资源简介 绝密★启用前2025-2026学年上海市七年级（下）期末数学 押题试卷难度系数：0.52；考试时间：100分钟；满分：100分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号 一 二 三 总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人 得 分一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）a、b都是实数，且a＜b，则下列不等式不一定成立的是（ ）A．a+8＜b+8 B．4﹣a＞4﹣b C．5a＜5b D．ax2＜bx22．（2分）下列说法，其中真命题有（ ）个．①相等的角是对顶角；②同位角相等；③两边及一角对应相等的两个三角形全等；④角平分线上的点到角两边的距离相等．A．1 B．2 C．3 D．43．（2分）亮亮的直角三角板被折断一部分，留下的部分如图所示，很快他就根据所学知识画出一个与原三角板完全一样的三角形．其依据是（ ）A．HL B．SAS C．ASA D．AAS4．（2分）下列长度的三条线段，首尾顺次连接不能组成三角形的是（ ）A．5，5，5 B．3，4，8 C．3，4，5 D．2，4，55．（2分）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，AB∥CD，AC∥DE，∠FAB＝98°，∠E＝41°，则∠DCE的度数为（ ）A．41° B．47° C．51° D．57°6．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，∠DBC的度数为（ ）A．15° B．20° C．25° D．10°第Ⅱ卷（非选择题）评卷人 得 分二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）7．（2分）一个数的3倍比这个数与1的和小，设这个数是x，则列出的不等式是 ．8．（2分）证明基本事实通常作为论证的起点和依据．从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理的方法证实命题的过程叫作 ．9．（2分）如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，∠EOC＝35°，则AB与CD的夹角是 度．10．（2分）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB＝16，AC＝22，DE＝8，则点D到AB的距离是 ．11．（2分）如图，将直尺（EF∥AD）与三角板（∠BAC＝90°）叠放在一起．若∠1＝28°，则∠2的度数为 ．12．（2分）已知非零实数a，b满足，则的值是 ．13．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∠A＝45°，点D在AC上，△BDA≌△BFC，若∠BFC＝100°，则∠ABF＝ ．14．（2分）下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，不能作出唯一的三角形的条件是 （填写编号）．15．（2分）如图，直线m，n相交于点B，m，n的所成的锐角的度数为50°，A是直线m上的一点．在直线n上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C有 个．16．（2分）元宵节是我国传统节日，在元宵节前夕，某商场出售汤圆的标价比成本高25%，元宵节过后，商场将这种汤圆降价出售，为了每袋都不亏本，降价幅度最多为 %．17．（2分）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数，则这个三角形的周长是 ．18．（2分）乐乐用一张直角三角形纸片玩折纸游戏．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°．第一步，将纸片沿AB对折，使点A与点B重合，折痕与边AB的交点为点D；第二步，在AC边上找一点E，将纸片沿ED折叠，点A落在A′处，如图2；第三步，将纸片沿DA’折叠，点E落在E′处，如图3．当点E′恰好在原直角三角形纸片的边上时，则∠BDE的度数为 ．评卷人 得 分三．解答题（共8小题，满分64分）19．（5分）解不等式组，并将解集表示在数轴上．20．（6分）如图，已知D，E分别是△ABC的AF边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）作∠ACE的平分线交于点G，若∠B＝a°，则∠AGC为 ．21．（5分）完成下列命题的证明．如图，有三个判断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成命题，并证明该命题的正确性．22．（8分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？23．（8分）△ABC是等边三角形，在△CDE中，CD＝ED，∠CDE＝120°，连接AD、BE，如图，取BE中点F，连接AF、DF，若DE平分∠FDA，猜想并证明AG与DF的数量关系．24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A作AE⊥AD，过点D作DE∥AB，DE与AE相交于点E，DE交AC于点F．（1）若∠C＝72°，求∠E的度数；（2）求证：△AEF是等腰三角形．25．（12分）如图，是由边长为1的小正方形组成的16×9的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点，AB＝AC＝10，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图的过程用虚线表示．（1）在BC上画点D，使得AD平分△ABC的面积；（2）在AB边上画点E，使得∠BCE＝∠BAD；（3）M为AC边上一点，在AB边上画点N，使得AN＝AM；（4）在平面内画点G，使得NG＝2ND．26．（12分）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理．如图1，可以表述为：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．