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河南平顶山市鲁山县第四教研区2026年中招学科第二次调研考试数学
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某高山气象站记录显示，凌晨5点的山体气压比标准海平面气压低60百帕，记作“百帕”．那么比标准海平面气压高50百帕记作（ ）
A. 百帕 B. 百帕 C. 百帕 D. 百帕
2.据统计，2025年我国原油产量约为216000000吨，创历史新高．数据“216000000”用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
3.下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是( )
A. B. C. D.
4.将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点C，E，A，D在同一条直线上，，，．当时，α的大小为（ ）
A. B. C. D.
5.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数k的值为（ ）
A. 3 B. 3或 C. 6 D. 9
6.月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，又称圆洞门、月亮门、月光门，其形如满月，门框采用磨砖对缝工艺，不设门扇与门槛，主要作为建筑群入口或分隔院落的交通孔道，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在由小正方形组成的网格中的平面示意图，每个小正方形的边长均为1，点O是圆心，点A，B均在格点上．若，优弧所对的圆心角为，则优弧的长为（ ）
A. B. C. D.
7.化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
8.河南作为中华文明的重要发祥地，拥有名人故居、书院遗址、非遗展馆等多元文化地标，是传承中原文化的重要载体．如图，某校综合实践课外活动小组的两名同学打算分别从杜甫故里（名人故居）、嵩阳书院（书院遗址）、宋绣艺术博物馆（非遗展馆）这三个特色地方中随机选取一个作为研学活动目的地，则这两名同学选择同一个地方的概率是（）．
A. B. C. D.
9.如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，点E是的中点，过点E作的垂线交于点F，交于点G，交于点H，则线段的长为（ ）
A. 1 B. C. D.
10.为比较A，B两个保温杯的保温性能，物理实验小组的同学在两个保温杯中分别倒入相同毫升、相同温度的热水，用温度计测量其初始温度为示数如图甲所示，绘制水温随时间的变化图象如图乙所示．下列说法中错误的是（ ）
A.
B. A保温杯的保温性能更好
C. 当时间从增加到时， B保温杯的水温变化比A保温杯大
D. 当时，水温随时间的增大而降低
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.请写出一个与y轴的交点位于负半轴的函数的表达式： ．
12.为了解不同栖息地对麻雀体重的影响，生物学家对干旱草原和温带森林中的麻雀进行了研究，分别从两地随机捕捉数量相同的麻雀，测量并统计其体重的平均数与方差，已知体重越稳定，越适宜生存，数据如下表，则麻雀更适宜在 （填“干旱草原”或“温带森林”）栖息地生存．
平均数 方差
干旱草原的麻雀 20 87.5
温带森林的麻雀 20 5.8
13.不等式组的解集是 ．
14.如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点A在y轴上，将沿边向右平移得到点与点O重合，与交于点M．若则点M的坐标为 ．
15.如图，在中，，D为的中点，将绕点D顺时针旋转，得到．若，连接，当点G落在任意一边上（顶点除外）时，的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.计算与化简：
(1)
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
青少年的体质健康是成长发展的重要基础，充足的体育锻炼不仅能增强体魄，更能锤炼意志品质．某校开展了“阳光体育一小时”活动，为了解学生体质健康的提升情况，随机抽取40名学生参加活动前、后的得分（满分为10分，得分均为整数）进行整理、描述、分析，部分信息如下．
得分统计表
众数 中位数 平均数
活动前 a 8 8.025
活动后 9 b c
根据以上信息，回答下列问题．
(1) 表格中 ， ， ．
(2) 依据“数据分析与运用”的结果，判断该校开展的“阳光体育一小时”活动是否有效，并为学校进一步增强学生体质健康提出一条具有针对性的合理化建议．
18.(本小题10分)
如图，在四边形中，，．
(1) 请用无刻度的直尺和圆规作一条直线l，使得点A，B，C，D到直线l的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）．
(2) 在（1）的条件下，若直线l分别交于点E，F，求证：．
19.(本小题12分)
小军将量角器按如图方式摆放在平面直角坐标系中，分别与x轴，y轴相切于A，B两点，M是的中点，，反比例函数的图象与交于点，与交于点．
(1) 求反比例函数的表达式．
(2) 求图中阴影部分的面积．
(3) 转动量角器，当点D与点F重合时，判断转动后的点C是否落在反比例函数图象上．
20.(本小题10分)
中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉．为了响应传统文化进校园的号召，某校在迎接六一儿童节时，准备为学生购买一批A，B两种类型的民族服饰，以供演出使用．已知每套A型民族服饰的价格比每套B型民族服饰的价格多40元，且用3000元购买A型民族服饰的数量与用2400元购买B型民族服饰的数量相同．该商场对同时购买这两种类型的民族服饰推出以下两种优惠方案（两种优惠不能同时享有）：
方案一：A型民族服饰每套打八五折，B型民族服饰每套打七五折；
方案二：A，B两种类型的民族服饰每套均打八折．
(1) 求A，B两种类型民族服饰的单价分别是多少元．
(2) 经核算，学校准备购买A，B两种类型的民族服饰共45套（A，B两种类型均购买），且A型民族服饰不超过35套．设按方案一、方案二购买的费用分别为元，元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少．
21.(本小题10分)
茗阳阁是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一，是具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼，被誉为“中原第一大阁楼”．某综合与实践小组开展测量茗阳阁高度的活动，记录如下．

