,QR∥a,则P、Q、R三点____________________（填“在”或“不在”）同一条直线上．
5、如图，CD∥AB，CE∥AB，试说明C，D，E三点共线.
平行公理的推论
1、已知a∥b,c∥d,若由此得出b∥d,则直线a和c应满足的位置关系是（　　）
A.在同一个平面内
B.不相交
C.平行或重合
D.不在同一个平面内
2、下面推理正确的是（ ）
A.，， B.，， C.，， D.，，
3、若AB∥CD，AB∥EF，则 ．
4、如图，直线AB，CD表示一条公路的两边，且AB∥CD，点E为直线AB，CD外一点，现过点E作边CD的平行线，只需过点E作AB的平行线即可，其理由是 ．
5、如图，直线a,点B，点C．
（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？
同位角相等两直线平行
1、如图，，可以判断（ ）
A. B. C. D.与相交
2、如图，要得到a∥b，则需要条件（　　）
A.∠1+∠2＝180° B.∠1＝∠2 C.∠1+∠2＝90° D.∠1+∠2＝120°
3、下面是李强想出画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是（　　）
A.两直线平行，同位角相等
B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行
D.同位角相等，两直线平行
4、用三角尺和直尺按如下4个步骤画出的直线b与已知直线a是平行的依据是：　 　．
5、如图，已知∠BOC＝75°，∠BDC＝45°，∠AOE＝30°，AB∥EO．求证：AB∥CD．
内错角相等两直线平行
1、如图，点E在直线AB上，EC平分∠AED，∠DEB＝100°，如果要使AB∥CD，则∠C的度数为(　　)
A.30° B.40° C.50° D.60°
2、如图，下列条件能判断AD∥BC的是（　　）
A.∠1＝∠4 B.∠1＝∠2 C.∠2＝∠3 D.∠3=∠4
3、如图，已知∠MDF＝∠B，要得到AB∥CD，则需要添加的条件是：____________.
4、已知，如图，∠ADE＝46°，DF平分∠ADE，∠1＝23°，求证：DF∥BE.
同旁内角互补两直线平行
1、如图，直线被直线所截，下列选项中能得到的是（ ）
A.=180° B. C. D.
2、如图，BE、CE分别平分∠ABC，∠DCB，要使AB∥CD，∠1，∠2的必须满足条件(　　)
A.∠1＝∠2 B.∠1＋∠2＝180° C.∠1＋∠2＝90° D.∠1＋∠2＝60°
3、我们知道，由角的数量关系可得两条直线的位置关系．如图，请利用“同旁内角互补，两直线平行”为使成立，请写出一组角的数量关系作为条件： ．

4、把一副三角板（∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°）按如图所示的方式摆放，当∠1为　 　度时，AC∥EF．
5、如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C+∠B+∠D=360°，且∠A＝∠C，∠B＝∠D，求证：AB∥CD，AD∥BC．
6、如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1＋∠2＝90°.
(1)试说明：AB∥CD；
(2)若∠2＝25°，求∠BFC的度数．
同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行
1、如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
2、下列说法中正确的是（　　）
A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B.两条直线有两种位置关系：平行或相交
C.同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
D.三条线段两两相交，一定有三个交点
3、如图，要使BC∥DE，给出下列条件：①②BC⊥AC，DE⊥AC，③，④，其中正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4、在数学课上，老师要求同学们利用一副三角板任作两条平行线．小明的作法如下：
如图，
（1）任取两点A，B，画直线．
（2）分别过点A，B作直线的两条垂线；则直线即为所求．
老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明的作图依据是 ．
5、如图，CD⊥AB，请添加一个条件：　 　，使得CD∥EF．
6、如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2＝∠CBD，求证：MDGF．
下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①　　）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴BDEF（同位角相等，两直线平行）．
∵∠1＝∠2＝∠CBD（已知）．
∴∠1＝∠CBD（等量代换）．
∴③　　（内错角相等，两直线平行）．
∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
∴MDBC（④　　）．
∴MDGF（⑤　　）．
7、如图，已知AB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H，∠1＝70°，求∠2的度数.
平行线判定方法的综合
1、如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　）
A.∠A=∠3 B.∠A+∠2=180° C.∠1=∠4 D.∠1=∠A
2、如图，要得到，则需要条件（ ）
A. B. C. D.
3、如图，下列条件中能判断BC∥EF的是（　　）
①∠1＝∠E；
②∠2＝∠E；
③∠B＝∠1；
④∠E+∠EGC＝180°.
A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.①②④
4、如图，直线AB，CD被直线AE所截．请添加一个条件使直线AB∥CD，则该条件可以是 　 　.（用图中已标注的角或字母表示）
5、如图，下列条件能判定的是 ．
①　　②
③　　④
6、如图，当∠1=∠3时，直线a，b平行吗？当∠2+∠3=180°时，直线a，b平行吗？为什么？
平行线判定方法的实际应用
1、数学课上，老师在投影屏上展示了一个如图所示的图形，并鼓励同学们积极思考，添加一个条件，使得DE∥AC．同学们回答完毕之后，老师在投影屏上展示了四位同学的条件，并说明其中一位同学的条件是不符合要求的，则这位同学是（　　）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2、如图，已知四条线段a，b，m，n中的一条与挡板另一侧的线段l平行，请判断该线段是（　　）
A.a B.b C.m D.n
3、用两个相同的三角板如图所示摆放，直线a∥b,画图依据是： ．
4、如图，木工常用角尺画平行线，你能说出其中的道理吗？
两直线平行同位角相等
1、如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，则图中与∠1互余的角有(　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2、下列图形中，由，能得到的是（ ）
A. B. C. D.
3、如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE＝40°，则∠FGB等于(　　)
A.40° B.50° C.60° D.70°
4、如图AB∥CD，AE交DF于点C，∠ECF＝134°，则∠A＝　 　．
5、已知：如图，AD是△ABC的平分线，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且GE∥AD.求证：∠AFG＝∠G.
6、如图，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4.∠1与∠3的大小有什么关系？∠2与∠4 呢？
两直线平行内错角相等
1、如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，且交CD于D点，∠CDE=150°，则∠CBD的度数是（　　）
A.30° B.60° C.120° D.150°
2、如图，长方形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A'，D'对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为(　　)
A.36° B.72° C.60° D.45°
3、如图所示为羽毛球正手发球的示意图，球拍所在直线a与手臂所在直线b平行(a∥b)；已知发球时，球拍与水平方向l的夹角∠1＝30°，则手臂与竖直方向m所成的角∠2＝　　　　　.
4、如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，求∠1的度数.
两直线平行同旁内角互补
1、如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于A，B两点，过点B作BC⊥AB交直线a于点C，若∠1＝65°，则∠2的度数为(　　)
A.25° B.35° C.65° D.115°
2、如图是某射箭运动员射箭瞬间的示意图.已知AB∥CD，AF∥DE，∠1＝90°，∠2＝115°，∠C＝130°，则∠CBE的度数是
A.60° B.65° C.70° D.75°
3、如图，是的平分线，直线，若，则的大小为 ．
4、如图是小张在操作剪刀时的平面示意图，剪刀所在直线AC经过点O，DE是经过剪刀手柄D的直线.若∠AOB＝56°，AC∥DE，则∠ODE的度数是　　　　　　.
