资源简介

2025-2026学年沪教版（五四制）
数学七年级下册期末模拟卷 (提高)答题卡
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共8小题，满分64分）（请在各试题的答题区内作答）
19.答：
20.答：
21.答：
22.答：
23.答：
24.答：
25.答：
26.答：
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4
A
a
P
b
国
Q
O22
·B
图①
图②
图③
A
a
b
C
d
B
图④
A
A
A
B
B
E
B
C
C
D
C
D
图1
图2
图3绝密★启用前
2025-2026学年沪教版（五四制）
数学七年级下册期末模拟卷 (提高)
考试时间：100分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）已知a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．a﹣b＞0 B．ac2＜bc2
C．﹣3a+b＞﹣2b D．
2．（2分）下列命题中，假命题是（　　）
A．垂直于同一条直线的两条直线平行
B．等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边
C．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
3．（2分）如图，∠BAC＝∠DAC，添加下列条件，仍不能判定△ABC≌△ADC的是（　　）
A．∠ACB＝∠ACD B．∠B＝∠D
C．AB＝AD D．BC＝DC
4．（2分）下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（　　）
A．3，4，5 B．5，7，7
C．5，7，12 D．101，102，103
5．（2分）如图，已知△ABC≌△DEF（点A、B、C的对应点分别是点D、E、F），点C在DE边上，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，则∠DCB的度数是（　　）
A．38° B．48° C．58° D．60°
6．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，∠DBC的度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．10°
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人 得 分
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
7．（2分）某弹簧测力计的测量范围是0至50N（含50N），小明未注意弹簧测力计的测量范围，用它测量了一个所受重力为xN的物体，取下物体后，发现弹簧没有恢复原状，则x的取值范围为 　 　 ．
8．（2分）证明
基本事实通常作为论证的起点和依据．从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理的方法证实命题的过程叫作　 　 ．
9．（2分）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE＝90°，且，OF平分∠BOD，则∠BOF＝　 　 ．
10．（2分）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB＝16，AC＝22，DE＝8，则点D到AB的距离是 　 　 ．
11．（2分）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，MN表示水面，它与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线，若∠1＝65°，∠2＝45°，则∠DBC的度数为 　 　 ．
12．（2分）分式的值是正整数，则正整数x的值是　 　 ．
13．（2分）下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，不能作出唯一的三角形的条件是 　 　 （填写编号）．
14．（2分）如图，△ABD中，∠A＝72°，∠D＝36°，BE平分∠ABD交AD于点E，则△ABE　 　 （填“是”或者“不是”）等腰三角形．
15．（2分）一批山竹进价38元/千克，销售中估计有5%的山竹正常损耗，为了避免亏本，商家将售价至少定为　 　 元/千克．
16．（2分）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为　 　 ．
17．（2分）已知△ABC的三边分别为3，a﹣2，7，且a为偶数，则代数式4a2b﹣3 （﹣a﹣1b3）的值为 　 　 ．
18．（2分）乐乐用一张直角三角形纸片玩折纸游戏．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°．第一步，将纸片沿AB对折，使点A与点B重合，折痕与边AB的交点为点D；第二步，在AC边上找一点E，将纸片沿ED折叠，点A落在A′处，如图2；第三步，将纸片沿DA’折叠，点E落在E′处，如图3．当点E′恰好在原直角三角形纸片的边上时，则∠BDE的度数为 　 　 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共8小题，满分64分）
19．（6分）解不等式组，并将解集表示在数轴上．
20．（6分）如图，已知D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝a°，则∠AGC为 　 　 ．
21．（6分）完成下列命题的证明．
如图，有三个判断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成命题，并证明该命题的正确性．
22．（6分）儿童节前夕，老师购买了若干套学习用品送给小朋友作为节日礼物．如果每班分到10套，那么余5套；如果前面的班级每个班分13套，那么最后一个班级分到了礼物，但不足4套．问：有多少个班级？学习用品有几套？
23．（6分）如图，已知等边三角形ABC和等边三角形DBE，点A，B，D在一条直线上，点P，Q，O分别为CE，AD，AC的中点．求证：OP＝OQ．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．
（1）若∠A＝48°，求∠CDE的度数．
（2）若AB＝6，△ADE的周长为10，求AD的长．
25．（12分）（I）如图①，P、Q两点在直线l的两侧，请你在直线l上找到点T，使得PT+QT的长度最小，简述画法，并说明理由；
（Ⅱ）如图②，A、B两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）
将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线a∥b，点A、B分别位于直线a、b的两侧，请你在直线a上找到点M，使得MN垂直于直线b，垂足为N，且AM+MN+NB的长度最小．在图③中画出点M、N，并简要说明点M、N的位置是如何找到的（不要求证明）．