【新知应用】已知：在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝110°，则∠B＝ ；若∠B＝70°，则∠A＝ ．【尝试探究】如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，若连接CA，则CA平分∠BCD．某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE＝BC，连接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠B+∠AED＝180°，连接CA，CA平分∠BCD吗？请说明理由．第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页2025-2026学年上海市七年级（下）期末数学 押题试卷答题卡 A4版试卷类型：A姓名：______________班级：______________准考证号一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔填涂）1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题的答题区内作答）7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.三．解答题（共8小题，满分64分）（请在各试题的答题区内作答）19.答：20.答：21.答：22.答：23.答：24.答：25.答：26.答：B-L-AMAAABBEBCCDCD图1图2图30-2-112345DGAFBCEAEBGH2CFDEAGFDBCAEFBDC2025-2026学年上海市七年级（下）期末数学 押题试卷答题卡试卷类型：A姓名：______________班级：______________准考证号一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔填涂）1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题的答题区内作答）7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.三．解答题（共8小题，满分64分）（请在各试题的答题区内作答）19.答：20.答：21.答：22.答：23.答：24.答：25.答：26.答：第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页BL--L--r--=rAMAAABBEBCCDCD图1图2图30-2-112345DGAFBCE绝密★启用前2025-2026学年上海市七年级（下）期末数学 押题试卷难度系数：0.52；考试时间：100分钟；满分：100分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号 一 二 三 总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人 得 分一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）a、b都是实数，且a＜b，则下列不等式不一定成立的是（ ）A．a+8＜b+8 B．4﹣a＞4﹣b C．5a＜5b D．ax2＜bx22．（2分）下列说法，其中真命题有（ ）个．①相等的角是对顶角；②同位角相等；③两边及一角对应相等的两个三角形全等；④角平分线上的点到角两边的距离相等．A．1 B．2 C．3 D．43．（2分）亮亮的直角三角板被折断一部分，留下的部分如图所示，很快他就根据所学知识画出一个与原三角板完全一样的三角形．其依据是（ ）A．HL B．SAS C．ASA D．AAS4．（2分）下列长度的三条线段，首尾顺次连接不能组成三角形的是（ ）A．5，5，5 B．3，4，8 C．3，4，5 D．2，4，55．（2分）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，AB∥CD，AC∥DE，∠FAB＝98°，∠E＝41°，则∠DCE的度数为（ ）A．41° B．47° C．51° D．57°6．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，∠DBC的度数为（ ）A．15° B．20° C．25° D．10°第Ⅱ卷（非选择题）评卷人 得 分二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）7．（2分）一个数的3倍比这个数与1的和小，设这个数是x，则列出的不等式是 ．8．（2分）证明基本事实通常作为论证的起点和依据．从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理的方法证实命题的过程叫作 ．9．（2分）如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，∠EOC＝35°，则AB与CD的夹角是 度．10．（2分）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB＝16，AC＝22，DE＝8，则点D到AB的距离是 ．11．（2分）如图，将直尺（EF∥AD）与三角板（∠BAC＝90°）叠放在一起．若∠1＝28°，则∠2的度数为 ．12．（2分）已知非零实数a，b满足，则的值是 ．13．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∠A＝45°，点D在AC上，△BDA≌△BFC，若∠BFC＝100°，则∠ABF＝ ．14．（2分）下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，不能作出唯一的三角形的条件是 （填写编号）．15．（2分）如图，直线m，n相交于点B，m，n的所成的锐角的度数为50°，A是直线m上的一点．在直线n上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C有 个．16．（2分）元宵节是我国传统节日，在元宵节前夕，某商场出售汤圆的标价比成本高25%，元宵节过后，商场将这种汤圆降价出售，为了每袋都不亏本，降价幅度最多为 %．