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2025-2026学年福建省泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中四校联盟高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数z=（i是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.如图，四边形O'A'B'C'是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形OABC的直观图，其中O′A′∥B′C′，O′A′=2，O′C′=1，B′C′=1.则四边形OABC的面积是（　　）
A. 3 B. C. 6 D. 4
3.已知m,n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（　　）
A. 若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
B. 若m∥α，n α，则m∥n
C. 若n∥m,m α，n α，则m∥α
D. 若α∥β，m α，n β，则m∥n
4.在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，3）则向量在向量上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
5.在△ABC中，已知A=30°，，b=2，则角C为（　　）
A. 45° B. 105° C. 45°或135° D. 15°或105°
6.如图，在△ABC中，，，且BF与CE交于点M，设，则2x-y=（　　）
A. -1
B.
C.
D.
7.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，AA1，BB1，CC1，DD1都垂直于底面ABCD，且，点E在线段CC1上，平面BED1交线段AA1于点F，则截面四边形BED1F的周长的最小值为（　　）
A.
B. 5
C.
D. 10
8.在△ABC中，AB=1，sin2A+sin2B=4sinAsinBcosC，则△ABC的面积的最大值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设z1为复数，则下列结论中正确的是（　　）
A.
B. 复数6+5i与-3+4i分别表示向量与，则表示向量的复数为9+i
C. 若为虚数，则z1也为虚数
D. 若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为π
10.下列关于向量的命题正确的是（　　）
A. 向量，共线的充要条件是存在实数λ，使得=λ成立
B. 对任意向量，，|-|≤|||-|||恒成立
C. 非零向量，，，满足∥，∥，则∥
D. 在△OAB中，C为边AB上一点，且AC：CB=2：3，则=+
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q为DD1的中点，动点P在侧面BCC1B1内（包含边界），则下列结论正确的是（　　）
A. 若P是线段BC1的中点，则四面体QPBC的体积为
B. 若，则点P的轨迹长度是
C. 若存在点P，使PQ∥平面B1AD1，则PQ长度的最小值是
D. 若E为棱AB的中点，三棱锥B-C1CE的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为9π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为25π，则圆台的体积为 .
13.如图，测量河对岸塔楼的高度AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得α=75°，β=45°，CD=20米，在点C测得塔顶A的仰角θ=60°，则塔高AB为 米.
14.已知△ABC三边的垂直平分线交于点O，且AB2+AC2-2AC=0，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知i为虚数单位，复数z=m2-2m-3+m（m+1）i.
（1）当实数m取何值时，z是纯虚数；
（2）当m=1时，复数z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值.
16.(本小题15分)
已知平面向量.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点.
（1）求证：点Q，N，C，D四点共面
（2）求证：平面MNQ∥平面PCD.
（3）在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18.(本小题17分)
已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,满足bcosA=（2c-a）cosB.
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，求△ABC周长的最大值；
（3）若，D为线段AC上一点，满足BD=CD=2AD，求△ABC的面积.
19.(本小题17分)
设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种新运算“ ”： =||||tanθ.
（1）已知向量||=2，||=3， =2，求 ；
（2）设向量=（x1，y1），=（x2，y2），且 ≠0，证明： =；
（3）已知向量=（cosβ，sinβ），=（cosγ，sinγ）， ≠0，若 =2，求cos（2β-2γ）的值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】CD
11.【答案】ABD
12.【答案】28π
13.【答案】20
14.【答案】．
15.【答案】解：（1）若复数z是纯虚数，
则，解得m=3．
（2）当m=1时，z=-4+2i,
把z=-4+2i代入方程x2+px+q=0得：（-4+2i）2+p（-4+2i）+q=0，
整理得：12-4p+q+（2p-16）i=0，
所以，解得p=8，q=20．
16.【答案】解：（1）设，，且，
∴，
∴x=2y,且，
∴x2+y2=4y2+y2=5y2=5，解得y=±1，∴或，
∴或（2，1）；
（2），
∵与的夹角为锐角，
∴，且与不共线，
∴，解得且λ≠0，
∴λ的取值范围为．
17.【答案】证明：在四棱锥P-ABCD中，N，Q分别为PA，PB的中点，所以NQ∥AB，
因为底面ABCD是平行四边形，所以AB∥CD．
所以NQ∥CD，
所以点Q，N，C，D四点共面 证明：由（1）知NQ∥AB，因为NQ 平面PCD，CD 平面PCD，
所以NQ∥平面PCD．
因为M，Q分别为BC，PB的中点，所以MQ∥CP，
因为MQ 平面PCD，CP 平面PCD，
所以MQ∥平面PCD，
又NQ∩MQ=Q，NQ，MQ 平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面PCD 存在，
18.【答案】 6
19.【答案】； 证明见解答； ．
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