（Ⅲ）如图④，在（Ⅱ）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从A地到达B地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）．
26．（12分）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理．如图1，可以表述为：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
【新知应用】已知：在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝110°，则∠B＝ 　 　 ；若∠B＝70°，则∠A＝ 　 　 ．
【尝试探究】如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，若连接CA，则CA平分∠BCD．
某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE＝BC，连接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．
【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠B+∠AED＝180°，连接CA，CA平分∠BCD吗？请说明理由．
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数学七年级下册期末模拟卷 (提高)答题卡
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共8小题，满分64分）（请在各试题的答题区内作答）
19.答：
20.答：
21.答：
22.答：
23.答：
24.答：
25.答：
26.答：
4
A
a
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图①
图②
图③
A
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图④
A
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图1
图2
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F
B
C
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A
E
B
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2
C
F
D本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
绝密★启用前
2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级下册期末模拟卷 (提高)
考试时间：100分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）已知a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．a﹣b＞0 B．ac2＜bc2 C．﹣3a+b＞﹣2b D．
2．（2分）下列命题中，假命题是（　　）
A．垂直于同一条直线的两条直线平行
B．等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边
C．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
3．（2分）如图，∠BAC＝∠DAC，添加下列条件，仍不能判定△ABC≌△ADC的是（　　）
A．∠ACB＝∠ACD B．∠B＝∠D C．AB＝AD D．BC＝DC
4．（2分）下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（　　）
A．3，4，5 B．5，7，7
C．5，7，12 D．101，102，103
5．（2分）如图，已知△ABC≌△DEF（点A、B、C的对应点分别是点D、E、F），点C在DE边上，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，则∠DCB的度数是（　　）
A．38° B．48° C．58° D．60°
6．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，∠DBC的度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．10°
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人 得 分
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
7．（2分）某弹簧测力计的测量范围是0至50N（含50N），小明未注意弹簧测力计的测量范围，用它测量了一个所受重力为xN的物体，取下物体后，发现弹簧没有恢复原状，则x的取值范围为 　 　 ．
8．（2分）证明
基本事实通常作为论证的起点和依据．从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理的方法证实命题的过程叫作　 　 ．
9．（2分）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE＝90°，且，OF平分∠BOD，则∠BOF＝　 　 ．
10．（2分）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB＝16，AC＝22，DE＝8，则点D到AB的距离是 　 　 ．
11．（2分）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，MN表示水面，它与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线，若∠1＝65°，∠2＝45°，则∠DBC的度数为 　 　 ．
12．（2分）分式的值是正整数，则正整数x的值是　 　 ．
13．（2分）下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，不能作出唯一的三角形的条件是 　 　 （填写编号）．
14．（2分）如图，△ABD中，∠A＝72°，∠D＝36°，BE平分∠ABD交AD于点E，则△ABE　 　 （填“是”或者“不是”）等腰三角形．
15．（2分）一批山竹进价38元/千克，销售中估计有5%的山竹正常损耗，为了避免亏本，商家将售价至少定为　 　 元/千克．
16．（2分）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为　 　 ．