活动主题 测量茗阳阁的高度（）
方案 方案一 方案二
测量示意图
测量方案与测量数据 在点处用高为米的测角仪测出茗阳阁顶端的仰角，测得为． 在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，在处放置长的标杆，（，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，测得标杆的影长为，在处测得茗阳阁顶端的仰角为．
参考数据
备注 ①图上所有点均在同一平面内；②点在同一水平线上；③测角仪、标杆、茗阳阁均与地面垂直．
(1) 数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个方案无法计算茗阳阁的高度．”你认为是 （填“方案一”或“方案二”），并说明理由．
(2) 请根据正确的测量方案计算出茗阳阁的高度（）（结果精确到1 m）．
22.(本小题15分)
综合与实践
消防员不仅是灭火英雄，更是集救援、调查、救护于一体的全能守护者，他们需要具备超强的体能、专业的技能与稳定的心理素质，在各类灾害中保护人民生命和财产安全．
问题背景：为增强消防员专业技能和实战经验，消防员会进行不定期的实战演习．如图，某消防支队对小区楼层失火抢救进行了演习．
收集数据：经无人机在离地面某处探测后，确定是距离地面的大楼A处发生火灾，此时消防员需要在无人机正下方离地面，且距该楼水平距离处的升降梯B处喷水灭火．
数学建模：已知水柱近似呈抛物线形状，且在距离喷水点水平距离处达到最高，此时距离地面．以水平地面为x轴，无人机与消防员所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
问题解决：
(1) 求抛物线的表达式．
(2) 此时水柱是否能喷射到点A处灭火．
(3) 由于火势较猛，为保证安全，消防员需要后退，为确保水柱恰好能喷射到着火点A处，消防员所在的升降梯需要升高多少米（喷水时水压和出水口角度保持不变）？
23.(本小题15分)
问题情境：在数学活动课上，老师带领同学们以“特殊三角形折叠有关问题”为主题展开探究活动．在中，是边的中点，为边上一动点，将沿折叠，点的对应点为．
(1) 【观察猜想】如图1，若为等边三角形，连接，当点落在边上时，与的数量关系是 ．
(2) 【类比探究】如图2，若为等腰直角三角形，，连接．当时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出正确的结论，并证明．
(3) 【拓展应用】若为直角三角形，作点关于直线的对称点，连接C''E，C'C''，当为等边三角形时，请直接写出的长．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】/（答案不唯一）
12.【答案】温带森林
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】3或
16.【答案】【小题1】
解：原式
；
【小题2】
解：原式
．

