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章末巩固(四)　曲线运动　万有引力与宇宙航行
说明：单选题每小题4分；多选题每小题6分；本试卷共66分。
一、单选题
1．(2025·安徽合肥一模)2025年4月11日00时47分，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火升空，随后将通信技术试验卫星十七号卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功。该卫星主要用于开展多频段、高速率卫星通信技术验证。若该卫星在定轨前，由周期为T1的圆轨道变轨到周期为T2的圆轨道，则它先后在这两个圆轨道上时受到来自地球的万有引力之比为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
2．(2025·陕西西安一模)如图所示为某款智能羽毛球发球机。小汪站在水平地面上，球拍竖直举起，球拍中心距水平地面的高度h0＝2.15 m。距小汪一定距离处的羽毛球发球机将羽毛球(可视为质点)从h1＝0.9 m高度处以大小v0＝13 m/s的速度向斜上方发出，羽毛球恰好水平击中球拍中心。重力加速度g取10 m/s2，则羽毛球击中球拍的速度大小是(　　)
A．4 m/s　 B．6 m/s
C．8 m/s　 D．12 m/s
3．(2025·河北张家口一模)2025年2月22日，中星10R地球同步轨道卫星成功发射，为全球通信网络提供支持。地球同步通信卫星的发射过程可以简化为卫星先在近地圆形轨道Ⅰ上运动，在A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的远地点B时，再次点火进入同步轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动。已知地球半径为R，同步卫星轨道半径为r。下列说法正确的是(　　)
A．卫星在轨道Ⅱ上经过B点时的加速度小于在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度
B．卫星在轨道Ⅰ上经过A点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过A点时的速度
C．卫星在轨道Ⅱ上运行时，经过A点的速度大于经过B点的速度
D．卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上运动的速度之比为r∶R
4．(2025·安徽合肥阶段检测)如图所示为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端拴接重物，当车轮高速旋转时，LED灯就会发光。下列说法正确的是(　　)
A．只要轮子转动起来，气嘴灯就能发光
B．增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光
C．安装时A端比B端更远离圆心
D．匀速行驶时，若气嘴灯转到最低点时能发光，则在最高点时也一定能发光
5．(2025·内蒙古包头一模)如图所示，小木块a和b(可视为质点)用轻绳连接置于水平圆盘上，开始时轻绳处于伸直状态但无拉力，a的质量为3m，b的质量为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为r和2r，a、b与盘间的动摩擦因数相同(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘始终保持相对静止，a、b分别所受摩擦力大小Ff2、Ff1随ω2变化的图像正确的是(　　)
A．　 B．
C．　 D．
二、多选题