17．（2分）已知△ABC的三边分别为3，a﹣2，7，且a为偶数，则代数式4a2b﹣3 （﹣a﹣1b3）的值为 　 　 ．
18．（2分）乐乐用一张直角三角形纸片玩折纸游戏．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°．第一步，将纸片沿AB对折，使点A与点B重合，折痕与边AB的交点为点D；第二步，在AC边上找一点E，将纸片沿ED折叠，点A落在A′处，如图2；第三步，将纸片沿DA’折叠，点E落在E′处，如图3．当点E′恰好在原直角三角形纸片的边上时，则∠BDE的度数为 　 　 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共8小题，满分64分）
19．（6分）解不等式组，并将解集表示在数轴上．
20．（6分）如图，已知D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝a°，则∠AGC为 　 　 ．
21．（6分）完成下列命题的证明．
如图，有三个判断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成命题，并证明该命题的正确性．
22．（6分）儿童节前夕，老师购买了若干套学习用品送给小朋友作为节日礼物．如果每班分到10套，那么余5套；如果前面的班级每个班分13套，那么最后一个班级分到了礼物，但不足4套．问：有多少个班级？学习用品有几套？
23．（6分）如图，已知等边三角形ABC和等边三角形DBE，点A，B，D在一条直线上，点P，Q，O分别为CE，AD，AC的中点．求证：OP＝OQ．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．
（1）若∠A＝48°，求∠CDE的度数．
（2）若AB＝6，△ADE的周长为10，求AD的长．
25．（12分）（I）如图①，P、Q两点在直线l的两侧，请你在直线l上找到点T，使得PT+QT的长度最小，简述画法，并说明理由；
（Ⅱ）如图②，A、B两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）
将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线a∥b，点A、B分别位于直线a、b的两侧，请你在直线a上找到点M，使得MN垂直于直线b，垂足为N，且AM+MN+NB的长度最小．在图③中画出点M、N，并简要说明点M、N的位置是如何找到的（不要求证明）．
（Ⅲ）如图④，在（Ⅱ）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从A地到达B地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）．
26．（12分）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理．如图1，可以表述为：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
【新知应用】已知：在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝110°，则∠B＝ 　 　 ；若∠B＝70°，则∠A＝ 　 　 ．
【尝试探究】如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，若连接CA，则CA平分∠BCD．
某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE＝BC，连接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．
【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠B+∠AED＝180°，连接CA，CA平分∠BCD吗？请说明理由．
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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考号：
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页2025-2026学年沪教版（五四制）数学
七年级下册期末模拟卷 (提高)
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C A D C C A
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）已知a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．a﹣b＞0 B．ac2＜bc2 C．﹣3a+b＞﹣2b D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵a＜b，
∴a﹣b＜0，
故A不符合题意；
B、∵a＜b，c≠0，
∴ac2＜bc2，
故B不符合题意；
C、∵a＜b，
∴﹣3a＞﹣3b，
∴﹣3a+b＞﹣3b+b，
∴﹣3a+b＞﹣2b，
故C符合题意；
D、∵a＜b，
∴，
∴11，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
2．（2分）下列命题中，假命题是（　　）
A．垂直于同一条直线的两条直线平行
B．等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边
C．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
【答案】A
【分析】根据平行线的判定、等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理判断即可．
【解答】解：A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本选项命题是假命题，符合题意；
B、等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边，是真命题，不符合题意；
C、有两角和一边对应相等的两个三角形全等，是真命题，不符合题意；
D、有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，是真命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．（2分）如图，∠BAC＝∠DAC，添加下列条件，仍不能判定△ABC≌△ADC的是（　　）
A．∠ACB＝∠ACD B．∠B＝∠D C．AB＝AD D．BC＝DC
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，∠ACB＝∠ACD，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
