资源简介

绝密★启用前
试卷类型：A
2026年普通高等学校招生全国统一考试
数学
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置。
2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，写在试卷、草稿纸和答题卡上
的非答题区域均无效。
3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={L,3},B={2,3,5},则CoAUCoB=
A.1,2,4,5}
B.{2,3,4}
C.{2,4y
D.{4y
2.已知函数f(x)=
N-x,x≤0，
12*-1,x>0,
则f(f(4)
3
A.-3
B.4
C.3
D.、3
3.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，
此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为
A.2√2
B.2+2W3
C.4
D.8
1+sin 2a 3
,2cowa+sin2a2,则ana的值为
4.已知
A.2
B.1
C.
3
D.2
5.已知正实数x,y满足+=1，则4切-3x的最小值为
x y
A.8
B.9
C.10
D.11
6第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将
前往3个场馆A,B,C开展志愿服务工作.若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A时，场
馆B仅有2名志愿者的概率为
A.
3
21
6
B.
C.
50
数学试题
第1页（共4页）
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7.已知数列{an}为等差数列，且公差d≠0，直线I:ax+a2y+ak5=0(keN)
与圆C:(x-1)2+y+2)2=1交于A,B两点，则∠ACB的最小值为
A
c
D.牙
8.设a∈R,则a2=3是“0=3分”的
A.充分不必要条件
·B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全不选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设x,x2,…,x,的极差为X,平均值为x,中位数为m,标准差为S,y,=ax+b(i=1,2,…,n),
其中a,b∈R，,y,,y,的极差为Y,平均值为y,中位数为卫，标准差为t,则
A.Y=ax+b
B.y=ax+b
C.p=am+b
D.1=as+b
10.已知定点A,B,Ce平面a,△ABC是边长为45的等边三角形，
若动点P到平面a的距离是1，则
A.三棱锥A-BCP的体积为定值
B.点C到平面PAB的距离的最大值是6
C.当点2（异于点P)到平面a的距离是1时，P2/1a
D.若A,B,C,P在一个半径为5的球O的球面上，则P的轨迹长度是23+√21)x
1.已知名，与为方程2-4x+1=0的两个实根，设4，=+)，下列结论正确的是
A.43=26
B.存在k∈N',使得axak+2-a喉l=2
C.42026的个位数字为7
D.2026+1
为完全平方数
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.1
已知40,0，D,BG,,0,C0,10,则点A到直线BC的距离为▲二
13.设复数名，22满足|3月22=2，且z-乙2=1+V3,则|3+22=▲
14已知双暗线C:苔卡-0>0b>0的左、右焦点分别为，B,第二象限的点PK,W】
位于双曲线的渐进线上，且∠EFP=∠RPE.若P0=P瓦，且l№-O=2a,
则C的离心率为▲一
数学试题第2页（共4页）
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高冠32人在用的日A。2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学科答案
一、单项选择题：1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.B 7.B 8.B
6.不考虑甲是否去场馆 ，所有志愿者分配方案总数为 ，甲去场馆 的概率相等，
所以甲去场馆 或 的总数为 ，甲不去场馆 ，分两种情况讨论：
情形一，甲去场馆 ，场馆 有两名志愿者共有 种；
情形二，甲去场馆 ，场馆 场馆 均有两人共有 种，
场馆 场馆 均有两人共有 种，所以甲不去场馆 时，
场馆 仅有 2名志愿者的概率为 .
7. 由题意可知：圆 的圆心为 ，半径 ，设数列 公差为 d，
则直线 可化为 ，即 ．
令 ，解得 ，可知直线过定点 ，当 时，弦长 最小，
此时 最小．又因为 ，则 ，
可知 ，则 ．
8. 若 ，则 ，即 ．令函数 ，则 .