6．(2025·河北邯郸高三期中)竖直平面内有一半径为0.5 m的光滑圆环，质量为0.5 kg的小球(视为质点)套在圆环上，当圆环以一定的角速度绕过圆环的竖直直径的转轴OO'匀速转动时，小球相对圆环静止，此时小球与圆环圆心的连线与竖直方向的夹角为37°，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的有(　　)
A．圆环对小球的弹力大小为5 N
B．小球随圆环旋转的角速度为5 rad/s
C．小球运动的线速度大小为1.5 m/s
D．小球的向心加速度大小为10 m/s2
7．(2025·四川遂宁模拟)北京时间2025年1月7日04时00分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将实践二十五号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，该卫星主要用于卫星燃料补加与延寿服务技术验证。经过一个月的时间，实践二十五号抵达同步轨道，并成功给北斗三号G7卫星加注了142公斤燃料，实现了全球首次卫星在轨加注燃料。若后期还要给同轨道上的另一颗卫星A加注燃料，加注前两卫星的位置如图所示，则要想实现加注燃料，对实践二十五号卫星操作正确的是(　　)
A．实践二十五号卫星直接加速与卫星A对接即可
B．实践二十五号卫星和卫星A对接时具有相同的加速度
C．实践二十五号卫星受到地球的万有引力一定大于卫星A受到地球的万有引力
D．实践二十五号卫星对卫星A加注燃料后，二十五号卫星向前喷射少量减速剂即可实现分离
8．(2025·广东珠海一模)如图所示，某卫星被月球俘获后绕月球沿椭圆轨道Ⅰ运动，在近月点制动后，卫星沿椭圆轨道Ⅱ运动，轨道Ⅰ的近月点到月面的距离极短，远月点到月面的高度为8h，轨道Ⅱ的近月点与轨道Ⅰ的近月点重合，远月点到月面的高度为h。卫星在轨道Ⅰ上运行的周期是卫星在轨道Ⅱ上运行周期的8倍。引力常量为G，月面的重力加速度大小为g，将月球视为质量分布均匀的球体，忽略月球自转的影响。下列说法正确的是(　　)
A．月球的半径为h
B．月球的半径为h
C．月球的密度为
D．月球的密度为
三、非选择题
9．(6分)(2025·天津河西一模)用如图甲所示装置研究平抛运动。
(1)关于该实验，下列说法哪些是正确的 ________(填写正确答案标号)
A．实验中应保持硬板竖直
B．建立坐标轴时应以槽口的端点作为坐标原点
C．用实心铁球完成实验比用空心木球完成实验效果好
D．绘制平抛运动轨迹时应该用直线连接小球经过的所有位置
(2)某位同学通过实验得到了平抛小球的运动轨迹。为了进一步探究平抛运动的特点，他建立了以抛出点O为原点的xOy坐标系，并在轨迹上取一些点，测量这些点的水平坐标x和竖直坐标y。若坐标x、y满足关系________，就能够说明小球的运动轨迹为抛物线。(填写正确答案标号)
A．y∝　B．y∝x　C．y∝x2　D．y∝x3
(3)另一位同学在进行这个实验时，忘记了记录平抛的抛出点，并得到如图乙所示的平抛小球运动轨迹，则图中的________(选填“>”“<”或“＝”)。
10．(10分)(2025·安徽阜阳一模)某同学在练习“侧向擦板投篮”时，篮球恰好在最高点击中篮板上距出手点竖直高度差h1＝1.8 m的A点，篮球经篮板反弹后进入篮筐。篮球与篮板碰撞后，平行于篮板的速度分量不变，垂直于篮板的速度分量大小变为碰前的一半。O1与A点在篮板上处于同一水平线，O2是篮筐的篮圈中心在篮板上的投影，O1在O2正上方。若O1A＝x＝40 cm，O1O2＝h2＝20 cm，篮球被篮板反弹后从篮筐进入球网，篮球球心在篮板上的投影也为O2时，篮球上靠近篮板的边缘离篮板的距离y＝30 cm，不计篮球与篮板碰撞时的形变与碰撞时间，重力加速度大小g取10 m/s2，空气阻力不计。求：
(1)该同学投篮时，篮球离开手的速度大小；
(2)篮球从出手到进筐(球心在篮板上的投影为O2)所用的时间。