17.【答案】【小题1】
8
8.5
8.35
【小题2】
解：活动后的平均数8.35高于活动前的平均数8.025，说明该校开展的“阳光体育一小时”活动非常有效．（言之有理即可）
建议：学校可加强体育锻炼活动的实施，比如设置球类训练课、趣味体能课、体质监测指导课，举办班级篮球赛、跳绳赛等，为学生提供更多在校锻炼的时间和专业指导．（言之有理即可）

18.【答案】【小题1】
解：作直线l如解图①．
【小题2】
证明：如解图②，连接交于点P，
由（1）知，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
是的中位线，
，
同理，
是的中位线，
，
，
．

19.【答案】【小题1】
解：，是反比例函数图象上的点，
，解得，
∴点F的坐标为，
，解得，
∴反比例函数的表达式为．
【小题2】
解：如图①，连接，．
量角器分别与x轴，y轴相切于A，B两点，
轴，轴，．
又，
四边形为正方形，
，
，，
．
【小题3】
解：当点D与点F重合时，如图②，连接，，过点C作于点G，过点D作交的延长线于点H，则．
是的中点，
，
在和中，
，
，
，．
由（2）知，轴，轴，
由（1）知点F的坐标为，
即点D的坐标为，
，，
∴转动后点C的坐标为，
将代入，得，
∴转动后的点C不在反比例函数图象上．

20.【答案】【小题1】
解：设B型民族服饰的单价为x元，则A型民族服饰的单价为元．
根据题意，得，
解得，
检验：当时，，
是原分式方程的解，且符合题意，
此时．
答：A型民族服饰的单价为200元，B型民族服饰的单价为160元；
【小题2】
解：设购买A型民族服饰套，则购买B型民族服饰套．
∵，两种类型均购买，型民族服饰不超过35套，
∴为正整数，且，
按方案一购买需要的费用为．
按方案二购买需要的费用为．
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，．
答：当购买A型民族服饰小于20套时，选择方案一花费较少；当购买A型民族服饰20套时，选择两种方案花费一样；当购买A型民族服饰大于20套且不超过35套时，选择方案二花费较少．

21.【答案】【小题1】
解：方案一；
理由：在中，，与相等，的长不可测，测得的的长与的长之间存在一定的差值，不能代替的长，故无法计算茗阳阁的高度．
【小题2】
解：根据方案二计算茗阳阁高度，
过点F作于点H，
，
则四边形为矩形，
，，，
由题意知，，
为等腰直角三角形，
．
设，
则，，
由题意得，，，，
，
，即，
解得，
．

22.【答案】【小题1】
解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，将点代入抛物线表达式，解得，
∴抛物线的表达式为；
【小题2】
解：由题意得，，
当时，，
∴此时水柱能喷射到点A处灭火；
【小题3】
解：消防员后退后，可设新抛物线的表达式为：．
又∵新抛物线过点，
，解得，
∴新抛物线的表达式为．
令，则．
又，
∴消防员所在的升降梯需要升高3米．

23.【答案】【小题1】
【小题2】
解：补全图形如解图①；

（1）中的结论仍然成立．
证明：为等腰直角三角形，，
．
是边的中点，
平分，，，
．
由折叠的性质可知，，，，，
，，
，
，，
，
，
，
．
【小题3】
解：，，
．
是边的中点，
．
由折叠的性质可知，，．
分两种情况讨论：
①如解图②，当点在下方时，设与C''E交于点F．
为等边三角形，
C''EC'=C″C'E=．
∵点，关于对称，
C″EB=C''EC'=，
C''EB=C，
．
DC'E==C''C'E，
，
，
，
．
设，则，
，
解得，
；
②如解图③，当点在上方时，同理可得，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
又，
∴四边形是菱形，
．
综上所述，的长为或．

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