时， ; 时， . 在 上递增，在 上递减．
．令函数 ，则 ．
当 时， ，所以 在 上单调递增， ，
即 ．因为 ， ，所以 在 和 上各有
一个零点，所以 有 2个解，即 有 2个解，显然其中 1个解为 ．若 ，
则 ，即 ．因为函数 与函数 的图象只有一个交点，方程
只有一个解，即 只有一个解，易得 ．故＂ ＂是＂ ＂的必要不充分条
件．
二、多项选择题： 9.BC 10.ABD 11.ACD
10. 解：对于选项 ，依题意，三棱锥 的底面 上的高为 1，
因为底面△ 的面积为 ，
第 1页
故三棱锥 的体积 为定值，故选项 正确；
对于选项 ，因点 到平面 的距离是 1，则侧面△ 的 边上的高的最小值为 1，
所以△ 的面积有最小值 ，此时，设点 到平面 的距离为 ，
由 ，得 ，当 取最小值 时， 有最大值 6， 正确；
当点 (异于点 到平面 的距离是 1，且 、 在平面 异侧时， 与 相交， 错误；
对于选项 ，设球心 到 ， ， ， 的距离为 5，△ 的外接圆圆心为 ．
由△ 是边长为 的等边三角形，可知△ 的外接圆半径为 ，
则 ，因为点 到平面 的距离是 1，
所以 的轨迹是以 为半径的圆或是以 为半径的圆，
所以 的轨迹长度是 ，故选项 正确．
11. 由于 是方程 的根，则有：
两边同乘 ，可得递推关系： ，
则 ，即
等式两侧同除以 2，可得
故数列 的递推公式： ， ， .
，A正确. 选项 B：化简 ，结合 展开得：
，B错误.
选项 C：依次计算 可得： ， ， ， ， ，
，经过计算，从 往后，可得个位数循环节为： ，即周期为 6，
所以 ，余数为 ，对应个位数字为 ，C正确.
选项 D：由 代入 得：
，可得 ，是完全平方数，D正确.
三、填空题：12. 13. 14.4
14. 依题意，点 在 的渐近线上，点 在 的右支上.
因为 ，所以 .
设 为坐标原点，又 ， 分别为 ， 的中点，则 ，
又 ， ，故 ，
故 ，而 ，则 .
第 2页
在 中，由余弦定理，得 ，解得 (负值舍去).
四、解答题：
15. 解：(1) ，--------(3分)
所以 ，则 ；------------------(5分)
(2)由(1)得 ，因为 (A) ，
所以 ，即 ， ，即 ，------------------(7分)
因为 ，
所以 ，即 ，
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，所以 ，------------------(10分)
则△ 为直角三角形，
则△ 的面积 ，所以 ．------------------(13分)
16.解：(1)证明方法一：
因为 ， ， 分别为 ， ， 的中点，点 在直线 上，
取 中点 ，连接 、 ，
故 、 ，则 ，故 、 、 、 四点共面，------------------(3分)
因为 平面 ， ， 平面 ，
故直线 与直线 为异面直线；------------------(5分)
注：利用形如“ ， ， ，则 异面”的方法进行判定都可以给分.