11．(12分)如图所示，一段水平的公路由两直道AB、CD以及圆弧弯道BC组成。一辆汽车在AB段上以v0＝72 km/h的速率匀速行驶，接近弯道时以大小为a1＝4 m/s2的加速度匀减速刹车，然后以不发生侧滑的最大速率通过圆弧弯道。进入CD后以大小为a2＝2 m/s2的加速度加速到原速率v0继续行驶。已知弯道的半径R＝24 m。弯道圆弧长度s＝60 m，转弯时路面对轮胎的径向最大静摩擦力为车重的，重力加速度大小g取10 m/s2，求：
(1)汽车开始刹车时距B的距离；
(2)汽车从刹车开始至恢复到原速率所用的时间。
章末巩固(四)
1．B　[设周期为T1的圆轨道的半径为r1，周期为T2的圆轨道的半径为r2，根据开普勒第三定律可得＝，由万有引力表达式可得F引＝，联立可得卫星先后在这两个圆轨道上时受到来自地球的万有引力之比为＝＝，故选B。]
2．D　[羽毛球从发出到击中球拍前的逆运动是平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动。设羽毛球发出时竖直方向的分速度大小为vy，有＝2g(h0－h1)，解得vy＝5 m/s，根据速度的合成与分解，有v0＝，联立解得vx＝12 m/s，故选D。]
3．C　[根据牛顿第二定律可得＝ma，可得a＝，可知卫星在轨道Ⅱ上经过B点时的加速度等于在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度，故A错误；卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，需要在A点点火加速，则卫星在轨道Ⅰ上经过A点时的速度小于在轨道Ⅱ上经过A点时的速度，故B错误；卫星在轨道Ⅱ上运行时，由于A点为近地点，B点为远地点，根据开普勒第二定律可知，经过A点的速度大于经过B点的速度，故C正确；卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得＝m，可得v＝，则卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上运动的速度之比为＝，故D错误。故选C。]
4．B　[车轮转动时，重物随车轮做圆周运动，所需要的向心力由弹簧弹力与重力的合力提供，车轮转速越大，弹簧长度越长，重物上的触点M与固定在B端的触点N越近，当车轮达到一定转速时，重物上的触点M与固定在B端的触点N接触后气嘴灯就会被点亮，故A错误； 气嘴灯在最低点时，对重物有F弹－mg＝mω2r，解得ω＝，故增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光，故B正确；要使重物做离心运动，M、N接触，则A端应靠近圆心，安装时A端比B端更靠近圆心，故C错误；气嘴灯在最低点时，有F1－mg＝mω2r，即F1＝mω2r＋mg，气嘴灯在最高点时，有F2＋mg＝mω2r，即F2＝mω2r－mg，故F1>F2，即匀速行驶时，在最低点时弹簧比在最高点时长，因此匀速行驶时，若气嘴灯转到最低点时能发光，则在最高点时不一定能发光，故D错误。故选B。]
5．C　[当圆盘速度较小时，两木块均由静摩擦力提供向心力，对a物块有Ffa＝3mω2r，对b物块有Ffb＝mω2·2r，则b物块受到的摩擦力较小，当角速度为ω1时，b物块所受摩擦力达到最大值，则有μmg＝2mr，此时a物块所受摩擦力为Ff＝3mr＝μmg<3μmg，即仍未达到最大值；此后随着圆盘角速度逐渐增大，b物块所受摩擦力保持不变，a物块所受摩擦力继续增大；当角速度为ω2时，a物块所受摩擦力达到最大值，设绳子拉力为FT，对a、b分别有FT＋3μmg＝3mr，FT＋μmg＝2mr，继续增大圆盘角速度，绳子拉力继续变大，b物块所需向心力较小，所以b物块所受摩擦力将逐渐减小至0后反向再增大，此过程a物块所受摩擦力为最大值保持不变。故选C。]