B．∠BAC＝∠DAC，∠B＝∠D，AC＝AC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
C．AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
D．AC＝AC，BC＝DC，∠BAC＝∠DAC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△ADC，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL，SSA不能判定三角形全等．
4．（2分）下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（　　）
A．3，4，5 B．5，7，7
C．5，7，12 D．101，102，103
【答案】C
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可．
【解答】解：A．由于3+4＞5，故3，4，5是一个三角形的边长；
B．由于5+7＞7，故5，7，7是一个三角形的边长；
C．由于5+7＝12，故5，7，12不是一个三角形的边长；
D．由于101+102＞103，故101，102，103是一个三角形的边长．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．
5．（2分）如图，已知△ABC≌△DEF（点A、B、C的对应点分别是点D、E、F），点C在DE边上，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，则∠DCB的度数是（　　）
A．38° B．48° C．58° D．60°
【答案】C
【分析】根据全等三角形对应角相等求出∠D的度数，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝30°，
由条件可知∠CGF＝∠D+∠DCB，
∵∠CGF＝88°，
∴∠DCB＝∠CGF﹣∠D＝88°﹣30°＝58°．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键．
6．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，∠DBC的度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．10°
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABC，根据线段的垂直平分线求出AD＝BD，得到∠A＝∠ABD，求出∠ABD的度数即可解决问题．
【解答】解：∵AC＝AB，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C＝65°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线性质等知识点的应用，关键是求出∠ABD和∠ABC的度数，题目比较典型，难度适中．
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
7．（2分）某弹簧测力计的测量范围是0至50N（含50N），小明未注意弹簧测力计的测量范围，用它测量了一个所受重力为xN的物体，取下物体后，发现弹簧没有恢复原状，则x的取值范围为 x＞50　 ．
【答案】x＞50．
【分析】根据测量完成后弹簧没有恢复原状，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：根据题意得：x＞50．
故答案为：x＞50．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
8．（2分）证明
基本事实通常作为论证的起点和依据．从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理的方法证实命题的过程叫作　证明　 ．
【答案】证明．
【分析】根据证明的定义解答．
【解答】解：基本事实通常作为论证的起点和依据．从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理的方法证实命题的过程叫作证明，
故答案为：证明．
【点评】本题考查的是命题与定理，熟记证明的定义是解题的关键．
9．（2分）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE＝90°，且，OF平分∠BOD，则∠BOF＝　27°　 ．
【答案】27°．
【分析】根据邻补角、对顶角的定义，角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．
【解答】解：∵∠COE+∠DOE＝180°，，
∴∠DOE＝180°36°，∠COE＝180°144°，
∵∠AOE＝90°，
∴∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝144°﹣90°＝54°＝∠BOD，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF∠BOD＝27°．
故答案为：27°．
【点评】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握邻补角、对顶角以及角平分线的定义是正确解答的关键．
10．（2分）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB＝16，AC＝22，DE＝8，则点D到AB的距离是 　11　 ．
【答案】11
【分析】根据三角形的面积得出△ADC的面积为88，再利用中线的性质得出△ABD的面积为88，进而解答即可．
【解答】解：∵AC＝22，DE＝8，
∴△ADC的面积为：22×8＝88，
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD的面积为88，
∴点D到AB的距离是．
故答案为：11．
【点评】此题考查三角形的面积问题，关键是根据三角形的面积得出△ADC的面积，掌握三角形的中线平分三角形的面积．
11．（2分）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，MN表示水面，它与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线，若∠1＝65°，∠2＝45°，则∠DBC的度数为 　20°　 ．
【答案】20°．
【分析】由平行线的性质推出∠1+∠CBN＝180°，求出∠CBN＝115°，由平角定义得到∠DBC＝180°﹣45°﹣115°＝20°．
【解答】解：∵MN∥EF，
∴∠1+∠CBN＝180°，
∵∠1＝65°，
∴∠CBN＝115°，
∵∠2＝45°，
∴∠DBC＝180°﹣45°﹣115°＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠1+∠CBN＝180°．
12．（2分）分式的值是正整数，则正整数x的值是　1　 ．