17．（2分）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数，则这个三角形的周长是 ．18．（2分）乐乐用一张直角三角形纸片玩折纸游戏．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°．第一步，将纸片沿AB对折，使点A与点B重合，折痕与边AB的交点为点D；第二步，在AC边上找一点E，将纸片沿ED折叠，点A落在A′处，如图2；第三步，将纸片沿DA’折叠，点E落在E′处，如图3．当点E′恰好在原直角三角形纸片的边上时，则∠BDE的度数为 ．评卷人 得 分三．解答题（共8小题，满分64分）19．（5分）解不等式组，并将解集表示在数轴上．20．（6分）如图，已知D，E分别是△ABC的AF边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）作∠ACE的平分线交于点G，若∠B＝a°，则∠AGC为 ．21．（5分）完成下列命题的证明．如图，有三个判断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成命题，并证明该命题的正确性．22．（8分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？23．（8分）△ABC是等边三角形，在△CDE中，CD＝ED，∠CDE＝120°，连接AD、BE，如图，取BE中点F，连接AF、DF，若DE平分∠FDA，猜想并证明AG与DF的数量关系．24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A作AE⊥AD，过点D作DE∥AB，DE与AE相交于点E，DE交AC于点F．（1）若∠C＝72°，求∠E的度数；（2）求证：△AEF是等腰三角形．25．（12分）如图，是由边长为1的小正方形组成的16×9的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点，AB＝AC＝10，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图的过程用虚线表示．（1）在BC上画点D，使得AD平分△ABC的面积；（2）在AB边上画点E，使得∠BCE＝∠BAD；（3）M为AC边上一点，在AB边上画点N，使得AN＝AM；（4）在平面内画点G，使得NG＝2ND．26．（12分）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理．如图1，可以表述为：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．【新知应用】已知：在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝110°，则∠B＝ ；若∠B＝70°，则∠A＝ ．【尝试探究】如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，若连接CA，则CA平分∠BCD．某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE＝BC，连接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠B+∠AED＝180°，连接CA，CA平分∠BCD吗？请说明理由．2025-2026学年上海市七年级（下）期末数学 押题试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号 1 2 3 4 5 6答案 D A C B D A一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）a、b都是实数，且a＜b，则下列不等式不一定成立的是（ ）A．a+8＜b+8 B．4﹣a＞4﹣b C．5a＜5b D．ax2＜bx2【答案】D【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可．【解答】解：A．若a＜b，则a+8＜b+8，故选项A成立；B．若a＜b，则﹣a＞﹣b，4﹣a＞4﹣b，故选项B成立；C．若a＜b，则5a＜5b，故选项C成立；D．当x＝0时，ax2＝bx2，故选项D不成立．故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．2．（2分）下列说法，其中真命题有（ ）个．①相等的角是对顶角；②同位角相等；③两边及一角对应相等的两个三角形全等；④角平分线上的点到角两边的距离相等．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据对顶角的概念、平行线的性质、全等三角形的判定、角平分线的性质判断即可．【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，故本小题命题是假命题；②两直线平行，同位角相等，故本小题命题是假命题；③两边及夹角对应相等的两个三角形全等，故本小题命题是假命题；④角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题；故选：A．【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．（2分）亮亮的直角三角板被折断一部分，留下的部分如图所示，很快他就根据所学知识画出一个与原三角板完全一样的三角形．其依据是（ ）A．HL B．SAS C．ASA D．AAS【答案】C【分析】根据图形中能测量的条件及全等三角形的判定定理ASA进而可求解．【解答】解：如图：∠A，AB，∠B都能测量，即他的依据是ASA，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．4．（2分）下列长度的三条线段，首尾顺次连接不能组成三角形的是（ ）A．5，5，5 B．3，4，8 C．3，4，5 D．2，4，5【答案】B【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．