6．BC　[小球做匀速圆周运动，由所受外力的合力提供圆周运动的向心力，设圆环对小球的弹力大小为FN，对小球分析有FN＝＝6.25 N，故A错误；对小球进行受力分析有mgtan 37°＝mω2Rsin 37°，解得ω＝5 rad/s，故B正确；同理有mgtan 37°＝ma＝m，解得a＝7.5 m/s2，v＝1.5 m/s，故C正确，D错误。]
7．BD　[实践二十五号卫星直接加速，将做离心运动，变轨到更高的轨道，不能与卫星A对接，故A错误；根据牛顿第二定律可得＝ma，可得a＝，可知实践二十五号卫星和卫星A对接时具有相同的加速度，故B正确；由于不知道实践二十五号卫星和卫星A的质量关系，所以无法比较实践二十五号卫星受到地球的万有引力与卫星A受到地球的万有引力的大小关系，故C错误；实践二十五号卫星对卫星A加注燃料后，二十五号卫星向前喷射少量减速剂，则二十五号卫星速度减小，二十五号卫星将做向心运动，可实现分离，故D正确。故选BD。]
8．AC　[设月球的半径为R，则轨道Ⅰ、Ⅱ的半长轴分别为a1＝，a2＝，根据开普勒第三定律有＝＝8，解得R＝h，故A正确，B错误；设月球的质量为M，卫星的质量为m，则有G＝mg，而月球的密度ρ＝，其中月球的体积V＝，联立解得ρ＝，故C正确，D错误。故选AC。]
9．解析：(1)实验中应保持硬板竖直，保证小球与白纸不发生摩擦，不影响小球的运动，故A正确；建立坐标轴时，应以小球在槽口末端静止时的球心在硬板上的投影为坐标原点，故B错误；应该选用质量大、体积小的小球做实验，以减小空气阻力的影响，所以用实心铁球完成实验比用空心木球完成实验效果好，故C正确；绘制平抛运动轨迹时应该用平滑的曲线连接小球经过的所有位置，故D错误。故选AC。
(2)根据平抛运动规律，水平方向有x＝v0t
竖直方向有y＝gt2
联立解得y＝x2，故选C。
(3)小球在水平方向上做的是匀速直线运动，因为A到B和B到C的水平距离相等，所以小球从 A到B的时间等于小球从B到C的时间。小球在竖直方向上做匀变速直线运动，因为坐标原点不是小球的抛出点，所以小球在竖直方向上的初速度不为0，因此y1＝vyt＋gt2
又有y1＋y2＝vyt＋g(2t)2，即y2＝gt2
因此>。
答案：(1)AC　(2)C　(3)>
10．解析：(1)A点是篮球运动的最高点，经篮板反弹后篮球在竖直方向做自由落体运动，在竖直方向上有h2＝g，解得t1＝0.2 s
沿AO1方向，篮球做匀速直线运动，设速度大小为vx，则有x＝vxt1，解得vx＝2 m/s
垂直于篮板方向，篮球做匀速直线运动，设碰前速度大小为vy，则有y＝vyt1
解得vy＝3 m/s
篮球离开手时速度的竖直分量设为vz，则＝2gh1，解得vz＝6 m/s
则篮球离开手时的速度大小v＝，代入数据解得v＝7 m/s。
(2)设篮球从出手到运动至最高点的时间为t2，则vz＝gt2
解得t2＝0.6 s
篮球从出手到进筐所用的时间t＝t1＋t2＝0.8 s。
答案：(1)7 m/s　(2)0.8 s
11．解析：(1)汽车以不发生侧滑的最大速率通过圆弧弯道，则此时最大静摩擦力提供向心力，已知弯道的半径R＝24 m，转弯时路面对轮胎的径向最大静摩擦力为车重的，则在BC段根据牛顿第二定律有mg＝m
解得汽车通过圆弧弯道的速率为v＝12 m/s
对AB段刹车过程，根据速度－位移公式有
v2－＝－2a1x
解得开始刹车时汽车距B的距离为x＝32 m。
(2)在AB段，汽车从刹车开始做匀减速直线运动，根据速度－时间公式有v＝v0－a1t1
解得汽车从刹车开始至B所用时间t1＝2 s
在BC段，汽车做匀速圆周运动，已知圆弧弯道长度s＝60 m
根据圆周运动线速度的定义式可知v＝
解得汽车通过圆弧弯道的时间t2＝5 s
在CD段，汽车做匀加速直线运动加速到原速率，根据速度－时间公式可知v0＝v＋a2t3
解得汽车从C点至恢复到原速率的时间t3＝4 s
故汽车从刹车开始至恢复到原速率所用时间为
t＝t1＋t2＋t3＝11 s。
答案：(1)32 m　(2)11 s
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