【答案】1．
【分析】根据题意确定符合题意的正整数x的值即可．
【解答】解：∵分式的值是正整数，x为正整数，
∴x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查分式的值，理解题意并确定符合题意的x的值是解题的关键．
13．（2分）下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，不能作出唯一的三角形的条件是 　④　 （填写编号）．
【答案】④．
【分析】根据全等三角形的判定的知识判断．
【解答】解：①是边边边（SSS）；
②是两边夹一角（SAS）；
③两角夹一边（ASA）都成立．
根据三角形全等的判定，都可以确定唯一的三角形；
而④则不能．
故答案为：④．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
14．（2分）如图，△ABD中，∠A＝72°，∠D＝36°，BE平分∠ABD交AD于点E，则△ABE　是　 （填“是”或者“不是”）等腰三角形．
【答案】是．
【分析】根据三角形三角形内角和定理及角平分线定义求出∠A＝72°＝∠AEB，根据等腰三角形的判定定理即可得解．
【解答】解：∵∠A＝72°，∠D＝36°，
∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠D＝72°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE∠ABD＝36°，
∴∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝72°，
∴∠A＝∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形，
故答案为：是．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定定理、三角形内角和定理等知识，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．
15．（2分）一批山竹进价38元/千克，销售中估计有5%的山竹正常损耗，为了避免亏本，商家将售价至少定为　40　 元/千克．
【答案】40．
【分析】设商家将售价定为x元/千克，购进山竹的质量为a千克，利用利润＝售价×销售数量﹣进价×购进数量，结合利润非负，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：设商家将售价定为x元/千克，购进山竹的质量为a千克，
根据题意得：（1﹣5%）ax﹣38a≥0，
即95%x﹣38≥0，
解得：x≥40，
∴x的最小值为40，
∴商家将售价至少定为40元/千克．
故答案为：40．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
16．（2分）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为　8　 ．
【答案】8．
【分析】由BO为角平分线，得到一对角相等，再由MN平行于BC，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，等量代换可得出∠MBO＝∠MOB，利用等角对等边得到MO＝MB，同理得到NO＝NC，而三角形ABC的周长等于三边相加，即AB+BC+AC，其中AB＝AM+MB，AC＝AN+NC，等量代换后可得出三角形ABC的周长等于三角形AMN的周长与BC的和，即BC等于两三角形的周长之差，将两三角形的周长代入，即可求出BC的长．
【解答】解：∵OB平分∠MBC，
∴∠MBO＝∠OBC，
又MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，
∴∠MOB＝∠MBO，
∴MB＝MO，
同理可得∠NOC＝∠NCO，
∴NO＝NC，
∴（AB+AC+BC）﹣（AM+AN+MN）
＝（AM+MB+AN+NC+BC）﹣（AM+AN+MN）
＝（AM+MO+AN+NO+BC）﹣（AM+AN+MN）
＝（AM+AN+MN+BC）﹣（AM+AN+MN）
＝BC，
又∵△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，即AB+AC+BC＝20，AM+AN+MN＝12，
则BC＝20﹣12＝8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
17．（2分）已知△ABC的三边分别为3，a﹣2，7，且a为偶数，则代数式4a2b﹣3 （﹣a﹣1b3）的值为 　﹣32或﹣40　 ．
【答案】﹣32或﹣40．
【分析】根据“三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边”和“a为偶数”求得a的值；然后代入求值即可．
【解答】解：根据题意，得7﹣3＜a﹣2＜7+3，
解得6＜a＜12．
又因为a是偶数，
所以a的值为8或10．
当a＝8时，4a2b﹣3 （﹣a﹣1b3）＝﹣4a＝﹣4×8＝﹣32．
当a＝10时，4a2b﹣3 （﹣a﹣1b3）＝﹣4a＝﹣4×10＝﹣40．
综上所述，代数式4a2b﹣3 （﹣a﹣1b3）的值为﹣32或﹣40．
故答案为：﹣32或﹣40．
【点评】此题考查三角形三边关系，关键是根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边解答．
18．（2分）乐乐用一张直角三角形纸片玩折纸游戏．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°．第一步，将纸片沿AB对折，使点A与点B重合，折痕与边AB的交点为点D；第二步，在AC边上找一点E，将纸片沿ED折叠，点A落在A′处，如图2；第三步，将纸片沿DA’折叠，点E落在E′处，如图3．当点E′恰好在原直角三角形纸片的边上时，则∠BDE的度数为 　120°或150°　 ．
【答案】120°或150°．
【分析】．分两种情况讨论，画出示意图，根据折叠的性质以及三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：当点E在AC上时，如图，
由折叠得，AD⊥EE，那么此时AD⊥AC，记AD与AC交于点G，
∴∠DGA＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠ADA＝180°﹣∠A﹣∠DGA＝60°，
∴∠ADE＝∠E'DA＝∠ADE＝30°，
∴∠BDE＝90°+30°+30°＝150°，
当点E在AB上时，如图，
由折叠知∠ADE＝∠ADE＝∠ADE，
当点E在AB上时，则∠ADE+∠ADE+∠ADE＝180°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ADA＝2∠ADE＝120°，
∴∠ADB＝60°，∠BDE＝60°+60°＝120°，
综上，当点E'恰好在原直角三角形纸片的边上时，∠BDE的度数为150°或120°，
故答案为：120°或150°．