5、已知：如图，，平分，，求的度数．

平行线性质的综合
1、如图，已知AB∥CD，直线MN分别与直线AB，CD交于点Q，E，QF平分∠EQG，FG⊥FQ交AB于G，若∠MEC＝54°，则∠GFE的度数为（　　）
A.144° B.117° C.126° D.63°
2、如图是一块从一个边长为10 cm的正方形BCDM材料中剪出的垫片，经测量测得FG＝4 cm，则这个剪出的图形的周长是
A.40 cm B.44 cm C.48 cm D.49 cm
3、如图，已知，则的度数是 ．
4、如图，已知点A、B、C、F在同一条直线上，AD∥EF，∠D＝40°，∠F＝30°，那么∠ACD的度数是________．
5、如图，AB∥DG，AD∥EF．
（1）试说明：∠1+∠2=180°；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2=138°，求∠B的度数．
6、如图，E是∠CDF平分线上一点，BE∥DF交CD于点N，AB∥CD，求证∠ABE=2∠EDF．
平行线性质与30°60°45°三角板的综合
1、将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若∠3＝28°，则∠1的度数为（　　）
A.28° B.52° C.56° D.62°
2、如图，等腰直角三角板的顶点A，C分别在直线a，b上．若a∥b，∠1＝35°，则∠2的度数为(　　)
A.35° B.15° C.10° D.5°
3、如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如图摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°.下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN.其中正确的是　　　　　　.
4、将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是 （填写序号）.
①∠1=∠2；②∠4+∠5=180°；③∠1+∠4=90°；④∠4+90°=∠3.
平行线性质的实际应用
1、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是(　　)
A.第一次右拐50°，第二次左拐130°
B.第一次左拐50°，第二次右拐50°
C.第一次左拐50°，第二次左拐130°
D.第一次右拐50°，第二次右拐50°
2、如图，C处在A处的南偏西40°方向，E处在A处的南偏东25°方向，E处在C处的北偏东80°方向，则∠AEC的度数为
A.60° B.70° C.75° D.80°
3、光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当∠1＝45°，∠2＝122°时，∠3和∠4的度数分别是（　　）
A.58°，122° B.45°，68° C.45°，58° D.45°，45°
4、相传春秋战国时期墨子以木头制成木鸢，研制三年有成，是人类最早的风筝起源.在如图所示的风筝骨架中，AB∥CD，若∠1＝50°，则∠2＝　　　　　　°.
5、如图、一艘轮船由B处向C处航行，C处在B处的北偏东方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西方向上，若轮船行驶到C处时测得，求从C处看A、B两处的视角的度数．

平行线性质与判定的综合
1、如图，若∠1=∠3，则下列结论一定成立的是（　　）
A.∠1=∠4 B.∠3=∠4 C.∠1+∠2=180° D.∠2+∠4=180°
2、如图所示，AB与CD相交于点O，如果∠D＝∠C＝40°，∠A＝80°，那么∠B的度数是(　　)
A.40° B.80° C.60° D.无法确定
3、如图，点E，F分别在直线AB，CD上，点G，H在两直线之间，线段EF与GH相交于点O，且有∠AEF+∠CFE=180°，∠1=∠2．三人说法如下：甲：AB∥CD；乙：GE∥FH；丙：AB∥GH，下列判断正确的是（　　）
A.甲错，乙对 B.甲对，乙错 C.甲对，丙对 D.乙对，丙错
4、如图，∠A=∠C，∠1与∠2互补，∠E=35°，则∠ABE的度数是 ．
5、如图，已知：△ABC中，D、E、F、G分别在BC、AC和AB上，连接DE、BF和FG，∠AGF=∠ABC，∠GFB+∠EDB=180°．
（1）判断BF与DE的位置关系，并证明；
（2）若BF⊥AC，∠EDB=150°，求∠AFG的度数．
6、如图，已知AD⊥BC，∠1＝∠B，∠2＋∠3＝180°，试说明：EF⊥BC.
用平行线性质与判定解决拐角问题
1、老师在黑板上出了一道题目，让学生解答.如图1，AB∥DE，∠B＝55°，∠D＝40°，求∠BCD的度数.以下是两位同学提供的作辅助线的方案.方案Ⅰ：如图2，过点C作CF∥AB.方案Ⅱ：如图3，延长DC交AB于点F.对于方案Ⅰ，Ⅱ，说法正确的是(　　)
A.方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B.方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 C.方案Ⅰ，Ⅱ都不可行 D.方案Ⅰ，Ⅱ都可行
2、如图是平行光正对凸透镜的光线折射图，AB∥DE，光线经过焦点C，若∠BCE＝40°，则∠ABC+∠DEC等于（　　）
A.180° B.270° C.280° D.320°
3、如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输.如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠DEF＝130°，则∠AGC的度数是　　　　.
4、如图，AB∥CD，∠A＝100°，∠C＝110°，求∠AEC的度数.请补全下列解答过程.
解：过点E作EF∥AB，如图所示.
因为AB∥CD(已知)，
所以　　　　∥　　　　(平行于同一条直线的两条直线平行).
所以∠A＋　　　　＝ 180°，∠C＋　　　　＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
又因为∠A＝100°，∠C＝110°(已知)，
所以∠1＝　　　°，∠2＝　　　°.
所以∠AEC＝∠1＋∠2＝　　　°＋　　　°＝　　　°.
5、(1)如图1，已知AB∥CD，PQ∥AB，∠AEP＝142°，∠PFD＝34°，求∠EPF的度数；
(2)如图2，若AB∥CD，点P在CD的下方，看一看，想一想，证一证：
以下与∠PFC，∠PEA，∠EPF有关的三个结论：∠PEA＋∠EPF>∠PFC，∠PEA＋∠EPF＝∠PFC，∠PEA＋∠EPF<∠PFC，你认为哪个正确？请说明理由.
6、已知，和都不经过点P，探索与的数量关系．
(1)在图1中，请证明．（提示：过点P作）
(2)按第（1）题方法应用：在图2中，若，，则的度数为________；
(3)拓展：在图3中，探察与，的数量关系，并说明理由．
用平行线性质与判定解决折叠问题
1、利用如图所示的方法（图下方的①，②，③，④表示折的顺序），可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线．关于其中的原理，下列说法错误的是（ ）
A.对顶角相等
B.同位角相等，两直线平行
C.内错角相等，两直线平行
D.同旁内角互补，两直线平行
2、在探究“过直线外一点P作已知直线a的平行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合是（　　）
①平角的定义；
②邻补角的定义；
③角平分线的定义；
④同旁内角互补，两直线平行；
⑤两直线平行，内错角相等．
A.②④ B.③⑤ C.①②⑤ D.①③④
3、如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D，C分别在M，N的位置上，EM与BC的交点为G，若∠EFC＝125°，则∠1等于（　　）
A.35° B.55° C.70° D.65°
4、将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝　 　．
5、如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B′，D′处．若∠1＝80°，则∠2的度数是 　 　．
6、如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法，其中王玲是通过折纸的方式完成：
第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对称点B 落在上，折痕与相交于点Q，打开纸张铺平；
第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）；
王玲就说，你能用几何推理说说其中的道理吗？
（请完成下面的证明，并填上对应的推理根据）
证明：∵
∴∠ ．理由是：（角平分线的定义）．
∵，
∴∠ ．理由是：（　 　 ）．
∴ ，
∴．理由是：（　 　 ）．
人教版（2024）七年级下册 7.2 平行线 分层练习（参考答案）
1平行线的概念
1、在同一个平面内，直线a，b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是（　　）
A.平行 B.相交 C.重合 D.平行或相交
【答案】B
【解析】∵在同一个平面内，直线a，b相交于点P，a∥c，
∴b与c的位置关系是相交.
