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2025-2026学年广西南宁市第二中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若向量，，则=（　　）
A. （-2，3） B. （0，1） C. （-1，2） D. （2，-3）
2.复数的虚部是（　　）
A. B. C. D.
3.如图，一个水平放置的三棱柱形容器中盛有水，则有水部分呈现的几何体是（　　）
A. 四棱台
B. 四棱锥
C. 四棱柱
D. 三棱柱
4.设α，β是两个不同的平面，直线m⊥β，则“m α”是“α⊥β”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点E、F、G、H分别为BB1、CC1、A1B1、A1C1的中点，则下列说法错误的是（　　）
A. E、F、G、H四点共面
B. AA1与GH是异面直线
C. EG、FH、AA1三线共点
D. EG∥FH
6.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a=2，b=2，A=60°，则角B等于（　　）
A. 45°或135° B. 135° C. 60° D. 45°
7.一个装有水的圆柱形玻璃杯，测得其内部半径为2cm,将一个半径为1cm的玻璃球完全浸入水中，水没有溢出，则杯中水面上升了（　　）
A. B. C. D.
8.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AA1=，则直线AC1与平面ABB1A1所成角的大小为（　　）
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知m、n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的（　　）
A. 若m⊥β，α∥β，则m⊥α B. 若n⊥α，n⊥β，则α∥β
C. 若m∥α，n∥α，则m∥n D. 若α∥β，m α，n β，则m∥n
10.已知复数z,则下列说法正确的是（　　）
A. 若|z|=2，则z=±2 B. 若z2＞0，则z∈R
C. 若|z|=1，则1≤|z-2|≤3 D. |z|2=z2
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是BB1，DD1，C1D1的中点，Q是侧面BCC1B1内的动点（含边界），则下列结论正确的是（　　）
A. A，B1，P，N四点共面
B. 异面直线CD1与BC1所成的角为
C. 当点Q在线段B1C上运动时，三棱锥A1-BDQ的体积为定值
D. 当时，点Q的运动轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，等腰直角三角形O'A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则原图形的面积是 .
13.用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为 cm．
14.如图所示，某旅游景区的B，C景点相距2km,测得观光塔AD的塔底D在景点B的北偏东45°，在景点C的北偏西60°方向上，在景点B处测得塔顶A的仰角为45°，现有游客甲从景点B沿直线去往景点C，则沿途中观察塔顶A的最大仰角的正切值为 .（塔顶大小和游客身高忽略不计）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c,已知sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，且，.
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的周长.
16.(本小题15分)
如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）若线段PB上存在一点Q使得平面MNQ∥平面PAD，求的值.
17.(本小题15分)
“但有一枝堪比玉，何须九豌始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为7米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且PQ∥OA.
（1）当OQ=5米时，求PQ的长；
（2）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区△OPQ的面积尽可能的大.求△OPQ面积的最大值.
18.(本小题17分)
如图，△ABC中，，AC=BC=4，E、F分别是BA、BC边上的动点，且EF∥AC，将△BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥P-ACFE.
（1）求证：EF⊥PC；
（2）若F为BC中点，且，求二面角P-EF-C的余弦值；
（3）若D为AC中点，当点E在线段AB上（不含端点）运动时，求三棱锥P-CDF的体积的最大值.
19.(本小题17分)
对于一组向量，令+…+，如果存（p∈{1，2，3，…，m}），使得||，那么称an最该向量组的“1向量”.
（1）设=（n,x+n），n∈N*，若是向量组；，；的“1向量”，求实数x的取值范围；
（2）设向量，n∈N*，则向量集{，，…，}是否存在1向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知均是向量集{}的“1向量”，其中=（sinx,cosx），=（2cosx,2sinx）.设在平面直角坐标系xOy中有一点列P1，P2，P3，…，Pn满足：P1为坐标原点，P2为的位置向量的终点，且P2k+1与P2k关于点P1对称，P2k+2与P2k+1（k∈N且k＞0）关于点P2对称，求||的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AB
10.【答案】BC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】；
．
16.【答案】证明：取PD的中点E，连接AE、EN，
因为N是PC的中点，
所以EN是△PDC的中位线，
故EN∥DC，且，
又正方形ABCD中，M是AB中点，AB∥DC且AB=DC，
因此AM∥DC，，
即EN∥AM且EN=AM，
所以四边形AMNE是平行四边形，
得MN∥AE．
又AE 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD
17.【答案】8米 平方米
18.【答案】因为，EF∥AC，
所以EF⊥BC，
翻折后，EF⊥CF，EF⊥PF，
又CF∩PF=F，CF、PF 平面PCF，
所以EF⊥平面PCF，
而PC 平面PCF，
所以EF⊥PC
19.【答案】-2≤x≤0[-2，0] 存在“1向量”，且“1向量”为，，理由如下：
由题意可得，
若存在“1向量”，只需使，
又=（1+0-1+0+1+0-1，0-1+0+1+0-1+0）=（0，-1），
故只需使=，
即，即，
当p=2或6时，符合要求，故存在“1向量”，且“1向量”为， 4048
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