【解答】解：A、5+5＞5，能组成三角形，故A不符合题意；B、3+4＜8，不能组成三角形，故B符合题意；C、3+4＞5，能组成三角形，故C不符合题意；D、2+4＞5，能组成三角形，故D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．5．（2分）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，AB∥CD，AC∥DE，∠FAB＝98°，∠E＝41°，则∠DCE的度数为（ ）A．41° B．47° C．51° D．57°【答案】D【分析】由平行线的性质可得∠DCF＝∠FAB＝98°，∠ACE＝∠E＝41°，再由∠DCE＝∠DCF﹣∠ACE计算即可得解．【解答】解：∵AB∥CD，AC∥DE，∴∠DCF＝∠FAB＝98°，∠ACE＝∠E＝41°，∴∠DCE＝∠DCF﹣∠ACE＝98°﹣41°＝57°，所以∠DCE的度数为57°，故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．6．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，∠DBC的度数为（ ）A．15° B．20° C．25° D．10°【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABC，根据线段的垂直平分线求出AD＝BD，得到∠A＝∠ABD，求出∠ABD的度数即可解决问题．【解答】解：∵AC＝AB，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线性质等知识点的应用，关键是求出∠ABD和∠ABC的度数，题目比较典型，难度适中．二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）7．（2分）一个数的3倍比这个数与1的和小，设这个数是x，则列出的不等式是 3x＜x+1 ．【答案】3x＜x+1．【分析】根据题意列出不等式即可．【解答】解：一个数的3倍比这个数与1的和小，设这个数是x，则3x＜x+1，故答案为：3x＜x+1．【点评】本题考查了一元一次不等式，利用所给的信息列出不等式是解题的关键．8．（2分）证明基本事实通常作为论证的起点和依据．从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理的方法证实命题的过程叫作 证明 ．【答案】证明．【分析】根据证明的定义解答．【解答】解：基本事实通常作为论证的起点和依据．从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理的方法证实命题的过程叫作证明，故答案为：证明．【点评】本题考查的是命题与定理，熟记证明的定义是解题的关键．9．（2分）如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，∠EOC＝35°，则AB与CD的夹角是 70 度．【答案】70．【分析】根据角平分线的定义，求出∠AOC的度数即可．【解答】解：∵OE平分∠AOC，∠EOC＝35°，∴∠AOC＝2∠EOC＝70°，故AB与CD的夹角是70°．故答案为：70．【点评】本题主要考查对顶角、邻补角、角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义．10．（2分）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB＝16，AC＝22，DE＝8，则点D到AB的距离是 11 ．【答案】11【分析】根据三角形的面积得出△ADC的面积为88，再利用中线的性质得出△ABD的面积为88，进而解答即可．【解答】解：∵AC＝22，DE＝8，∴△ADC的面积为：22×8＝88，∵AD是△ABC的中线，∴△ABD的面积为88，∴点D到AB的距离是．故答案为：11．【点评】此题考查三角形的面积问题，关键是根据三角形的面积得出△ADC的面积，掌握三角形的中线平分三角形的面积．11．（2分）如图，将直尺（EF∥AD）与三角板（∠BAC＝90°）叠放在一起．若∠1＝28°，则∠2的度数为 62° ．【答案】62°．【分析】求出∠DAF＝90°﹣28°＝62°，由平行线的性质推出∠2＝∠DAF＝62°．【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠1＝28°，∴∠DAF＝90°﹣28°＝62°，∵EF∥AD，∴∠2＝∠DAF＝62°．故答案为：62°．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠2＝∠DAF＝62°．12．（2分）已知非零实数a，b满足，则的值是 ﹣2 ．【答案】﹣2．【分析】由条件可得a﹣b＝﹣4ab，整体代入计算即可．【解答】解：∵非零实数a，b满足，∴4ab+a＝b，即a﹣b＝﹣4ab，∴原式2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查分式的值，将条件转化为a﹣b＝﹣4ab是正确解答的关键．13．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∠A＝45°，点D在AC上，△BDA≌△BFC，若∠BFC＝100°，则∠ABF＝ 125° ．【答案】125°．【分析】由全等三角形的性质推出∠BCF＝∠A＝45°，由三角形内角和定理求出∠CBF＝35°，即可得到∠ABF的度数．【解答】解：∵△BDA≌△BFC，∴∠BCF＝∠A＝45°，∵∠BFC＝100°，∴∠CBF＝180°﹣100°﹣45°＝35°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝125°．故答案为：125°．【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰直角三角形，关键是由全等三角形的性质推出∠BCF＝∠A＝45°．14．（2分）下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，不能作出唯一的三角形的条件是 ④ （填写编号）．【答案】④．【分析】根据全等三角形的判定的知识判断．【解答】解：①是边边边（SSS）；②是两边夹一角（SAS）；③两角夹一边（ASA）都成立．根据三角形全等的判定，都可以确定唯一的三角形；而④则不能．故答案为：④．