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第二十三章 一次函数
人教版2026·八年级下册
23.4.1 分段函数
学习目标
1.巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题.
2.有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力.
3.认识数学在现实生活中的意义，提高运用数学知识解决实际问题的能力.
在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画.在运用一次函数解决实际问题时，一般先将实际问题抽象为一次函数问题，然后根据条件求得一次函数的解析式，再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题.
课堂导入
例1 某玉米种子的价格为 40元/kg.若一次购买不超过2 kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2 kg的种子，超过部分的种子价格打6折.
(1)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象；
(2)一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？
分析：付款金额与种子价格有关.而种子价格不是固定不变的，它与购买量有关.因此，写函数解析式与画函数图象时，应分0≤x≤2和x＞2讨论.
典例精析
解：(1)设购买量为 x kg，付款金额为 y 元.
当0≤x≤2时，种子价格为40元/kg，函数解析式为y=40x；
当x＞2时，购买的种子中有2kg按40元/kg计价，其余的(x-2)kg（即超过2kg部分按24元/kg（即六折）计价，
函数解析式为y=40×2+24(x-2)=24x+32.
函数图象如图所示.
典例精析
y=40x
y=24x+32
y/元
x/kg
O
1
2
80
40
100
(2)因为4>2，
所以y=24×4+32=128.
因此，一次购买4kg种子，需付款128元.
例1 某玉米种子的价格为 40元/kg.若一次购买不超过2 kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2 kg的种子，超过部分的种子价格打6折.
(2)一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？
典例精析
新知小结
用解析式法表示分段函数的关键
(1)分段函数是一个函数，而非多个函数，其自变量在不同范围内解析式不同；
(2)表示函数关系的解析式，每一段后面必须加上自变量的取值范围.分段函数中，自变量在不同的取值范围内的解析式不同，在解决问题时，要特别注意自变量的取值范围的变化.分段函数的应用面广，在水费、电费、商品促销等领域都有广泛应用.
跟踪训练 某品牌笔记本单价为5 000元/台，若一次购买不超过3台，价格不变；若一次购买超过 3台，超过部分的笔记本价格打七折．则付款金额y(元)关于购买台数x(台)的函数解析式为
________________________．
跟踪训练
例2 为节约用水,某城市制定以下用水收费标准:每户每月用水不超过8 m3时,每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费;超过8 m3时,超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费.设一户每月用水量为x m3,应缴水费y元.
(1)给出y与x之间的函数表达式;
(2)画出上述函数图象;
(3)当该市一户某月的用水量为x=5 m3或x=10 m3时,求其应缴的水费;
(4)该市一户某月缴水费26.6元,求该户这个月用水量.
典例精析
(2)如图,函数图象是一段折线.
典例精析
解:(3)当x=5 m3时,y=1.3×5=6.5(元);
当x=10 m3时,y=2.7×10-11.2=15.8(元).
即当用水量为5 m3时,该户应缴水费6.5元;当用水量为10 m3时,该户应缴水费15.8元.
(4)y=26.6>1.3×8,可见该户这月用水超过8 m3,
因此:2.7x-11.2=26.6.
解方程,得x=14.
即该户本月用水量为14 m3.
典例精析
一次函数的应用
函数的形式
确定解析式
单一函数
直接根据题意
分段函数
待定系数法
课堂小结
课堂练习
1. 一个实验室在 0:00-2:00 保持 20 ℃ 的恒温，在 2:00-4:00 匀速升温，每小时升高 5 ℃. 写出实验室温度 T(单位：℃)关于时间 t(单位：h)的函数解析式，并画出函数图象.
解：当 0 ≤ t ≤ 2 时，T = 20；
当 2 < t ≤ 4 时，T = 20 + 5(t－2) = 5t + 10，
所以 T =
20，0 ≤ t ≤ 2，
5t +10，2 < t ≤ 4 .
【选自教材第131页 练习 第1题】
2. 某市出租车的收费方式为：路程不超过 3 km 时收费 9 元，
超过 3 km 部分每千米收费 2 元. 记乘客乘坐出租车的路程
为 x (x > 3) km，乘车费为 y 元.
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
解：y 关于 x 的函数解析式为 y=9+2(x－3)，即 y=2x+3.
【选自教材第132页 练习 第2题】
（2）若有一位乘客付了 23 元乘车费，则他的乘车路程是多少？
解：令 y = 23，即 2x + 3 = 23，解得 x = 10.
所以他的乘车路程是 10 km.
课堂练习
3.某日，王爷爷准备了80kg苹果在市场上销售，在销售过程中，顾客均通过电子支付的方式向王爷爷支付购买费用．他按市场价售出50kg苹果后，为早点收摊回家，他将剩余苹果降价处理且全部售完．已知王爷爷电子钱包中的零钱总额y(单位：元)(含原有零钱)与售出水果的千克数x的关系如图所示，请结合图象回答问题：
（1）王爷爷的电子钱包中原有零钱____元；
（2）苹果降价前每千克____元，降价后每千克____元；
80
12
10
课堂练习
（3）请求出 y 关于 x 的函数解析式．
解：由图象和（1）（2）可得，当0 ≤ x ≤ 50时，y=12x+80；
当50 < x ≤ 80时，y=10(x－50)+680，即y=10x+180.
综上，y关于x的函数解析式为y=
12x+80，0 ≤ x ≤ 50，
10x+180，50 < x ≤ 80 .
课堂练习

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