【点评】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，把握折叠的不变性是解题的关键。
三．解答题（共8小题，满分64分）
19．（6分）解不等式组，并将解集表示在数轴上．
【答案】1≤x＜4．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜4，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
∴不等式组的解集为1≤x＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（6分）如图，已知D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝a°，则∠AGC为 　90°a°　 ．
【答案】（1）∵AF∥BC
∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，
又∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠CAF，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）90°a°．
【分析】（1）根据AF∥BC∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，再根据AF平分∠DAC得∠DAF＝∠CAF，由此的∠B＝∠ACB，据此即可得出结论；
（2）由（1）可知∠B＝∠ACB＝a°，∠CAF＝∠ACB＝a°，则∠ACE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣a°，根据CG平分∠ACE得∠ACG＝90°a°，然后在△ACG中，由三角形内角和定理即可得出∠AGC的度数．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC
∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，
又∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠CAF，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：∵∠B＝a°，
由（1）可知：∠B＝∠ACB＝a°，∠CAF＝∠ACB＝a°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣a°，
∵CG平分∠ACE，
∴∠ACG∠ACE＝90°a°，
在△ACG中，∠CAF+∠ACG+∠AGC＝180°，
∴∠AGC＝180°﹣（∠CAF+∠ACG）＝180°﹣（a°+90°a°＝90°a°．
故答案为：90°a°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定，平行线的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
21．（6分）完成下列命题的证明．
如图，有三个判断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成命题，并证明该命题的正确性．
【答案】答案见证明．
【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明．
【解答】解：已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C；
求证：∠A＝∠D；
证明：∵∠1＝∠CGD
又∵∠1＝∠2，
∴∠CGD＝∠2，
∴EC∥BF，
∴∠AEC＝∠B，
又∵∠B＝∠C，
∴∠AEC＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠D．
【点评】此题考查平行线的判定和性质题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．
22．（6分）儿童节前夕，老师购买了若干套学习用品送给小朋友作为节日礼物．如果每班分到10套，那么余5套；如果前面的班级每个班分13套，那么最后一个班级分到了礼物，但不足4套．问：有多少个班级？学习用品有几套？
【答案】有5个班级，学习用品有55套．
【分析】设有x个班级，则学习用品有（10x+5）套，根据前面的班级每个班分13套，最后一个班级分到了礼物，但不足4套，列不等式组即可求解．
【解答】解：设有x个班级，
由题意列一元一次不等式组得，，
解得：．
∵x只能取整数，
∴x＝5，
此时10x+5＝55．
答：有5个班级，学习用品有55套．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，准确找到不等关系列不等式组是解题的关键．
23．（6分）如图，已知等边三角形ABC和等边三角形DBE，点A，B，D在一条直线上，点P，Q，O分别为CE，AD，AC的中点．求证：OP＝OQ．
【答案】如图，连接AE，CD，
∵△ABC和△DBE是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABC+∠CBE＝∠EBD+∠CBE，
即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE与△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD，
∵点P，Q，O分别为CE，AD，AC的中点，
∴OP是△CAE的中位线，OQ是△ACD的中位线，
∴OPAE，OQCD，
∴OP＝OQ．
【分析】连接AE，CD，由等边三角形的性质得AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°，则∠ABE＝∠CBD，再证明△ABE≌△CBD（SAS），得AE＝CD，然后证明OP是△CAE的中位线，OQ是△ACD的中位线，得OPAE，OQCD，即可得出结论．
【解答】证明：如图，连接AE，CD，
∵△ABC和△DBE是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABC+∠CBE＝∠EBD+∠CBE，
即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE与△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD，
∵点P，Q，O分别为CE，AD，AC的中点，
∴OP是△CAE的中位线，OQ是△ACD的中位线，
∴OPAE，OQCD，
∴OP＝OQ．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．
（1）若∠A＝48°，求∠CDE的度数．
（2）若AB＝6，△ADE的周长为10，求AD的长．
【答案】（1）33°；
