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23.3 一次函数与方程、不等式
第二十三章 一次函数
　　今天数学王国搞了个家庭Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”.
x+y=5应该坐在哪里呢？
观察思考
x+y=5
二元一次方程
一次函数
问题1 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
(1)2x-1=3；
(2)2x-1=0；
(3)2x-1=-1．
用函数的观点看：解一元一次方程ax+b=k就是求当函数
(y=ax +b)值为k时对应的自变量的值．
探索求知
1
2
3
3
1
2
o
x
y
-1
-2
-1
-2
y=2x-1
2x-1=3的解
2x-1=0的解
2x-1=-1的解
1.直线y=2x+20与x轴交点坐标为（ , ），这说明方程 2x＋20＝0的解是x= .
2.若方程kx＋2＝0的解是x=5，则直线y=kx＋2与x轴交点坐标 为（ , ）.
-10
0
-10
5
0
练一练
一次函数与一元一次方程的关系
归纳总结
求一元一次方程
kx+b=0的解
一次函数y=kx+b中，
y=0时x的值
求直线y=kx+b与x轴
交点的横坐标
从“函数图象”看
从“函数值”看
例1 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)
解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒.
由题意得2x+5=17
解得 x=6
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
典例精析
解法2：速度y(单位：米/秒)是时间x(单位：秒)的函数y=2x+5.
由右图可以看出
当y=17时，x=6.
典例精析
∴方程2x+5=17的解为x=6.
17
6
练一练
看图象，观察出下列方程的解。
练一练
观察图像得出
以下方程的解：
y=2
y=0
y=2x-1
问题2 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把得到的结论推广到一般情形吗？
(1)2x-1＞2；(2)2x-1＜0；
(3)2x-1＜-1．
探索求知
不等式ax+b＞c的解集就是使函数y=ax+b的函数值大于c的对应的自变量取值范围；
　　不等式ax+b＜c的解集就是使函数y=ax+b的函数值小于c的对应的自变量取值范围．
1
2
3
3
1
2
o
x
y
-1
-2
-1
-2
y=-1
1
2
3
3
1
2
o
x
y
-1
-2
-1
-2
4
5
6
4
5
6
-3
-4
-3
-4
例2 画出函数y=-3x+6的图象，
结合图象求：
(1)不等式-3x+6＞0和-3x+6＜0的解集;
(2)当x取何值时，y＜3
解：作出函数y=-3x+6的图
象，如图所示，图象与x轴
交于点(2，0).
典例精析
y=0
y=3
(1)x＜2,
x＞2
(2)x＞1
如图，已知直线y=kx+b与x轴交于点(-4,0)，则当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A.x＞-4
B.x＞0
C.x＜-4
D.x＜0
C
做一做
x
y
o
y=kx+b
-4
y=0
从“函数图象”看
一次函数与一元一次不等式的关系
归纳总结
求kx+b＞0(或＜0)
(k≠0)的解集
y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围
确定直线y=kx+b在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围
从“函数值”看
问题3 1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/s的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/s的速度上升．
两个气球都上升了1min．
(1)请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔y(m)与气球
上升时间x(s)的函数关系．
气球2 海拔高度：y=0.5x+15．
探索求知
气球2
气球1
气球1 海拔高度：y=x+5；
从数的角度看：
就是求自变量为何值时，两个一次函数y=x+5，y =0.5x+15的函数值相等，并求出函数值．
(2)两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究.
气球1 海拔高度：y=x+5
气球2 海拔高度：y=0.5x+15
探索求知
气球2
气球1
解方程组
思考1：一次函数与二元一次方程有什么关系？
从式子(数)角度看：
探索求知
一次函数
二元一次方程
一次函数
y=0.5x+15
二元一次方程y-0.5x=15
二元一次方程y=0.5x+15
用方程观点看
用函数观点看
由函数图象的定义可知：
直线y=0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y=0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解.
思考2：从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？
探索求知
二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．
从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？
探索求知
5
10
15
20
5
10
15
20
25
30
x
25
y
o
y=0.5x+15
y=x+5
A(20,25)
归纳总结
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
方程组的解
对应两条直线交点的坐标
观察函数图象，直接回答下列问题：
(1)在什么时候，1号气球比2号气球高？
(2)在什么时候，2号气球比1号气球高？
气球1 海拔高度：y=x+5
气球2 海拔高度：y=0.5x+15
(1)20s后，1号气球比2号气球高.
(2)0~20s时，1号气球比2号气球高.
探索求知
5
10
15
20
5
10
15
20
25
30
x
25
y
o
y=0.5x+15
y=x+5
A(20,25)
1号气球
2号气球
例2 如图，求直线l1与l2的交点坐标.
分析：由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.
典例精析
1
2
3
1
2
3
4
0
-1
-2
-3
-1
-2
-3
x
y
l1
l2
解：因为直线l1过点(-1，0)，(0，2)，用待定系数法可求得直线l1的解析式为y=2x+2.同理可求得直线l2的解析式为y=-x+3.
即直线l1与l2的交点坐标为
练一练
如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的
图象交于点P，则方程组
的解是多少？
1
2
3
O
4
x
y
y=ax+b
y=cx+d
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
1
2
3
解：此方程组的解是
P
2．若方程组 的解为
则一次函数y=2x+1与y=3x-1的图象交点坐标为 .
1．一次函数y=kx+3的图象如图所示，则方程kx+3=0的解 为 .
3
y=kx+3
O
y
x
3
x=-3
(2,5)
课堂练习
3.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l1、l2如图 ，他解的这个方程组是( )
课堂练习
D
1
2
3
1
2
3
0
-1
-2
-3
-1
-2
-3
x
y
l1
l2
(2,-2)
4.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则 4x+5＞3x+10的解集是（ ）
A.x＜5
B.x＞5
C.x＞-5
D.x＞25
课堂练习
B
25
5
x
y
o
y=4x+5
y=3x+10
课堂小结

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