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．15．（2分）如图，直线m，n相交于点B，m，n的所成的锐角的度数为50°，A是直线m上的一点．在直线n上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C有 4 个．【答案】4．【分析】分别以∠A、∠B、∠C为顶角进行讨论即可求得答案．【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，分三种情况：①当以∠C为顶角时，则有BC＝AC，即点C在线段AB的垂直平分线上，可知满足条件；②当以∠A为顶角时，则有AC＝AB，由两直线夹角为50°，可知此时点C只能在直线m的上方，有一个点；③当以∠B为顶角时，则有AB＝CB，此时点C可以在直线m的上方，也可以在直线n的上方，有两个点，综上可知满足条件的C点有4个，故答案为：4．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，由条件确定出点C的位置是解题的关键，注意分类讨论．16．（2分）元宵节是我国传统节日，在元宵节前夕，某商场出售汤圆的标价比成本高25%，元宵节过后，商场将这种汤圆降价出售，为了每袋都不亏本，降价幅度最多为 20 %．【答案】20．【分析】设降价幅度为x%，这种汤圆的成本价为a元/袋，利用利润＝售价﹣成本价，结合利润非负，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大值即可．【解答】解：设降价幅度为x%，这种汤圆的成本价为a元/袋，根据题意得：（1﹣x%）（1+25%）a﹣a≥0，即（1﹣x%）（1+25%）≥1，解得：x≤20，∴x的最大值为20，∴降价幅度最多为20%．故答案为：20．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．17．（2分）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数，则这个三角形的周长是 9 ．【答案】9【分析】利用加减消元法解出方程组，求出a、b，根据三角形的三边关系求出c，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，解方程组，解得，∵a，b，c是三角形的三条边，且周长为整数，∴4﹣1＜c＜4+1，∴3＜c＜5，∴c＝4，∴三角形的周长＝4+4+1＝9，故答案为：9．【点评】本题考查三角形三边关系，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．18．（2分）乐乐用一张直角三角形纸片玩折纸游戏．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°．第一步，将纸片沿AB对折，使点A与点B重合，折痕与边AB的交点为点D；第二步，在AC边上找一点E，将纸片沿ED折叠，点A落在A′处，如图2；第三步，将纸片沿DA’折叠，点E落在E′处，如图3．当点E′恰好在原直角三角形纸片的边上时，则∠BDE的度数为 120°或150° ．【答案】120°或150°．【分析】．分两种情况讨论，画出示意图，根据折叠的性质以及三角形内角和定理即可求解．【解答】解：当点E在AC上时，如图，由折叠得，AD⊥EE，那么此时AD⊥AC，记AD与AC交于点G，∴∠DGA＝90°，∵∠A＝30°，∴∠ADA＝180°﹣∠A﹣∠DGA＝60°，∴∠ADE＝∠E'DA＝∠ADE＝30°，∴∠BDE＝90°+30°+30°＝150°，当点E在AB上时，如图，由折叠知∠ADE＝∠ADE＝∠ADE，当点E在AB上时，则∠ADE+∠ADE+∠ADE＝180°，∴∠ADE＝60°，∴∠ADA＝2∠ADE＝120°，∴∠ADB＝60°，∠BDE＝60°+60°＝120°，综上，当点E'恰好在原直角三角形纸片的边上时，∠BDE的度数为150°或120°，故答案为：120°或150°．【点评】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，把握折叠的不变性是解题的关键三．解答题（共8小题，满分64分）19．（5分）解不等式组，并将解集表示在数轴上．【答案】1≤x＜4．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①，得x≥1，解不等式②，得x＜4，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：∴不等式组的解集为1≤x＜4．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20．（6分）如图，已知D，E分别是△ABC的AF边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）作∠ACE的平分线交于点G，若∠B＝a°，则∠AGC为 90°a° ．【答案】（1）∵AF∥BC∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，又∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∴∠B＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）90°a°．【分析】（1）根据AF∥BC∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，再根据AF平分∠DAC得∠DAF＝∠CAF，由此的∠B＝∠ACB，据此即可得出结论；（2）由（1）可知∠B＝∠ACB＝a°，∠CAF＝∠ACB＝a°，则∠ACE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣a°，根据CG平分∠ACE得∠ACG＝90°a°，然后在△ACG中，由三角形内角和定理即可得出∠AGC的度数．