2、小明与小刚在讨论数学问题时，有如下对话：
小明：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m平行.
小刚：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m垂直.
你认为小明与小刚中说法正确的是
A.小明 B.小刚 C.小明与小刚 D.都不正确
【答案】B
【解析】因为在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，过直线外或直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
而小明：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m平行，不知道A是否在直线m外，故说法错误；
小刚：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m垂直，无论A在直线外还是直线上都有且只有一条直线与已知直线m垂直，故说法正确.
3、同一平面内的两条线段，下列说法正确的是(　　)
A.一定平行
B.一定相交
C.可以既不平行又不相交
D.不平行就相交
【答案】C
【解析】根据线段的定义得出：同一平面内的两条线段，可以既不平行又不相交，
故选C.
4、观察如图所示的长方体，回答问题.
(1)用符号表示下列两条棱的位置关系：
A1B1　　　　　AB，A1A　　　　　　AB，A1D1　　　　　　C1D1，AD　　　　　　BC；
(2)A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们　　　　　　(填“是”或“不是”)平行线，由此可知，在　　　　　　内，两条不相交的直线才能叫作平行线.
【答案】(1)∥　⊥　⊥　∥　(2)不是　同一平面
5、一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放.如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题：
(1)找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来；
(2)找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来；
(3)找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数.(不包括直角尺自身所成的角)
【答案】解　此题答案不唯一，只要答案正确即可得分.
(1)如：DE∥CB，DF∥CB，FE∥CB.
(2)如：ED⊥AC，FD⊥AC，FD⊥AD.
(3)如：钝角：∠GFD＝135°，∠CGB＝∠FGE＝105°.
直角：∠ADE＝90°.
锐角：∠GCB＝30°，∠AFD＝45°，∠CGF＝75°.
6、在图中，分别找出三组互相平行的线段，并用符号表示出来．
【答案】解：答案不唯一，如：AD∥LF，AD∥JG，AJ∥DG．
2平行线的画法
1、按下列要求画图，只能画出一条直线的是
A.①②③ B.②③ C.①② D.①③
【答案】D
【解析】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线；
在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线；
在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线.
2、下列语句正确的有(　　)
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b；
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】D
【解析】①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为在同一平面内，任意两条不重合的直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，只有a∥b时才能画出，故说法错误；
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确.
3、如图，根据要求填空．
(1)过A作AE∥BC，交______于点E；
(2)过B作BF∥AD，交______于点F；
(3)过C作CG∥AD，交__________于点G；
(4)过D作DH∥BC，交BA的__________于点H.
【答案】(1)DC
(2)DC
(3)AB
(4)延长线
【解析】(1)过A作AE∥BC，交DC于点E；
(2)过B作BF∥AD，交DC于点F；
(3)过C作CG∥AD，交AB的延长线于点G；
(4)过D作DH∥BC，交BA的延长线于点H.
4、如图，在三角形外求作一点D，使，且的长最短．
【答案】解∶如图，点 D 即为所求．
5、已知平面上三点A、B、C．请按下列要求画出图形：
①画直线，射线，线段；
②过点C画直线，使；
③画出点到直线的垂线段．
【答案】解：①如图所示，直线，射线，线段即为所求；
②如图所示，直线即为所求；
③如图所示，垂线段即为所求．
3立体图形中平行的棱或面
1、如图所示，在长方体中，与棱既不相交也不平行的棱有（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
【答案】C
【解析】由题意得：
与棱AD既不相交也不平行的棱有：BB1，CC1，A1B1，C1D1
故选C.
2、已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（　　　）
A.棱EA； B.棱AB； C.棱GH； D.棱GF．
【答案】A
【解析】解：观察图象可知，与棱GC平行的棱有AE、BF、DH．
故选：A．
3、如图，在长方体中，与棱AB平行的棱有 条．

【答案】3
【解析】解：与AB平行的线段是：DC、EF；
与CD平行的线段是：HG，
所以与AB线段平行的线段有：EF、HG、DC．
故答案是：3．
4、如图，是一个长方体，用符号表示下列两棱的位置关系，A1B1 AB，AA1 AB．
【答案】//；⊥
【解析】A1B1和AB可以看作是一个长方形的两条对边,所以平行； AA1，AB可看做是一个长方形的两条邻边，所以垂直.
故答案为∥，⊥.
5、在如图所示的长方体中：
（1）在面ADHE中，互相平行的棱分别有哪些？
（2）在面ABFE中，与EF垂直的棱分别有哪几条？
（3）在长方体中，与棱EF平行的棱有哪几条？
【答案】解：（1）在面ADHE中，互相平行的棱有EH∥AD，AE∥DH.
（2）在面ABFE中，与EF垂直的棱有AE和BF.
（3）在长方体中，与棱EF平行的棱有AB，DC，HG.
4平行公理
1、下面说法正确的个数为（ ）
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（3）两角之和为，这两个角一定邻补角；
（4）同一平面内不平行的两条直线一定相交．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【解析】解：∵过直线外一点有一条直线和已知直线平行即可判断（1）错误，
∵同一平面内，过一点且只有一条直线和已知直线垂直即可判断（2）错误，
∵两个角相加等于不一定为邻补角，邻补角必须相邻且互补，
∴（3）不正确，
∵同一平面内不平行的两条直线一定相交，故（4）正确．
即正确的个数是1个，
故选：A．
2、过直线外一点作的平行线，可以作（ ）条．
A. B. C. D.或以上
【答案】B
【解析】由平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
故选：．
3、下列说法正确的是（ ）
A.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
B.相等的角是对顶角
C.直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
D.互补的两个角是邻补角
【答案】A
【解析】解：A．过直线外的一点有且只有一条直线与这条直线平行，故本选项符合题意；
B．相等的角不一定是对顶角，故本选项不符合题意；
C．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本选项不符合题意；
D．互补的两个角不一定是邻补角，故本选项不符合题意；
故选：A．
4、如图，在直线a的同侧有P、Q、R三点，若PQ∥a,QR∥a,则P、Q、R三点____________________（填“在”或“不在”）同一条直线上．
【答案】在
【解析】∵PQ∥a,QR∥a（已知），
∴P，Q，R三点在同一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行），
故答案为：在．
5、如图，CD∥AB，CE∥AB，试说明C，D，E三点共线.
