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2025-2026学年辽宁省沈阳市第二十中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列导数运算正确的是（　　）
A. B. （e-x）′=e-x
C. （sinxcosx）′=cos2x D.
2.已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到如表样本数据：
x 3 4 5 6 7
y 3.5 2.4 1.1 -0.2 -1.3
根据表格中的数据求得回归方程，则下列说法中正确的是（　　）
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.已知随机变量ξ～N（1，σ2），实数m满足P（ξ≤2m）=P（ξ≥m-1），则m的值为（　　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4.已知函数f（x）=ex+x的图象在点（0，f（0））处的切线也是函数g（x）=lnx+b的图象的切线，则实数b=（　　）
A. ln2 B. 1 C. D. 2+ln2
5.渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：
出生时间 1965年1月-4月 1965年5月-8月 1965年9月-12月 1966年1月-4月 …
改革后法定退休年龄 60岁
+1个月 60岁
+2个月 60岁
+3个月 60岁
+4个月 …
那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（　　）
A. 62岁3个月 B. 62岁4个月 C. 62岁5个月 D. 63岁
6.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且，则=（　　）
A. B. C. D.
7.已知f（x）是定义在（-6，0）∪（0，6）的偶函数，当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，且f（3）=0，则（x+2）f（x）＞0的解集为（　　）
A. （-6，-3）∪（-2，0）∪（0，3） B. （-3，-2）∪（3，6）
C. （-6，-3）∪（-2，0）∪（3，6） D. （-2，0）∪（0，3）
8.设正实数x,y满足ex-ylny=lnxy，则y的最小值为（　　）
A. 1 B. e C. 2e D. e2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知数列{an}满足，则下列结论正确的有（　　）
A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列
C. {an}的通项公式为 D. 数列{an}是递增数列
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，（S22-S19）（S23-S19）＜0，则（　　）
A. B. 当n=21时，Sn最大
C. 当n≥42时，Sn＜0 D. 数列的最小项为
11.已知函数f（x）=xex，则下列说法正确的是（　　）
A. f（x）的极小值为
B. 当时，方程f（x）=m有两个不同的实根
C.
D. 若点P在f（x）的图象上运动，则点P到直线y=x-2距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得2分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤9）=______．
13.已知等比数列{an}是正项数列，前n项和为Sn，若a3=3，S3=21，则公比q= .
14.令，b=ln1.1，c=e-0.9，则a,b,c的大小关系为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=lnx-x2+1.
（1）求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间.
16.(本小题15分)
2022年卡塔尔世界杯即将于11月20日开幕.某球迷协会欲了解会员是否前往现场观看比赛，按性别进行分层随机抽样，已知男女会员人数之比为3：2，统计得到如下列联表：
前往现场观看 不前往现场观看 合计
女性 8 a
男性 b 8
合计 40
（1）求a,b的值，依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为是否前往现场观看比赛与性别有关？
（2）用频率估计概率，假设会员是否前往现场观看互不影响，若从拟前往现场观看的会员中随机抽取4人进行访谈，求在访谈者中，女性不少于2人的概率.
附：，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(本小题15分)
已知数列{an-1}是各项为正的等比数列，满足a1=5，a1+a2+a3=87.数列{bn}的前n项和为Sn且满足b1=1，，对任意n∈N+恒成立.
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）数列{cn}满足，求证：.
18.(本小题17分)
已知函数，a∈R.
（1）讨论f（x）在（1，+∞）的单调性；
（2）若f（x）≤ex-1恒成立，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园.公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人.公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然.她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地.出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立.
（1）从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差；
（2）东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为Pn（不考虑人流量有限的限制）.
①求P1，P2；
②求Pn.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】AC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】c＞b＞a．
15.【答案】x+y-1=0 单调减区间为（，+∞），单调增区间为（0，）
16.【答案】解：（1）由已知数据，知男女会员人数之比为3：2，因此，根据分层随机抽样，
抽取男会员24人，女会员16人，故a=8，b=16，
补全2×2列联表如下：
前往现场观看 不前往现场观看 合计
女性 8 8 16
男性 16 8 24
合计 24 16 40
设零假设H0：是否前往现场观看比赛与性别无关，
因为，
由于，根据小概率值α=0.010的独立性检验，我们推断H0成立，即不能认为是否前往现场观看比赛与性别有关；
（2）记抽到的4人中，女性人数为ξ，由题意，
所以，
即在访谈者中，女性不少于2人的概率为．
17.【答案】解：（1）因为数列{an-1}是各项为正的等比数列，设公比为q,
又因为a1+a2+a3=87，
所以a1-1+a2-1+a3-1=84，即：4+4q+4q2=84，
解得q=4或q=-5（舍），
所以，即：．
因为，b1=1，
①当n=1时，，解得：b2=2，
②当n≥2时，因为，
所以，
两式作差可得：（n+1）bn=nbn+1，即：，
所以从第二项起是常数数列，
所以，
所以bn=n（n≥2），
③将n=1代入bn=n得b1=1，符合，
所以bn=n.
（2）证明：因为，
所以，
设，
则，
两式相减得：，
所以．
18.【答案】当a≥1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减；当a＜1时，f（x）在（1，e1-a）上单调递增，在（e1-a，+∞）上单调递减 （-∞，1]
19.【答案】X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
， ①；；②
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