【解答】（1）证明：∵AF∥BC∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，又∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∴∠B＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵∠B＝a°，由（1）可知：∠B＝∠ACB＝a°，∠CAF＝∠ACB＝a°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣a°，∵CG平分∠ACE，∴∠ACG∠ACE＝90°a°，在△ACG中，∠CAF+∠ACG+∠AGC＝180°，∴∠AGC＝180°﹣（∠CAF+∠ACG）＝180°﹣（a°+90°a°＝90°a°．故答案为：90°a°．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定，平行线的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．21．（5分）完成下列命题的证明．如图，有三个判断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成命题，并证明该命题的正确性．【答案】答案见证明．【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明．【解答】解：已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C；求证：∠A＝∠D；证明：∵∠1＝∠CGD又∵∠1＝∠2，∴∠CGD＝∠2，∴EC∥BF，∴∠AEC＝∠B，又∵∠B＝∠C，∴∠AEC＝∠C，∴AB∥CD，∴∠A＝∠D．【点评】此题考查平行线的判定和性质题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．22．（8分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元；（2）购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元．【分析】（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进辆B型汽车，利用总利润＝每辆A型汽车的销售利润×A型汽车的购进数量+每辆B型汽车的销售利润×B型汽车的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【解答】解：（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据题意得：，解得：．答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元；（2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进辆B型汽车，根据题意得：w＝8000m+5000，即w＝﹣4500m+100000，∵﹣4500＜0，∴w随m的增大而减小，又∵m，均为正整数，∴m的最小值为2，∴当m＝2时，w取得最大值，最大值为﹣4500×2+100000＝91000（元），此时15（辆）．答：购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．23．（8分）△ABC是等边三角形，在△CDE中，CD＝ED，∠CDE＝120°，连接AD、BE，如图，取BE中点F，连接AF、DF，若DE平分∠FDA，猜想并证明AG与DF的数量关系．【答案】DFAG，证明见解析．【分析】延长ED到H，使得DH＝DE，连接BH、CH，取AD的中点P，连接PF，先证△DCH是等边三角形，得出∠DCH＝60°，CD＝CH，再证△ACD≌△BCH（SAS），得出AD＝BH，∠ADC＝∠BHC，易证DF是△EBH的中位线，得出DFBH，DF∥BH，然后证△PDF是等边三角形，得出DF＝DP＝PA＝PF，∠DPF＝∠DFP＝60°，则∠PFA＝∠FAP∠DPF＝30°，∠DFG＝90°，再证AG＝DG，最后由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出DFDG，即可得出答案．【解答】解：AG与DF的数量关系为：DFAG，证明如下：延长ED到H，使得DH＝DE，连接BH、CH，取AD的中点P，连接PF，∵CD＝DE，∠CDE＝120°，∴∠CDH＝60°，CD＝DH，∴△DCH是等边三角形，∴∠DCH＝60°，CD＝CH，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝CB，∴∠ACD＝∠BCH，在△ACD和△BCH中，，∴△ACD≌△BCH（SAS），∴AD＝BH，∠ADC＝∠BHC，∵BE的中点为F，∴DF是△EBH的中位线，∴DFBH，DF∥BH，∴∠EDF＝∠EHB，∴∠ADF＝∠EDF+∠EDC﹣∠ADC＝∠DHB+120°﹣∠BHC，∴∠ADF＝∠DHB+120°﹣（∠DHB+60°）＝60°，∵AP＝PD，∴DF＝DP＝PA，∴△PDF是等边三角形，∴DF＝DP＝PA＝PF，∠DPF＝∠DFP＝60°，∴∠PFA＝∠FAP∠DPF＝30°，∴∠DFG＝∠DFP+∠PFA＝60°+30°＝90°，∵DE平分∠FDA，∴∠FDE＝∠EDA＝30°，∴AG＝DG，在Rt△DFG中，∠FDG＝30°，∴FGDG，由勾股定理得：DFDG，∴DFAG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A作AE⊥AD，过点D作DE∥AB，DE与AE相交于点E，DE交AC于点F．（1）若∠C＝72°，求∠E的度数；（2）求证：△AEF是等腰三角形．【答案】（1）63°；（2）∵AD平分∠BAC交BC于点D，∴设∠BAD＝∠CAD＝α，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAE+∠BAD＝90°+α，∠FAE＝∠DAE﹣∠CAD＝90°﹣α，∵∵DE∥AB，∴∠E+∠BAE＝180°，∴∠E＝180°﹣∠BAE＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α，∴∠FAE＝∠E＝90°﹣α，∴FA＝FE，∴△AEF是等腰三角形．