【答案】解　因为CD∥AB，CE∥AB，
所以CD∥CE∥AB，
所以CD和CE在同一条直线上(平行公理)，
所以C，D，E三点共线.
5平行公理的推论
1、已知a∥b,c∥d,若由此得出b∥d,则直线a和c应满足的位置关系是（　　）
A.在同一个平面内
B.不相交
C.平行或重合
D.不在同一个平面内
【答案】C
【解析】当a∥c时，a∥b,c∥d,得b∥d；
当a、c重合时，a∥b,c∥d,得b∥d,
故C正确；
故选：C．
2、下面推理正确的是（ ）
A.，， B.，， C.，， D.，，
【答案】C
【解析】解：A、，都和平行，应该推出的是，而非，故错误，不符合题意；
B、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意；
C、，都和平行，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”可推出是，故正确，符合题意；
D、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意；
故选：C．
3、若AB∥CD，AB∥EF，则 ．
【答案】CD∥EF
【解析】根据平行线的传递性，得CD∥EF．
故答案为CD∥EF．
4、如图，直线AB，CD表示一条公路的两边，且AB∥CD，点E为直线AB，CD外一点，现过点E作边CD的平行线，只需过点E作AB的平行线即可，其理由是 ．
【答案】平行于同一直线的两直线互相平行
5、如图，直线a,点B，点C．
（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？
【答案】解：（1）如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行；
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下：
如图，∵b∥a,c∥a,
∴c∥b.
6同位角相等两直线平行
1、如图，，可以判断（ ）
A. B. C. D.与相交
【答案】A
【解析】解：如图，
∵，，
∴，
∴．（同位角相等，两直线平行）
故选：A．
2、如图，要得到a∥b，则需要条件（　　）
A.∠1+∠2＝180° B.∠1＝∠2 C.∠1+∠2＝90° D.∠1+∠2＝120°
【答案】B
【解析】∵∠1＝∠2，
∴a∥b．
3、下面是李强想出画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是（　　）
A.两直线平行，同位角相等
B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行
D.同位角相等，两直线平行
【答案】D
【解析】∵∠1＝∠2，
∴a∥c（同位角相等，两直线平行）．
4、用三角尺和直尺按如下4个步骤画出的直线b与已知直线a是平行的依据是：　 　．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】用三角尺和直尺画出的直线b与已知直线a是平行的依据是：同位角相等，两直线平行．
5、如图，已知∠BOC＝75°，∠BDC＝45°，∠AOE＝30°，AB∥EO．求证：AB∥CD．
【答案】证明：∵∠BOC＝75°，∠DOC+∠BOC＝180°，
∴∠DOC＝105°，
又∵∠BDC＝45°，
∴∠C＝180﹣∠DOC﹣∠BDC＝30°，
∵∠AOE＝30°，
∴∠C＝∠AOE，
∴CD∥EO，
∵AB∥EO，
∴AB∥CD．
7内错角相等两直线平行
1、如图，点E在直线AB上，EC平分∠AED，∠DEB＝100°，如果要使AB∥CD，则∠C的度数为(　　)
A.30° B.40° C.50° D.60°
【答案】B
【解析】∵∠DEB＝100°，∴∠AED＝180°－100°＝80°，∵EC平分∠AED，∴∠AEC＝∠DEC＝∠AED＝40°，∵AB∥CD，∠C＝∠AEC＝40°，故选B.
2、如图，下列条件能判断AD∥BC的是（　　）
A.∠1＝∠4 B.∠1＝∠2 C.∠2＝∠3 D.∠3=∠4
【答案】A
【解析】A项，由内错角相等，两直线平行判定AD∥BC，故A符合题意；
B项，∠2和∠1不是内错角，也不是同位角，∠1＝∠2不能判定AD∥BC，故B不符合题意；
C项，由内错角相等，两直线平行判定AB∥CD，不能判定AD∥BC，故C不符合题意；
D项，∠3和∠4不是内错角，也不是同位角，∠3＝∠4不能判定AD∥BC，故D不符合题意．
3、如图，已知∠MDF＝∠B，要得到AB∥CD，则需要添加的条件是：____________.
【答案】∠DCE＝∠MDF(答案不唯一)
【解析】∵AB∥CD，∴∠B＝∠DCE.∵∠MDF＝∠B，∴∠DCE＝∠MDF.故答案为∠DCE＝∠MDF(答案不唯一)．
4、已知，如图，∠ADE＝46°，DF平分∠ADE，∠1＝23°，求证：DF∥BE.
【答案】证明：∵DF平分∠ADE(已知)，
∴∠FDE＝∠ADE( 角平分线定义)．
又∵∠ADE＝46°(已知)，
∴∠FDE＝23°，而∠1＝23°(已知)，
∴∠FDE＝∠1，
∴DF∥BE( 内错角相等，两直线平行)．
8同旁内角互补两直线平行
1、如图，直线被直线所截，下列选项中能得到的是（ ）
A.=180° B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵=180°，不能判定，故A不符合题意；
由，不能判定，故B不符合题意；
由，不能判定，故C不符合题意；
由，能判定，故D符合题意；
故选： D.
2、如图，BE、CE分别平分∠ABC，∠DCB，要使AB∥CD，∠1，∠2的必须满足条件(　　)
A.∠1＝∠2 B.∠1＋∠2＝180° C.∠1＋∠2＝90° D.∠1＋∠2＝60°
【答案】C
【解析】∠1＋∠2＝90°.理由：∵BE平分∠ABD，∴∠ABC＝2∠1.∵CE平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠2，∴∠ABC＋∠BCD＝2∠1＋2∠2＝2(∠1＋∠2)，又∵∠1＋∠2＝90°，∴∠ABC＋∠BCD＝2×90°＝180°，∴AB∥CD.故选C.
3、我们知道，由角的数量关系可得两条直线的位置关系．如图，请利用“同旁内角互补，两直线平行”为使成立，请写出一组角的数量关系作为条件： ．

【答案】（答案不唯一）
【解析】解：当或；
故答案为：（答案不唯一）．
4、把一副三角板（∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°）按如图所示的方式摆放，当∠1为　 　度时，AC∥EF．
【答案】150
【解析】∵∠E＝30°，
∴当∠E+∠1＝180°时，AC∥EF，
即当∠1＝180°﹣30°＝150°时，AC∥EF.
5、如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C+∠B+∠D=360°，且∠A＝∠C，∠B＝∠D，求证：AB∥CD，AD∥BC．
【答案】证明：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A+∠C+∠B+∠D＝360°，
∴∠A+∠D＝180°，∠A+∠B=180°，
∴AB∥CD，AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
6、如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1＋∠2＝90°.
(1)试说明：AB∥CD；
(2)若∠2＝25°，求∠BFC的度数．
【答案】(1)证明：∵∠ABD和∠BDC的平分线交于E，
∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，
∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠ABD＋∠BDC＝180°，
∴AB∥CD；
(2)解：∵DE平分∠BDC，
∴∠EDF＝∠2＝25°，
∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠FED＝90°，
∴∠3＝180°－90°－25°＝65°.