证明方法二：
假设直线 EF，GH不异面，则 EF与 GH相交或平行，
若 EF//GH，又因为 EF//CD，则由 CD//GH，显然不成立，矛盾；
若 EF与GH相交，不妨设两直线交点为M，则 平面 ，且 平面 ，
所以 在平面 与平面 的交线 CD上，因为 EF//CD，显然不成立，矛盾，
综上，假设不成立，直线 EF，GH为异面直线
(2)因为点 与直线 同在平面 中，所以直线 平面 ，又因为 平面 ，
设直线 与直线 的交点为 N，N为平面 与平面 的公共点，所以交点必在
直线 上，延长 GH与 CD交于点 N，联结 PN，则直线 PN即为直线 ，------------------(6分)
因为 G为 BC中点，所以 BG=GC，又因为 ， ，
所以 ，所以 ，------------------(7分)
由△ 是正三角形，且 为 中点，故 ，
由 平面 ， 平面 ，故 ，
又 ， 、 平面 ，故 平面 ，
第 3页
故可以以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，------------------(8分)
则 ，0， 、 ，0， 、 ，4， 、 ，4， 、
、 ，4， 、 ，0， ，------------------(9分)
由 ， 分别为 ， 的中点，故 、 ，
则 ， ， ， ，
设 ， ，则 ，
所以直线 l的一个方向向量为 ，------------------(11分)
设平面 的法向量为 ，则有 ，
取 ，则 、 ，即 ，------------------(13分)
设直线 与平面 的夹角为 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，故 最大值为 ，
即直线 与平面 所成角的最大值为 ．------------------(15分)
17.解：(1)由题意得， ，所以 ，又因为离心率 ，所以 ，
所以 ，所以椭圆的方程为 .------------------(3分)
(2)设 ，所以 ，将 代入椭圆方程，
所以 ，所以 .------------------(6分)
(3)当直线 的斜率不为 0时，设 ，联立椭圆方程 ，
得到 ， ，------------------(8分)
设 ， ，则 ，由韦达定理可得 ，
因为 ，原点 到 的距离为 ，
所以 ，------------------(10分)
又因为点 到 的距离为 ， ，
所以 ，------------------(12分)
第 4页
所以 ，由 注意到 ，
所以 ；------------------(14分)
当直线 AB的斜率为 0时， 四点共线无法构成三角形，故舍去;
综上， 为定值. ------------------(15分)
18.解：
(1)设事件 为甲第 k次投出正面；事件 为乙第 k次投出正面，事件 为乙恰好投掷三次后获胜
因为乙获胜时得两分，故必定投出两个正面，一个反面，且第三次投掷时投出正面，可按以下方式
分类，
①若乙获胜时甲得 0分，则可表示为
②若乙获胜时甲得 1分，则可表示为 + + +
------------------(2分)
由于每次投掷彼此独立且 ，所以 -------(4分)
(2)当甲乙任意一方胜利时，双方总得分为 2分或 3分，即双方共 n次投掷中硬币正面的次数为
2次或 3次，且最后一次为正
(i)记甲投掷 次，乙投掷 次，所以 ，
因为只要有一方投出正面就会额外获得一次投掷机会，所以 或 2；
易知 ， ， ，------------------(6分)
当 时，
①若 ，硬币正面次数为 3次，此时 为奇数，甲获胜时，第 次抛出正面，
且前 次中甲、乙分别各有一次正面，显然两人不可能在连续两次分别投出正面，
若甲比乙先投出正面，则两人是在第 中的某两次投出正面，此时有 种情况；
若乙比甲先投出正面，则两人是在第 中的某两次投出正面，此时有 种情况；
因此共有 种情况，所以此时 -----------(9分)
②当 时，硬币正面向上次数为 2次，全部由甲投出，此时 为偶数，前 次甲仅有
一次抛出正面，可能在第 次抛出，共有 种情况，所以此时
所以综上， .-----------------------------------------(12分)
第 5页
(3)注意到 ，设 为偶数，将求和按奇偶项分列，所以设
，-----(14分)
所以 ，则
，
所以 ；
，
又因为 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，----------------------------------(16分)
若 为奇数，则 ，所以得证------------------(17分)
19.解：(1)∵对任意 ， 是 的必要条件，
∴ ， 在 上单调递增，
则 ，即 在 上恒成立，------------------(2分)
令 ， ，
在 单调递减， .------------------(4分)
(2)(i)因为对 有两个不等的实根 ，
所以 有两个零点 ，------------------(6分)
若 是方程 的一个根，则 ，所以 ，
令 ，
第 6页
当 ，则 ，当 ，则 ，
所以 在 单调递减； 单调递增，
，
要使 有两个零点，只需 ，------------------(9分)
即 ，令 ，
在(0,1)单调递增； 单调递减， .------------------(11分)
(ii)令 ，则 ， ，即 ，
构造方程 ，两根为 ，令 ，------------------(13分)
其中 的两根为
令 则 ，令 ，则 ，
在 单调递减； 单调递增，作出 大致图象如下：
令 ， 在 单调递减；
单调递增， ------------------(15分)
当 时， ，此时 最小.
取最小值时， .------------------(17分)
第 7页

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