【分析】（1）在△ABC中，根据AC＝BC，∠C＝72°得∠B＝∠BAC＝54°，由此得∠BAD∠BAC＝27°，进而得∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝2117°，然后根据DE∥AB得∠E+∠BAE＝180°，据此即可得出∠E的度数；（2）根据角平分线定义设∠BAD＝∠CAD＝α，根据AE⊥AD得∠BAE＝90°+α，∠FAE＝90°﹣α，再根据DE∥AB得∠E＝180°﹣∠BAE＝90°﹣α，由此得∠FAE＝∠E，然后根据等腰三角形的判定即可得出结论．【解答】（1）解：在△ABC中，AC＝BC，∠C＝72°，∴∠B＝∠BAC（180°﹣∠C）＝54°，∵AD平分∠BAC交BC于点D，∴∠BAD∠BAC＝27°，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝27°+90°＝117°，∵DE∥AB，∴∠E+∠BAE＝180°，∴∠E＝180°﹣∠BAE＝180°﹣117°＝63°；（2）证明：∵AD平分∠BAC交BC于点D，∴设∠BAD＝∠CAD＝α，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAE+∠BAD＝90°+α，∠FAE＝∠DAE﹣∠CAD＝90°﹣α，∵DE∥AB，∴∠E+∠BAE＝180°，∴∠E＝180°﹣∠BAE＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α，∴∠FAE＝∠E＝90°﹣α，∴FA＝FE，∴△AEF是等腰三角形．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，理解角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．25．（12分）如图，是由边长为1的小正方形组成的16×9的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点，AB＝AC＝10，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图的过程用虚线表示．（1）在BC上画点D，使得AD平分△ABC的面积；（2）在AB边上画点E，使得∠BCE＝∠BAD；（3）M为AC边上一点，在AB边上画点N，使得AN＝AM；（4）在平面内画点G，使得NG＝2ND．【答案】见解析．【分析】（1）利用网格特征取BC的中点D，连接AD即可；（2）取格点Q，连接CQ交AB于点E，点E即为所求（由∠AEC＝∠ADC＝90°，可得结论）；（3）利用对称性画出图形，连接BM交AD于点J，连接CJ，延长CJ交AB于点N，点N即为所求；（4）取格点H，连接CH，DHAB＝CH，AB∥CH），延长ND交CH于点G，点G即为所求．【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求；（2）如图，点E即为所求；（3）如图，点N即为所求；（4）如图，点G即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．26．（12分）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理．如图1，可以表述为：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．【新知应用】已知：在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝110°，则∠B＝ 35° ；若∠B＝70°，则∠A＝ 40° ．【尝试探究】如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，若连接CA，则CA平分∠BCD．某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE＝BC，连接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠B+∠AED＝180°，连接CA，CA平分∠BCD吗？请说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】【新知应用】根据等腰三角形的性质即可解答；【尝试探究】证明△ABC≌△ADE（SAS），得∠ACB＝∠D，AC＝AD，利用等腰三角形的性质可以证明结论；【拓展应用】如图3，延长DE到点F，使得EF＝BC，连接AF，证明△ABC≌△AEF（SAS），再证明△ACD≌△AFD（SSS），得∠ACD＝∠F，进而可以得结论．【解答】【新知应用】解：在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝110°，∴∠B＝∠C（180°﹣110°）＝35°，若∠B＝70°，则∠A＝180°﹣2×70°）＝40°，故答案为：35°，40°；【尝试探究】证明：如图2，延长CD到点E，使得DE＝BC，连接AE，∴∠ADC+∠ADE＝180°，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠AED，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB＝∠D，AC＝AD，∴∠ACD＝∠D，∴∠ACD＝∠ACB，∴CA平分∠BCD；【拓展应用】解：CA平分∠BCD，理由如下：如图3，延长DE到点F，使得EF＝BC，连接AF，∴∠AED+∠AEF＝180°，∵∠B+∠AED＝180°，∴∠B＝∠AEF，∵AB＝AE，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC＝AF，∠ACB＝∠F，∵BC+DE＝CD，BC＝EF，∴CD＝FD，在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS），∴∠ACD＝∠F，∴∠ACD＝∠ACB，∴AC平分∠BCD．【点评】本题属于四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到△ABC≌△ADE．1 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2025-2026学年上海市七年级（下）期末数学 押题试卷 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