∴∠BFC＝180°－∠3＝115°.
9同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行
1、如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】、根据作图可知：，，
∴∠D=∠FCB=90°（垂直定义）
∴(同位角相等，两直线平行)
故此选项正确，不符合题意；
、根据作图可知：，，
∴，，
∴，，
∴，故此选项正确，不符合题意；
、根据作图可知：，
根据垂线段最短可知：，故此选项正确，不符合题意；
、∵，
∴，故此选项错误，符合题意；
故选：．
2、下列说法中正确的是（　　）
A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B.两条直线有两种位置关系：平行或相交
C.同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
D.三条线段两两相交，一定有三个交点
【答案】C
【解析】解：A．根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，原说法不正确，故此选项不符合题意；
B．在同一平面内，两条不重合的直线有两种位置关系：平行和相交，原说法不正确，故此选项不符合题意；
C．同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，原说法正确，故此选项符合题意；
D．三条线段两两相交，有三个交点或一个交点，原说法不正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
3、如图，要使BC∥DE，给出下列条件：①②BC⊥AC，DE⊥AC，③，④，其中正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】解：①，不能判定，不符合题意；
②∵BC⊥AC，DE⊥AC，∴∠AED=∠C=90°（垂直定义）
∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)，符合题意.
③∵，
∴（内错角相等，两直线平行）
④∵，
∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)，符合题意.
综上所述，能判定DE∥BC有3个，故选：C
4、在数学课上，老师要求同学们利用一副三角板任作两条平行线．小明的作法如下：
如图，
（1）任取两点A，B，画直线．
（2）分别过点A，B作直线的两条垂线；则直线即为所求．
老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明的作图依据是 ．
【答案】在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行
【解析】解：∵，
∴（在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行）．
故答案为：在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行．
5、如图，CD⊥AB，请添加一个条件：　 　，使得CD∥EF．
【答案】EF⊥AB
【解析】添加EF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AFE＝90°（垂直定义），
∴CD∥EF(同位角相等，两直线平行).
6、如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2＝∠CBD，求证：MDGF．
下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①　　）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴BDEF（同位角相等，两直线平行）．
∵∠1＝∠2＝∠CBD（已知）．
∴∠1＝∠CBD（等量代换）．
∴③　　（内错角相等，两直线平行）．
∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
∴MDBC（④　　）．
∴MDGF（⑤　　）．
【答案】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∵∠1＝∠2＝∠CBD（已知）．
∴∠1＝∠CBD（等量代换）．
∴GF∥BC（内错角相等，两直线平行）．
∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
∴MD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴MD∥GF（平行于同一直线的两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；GF∥BC；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．
7、如图，已知AB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H，∠1＝70°，求∠2的度数.
【答案】解　如图，∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴AB∥CD，
∴∠2＋∠3＝180°，
∵∠3＝∠1＝70°，
∴∠2＝180°－∠3＝180°－70°＝110°.
10平行线判定方法的综合
1、如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　）
A.∠A=∠3 B.∠A+∠2=180° C.∠1=∠4 D.∠1=∠A
【答案】D
【解析】A.因为∠A=∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
B.因为∠A+∠2=180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．
C.因为∠1=∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
D.因为∠1=∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意．
故选：D．
2、如图，要得到，则需要条件（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
故选C．
3、如图，下列条件中能判断BC∥EF的是（　　）
①∠1＝∠E；
②∠2＝∠E；
③∠B＝∠1；
④∠E+∠EGC＝180°.
A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.①②④
【答案】D
【解析】①∠1与∠E是同位角，可判定BC∥EF，故①正确，
②∠2与∠E是内错角，能判断BC∥EF，故②正确，
③∠B与∠1是同位角，可判定AB∥DE，故③错误，
④∠E与∠EGC是同旁内角，且∠E+∠EGC＝180°，可判定BC∥EF，故④正确．
4、如图，直线AB，CD被直线AE所截．请添加一个条件使直线AB∥CD，则该条件可以是 　 　.（用图中已标注的角或字母表示）
【答案】∠1＝∠2（答案不唯一）
【解析】∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD．
5、如图，下列条件能判定的是 ．
①　　②
③　　④
【答案】①②③
【解析】解：①、，能判定；
②、，能判定；
③、，能判定；
④、，能判定，不能判定；
故答案是：①②③
6、如图，当∠1=∠3时，直线a，b平行吗？当∠2+∠3=180°时，直线a，b平行吗？为什么？
【答案】解：如图，
（1）当∠1=∠3时，a∥b,理由如下：
∵∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∠1=∠3，
∴∠2=∠4，
∴a∥b.
（2）当∠2+∠3=180°时，a∥b,理由如下：
∵∠2+∠3=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠2=∠4，
∴a∥b.
11平行线判定方法的实际应用
1、数学课上，老师在投影屏上展示了一个如图所示的图形，并鼓励同学们积极思考，添加一个条件，使得DE∥AC．同学们回答完毕之后，老师在投影屏上展示了四位同学的条件，并说明其中一位同学的条件是不符合要求的，则这位同学是（　　）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】C
【解析】∵∠A=∠1，
∴DE∥AC，故甲不符合题意；
∵∠2+∠4=180°，
∴DE∥AC，故乙不符合题意；
∵∠A=∠3，
∴AB∥DF，故丙符合题意；
∵∠3=∠4，
∵DE∥AC，故丁不符合题意；
故选：C．
2、如图，已知四条线段a，b，m，n中的一条与挡板另一侧的线段l平行，请判断该线段是（　　）
A.a B.b C.m D.n
【答案】B
【解析】由图可知线段b与l平行．
3、用两个相同的三角板如图所示摆放，直线a∥b,画图依据是： ．
【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】如图：
由题意得：∠1=∠2，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故答案为：内错角相等，两直线平行．
4、如图，木工常用角尺画平行线，你能说出其中的道理吗？
【答案】解：如图：
∵直线AB，CD被直线BE所截，且∠B=∠CDE=90°，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
12两直线平行同位角相等
1、如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，则图中与∠1互余的角有(　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】A
【解析】∵射线DF⊥直线c，∴∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，即与∠1互余的角有∠2，∠3，又∵a∥b，∴∠3＝∠5，∠2＝∠4，∴与∠1互余的角有∠4，∠5，∴与∠1互余的角有4个，故选A.
2、下列图形中，由，能得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A、是同旁内角，两直线平行，同旁内角互补，该选项不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等，与的对顶角互为同位角，故该选项符合题意；
C、，不能得到，该选项不符合题意；
D、，不能得到，时，才能得到，该选项不符合题意；
故选：B．
3、如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE＝40°，则∠FGB等于(　　)
A.40° B.50° C.60° D.70°
【答案】B
【解析】∵AB∥DE，∠CDE＝40°，∴∠B＝∠CDE＝40°，又∵FG⊥BC，∴∠FGB＝90°－∠B＝50°，故选B.
4、如图AB∥CD，AE交DF于点C，∠ECF＝134°，则∠A＝　 　．
【答案】46°
【解析】∵∠ECF＝134°，
∴∠ECD＝180°﹣∠ECF＝46°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ECD＝46°（两直线平行，同位角相等）.