（2）4．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得∠B＝∠ACB＝66°，再根据角平分线的定义得∠BCD＝∠ACD＝33°，然后根据平行线的性质可得出∠CDE的度数；
（2）先根据角平分线的定义及平行线的性质得∠BCD＝∠ACD＝∠CDE，进而得DE＝CE，则AC＝AE+DE＝6，然后根据△ADE的周长为10可得出AD的长．
【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝48°，
∴∠B＝∠ACB（180°﹣∠A）＝66°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD＝1/2∠ACB＝33°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD＝33°；
（2）∵AB＝6，
∴AC＝AB＝6，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∴∠CDE＝∠ACD，
∴DE＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AE+DE＝6，
∵△ADE的周长为10，
∴AD+AE+DE＝10，
∴AD＝10﹣（AE+DE）＝10﹣6＝4．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，理解角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，平行线的性质是解决问题的关键．
25．（12分）（I）如图①，P、Q两点在直线l的两侧，请你在直线l上找到点T，使得PT+QT的长度最小，简述画法，并说明理由；
（Ⅱ）如图②，A、B两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）
将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线a∥b，点A、B分别位于直线a、b的两侧，请你在直线a上找到点M，使得MN垂直于直线b，垂足为N，且AM+MN+NB的长度最小．在图③中画出点M、N，并简要说明点M、N的位置是如何找到的（不要求证明）．
（Ⅲ）如图④，在（Ⅱ）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从A地到达B地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）．
【答案】见解析．
【分析】（Ⅰ）连接PQ交直线l于点T，点T即为所求；
（Ⅱ）作AJ⊥直线a，且AJ＝MN，连接JB交直线b于点N，作NM⊥直线b交直线a于点M，连接AM，路径AMNB即为所求；
（Ⅲ）作作AJ⊥直线a，且AJ＝EF，作BK⊥直线d，且BK＝NM，连接JK交直线b于点E，交直线c于点N，作EF⊥直线b交直线a于点F，作NM⊥直线c交直线d于点M，路径AFENMB即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）如图①中，点T即为所求，依据是两点之间线段最短；
（Ⅱ）如图②中，路径AMNB即为所求；
方法：作AJ⊥直线a，且AJ＝MN，连接JB交直线b于点N，作NM⊥直线b交直线a于点M，连接AM，路径AMNB即为所求；
（Ⅲ）如图③中，路径AFENMB即为所求．
方法：作作AJ⊥直线a，且AJ＝EF，作BK⊥直线d，且BK＝NM，连接JK交直线b于点E，交直线c于点N，作EF⊥直线b交直线a于点F，作NM⊥直线c交直线d于点M，路径AFENMB即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26．（12分）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理．如图1，可以表述为：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
【新知应用】已知：在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝110°，则∠B＝ 　35°　 ；若∠B＝70°，则∠A＝ 　40°　 ．
【尝试探究】如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，若连接CA，则CA平分∠BCD．
某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE＝BC，连接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．
【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠B+∠AED＝180°，连接CA，CA平分∠BCD吗？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】【新知应用】根据等腰三角形的性质即可解答；
【尝试探究】证明△ABC≌△ADE（SAS），得∠ACB＝∠D，AC＝AD，利用等腰三角形的性质可以证明结论；
【拓展应用】如图3，延长DE到点F，使得EF＝BC，连接AF，证明△ABC≌△AEF（SAS），再证明△ACD≌△AFD（SSS），得∠ACD＝∠F，进而可以得结论．
【解答】【新知应用】解：在△ABC中，
∵AB＝AC，∠A＝110°，
∴∠B＝∠C（180°﹣110°）＝35°，
若∠B＝70°，
则∠A＝180°﹣2×70°）＝40°，
故答案为：35°，40°；
【尝试探究】证明：如图2，延长CD到点E，使得DE＝BC，连接AE，
∴∠ADC+∠ADE＝180°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠AED，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB＝∠D，AC＝AD，
∴∠ACD＝∠D，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴CA平分∠BCD；
【拓展应用】解：CA平分∠BCD，理由如下：
如图3，延长DE到点F，使得EF＝BC，连接AF，
∴∠AED+∠AEF＝180°，
∵∠B+∠AED＝180°，
∴∠B＝∠AEF，
∵AB＝AE，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AC＝AF，∠ACB＝∠F，
∵BC+DE＝CD，BC＝EF，
∴CD＝FD，
在△ACD和△AFD中，
，
∴△ACD≌△AFD（SSS），
∴∠ACD＝∠F，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴AC平分∠BCD．
【点评】本题属于四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到△ABC≌△ADE．
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