5、已知：如图，AD是△ABC的平分线，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且GE∥AD.求证：∠AFG＝∠G.
【答案】证明：∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵GE∥AD，
∴∠BFE＝∠BAD，∠G＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠BFE，
∴∠AFG＝∠G.
6、如图，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4.∠1与∠3的大小有什么关系？∠2与∠4 呢？
【答案】解　∠1＝∠3，∠2＝∠4.
理由：因为AB∥DE(已知)，
所以∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)，
而∠1 ＝∠2，∠3 ＝∠4，
所以 ∠2＝∠4.
13两直线平行内错角相等
1、如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，且交CD于D点，∠CDE=150°，则∠CBD的度数是（　　）
A.30° B.60° C.120° D.150°
【答案】A
【解析】∵∠CDE=150°，
∴∠CDB=180°-150°=30°，
∵DC∥AB，
∴∠ABD=∠CDB=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=30°，
故选：A．
2、如图，长方形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A'，D'对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为(　　)
A.36° B.72° C.60° D.45°
【答案】B
【解析】因为AB∥DC，
所以∠1＝∠AEF(两直线平行，内错角相等)，
由折叠的性质得出∠AEF＝∠FEA'，
因为∠1＝2∠2，
所以∠AEF＝∠FEA'＝2∠2，
因为∠AEF＋∠FEA'＋∠2＝180°，
所以2∠2＋2∠2＋∠2＝180°，
整理得5∠2＝180°，
解得∠2＝36°.
所以∠AEF＝72°.
3、如图所示为羽毛球正手发球的示意图，球拍所在直线a与手臂所在直线b平行(a∥b)；已知发球时，球拍与水平方向l的夹角∠1＝30°，则手臂与竖直方向m所成的角∠2＝　　　　　.
【答案】60°
【解析】如图，
由题意可得∠1＝30°，∠1＋∠3＝90°，所以∠3＝90°－30°＝60°，因为a∥b，
所以∠2＝∠3＝60°(两直线平行，内错角相等).
4、如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，求∠1的度数.
【答案】解　如图，过点A作AB∥a，所以∠2＝∠1.
因为a∥b，所以AB∥b. 所以∠3＝∠4＝30°.
而∠2＋∠3＝45°，所以∠2＝15°.
所以∠1＝15°.
14两直线平行同旁内角互补
1、如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于A，B两点，过点B作BC⊥AB交直线a于点C，若∠1＝65°，则∠2的度数为(　　)
A.25° B.35° C.65° D.115°
【答案】A
【解析】∵直线a∥b，∴∠1＋∠ABC＋∠2＝180°，又∵BC⊥AB，∠1＝65°，∴∠2＝180°－90°－65°＝25°，故选A.
2、如图是某射箭运动员射箭瞬间的示意图.已知AB∥CD，AF∥DE，∠1＝90°，∠2＝115°，∠C＝130°，则∠CBE的度数是
A.60° B.65° C.70° D.75°
【答案】D
【解析】如图，延长AB交DE于点M，
∵AF∥DE，∠1＝90°，
∴∠BME＝90°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠BEM＝180°－∠2＝65°，
∴∠EBM＝90°－∠BEM＝25°，
∵AB∥CD，
∴∠C＋∠CBM＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠C＝130°，
∴∠CBM＝50°，
∴∠CBE＝∠CBM＋∠EBM＝75°.
3、如图，是的平分线，直线，若，则的大小为 ．
【答案】
【解析】解：，
∠AOB+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
，
是的平分线，
，
，
∴∠BOC+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
．
故答案为：．
4、如图是小张在操作剪刀时的平面示意图，剪刀所在直线AC经过点O，DE是经过剪刀手柄D的直线.若∠AOB＝56°，AC∥DE，则∠ODE的度数是　　　　　　.
【答案】124°
【解析】∵AC∥DE，
∴∠ODE＋∠COD＝180°，
∵∠COD＝∠AOB＝56°，
∴∠ODE＝124°.
5、已知：如图，，平分，，求的度数．

【答案】解：
（两直线平行，同旁内角互补）.
，
，
又平分，
，
，
，
．
15平行线性质的综合
1、如图，已知AB∥CD，直线MN分别与直线AB，CD交于点Q，E，QF平分∠EQG，FG⊥FQ交AB于G，若∠MEC＝54°，则∠GFE的度数为（　　）
A.144° B.117° C.126° D.63°
【答案】B
【解析】∵AB∥CD，
∴∠MQA＝∠MEC＝54°，
∵QF平分∠EQG，
∴，
∵AB∥CD，
∴∠EFQ＝∠GQF＝27°，
∵FG⊥FQ，
∴∠GFQ＝90°，
∴∠GFE＝∠GFQ+∠EFQ＝117°.
2、如图是一块从一个边长为10 cm的正方形BCDM材料中剪出的垫片，经测量测得FG＝4 cm，则这个剪出的图形的周长是
A.40 cm B.44 cm C.48 cm D.49 cm
【答案】C
【解析】由题意得，这个剪出的图形的周长比正方形的周长多2FG，
即10×4＋4×2＝48(cm).
3、如图，已知，则的度数是 ．
【答案】
【解析】∵
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
4、如图，已知点A、B、C、F在同一条直线上，AD∥EF，∠D＝40°，∠F＝30°，那么∠ACD的度数是________．
【答案】110°
【解析】∵AD∥EF，∴∠A＝∠F＝30°，∵∠D＝40°，∴∠ACD＝180°－30°－40°＝110°.故答案为110°.
5、如图，AB∥DG，AD∥EF．
（1）试说明：∠1+∠2=180°；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2=138°，求∠B的度数．
【答案】解：（1）∵AD∥EF，
∴∠BAD+∠2=180°，
∵AB∥DG，
∴∠BAD=∠1，
∴∠1+∠2=180°．
（2）∵∠1+∠2=180°且∠2=138°，
∴∠1=42°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG=∠1=42°，
∵AB∥DG，
∴∠B=∠CDG=42°．
6、如图，E是∠CDF平分线上一点，BE∥DF交CD于点N，AB∥CD，求证∠ABE=2∠EDF．
【答案】证明：∵BE∥DF，
∴∠CNE=∠CDF（ 两直线平行，同位角相等）．
∵DE平分∠CDF，
∴∠CDF=2∠EDF；
又∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CNE，
∴∠ABE=2∠EDF（ 等量代换）．
16平行线性质与30°60°45°三角板的综合
1、将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若∠3＝28°，则∠1的度数为（　　）
A.28° B.52° C.56° D.62°
【答案】D
【解析】∵纸条两边平行，
∴∠1＝∠2，4＝∠3＝28°，
∵∠2＝180°﹣90°﹣28°＝62°，
∴∠1＝62°．
2、如图，等腰直角三角板的顶点A，C分别在直线a，b上．若a∥b，∠1＝35°，则∠2的度数为(　　)
A.35° B.15° C.10° D.5°
【答案】C
【解析】如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠1＋∠BAC＝35°＋90°＝125°，∵a∥b，∴∠ACD＝180°－125°＝55°，∴∠2＝∠ACD－∠ACB＝55°－45°＝10°；故选C.
3、如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如图摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°.下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN.其中正确的是　　　　　　.
【答案】①②③④
【解析】①因为∠G＝∠MPN＝∠MPG＝90°，
所以GE∥MP，故①正确；
②因为∠EFG＝30°，
所以∠EFN＝180°－30°＝150°，
故②正确；
③过点F作FH∥AB，如图，
因为AB∥CD，所以FH∥CD，
所以∠HFN＝∠MNP＝45°，
所以∠EFH＝150°－45°＝105°，
因为FH∥AB，
所以∠BEF＝180°－105°＝75°，
故③正确；
④因为∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，
所以∠AEG＝180°－60°－75°＝45°，
所以∠AEG＝∠PMN＝45°，故④正确.
4、将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是 （填写序号）.
①∠1=∠2；②∠4+∠5=180°；③∠1+∠4=90°；④∠4+90°=∠3.
【答案】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，（两直线平行，同位角相等）
∠4+∠5=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠GEF=90°，
∴∠2+∠4=90°，（平角定义）
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠4=90°，（等式的基本事实）
∵AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠3=180°-∠2，
∵∠2+∠4=90°，
∴∠2=90°-∠4，
∴∠3=180°-（90°-∠4），
∴∠3=90°+∠4，
综上所述，①②③④都成立.
17平行线性质的实际应用
1、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是(　　)
A.第一次右拐50°，第二次左拐130°
B.第一次左拐50°，第二次右拐50°
C.第一次左拐50°，第二次左拐130°
D.第一次右拐50°，第二次右拐50°
【答案】B
【解析】如图：可得B与C平行，但C方向相反，B平行，且方向相同，A、D不平行．故选B.
2、如图，C处在A处的南偏西40°方向，E处在A处的南偏东25°方向，E处在C处的北偏东80°方向，则∠AEC的度数为
A.60° B.70° C.75° D.80°
【答案】C
【解析】如图，
由题意得∠DCE＝80°，∠BAC＝40°，∠BAE＝25°，CD∥AB，
∴∠DCA＝∠BAC＝40°，
∴∠ACE＝∠DCE－∠DCA＝40°，
∴∠AEC＝180°－∠ACE－∠BAC－∠BAE＝75°.
3、光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当∠1＝45°，∠2＝122°时，∠3和∠4的度数分别是（　　）
A.58°，122° B.45°，68° C.45°，58° D.45°，45°
【答案】C
【解析】如图，∵EG∥FH，∠1＝45°，
∴∠3＝∠1＝45°．
∵AB∥CD，∠2＝122°，
∴∠ECD＝180°﹣122°＝58°．
∵CE∥DF，
∴∠4＝∠ECD＝58°．
4、相传春秋战国时期墨子以木头制成木鸢，研制三年有成，是人类最早的风筝起源.在如图所示的风筝骨架中，AB∥CD，若∠1＝50°，则∠2＝　　　　　　°.
【答案】50
【解析】如图所示，
因为∠1＝50°，
所以∠3＝∠1＝50°(对顶角相等)，
又因为AB∥CD，
所以∠2＝∠3＝50°(两直线平行，同位角相等).
5、如图、一艘轮船由B处向C处航行，C处在B处的北偏东方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西方向上，若轮船行驶到C处时测得，求从C处看A、B两处的视角的度数．

【答案】
【解析】解：如图，在处测得处在的北偏东方向上，
则，
在海岛上的观察所测得在的南偏西方向上，
则，
∴，又，
∴，
，
．

18平行线性质与判定的综合
1、如图，若∠1=∠3，则下列结论一定成立的是（　　）
A.∠1=∠4 B.∠3=∠4 C.∠1+∠2=180° D.∠2+∠4=180°
【答案】C
【解析】∵∠1=∠3，
∴AD∥BC，
∴∠1+∠2=180°．
而AB与CD不一定平行,
∴∠1与∠4不一定相等，∠3与∠4不一定相等，∠2与∠4不一定互补．
故选：C．
2、如图所示，AB与CD相交于点O，如果∠D＝∠C＝40°，∠A＝80°，那么∠B的度数是(　　)
A.40° B.80° C.60° D.无法确定
【答案】B
3、如图，点E，F分别在直线AB，CD上，点G，H在两直线之间，线段EF与GH相交于点O，且有∠AEF+∠CFE=180°，∠1=∠2．三人说法如下：甲：AB∥CD；乙：GE∥FH；丙：AB∥GH，下列判断正确的是（　　）
A.甲错，乙对 B.甲对，乙错 C.甲对，丙对 D.乙对，丙错
【答案】D
【解析】由题意得：∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD，
故甲的说法对，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFD，
∵∠1=∠2，
∴∠AEF-∠1=∠EFD-∠2，
∴∠GEF=∠EFH，
∴GE∥FH，
故乙的说法对，
∵∠AEF≠∠EOH，
∴AB与GH不平行，
故丙的说法错，
故选：D．
4、如图，∠A=∠C，∠1与∠2互补，∠E=35°，则∠ABE的度数是 ．
【答案】35°
【解析】∵∠1与∠2互补，
∴AD∥BC，
∴∠ADC+∠C=180°，
又∵∠A=∠C，
∴∠ADC+∠A=180°，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠E=35°．
故答案为：35°．
5、如图，已知：△ABC中，D、E、F、G分别在BC、AC和AB上，连接DE、BF和FG，∠AGF=∠ABC，∠GFB+∠EDB=180°．
（1）判断BF与DE的位置关系，并证明；
（2）若BF⊥AC，∠EDB=150°，求∠AFG的度数．
【答案】解：（1）BF∥DE，理由如下：
∵∠AGF=∠ABC，
∴GF∥BC，
∴∠GFB=∠FBD，
又∵∠GFB+∠EDB=180°．
∴∠FBD+∠EDB=180°，
∴BF∥DE．
（2）由（1）可知，GF∥BC，BF∥DE．
∵∠EDB=150°，
∴∠DBF=180°-150°=30°，
∵GF∥BC，
∴∠GFB=∠DBF=30°，
∵BF⊥AC，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFG=90°-∠GFB=60°．
6、如图，已知AD⊥BC，∠1＝∠B，∠2＋∠3＝180°，试说明：EF⊥BC.
【答案】解　∵∠1＝∠B，
∴GD∥AB(同位角相等，两直线平行)，
∴∠DAB＝∠2(两直线平行，内错角相等)，
∵∠2＋∠3＝180°，
∴∠DAB＋∠3＝180°，
∴AD∥EF(同旁内角互补，两直线平行)，
∵AD⊥BC，即∠ADB＝90°，
∴∠EFB＝∠ADB＝90°，
∴EF⊥BC.
19用平行线性质与判定解决拐角问题
1、老师在黑板上出了一道题目，让学生解答.如图1，AB∥DE，∠B＝55°，∠D＝40°，求∠BCD的度数.以下是两位同学提供的作辅助线的方案.方案Ⅰ：如图2，过点C作CF∥AB.方案Ⅱ：如图3，延长DC交AB于点F.对于方案Ⅰ，Ⅱ，说法正确的是(　　)
A.方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B.方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 C.方案Ⅰ，Ⅱ都不可行 D.方案Ⅰ，Ⅱ都可行
【答案】D
【解析】方案Ⅰ：如题图2，过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠BCF＝∠B，∠DCF＝∠D，
∴∠BCF＋∠DCF＝∠B＋∠D，
∴∠BCD＝∠B＋∠D＝55°＋40°＝95°；
方案Ⅱ：如题图3，延长DC交AB于点F，
∵AB∥DE，
∴∠BFC＝∠D，
∵∠BCD＝180°－∠BCF＝∠B＋∠BFC，
∴∠BCD＝∠B＋∠D＝55°＋40°＝95°，
∴方案Ⅰ，Ⅱ都可行.
2、如图是平行光正对凸透镜的光线折射图，AB∥DE，光线经过焦点C，若∠BCE＝40°，则∠ABC+∠DEC等于（　　）
A.180° B.270° C.280° D.320°
【答案】D
【解析】如图，
根据题意得，AB∥CM∥DE，
∴∠ABC+∠BCM＝180°，∠DEC+∠ECM＝180°，
∴∠ABC+∠BCM+∠DEC+∠ECM＝∠ABC+∠DEC+∠BCE＝360°，
∵∠BCE＝40°，
∴∠ABC+∠DEC＝320°.
3、如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输.如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠DEF＝130°，则∠AGC的度数是　　　　.
【答案】80°
【解析】如图，过点F作FM∥CD，
因为AB∥CD，
所以AB∥CD∥FM，
所以∠DEF＋∠EFM＝180°，∠MFA＋∠BAG＝180°，
因为∠BAG＝150°，∠DEF＝130°，
所以∠MFA＝30°，∠EFM＝50°，
所以∠EFA＝∠EFM＋∠AFM＝80°，
因为CG∥EF，
所以∠AGC＝∠EFA＝80°.
4、如图，AB∥CD，∠A＝100°，∠C＝110°，求∠AEC的度数.请补全下列解答过程.
解：过点E作EF∥AB，如图所示.
因为AB∥CD(已知)，
所以　　　　∥　　　　(平行于同一条直线的两条直线平行).
所以∠A＋　　　　＝ 180°，∠C＋　　　　＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
又因为∠A＝100°，∠C＝110°(已知)，
所以∠1＝　　　°，∠2＝　　　°.
所以∠AEC＝∠1＋∠2＝　　　°＋　　　°＝　　　°.
【答案】CD　EF　∠1　∠2　80　70　80　70　150
5、(1)如图1，已知AB∥CD，PQ∥AB，∠AEP＝142°，∠PFD＝34°，求∠EPF的度数；
(2)如图2，若AB∥CD，点P在CD的下方，看一看，想一想，证一证：
以下与∠PFC，∠PEA，∠EPF有关的三个结论：∠PEA＋∠EPF>∠PFC，∠PEA＋∠EPF＝∠PFC，∠PEA＋∠EPF<∠PFC，你认为哪个正确？请说明理由.
【答案】解　(1)∵PQ∥AB，
∴∠AEP＋∠QPE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠AEP＝142°，
∴∠QPE＝180°－142°＝38°.
∵AB∥CD，
∴CD∥PQ.
∴∠QPF＝∠PFD＝34°(两直线平行，内错角相等).
∴∠EPF＝∠QPE＋∠FPQ＝38°＋34°＝72°，
即∠EPF的度数为72°.
(2)∠PFC＝∠PEA＋∠EPF正确，理由如下：
如图，过P点作PN∥CD，
∵PN∥CD，AB∥CD，
∴PN∥AB.
∴∠PEA＝∠NPE(两直线平行，内错角相等).
∵∠FPN＝∠NPE＋∠EPF，
∴∠FPN＝∠PEA＋∠EPF.
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC(两直线平行，内错角相等).
∴∠PFC＝∠PEA＋∠EPF.
6、已知，和都不经过点P，探索与的数量关系．
(1)在图1中，请证明．（提示：过点P作）
(2)按第（1）题方法应用：在图2中，若，，则的度数为________；
(3)拓展：在图3中，探察与，的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：如图所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
20用平行线性质与判定解决折叠问题
1、利用如图所示的方法（图下方的①，②，③，④表示折的顺序），可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线．关于其中的原理，下列说法错误的是（ ）
A.对顶角相等
B.同位角相等，两直线平行
C.内错角相等，两直线平行
D.同旁内角互补，两直线平行
【答案】A
【解析】解：如图，
由题图（2）的操作可知，
所以，
由题图（3）的操作可知，
所以，
所以，
所以可依据同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行，或同旁内角互补，两直线平行判定，
故选：A．
2、在探究“过直线外一点P作已知直线a的平行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合是（　　）
①平角的定义；
②邻补角的定义；
③角平分线的定义；
④同旁内角互补，两直线平行；
⑤两直线平行，内错角相等．
A.②④ B.③⑤ C.①②⑤ D.①③④
【答案】D
【解析】如图，
第一次折纸，确定直线a的垂线CP，
∴∠ECP=∠FCP=90°，
第二次折纸，确定PC的垂线AB，
∴∠APC=∠BPC=90°，
∴∠APC=∠FCP，
∴PB∥EF，
即PB∥a.
故选：D．
3、如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D，C分别在M，N的位置上，EM与BC的交点为G，若∠EFC＝125°，则∠1等于（　　）
A.35° B.55° C.70° D.65°
【答案】C
【解析】∵长方形对边AD∥BC，
∴∠DEF+∠EFC＝180°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣125°＝55°，
由翻折的性质得∠DEF＝∠MEF＝55°，
∴∠1＝180°﹣55°×2＝70°.
4、将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝　 　．
【答案】55°
【解析】如图，
∵a∥b，
∴∠2＝∠5，
由翻折变换的性质可知∠4＝∠5，
∴∠4＝∠2，
∵∠1＝∠2+∠4＝110°，
∴∠2＝∠4＝55°.
5、如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B′，D′处．若∠1＝80°，则∠2的度数是 　 　．
【答案】50°
【解析】∵AB∥CD，
∴∠1＝∠AEB′＝80°，
∴∠BEB′＝180°﹣∠AEB′＝100°，
由折叠得∠2＝∠FEB′＝∠BEB′＝50°.
6、如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法，其中王玲是通过折纸的方式完成：
第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对称点B 落在上，折痕与相交于点Q，打开纸张铺平；
第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）；
王玲就说，你能用几何推理说说其中的道理吗？
（请完成下面的证明，并填上对应的推理根据）
证明：∵
∴∠ ．理由是：（角平分线的定义）．
∵，
∴∠ ．理由是：（　 　 ）．
∴ ，
∴．理由是：（　 　 ）．
【答案】证明：∵
∴ ．理由是：（角平分线的定义）．
∵，
∴ ．理由是：（垂直定义）．
∴，
∴．理由是：（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：；90；；垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行．

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